12.6__数系的扩充与复数的引入

知能迁移1
m(m 2) ( m 2 2m m 1 -3)i,当m为何值时,(1)z∈R；(2)z是纯虚数；
已知m∈R，复数 z
(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的 点在直线x+y+3=0上. 解 (1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0 解得m=-3,故当m=-3时，z∈R.
4.（2009·山东）复数 A.1+2i
3i 等于( C 1 i B.1-2i
)
C.2+i
解析
D.2-i
3 i (3 i)(1 i) 3 2 i i 2 1 i (1 i)(1 i) 1 i2

4 2i 2 i. 2
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足
(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面. x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模 向量 OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作 | z| 或 |a+bi ，即|z|=|a+bi|= a 2 b2 |
§12.6
要点梳理
数系的扩充与复数的引入 基础知识 自主学习
1.复数的有关概念 (1)复数的概念
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分
别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ，则a+bi为实数, 若 b≠0 ，则a+bi为虚数,若 a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d
(1) AO 、 BC 所表示的复数； (2)对角线 CA所表示的复数; (3)求B点对应的复数.
思维启迪 结合图形和已知点对应的复数，根据 加减法的几何意义，即可求解.
解 (1) AO OA, AO 所表示的复数为 3 2i.
BC AO, BC所表示的复数为 3 2i.
点，其基本思路就是应用运算法则进行计算.复数 的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算 （合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的
难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分
(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法 运 算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以 分母的共轭复数），此时要注意区分(a+bi）(a-
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (acbd)+(ad+ ; bc)i
④除法: z1 a b i (a b i)(c d i) z2 c d i (c d i)(c d i)
(ac bd ) (bc ad ) i = .(c+di≠0) c2 d 2
解析
D.第四象限
∵z=i(1+2i）=-2+i,∴复数z在复平面内
对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.
2.下列命题正确的是( A ) ①(-i)2=-1;②i3=-i;③若a>b,则a+i>b+i;
④若z∈C，则z2>0. A.①② 解析 B.①③ C.②③ D.①②④ 虚数不能比较大小，故③错误；
或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i 由①得a=-3,b=±2,
②
③
∴a=-3，b=2. 由②得a=±3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.
a 3 a 2 1 a 2 a 4 0 由③得 ,即 2 2 b 1 b 2 b b 3 0
（2）当z为虚数时，
a 2 5a 6 0 则有 a 2 7 a 6 有意义, 2 a 1 ∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时， z为虚数.
（3）当z为纯虚数时，有
a 2 5a 6 0 a 1且a 6 2 , . a 7a 6 0 a 6 2 a 1 ∴不存在实数a使z为纯虚数.
设z=a+bi (a,b∈R)，则 z =a-bi, ∵z· z +2iz=9+2i，
∴（a+bi）（a-bi）+2i（a+bi）=9+2i
即a2+b2-2b+2ai=9+2i
a 2 b 2 2b 9 2 a 2
由②得a=1代入①得b2-2b-8=0
①
②
解得b=-2或b=4.
∴z=1-2i或z=1+4i.
题型三
复数的代数运算
4 ( 2 2 i) ; 【例3】 计算(1) 5 (1 3 i)
2 3i 2 2 010 ( 2) ( ) ; 1 2 3i 1 i 1 i 6 2 3i (3)( ) . 1 i 3 2i
思维启迪 利用复数的运算法则及特殊复数的运
题型二
复数相等
2 【例2】 已知集合M={(a+3)+(b -1)i，8}，集合 N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足M∩N M，
M∩ N
思维启迪 判断两集合元素的关系 ≠ ∅ ，求整数 a、b.
列方程组
分别解方程组
检验结果是否符合条件
解
依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i
①
或8=(a2-1)+(b+2)i
1 3 i ( 3 i)( i) i (4) 2 2 ( 3 i) ( 3 i) 3i ( i)( 3 i) 1 3 i. 4 4 4
题型四
复数的几何意义
【例4】 (12分)如图所示,平行四边形 OABC，顶点O，A，C分别表示0，
3+2i,-2+4i，试求：
解
(1 i)(2 i) 3 i (1) 1 3 i . 3 i i
(1 2 i) 2 3(1 i) 3 4 i 3 3 i (2) 2i 2i i i(2 i) 1 2 i. 2i 5 5 5
1 i 1 i 1 i 1 i (3) 2 2 (1 i) (1 i) 2i 2i 1 i 1 i 1. 2 2
i(1 2 3 i) 2 2 (2)原式 ( ) 1 2 3i 1 i 2 1 005 i ( ) i i1 005 2i i i 42511 i i 2 i .
1 005
（3）方法一
(1 i) ( 2 3 i)( 3 2 i) 原式 ( 3) 2 ( 2 ) 2 2
此方程组无整数解.
综合①、②、③得a=-3,b=2或a=3,b=-2.
探究提高 两复数相等的充要条件是：实部与实部
相等，虚部与虚部相等.构建方程，解方程组体现
了方程的思想.本题中，复数与集合的知识相结合,
体现了题目的灵活性.
知能迁移2 解
已知复数z的共轭复数是 z ，且满足
z·z+2iz=9+2i.求z.
2
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6 2 i 3i 6 i 1 i . 5
6
方法二 （技巧解法）
(1 i) ( 2 3 i) i 原式 2 ( 3 2 i) i ( 2 3 i) i i6 1 i . 2 3i
2
6
探究提高 复数代数形式的运算是复数部分的重
解得m<-3或1<m<2，故当m<-3或1<m<2时，z对应 的点位于复平面的第二象限.
（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时, m(m 2) 则有 (m 2 2m 3) 3 0, m 1 m(m 2 2m 4) 即 0, 解得m 0或m 1 5, m 1 ∴当m=0或m=-1± 5 时，z对应的点在直线 x+y+3=0上.
探究提高 (1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则
应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则
z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai
(a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2,防止实数中的相关
公式与复数运算混淆，造成计算失误.
知能迁移3
计算：
(1 i)(2 i) (1) ; 3 i (1 2 i) 2 3(1 i) ( 2) ; 2i 1 i 1 i (3) ； 2 2 (1 i) (1 i) 1 3i ( 4) . 2 ( 3 i)
z- z =2i， z =iz，则z= -1+i 解析
z
.
z=iz,代入z- z =2i，得z-iz=2i,
2i 1 i . 1 i
题型分类
题型一
深度剖析
复数的概念及复数的几何意义
2 a 7a 6 2 已知复数 z ( a 5a 6) i(a R). 【例1】 2 a 1 试求实数a分别取什么值时，z分别为：