2014-2015北师大版八年级数学下册三角形的证明
新北师大版八年级下册数学三角形的证明-章节全部知识框架
对应边相等 SSS：三边对应相等的两个三角形全等。
可利用全等三角形的这一性质性质证明线段或角相等。
对应角相等 SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
全等三角形 SSS SAS ASA AAS一般三角形全等的判定定理： ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
判定HL定理两直角三角形全等的判定定理：：AAS两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。
一条直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。
②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。
前提条件：在同一北个三角形中，等角对等边，等边对等角。
可用于证明线段或角相等（等腰三角形）性质（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
③两角相等师④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。
大等腰三角形⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。
（对称性全等）八①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。
判定年③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形.A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合级C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
（不能直接使用结论证下①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。
第②三边都相等，三内角都相等且为60度。
性质一③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O,等边三角形这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC），到三边的距离相等（OD=OE=OF）。
章①有三边相等的三角形是等边三角形②有三内角相等的三角形是等边三角形。
判定三③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
角a2+b2=c2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 1.1等腰三角形(第2课时))
A. 7.5
B. 5
C. 4 D. 不能确定
五、课堂小结
等腰三角形两底角的平分线相等；等腰
三角形两腰上的中线相等，高相等。
等腰三角形
等边三角形的三个内角都相等，并且每
个角都等于60 °
六、布置作业
1、课本习题1.2
2、基础训练1.2
谢谢聆听
∠ACB ，
那么BD=CE吗?
由此你能得到一个什么结论?
结论：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
D
二、探究新知
A
议一议：
E
2.如图，在△ABC中，AB=AC.
1
1
如果AD= 3AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
3
如果AD=
1
1
4 AC，AE= 4 AB呢？
1
1
如果AD= AC，AE= AB呢？
北师大版八年级下册
第一章
三角形的证明
1.1.2 等腰三角形（第二课时）
一、复习导入
上节课我们学习了等腰三角形有哪些重要性质？
定理：等腰三角形的两底角相等.
简述为：等边对等角.
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底
边上的高线互相重合.
简述为：三线合一.
二、探究新知
知识点1
等腰三角形的其他性质
则∠2的大小为(
D)
A
A．50° B．60° C．7° D．80°
1
B
2、如图，在⊿ABC中，已知∠ABC与
∠ACB的平分线相交于点F，过点F作
DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，
若BD+CE=9，则线段DE的长为
北师大版 八年级下三角形的证明(一)
知识点一：公理：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）知识点二：等腰三角形等边三角形等腰三角形的性质；（1）“等边对等角”（2）“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合（3）等腰三角形的两腰上的高相等，（4）等腰三角形的两底角的平分线相等，等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．例2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．例3.已知△DEF是等边三角形，且∠EAB=∠DCA=∠FBC。
求证：△ABC是等边三角形一．选择题1. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm2.给出下列命题，正确的有（ ） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个3.满足下列条件的两个三角形一定全等的（ ）A ．腰相等的两个等腰三角形 B.一个角对应相等的两个等腰三角形C ．斜边对应相等的两个直角三角形 D.底相等的两个等腰直角三角形4.下列说法不正确的是 （ ）A.等边三角形有三条对称轴B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线二．填空题1.等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3.“等边对等角”的逆命题是______________________________．“等腰三角形的两腰上的高相等”的逆命题是______________________________．4.在△ABC 中，∠A=∠B=21∠C ，则△ABC 是__________三角形.5. 边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为__________________.6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_______.8. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．解答题1.已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．2.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．3.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.∴△AEB≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；4.如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5.在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，且AD=BD，AC=CD,求∠B的度数6.用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°7.如图，△ABC是等边三角形，AD为BC边的中线，AD=AE，求∠EDC的度数8.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．9.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）求∠AFE的度数10.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.11.如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1)求证AD=AE； (2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．12.已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F使AD=BE=CF．求证：△DEF 是等边三角形．13.已知点D,E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C,∠ADB=120°，求证：△ADE为等边三角形14在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．。
北师大八年级数学下三角形的证明
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30°. 讲一讲 例 1：已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm，D 为 AB 中点，DE⊥AC 于 E，∠A=30°，求 BC，CD 和 DE 的长
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北师大八年级数学下三角形的证明 例 1：已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
例 2：已知：如图△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE 交于 O 点，且 BD=CE。 求证：OB=OC.
例 3：已知：Rt△ABC 中，∠ACB 是直角，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，求证：BE 垂直平 分 CD。
例如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。
A
C
D
E
B
例如图，△ABC 中，AB= AC，P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上，且 BP=CQ，BQ=CR。 求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上。
【角平分线】 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
求证：∠B=∠CAF
A
E
B
D
C
F
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北师大八年级数学下三角形的证明
针对性练习： 1、已知： 1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果△EBC 的周长是 24cm， 那么 BC=
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明
第一章 三角形的证明 学员姓名：【基础知识】知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等AAS两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容几何语言条件与结论等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一结论：该线也死其他两线等腰三角形中的相等线段：1等腰三角形两底角的平分线相等2等腰三角形两腰上的高相等3两腰上的中线相等4底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。
它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形知识点4 等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC条件：角相等，即∠B=∠C结论：边相等，即AB=AC解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”知识点5 反证法概念证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果【当堂训练】1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（ ） A 、22厘米 B 、17厘米 C 、13厘米 D 、17厘米或22厘米2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ） A 、等腰三角形的两底角相等 B 、等腰三角形是轴对称图形C 、 等腰三角形是轴对称图形D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 3、如图1-Z-1所示，在△ABC 中，AC=DC=DB ，∠ACD=100°则∠B 等于（ ） A 、50° B 、40° C 、 25° D 、 20°4、如图1-Z-2所示，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需要添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ， 不能添加的条件是（ ）A 、∠B=∠E ，BC=EFB 、BC=EF ，AC=DFC 、∠A=∠D ，∠B=∠E ， D 、 ∠A=∠D ，BC=EF 5、已知：如图1-Z-3所示，m ∥n ，等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹的锐角为 20°则∠a 的度数是（ ）A 、60°B 、30°C 、40°D 、45°6、如图1-Z-4所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于A图1-Z-1CBD DCEBAF图1-Z-2m nAa图1-Z-3BN ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、97、如图1-Z-5所示，在△ABC 中，CD 平分∠ABC ，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC =（ ） A 、80° B 、90° C 、100° D 、110°8、如图1-Z-6所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离 DE=3.8cm ，则线段BC 的长为（ ）A 、3.8cmB 、7.6cmC 、11.4cmD 、11.2cm9、如图1-Z-7所示，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个【课后巩固】10、 如图1-Z-8所示，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD=DE=6cm,， 则∠ACD= °， AC= cm ， ∠DAC= °，△ADE 是 三角形11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是CMCENB A图1-Z-4BD图1-Z-5D B EAC图1-Z-6oyx图1-Z-712、如图1-Z-9，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD= °13、 如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E 的面积是 . 14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是 .15、已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后．点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．若∠1＝60°，AE=1．(1) 求∠2、∠3的度数；(2) 求长方形纸片ABCD 的面积S ．16、已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.17、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .18、已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.AB D OCE 图1-Z-9ABCDE图1-Z-1019、如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BA C.20、如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.【冲击中考】21．（2013•郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°22．（2012•潍坊）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．2523．（2011•贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．724．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7C．8D．925．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.526．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．27．（2007•芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．4。
北师大版八年级数学下册《等腰三角形》三角形的证明PPT课件(第1课时)
问题1、结论（2）用文字如何表述？
B
D
C
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳为什 么？
讲授新课
性质一：
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）.
A
几何书写：
∵AB=AC（已知） ∴ B= C（等边对角）
B
C
讲授新课
推论：
等腰三角形 顶角的平分线、底边上的
2、有哪些相等的角？ ∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠
3、A=这∠两A组BD相等的角之间还有什 么关系？
∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
课堂练习
6 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱
AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
A
解：在△ABC中
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
D
C
又∵∠BAC=100 º
∴∠B=∠C= 180°－∠BAC=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边 上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°
课堂练习
(1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离
相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察
DE与DF的关系，并证明你的结论。
A
已知：在△ABC中，AB=AC.点D
是BC的中点，DE⊥AB于E,
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB, ∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
×10
＝5(cm)．
因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三
边长为5；
在△ABD中， 根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5 ，2，3，则正方形E的面积是( )
因为AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm， 【中考·襄阳】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的
直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面 积为
定理 直角三角形的两个锐角互余. ∴△POE≌△POF.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. D．真命题的逆命题是真命题
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 先写出这个定理的逆命题，再判断逆命题的真假即可．
根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
＝180°－30°－70°＝80°. (3)互逆命题、互逆定理： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流. A．每个定理都有逆定理 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5 ，2，3，则正方形E的面积是( ) 又由方法一知AB＝15， 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的
北师大八年级数学下册三角形证明
初中数学试卷灿若寒星整理制作三角形证明【命题趋势】常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.三角形证明（一）【经典专题突破】例1.如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . （1）求证：ACD BCE △≌△；（2）延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时，求PQ 的长.例2.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC BC <，D 为AB 的中点，DE 交AC 于点E ，DF 交BC 于点F ，且D E D F ⊥，过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G ． （1）求证：AG BF =；（2）若9AE =，18BF =，求线段EF 的长．第1题图例3：如图1，在R t A B C △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，作ABC ∠的平分线交AC 、CD于点E 、F ．（1）求证：CE CF =；（2）如图2，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，若10AC =，4EG =，求CE 的长度．【仿真题型演练】1. 如图，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC CB =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．（1）求证：DF =EF ；（2）试证明△DEF 是等腰直角三角形．2. 已知等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC BC =，点G 在BC 上，连接AG ，过C 作CF ⊥AG ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥CF 于点F ，点D 是AB 的中点，连接DE 、DF ．（1）若30CAG ∠=，EG =1，求BG 的长；第3题图FED CBA第1题图GEC（2）求证：∠AED =∠DFE3. 如图1，已知点D 为等腰直角ABC △内一点，90ACB ∠=，15CAD CBD ∠=∠=，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =． （1）求DCA ∠的大小；（2）若点M 在DE 上，如图2，且DC DM =，求证：ME DB =.4. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=，,D E 为BC 上两点，45DAE ∠=，F 为ABC △ 外一点，且FB BC ⊥，FAAE ⊥。
新北师大版八年级下册《三角形的证明》 (1)
三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等2．下列说法中，正确的是（ ）A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ）A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON （如图5－7），再分别过点M 、N 作OA 、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7【巩固练习】1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?图4－95．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F 为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.【巩固练习】1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°2．下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC 交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．【典型例题】1．下列说法中不正确的是（）A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）A．10°B．°C．15°D．20°3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.【变式练习】1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．646.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．7．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【基础练习】1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5 D．44．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1 B．43C．32D．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6 B．4 C．3 D．26．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A．B．C．4 D．37．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE 交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画△BCD ，使△BCD 的面积=△ABC 的面积（点D 在小正方形的顶点上）． （2）请直接写出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处； （1）求证：B ′E =BF ；（2）设AE =a ，AB =b ，BF =c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明．【变式练习】1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（ ）A ．已知斜边和一锐角B ．已知一直角边和一锐角C ．已知斜边和一直角边D ．已知两个锐角2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．365 B ．1225C ．94D ．43．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定5．已知：如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，M 、D 分别为AB 、MB 的中点．求证：CD ⊥AB ．6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD 是不是直角? 请说明理由．7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．【提高练习】1．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．553．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：Array（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：＞（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．4．如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm56．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC ，使△ABC 为面积为5的直角三角形； （2）在图2中画一个△ABC ，使△ABC 为钝角等腰三角形．7．已知，如图，△ABC 为等边三角形，AE =CD ，AD 、BE 相交于点P ． （1）求证：△AEB ≌△CDA ； （2）求∠BPQ 的度数；（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ =6，PE =2，求BE 的长．【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
最新北师大版初二数学下册第一章 三角形的证明 全单元课件
2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）
北师大八年级数学下册三角形证明
三角形证明
【命题趋势】
常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.
三角形证明（一）
【经典专题突破】
例1.如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边
且在CD 下方作等边CDE △,连结BE .
（1）求证：ACD BCE △≌△；
（2）延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、QC
使5CP CQ ==, 若8BC =时，求PQ 的长.
例2.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，AC BC <，D 为AB 的中点，DE 交AC 于
点E ，DF 交BC 于点F ，且DE DF ⊥，过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G ．
（1）求证：AG BF =；
（2）若9AE =，18BF =，求线段EF 的长．
第1题图 第2题图。
(完整word版)新北师大版八年级下册《三角形的证明》
三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA )角角边(AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等(HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等,对应高相等，对应角平分线相等2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ )A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边距离相等2．下列说法中,正确的是（ )A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC的度数为（)A．40°B．35°C．30°D．25°4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点,且MQ＝NQ．求证：HN＝PM。
5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON(如图5－7）,再分别过点M、N作OA、OB的垂线,交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7【巩固练习】1．下列说法正确的是（)A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B’C'，AD、A’D’分别是ΔABC和ΔA’B’C'的角平分线．（1)请证明AD＝A'D’；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?图4－95．如图4－10,在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD;②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边）等腰三角形的性质:①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ）A．12 B．15 C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（)A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形,那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图,在△ABC中,BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.【巩固练习】1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°2．下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为( ）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9,则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95．如图:E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF;（2）△ABC是等腰三角形．【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等,三个角都是60°．【典型例题】1．下列说法中不正确的是（)A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图,在等边△ABC中,∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）A．10°B．12。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
北师大八年级下册第一章-三角形的证明-知识点汇总
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三角形的证明知识点汇总讲解
知识点1全等三角形的判定及性质
知识点2等腰三角形的性质定理及推论
等腰三角形中的相等线段： 1、等腰三角形两底角的平分线相等； 2、等腰三角形两腰上的高相等； 3、两腰
上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等
知识点3等边三角形的性质定理
知识点4等腰三角形的判定定理
知识点5反证法
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形 的性质定理
推论
等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互
相垂直，简述为：三 线合一
在厶ABC 中，若 AB=AC 则
/ B=Z C
在厶 ABC AB=AC ADL BC, 则
AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分/ BAC
条件：边相等，即 AB=AC 结论：角相等，即/ B=Z C 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一］ 结论：该线也是其他两线
知识点6等边三角形的判定定理
知识点7线段的垂直平分线的性质及判定
实例应用：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（交点是外接圆圆心）知识点8角平分线的性质及判定
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
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D
E
C B A A
B C D
第6题 第7题 第8题 第13题
201-2015第二学期八年级数学《三角形的证明》试卷A 班级 姓名 得分 一、选择题（每题3分，共24分）
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点.
A. 三个内角平分线
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线
D. 三条高
2．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ）
A.24cm 2
B.30cm 2
C.40cm 2
D.48cm 2
3．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）
A ．7㎝
B ．9㎝
C ．12㎝或者9㎝
D ．12㎝ 4. 面积相等的两个三角形（ ） A.必定全等 B.必定不全等 C.不一定全等 D.以上答案都不对 5．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 6. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ， 则∠A 的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.45°
D.70°
8．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论
①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每题3分，共24分）
9.“等边对等角”的逆命题是______________________________．
10．已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = .
11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
，腰长为6，则其底边上的高是 。
13.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝2cm ，则AC= . 14．Rt ⊿ABC 中，∠C=90º，∠B=30º，则AC 与AB 两边的关系是 ， 15．在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 16．在△ABC 中，∠A=40°，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 与D ，则∠DBC 的度数为 ． 三.基础题（每题6分，共36分）
17.如图，在△ABD 和△ACD 中，已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ；
19.如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB .
20．如图，DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ．
21.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上.
D A B
C 22.如图，ABC ∆中，DE A AC AB ，， 50=∠=是腰AB 的垂直平分线，求DBC ∠的度数。
四、提高题（每题8分，共16分） 23.作图题：在下图△ABC 所在平面中，
（1）作距△ABC 三边距离相等的点P ； （2）作距△ABC 三个顶点距离相等的点Q.
24. 如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=BC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BD=1，求DC 的长.
五.综合题（每题10分，共20分）
25.如图，已知： D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
26．如图，在△ABD 和△ACE 中，有四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ． 以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。
已知： . 求证： . 证明：。