2014年海南省高考数学压轴试卷(文科)

2014年海南省高考数学压轴试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|-4＜x＜1}，则A∩B等于（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（-4，1）D.（-∞，-4）【答案】A【解析】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即A=（0，+∞），∵B=（-4，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知i为虚数单位，复数z=i（2-i）的模|z|=（）A.1B.C.D.3【答案】C【解析】解：∵z=i（2-i）=2i+1，∴|z|=，故选：C．根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础．3.进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的．一般而言，发电子邮件要分以下几个步骤：a..打开电子信箱；b．输入发送地址；c．输主主题；d．输入信件内容；e．点击“写邮件”；f．点击“发送邮件”，则正确的流程是（）A.a→b→c→d→e→fB.a→c→d→f→e→bC.a→e→b→c→d→fD.b→a→c→d→f→e【答案】C【解析】解：发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．则正确顺序为：a→e→b→c→d→f故选C．发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．本题主要考查绘制简单实际问题的流程图，注意发电子邮件的步骤，步骤不能颠倒．4.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=-4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5.设z=2x+5y，其中实数x，y满足6≤x+y≤8且-2≤x-y≤0，则z的最大值是（）A.21B.24C.28D.31【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+5y，得y=x+表示，平移直线y=x+，当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，5），此时z max=2×3+5×5=31．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.4+2B.4+C.4+2D.4+【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC 都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．8.一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（）A.12πcm3B.36πcm3C.64πcm3D.108πcm3【答案】B【解析】解：球的半径为=3（cm），球的体积为33=36π（cm3）故选：B．由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式求球的体积．本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理．9.如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A.mB.mC.mD.m【答案】D【解析】，解：由正弦定理得∠∠==50，∴AB=∠∠∴A，B两点的距离为50m，故选：D．依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10.设P是双曲线x2-=1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，则•=（）A.5B.4C.2D.1【答案】B【解析】解：不妨设P是双曲线x2-=1右支上一点，则|PF1|-|PF2|=2，∵△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，∴|F1M|-|F2M|=2，∵|F1M|+|F2M|=2，∴|F1M|=+1，|F2M|=-1，∴•=|F1M||F2M|=4，故选：B．利用双曲线的定义，结合△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M，可得|F1M|-|F2M|=2，利用|F1M|+|F2M|=2，求出|F1M|=+1，|F2M|=-1，即可求出•．本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，正确运用圆的性质是关键．11.已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x-1），且当x∈[-1，0]时，f（x）=3x+，则f（lo5）的值等于（）A.-1B.C.D.1【答案】D【解析】解：∵偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），周期为：2，∵当x∈[-1，0]时，f（x）=3x+，∴lo5=-∈（-2，-1），2-∈（0，1）f（lo5）=f（2-）=f（-2）===1．故选D．通过已知条件判断求出函数的周期，判断对数值的范围，利用偶函数与周期转化自变量的值满足已知函数表达式，求出函数值即可．本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力．12.已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=当为偶数时当为奇数时，若a6=1，则m的所有可能值为（）A.2或4或8B.4或5或8C.4或5或32D.4或5或16 【答案】C【解析】解：a6=1，由a n+1=当为偶数时当为奇数时，得a5=2或a5=0，a5=0是由第二段函数解出的，与a n为奇数矛盾；由a5=2，得a4=4或，是由第二段函数解出的，不符合整数要求；由a4=4，得a3=8或a3=1．以下分两种情况：a3=1时，a2=2或a2=0（舍），则a1=4；a3=8时，a2=16或，不符合整数要求；由a2=16得a1=5或a1=32．∴m的所有可能值为4或5或32．故选：C．由已知给出的a6=1，利用递推式逆推逐次求出前一项的值，符合题意的保留，不符合题意得舍掉，最后可求得m的所有可能取值．本题考查了数列递推式，考查了逆向思维方法，考查了学生的计算能力，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若曲线y=x3+ax在原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a= ______ ．【答案】2【解析】解：函数的导数为f′（x）=3x2+a，因为在原点处的切线方程是2x-y=0，所以切线的斜率k=2，即f′（0）=2，即a=2．故答案为：2．根据切线是2x-y=0，得到切线的斜率k=2，然后利用导数得a的数值．本题主要考查导数的几何意义，利用切线方程得到切线斜率是解决本题的关键．14.在R t△ABC中，C=，B=，CA=1，则|2-|= ______ ．【答案】2【解析】解：∵在R t△ABC中，C=，B=，CA=1，∴=1，=2，＜，＞=，∴2=1，2=4，•=1，∴|2-|2=（2-）2=42+2-4•=4，∴|2-|=2，故答案为：2由已知可得=1，=2，＜，＞=，进而利用平方法，可得|2-|2=4，开方可得答案．本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，当已知中没有坐标时，经常采用平方法进行计算．15.设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9= ______ ．【答案】-6【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S8=4a3，a7=-2，∴8a1+d=4（a1+2d），a7=a1+6d=-2，解得a1=10，d=-2，∴a9=10+8（-2）=-6故答案为：-6设等差数列{a n}的公差为d，代入已知可解得a1和d，代入通项公式可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．16.已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则n+m= ______ ．【答案】【解析】解：∵f（x）=|log2x|，且f（m）=f（n），∴mn=1∵若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2∴|log2m2|=2∵m＜n，∴m=∴n=2∴n+m=故答案为：先结合函数f（x）=|log2x|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2”，求得m．n的值得到结果．本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设平面向量=（cos2，sinx），=（2，1），函数f（x）=•．（Ⅰ）当x∈[-，]时，求函数f（x）的取值范围；（Ⅱ）当f（α）=，且-＜α＜时，求sin（2α+）的值．【答案】解析：（Ⅰ）∵=（cos2，sinx），=（2，1），∴，，==．当，时，，，则，，∴f（x）的取值范围是[0，3]；（Ⅱ）由，得，∵＜＜，∴＜＜，得，∴==．【解析】（Ⅰ）由向量数量积的坐标运算求得函数f（x）并化简，然后结合x的范围求得函数f （x）的取值范围；（Ⅱ）由f（α）=，且-＜α＜求得，的值，再由倍角公式求得sin（2α+）的值．本题考查平面向量数量积的运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值，是中档题．18.如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE上的动点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE-BCF分成的两部分的体积之比．【答案】解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．证明如下：连结CE，交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，由于MN⊂平面MDF，又AC⊈平面MDF，所以AC∥平面MDF．（Ⅱ）如图，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，三棱柱ADE-B′CF的体积为，则几何体ADE-BCF的体积V ADE-BCF=V三棱柱ADE-BCF-V F-BB'C=．三棱锥F-DEM的体积V三棱锥M-DEF=，故两部分的体积之比为：（答1：4，4，4：1均可）．【解析】（Ⅰ）首先，根据所给图形，得到当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．然后，根据线面平行的判定定理进行证明即可；（Ⅱ）利用补图法，将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B′CF，然后，借助于柱体和椎体的体积公式进行求解即可．本题综合考查了线面平行的判定定理、柱体和椎体的体积公式等知识，属于中档题，在解题中，如果求解不规则几何体的体积时，一般用割补法进行运算和求解，这就是转化思想在解题中的应用．19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2=【答案】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=，，，，，，∞；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【解析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．20.设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意易知，，所以，，，，设P（x，y），则，，=因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得：∴，由＞得：＜或＞，…①又°＜∠＜°∠＞＞∴＞又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∵＞，即k2＜4，∴-2＜k＜2…②故由①、②得：＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF1•PF2的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．21.已知函数f（x）=e x+2x2-3x（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证函数f（x）在区间[0，1）上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）．【答案】解：（1）∵f（x）=e x+2x2-3x，∴f′（x）=e x+4x-3，∴f′（1）=e+1，∵f（1）=e-1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1），即（e+1）x-y-2=0；（2）x≥1时，不等式f（x）≥ax，可得a≤，令g（x）=，∴g′（x）=，∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（1）=e-1，∴a≤e-1；（3）∵f'（0）=e0-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，∴f'（0）•f'（1）＜0令h（x）=f'（x）=e x+4x-3，则h'（x）=e x+4＞0，f'（x）在[0，1]上单调递增，∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点．取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[0.3，0.6]的长度为0.3，所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值∴函数y=f（x）取得极值时，相应x≈0.45．【解析】（1）求导数，可得切线斜率，求出切点的坐标，即可得出切线方程；（2）分离参数，构造函数求最值，即可求实数a的取值范围；（3）证明f'（0）•f'（1）＜0，f'（x）在[0，1]上单调递增，可得f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点，再利用二分法求出x的近似值．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值与零点，正确分离参数求最值是关键．22.如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【答案】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【解析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．23.圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|=10，|AC|=|BD|=4，P为圆上一点，求|PC|+|PD|的最大值．【答案】解：如图建立平面直角坐标系，∵|AB|=10，∴圆的参数方程为（θ为参数），∵|AC|=|BD|=4，∴C（-1，0），D（1，0），∵点P在圆上，∴P坐标为（5cosθ，5sinθ），∴（|PC|+|PD|）2=（+）2=52+2，当cosθ=0时，（|PC|+|PD|）2max=104，则（|PC|+|PD|）max=2．【解析】如图建立平面直角坐标系，根据|AB|的长，表示出圆的参数方程，由|AC|=|BD|=4，求出C与D坐标，根据P在圆上，表示出P坐标，利用两点间的距离公式表示出|PC|+|PD|，利用余弦函数的值域即可求出最大值．此题考查了圆的参数方程，两点间的距离公式，余弦函数的值域，表示出圆的参数方程是解本题的关键．24.已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2≤ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2≥．【答案】证明：（1））（ax+by）2-（ax2+by2）=a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy，因为a+b=1，所以a-1=-b，b-1=-a，又a，b均为正数，所以a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy=-ab（x2+y2-2xy）=-ab（x-y）2≤0，当且仅当x=y 时等号成立；（2）==．当且仅当a=b时等号成立．【解析】（1）将所证的关系式作差（ax+by）2-（ax2+by2）=a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x2+b（b-1）y2+2abxy=-ab（x-y）2≤0，当且仅当x=y 时等号成立；（2）将所证的不等式左端展开，转化为，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．。