最新2.3.2-等差数列前n项和的性质与应用导学案

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高中数学：人教A版 2.3.2 等差数列(习题课)学案

2.3.3 等差数列(习题课)-----学案一、学习目标 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)二、自主学习教材整理等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1.n ≥2 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．做一做：1．下列说法中正确的有________(填序号)．(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.(3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S n n为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd .(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S 2n －1＝a 1＋a 2n －12n －12＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n .【★答案★】 (1)(3)(4)三、合作探究探究1：由数列的前n 项和S n 求a n例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】【自主解答】根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 由此可知：数列{a n }是以32为首项，以2为公差的等差数列．归纳总结1．已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n 项和S n 求a n 的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．探究2：等差数列前n 项和的性质应用例2. (1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( )A ．9B ．12C ．16D ．17(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，a 17＋a 18＋a 19＋a 20能构成等差数列．(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．(3)解决本题关键是如何将a n 转化为用等差数列的前(2n －1)项的和表示．【自主解答】 (1)由题意知：S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列．即1,3,5,7,9，a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10. 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a 1，公差为d .依题意可列方程组⎩⎨⎧ n ＋1a 1＋n n＋12×2d ＝132，na 2＋n －1n 2×2d ＝120，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1a 1＋nd ＝132，n a 1＋nd ＝120，所以n ＋1n ＝132120，即n ＝10. (3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 【★答案★】 (1)A (2)10 (3)53探究3：等差数列前n 项和S n 的函数特征探究1 将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －1×32＝32n 2＋12n ，显然S n 是关于n 的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d 2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．探究2 已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？【提示】 S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．例3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，(1)求{a n }的通项公式；(2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S ′n .【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．【自主解答】 (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧ 33n －n 2n ≤17，n 2－33n ＋544n ≥18. 归纳总结1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．四、学以致用1．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1；当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5)＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5＝4n －5.此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1，故a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104. (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3.所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 【★答案★】 (1)104 (2)753．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋10－1×d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3. (1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n <0，∴n >533，∴从第18项开始为负． (2)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53－3n 1<n ≤17，3n －53n >17.当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n >17时， S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，S n ′＝－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，∴S n ′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n n ≤17，32n 2－1032n ＋884n >17.五、自主小测1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________.4．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为________．5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .(1)求数列 {a n }的通项a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值.参考★答案★1.【解析】由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.【★答案★】 B2.【解析】由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，求得d ＝3，故选C. 【★答案★】 C3.【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因为a 1＝1适合a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1.【★答案★】 2n －14.【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.【★答案★】－15.【解】 (1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∵n ＝1也适合，∴a n ＝4n －32，n ∈N *.(2)法一：S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 法二：∵a n ＝4n －32，∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0，当n ≥9时，a n >0. ∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。

等差数列前n项和导学案

2.3等差数列的前n 项和【重点】探索并掌握等差数列的前n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系.【难点】等差数列前n 项和公式推导思路的获得.【目标1】等差数列知识回顾；1、等差数列}{n a 中，通项公式n a =d n a )1(1-+ = d m n a m )(-+ = ),(为常数q p q pn +2、序号性质：等差数列}{n a 中，若⇒+=+q p n m q p n m a a a a +=+（该式反之不一定成立）3.在等差数列}{n a 中，n a a +1 =1-2n a a + = 2-3n a a + = …【目标2】探索并掌握等差数列的前n 项和公式；1、对于数列}{n a ，一般地称n a a a a +⋅⋅⋅+++321为数列}{n a 的前n 项和，用n S 表示，即2、=nS n a a a a +⋅⋅⋅+++321，特别地，有=1S 1a ，=1--n n S S n a .3、200多年前，高斯在小学时就告诉了我们： 1+2+3+…+100= 据此，猜想① 1+3+5+7+…+99= ② 1+2+3+4+…+n= ③等差数列}{n a 中，n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321=你能对以上公式进行严格验证吗？【落实1】高斯算法的精妙之处在于蕴含了等差数列前n 项和的一般规律性（配对思想）2、等差数列}{n a 前n 项和公式为=n S2)(1n a a n + = d n n na 2)1(1-+ =),(2为常数B A Bn An +3、探索过程中你使用了从特殊到一般的数学思想，从中知道求等差数列前n 项和的方法有倒序相加法、公式法、猜想归纳…….【目标3】学会用公式解决一些实际问题. 练一练，你能行：已知等差数列}{n a 中，（1）已知18,481-=-=a a ，求8S ；（2）已知2272-=+a a ，求8S ；（3）已知10023,21===n n S a a ，，求d ；（4）若40,19552==+S a a ，求10a .试一试，挑战自我：等差数列}{n a 中，（1）已知3020101220310S S S ，求，==；（2）已知m m m S S S 321220310，求，==.【落实2】1、求等差数列前n 项和，要根据条件灵活选用公式；2、等差公式中有n n S a n d a ,,,,1五个基本变量，已知其中任意三个，可求另外两个的值，即知三求二，从中学到的解题方法有公式法、解方程组法、基本变量法，序号性质的应用等【落实3】1、你得到了等差数列哪些有趣的性质：m m m m m S S S S S 232,,--成等差数列2、根据此题，你得到了哪些求等差数列前n 项和方法:。

《等差数列的前n项和》导学案

《等差数列的前n项和》导学案（一）1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

（1）阅读教材42---44页，回答预习案中的问题，并完成预习自测.（2）将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.我的疑惑：复习旧知1、等差数列的定义：2、数学表达形式：3、等差数列的通项公式：（1）（2）4、等差数列的性质：二、感受新知1、上下求索路思考：如何计算1+2+3…+100的值？小组合作交流问题（1）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（2）：如何推导等差数列的前n项和公式？2、知识直通车（1）数列的前n项和定义：（2）等差数列的前n项和公式：公式1：公式2：3、实践训练营例1 求等差数列22,24,26,…前30项的和。

例2、已知一等差数列有12项，小试牛刀.,412112Saa求=+（1）已知一等差数列，（）A.45B.60C.90D.120（2）已知一等差数列， ( )A.-11B.-22C.0D.224、温馨回眸情（1）本节课学到了哪些知识？（2）你觉得本节课的难点是什么？5、课后作业必做题：教材 46页习题2.3 A 组1题和2题选做题：教材 46页习题2.3 B 组1题6、拓展应用探究：等差数列前n 项和与二次函数的关系==95,10s a 则=-=++11963s ,6则a a a n s一般地，如果一个数列的前n 项其中p,q,r 为常数，其中，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？7、课后反思 {}n ar qn n n ++=2p s 0p ≠。

高中数学等差数列的前n项和第二课时导学案

教学重点等差数列的性质。

教学难点等差数列前n项和的最值问题。

教学过程：
一、书读万变
证明如下：
二、入木三分
如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
三、授人以渔
题型一 a n 与S n 的关系
S n的性质
题型二
题型三最值问题
四、课后巩固
1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋1，则a1＝()
A．0B．1
C．2 D．3
2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＝35，则a4＝()
A．8 B．7
C．6 D．5
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()
A．5 B．4
C．3 D．2
4．若数列a1，a2，…，a10为等差数列，S10＝140，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝125，求a6.
五、教学反思。

2.3等差数列的前n和(导学案) - 副本

等差数列的前n项和（一）教学目标：1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程：一、复习：1．等差数列的定义：2．等差数列的通项公式：3．几种计算公差d的方法：4．等差数列的性质：二、新课1、创设情景泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有200层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2、分组探究（1）数列的前n项和的定义（2）如何计算1+3+5+7+9+11+13=？（3）１+２+３+…+100=？我们能否快速求和？如何求？（4）如何计算１+２+３+…+n=？（5）上面三个式子各自的数字和计算有什么共同点？思考：等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ，如何计算?321=+⋅⋅⋅+++n a a a a结论：3、例题讲解例1：已知{a n }为等差数列（1）a 1=3,a 50=101,求s 50; （2）a 1=3,d=1/2,求s 10 ；例2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？4、巩固练习根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n｝的s n(1)a１=5,a n=95,n=10 (2)a1=100,d=－2,n=50（3）S2=7,S7=775、归纳小结6、课后作业：7、课后思考：若已知{a n}的前n项和S n=3n2+4n能否求出{a n}的通项公式，并判断该数列{a n}是否为等差数列。

等差数列前n项和公式导学案(二)

第 1 页共 2 页等差数列的前n 项和（二）一、等差数列的前n 项和的性质 1、当公差d ≠时，前n和2111(1)()222n d ds na n n d n a n =+-=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2、在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）。

3、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则232,,k k k k k S S S S S -- ，…也成等差数列。

4、若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-.5、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则数列n s n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列。

例1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，(1)若S 9＝18，则a 12= ；(2)若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝_______.变式练习1、(1)已知一等差数列中a 7=10，则s 13=（） A 、45 B 、60 C 、 90 D 、120(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.例2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S nn，那么66a b = ；=nn b a 。

变式练习2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若313n nS n T n -=+，那么77a b = ；=nn b a 。

例3、等差数列{a n }的前5项和为30，前10项和为100，则它的前15项和为（）A.130B.170C.210D.260变式练习3、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知100s =，1525s =，则5s的值为________.巩固练习1.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知77521a S ==，，则 10S = (A).40 （B ）35 （C ）30 （D ）282.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=（） A ．58 B.88 C ．143 D ．173.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若44a b =6，77S T = .4.在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012S S -=，则2013S 的值等于（） A.2013- B ．2012- C ．2012 D ．2013 5.已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n，S10=10 ，S 30=70，则S 40等于。

2.3.2等差数列前n项和性质及应用

已知 a3 24, s11 0 求： ①数列 an 的通项公式
例４设等差数列an 的前n项和为 s n,
s ②当n为何值时， n 最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn n (a1 )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
Sn 7n 1 别是Sn和Tn,且 Tn 4n 27
a5 an 求和 . b5 bn a5 64 b5 63 an 14n 6 bn 8n 23
等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= 10 . 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
则Sn的图象如图所示又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
等差数列的前n项的最值问题例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2

2.3等差数列的前n项和导学案

2.3《等差数列的前n项和》导学案一、【学习目标】1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式求和，学会观察、归纳、反思2、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，二、【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.三、【本节难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题【知识导学】一、复习等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质二、合作探究1、新知合作探究问题（1）：如何计算1+2+3…+100的值？问题（2）：如何计算1+2+3+…+n的值？问题（3）：如何推导等差数列的前n项公式？2、新知归纳总结1．数列的前n项和定义：2．等差数列的前n项和公式公式1：公式2：例1、一堆钢管共10层，第一层钢管数为1，第十层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？练习：课本45页练习1例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例3 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？例4已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？练习：（课本45页练习2）已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 例5 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.练习：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.三、课堂小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d d S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.。

2.3.2等差数列的前n项和导学案

白城实验高中高二数学必修5 编号： 5 编制人：张晶审批人：冯淑君包科领导：张晶 2012年月日班级小组学生姓名评价第二章数列§2.3.2等差数列的前n 项和【学习目标】1.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题.2.记住有关等差数列前n 项和的性质，解题时灵活应用。

【重点难点】重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式、性质解决相应的实际问题.【学法指导】本课性质较多，解题时灵活应用这些技巧有时可以达到简化运算，事半功倍的效果。

但是记不住这些性质也可以解题。

所以请大家尽量掌握，勿死记硬背。

【自主探究】1. 等差数列的前n 项和公式：2.等差数列的前n 项和的性质（1）),(n 2为常数项和是等差数列的前B A Bn An s s n n +=⇔ （2）成等差数列。

，等差数列中，......,232k k k k k s s s s s -- （3）)).((,,n m m n n m n m S n S m S ≠+-===+则等差数列中，若（4）.,,}{b },{1212n n n --=n n n n n B Ab a B A n a 则项和分别为为等差数列，前若（5）项数为2n 的等差数列中，..-1+==n n a aS S nd S S 偶奇奇偶（6）项数为2n-1的等差数列中，.-n a S S =偶奇(8) .}{}{n 是等差数列。

为等差数列，则若nsa n 请同学们试着证明以上的性质，你还能发现其他的性质吗？【典型例题】例1：等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B ．170C ．210D ．260例2：在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.例3：已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5变式：一个等差数列前12项的和为354，其中奇数项的和与偶数项的和之比为32:27,求公差d 。

等差数列的前n项和导学案

等差数列的前n 项和班级：姓名：小组：【教学目标】1、了解等差数列的前n 项和公式的推导过程2、掌握等差数列的前n 项和公式，并能够熟练的运用3、通过公式的推导，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的综合推理能力【研学流程】一【学】1、等差数列的前n 项和公式的推导2、等差数列前n 项和公式：()21n n a a n S += ()211d n n na S n -+= 21+=n n na S ()*∈N n 及运用二【交】交流以下问题：1、可以用哪些方式来推导等差数列的前n 项和公式2、结合等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式解决相关的问题三【展】1、等差数列的前n 项和公式课通过两种方式进行推导2、结合等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式解决问题四【导】1、创设情境，引入课题200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：？=++++100321当其他同学忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：()()()()50505010151509839921001=⨯=++++++++2、等差数列的前n 项和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .n n a a a a S ++++= 321 ①121a a a a S n n n n ++++=-- ②①+②得：()()()()()n n n n n n a a n a a a a a a a a S +=++++++++=--11231212()21n n a a n S += 又因()d n a a n 11-+=，所以()[]2111d n a a n S n -++=则()211d n n na S n -+= 注：当n 为奇数时，21+=n n na S例1、已知等差数列{}n a ，首项为11=a ，公差为2=d ，求{}n a 的通项公式及前n 项和为n S .解：在等差数列{}n a ，11=a ，2=d∴()1211-=-+=n d n a a n()()[]22121212n n n a a n S n =-+=+= 或()()2122121n n n n d n n na S n =⋅-+=-+= 例2、已知等差数列{}n a 的前10项和31010=S ，前20项和122020=S ，求{}n a 的前n 项和n S .解： 31010=S ，122020=S∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+641220190203104510111d a d a d a ∴()()n n n n n d n n na S n +=⋅-+=-+=213261421 例3、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 212+=，求{}n a 的通项公式. 解： n n S n 212+= ∴当1=n 时，2311==S a 当2≥n 时，()()21231211221+-=-+-=-n n n n S n 2121-=-=-n S S a n n n当1=n 时，231=a 满足212-=n a n ∴{}n a 的通项公式为212-=n a n 五、【用】1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S ：（1）8,18,481=-=-=n a a ；（2）32,7.0,5.141===n a d a ；2、已知数列{}n a 的前n 项和332412++=n n S n ，求这个数列的通项公式. 3、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的的有关未知数：（1）999,54,201===n n S a a ，求d 及n ；（2）629,37,31===n S n d ，求1a 及n a ；（3）5,61,651-=-==n S d a ，求n 及n a ；（4）10,15,2-===n a n d ，求1a 及n S4、已知数列{}n a 是等差数列，n S 是前n 项的和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列.5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，63=a ，123=S ，求数列{}n a 的通项公式。

2.3.2等差数列的前n项和

2.3.2等差数列的前n 项和学习目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学习重点：熟练掌握等差数列的求和公式学习难点：灵活应用求和公式解决问题课堂过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 3.n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值二、例题讲解例1 .求集合M ={m |m =2n －1,n ∈N *,且m ＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n －1＜60,得n ＜261,又∵n ∈N * ∴满足不等式n ＜261的正整数一共有30个. 即集合M 中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以1a =1, 30a =59,n =30的等差数列.∵n S =2)(1n a a n +,∴30S =2)591(30+=900. 答案：集合M 中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和分析：满足条件的数属于集合，M ={m |m =3n +2,m ＜100,m ∈N *}解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M ={m |m =3n +2,m ＜100,n ∈N *}由3n +2＜100,得n ＜3232,且m ∈N *, ∴n 可取0，1，2，3， (32)即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8， (98)它们可组成一个以1a =2,d =3, 33a =98,n =33的等差数列.由n S =2)(1n a a n +,得33S =2)982(33+=1650. 答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：⑴6S ，12S -6S ，18S -12S 成等差数列；⑵设k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）成等差数列证明：设{},n a 首项是1a ，公差为d则6543216a a a a a a S +++++=∵121110987612a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(654321d a d a d a d a d a d a +++++++++++=d S d a a a a a a 3636)(6654321+=++++++=1817161514131218a a a a a a S S +++++=-)6()6()6()6()6()6(121110987d a d a d a d a d a d a +++++++++++=d a a a a a a 36)(121110987++++++=d S S 36)(612+-=12186126,,S S S S S --∴是以36d 为公差的等差数列同理可得k k k k k S S S S S 232,,--是以2k d 为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得4S =24, 5S －2S =27则设等差数列首项为1a ,公差为d ,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--+=-+27)2)12(22()2)15(55(242)14(44111d a d a d a解之得：⎩⎨⎧==231d a ∴n a =3+2（n －1）=2n +1. 2．两个数列1, 1x , 2x , ……,7x , 5和1, 1y , 2y , ……,6y , 5均成等差数列公差分别是1d , 2d , 求21d d 与621721y y y x x x ++++++ 的值解：5＝1＋81d , 1d ＝21, 又5＝1＋72d , 2d ＝74, ∴21d d ＝87; 1x +2x +……+7x ＝74x ＝7×251+＝21, 1y +2y + ……+6y ＝3×(1＋5)＝18,∴ 621721y y y x x x ++++++ ＝67. 3．在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值解法1：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －15＝1a ＋9, 1a ＝－24,∴ n S ＝－24n ＋2)1(3-n n ＝23[(n －651)2－36512], ∴ 当|n －651|最小时，n S 最小，即当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小.解法2：由已知解得1a ＝－24, d ＝3, n a ＝－24＋3(n －1),由n a ≤0得n ≤9且9a ＝0,∴当n ＝8或n ＝9时，8S ＝9S ＝－108最小.四、小结1、等差数列前n 项和的公式11()2(1)d 2,,,,n n n n n a a S n n S na d S n +=-=+1n 11n 当知道首项a 和末项a 时用当知道首项a 和公比时用a a d 知三求二2、公式的灵活运用五、课后作业：课后作业：课本54页习题2.4 B 组 1—4.。

高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》导学案

第2课时等差数列前n 项和的性质及应用1.等差数列前n 项和公式的函数特点若等差数列{a n }(d ≠0)的前n 项和表示为S n ＝pn 2＋qn ＋r 的形式，则系数p ，q ，r 的取值特点为□01p ，q ，r 均为常数且p ≠0，r ＝0. 2．等差数列前n 项和的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为□02负项(或0)，所以将这些项相加即得S n 的最□03小值； (2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为□04正项(或0)，所以将这些项相加即得S n 的最□05大值． 3．等差数列的常见性质(1)等差数列{a n }公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，(m ∈N *)是□06等差数列，其公差等于□07md . (2)等差数列的项数若为2n (n ∈N *)项，则S 2n ＝□08n (a 1＋a 2n )且S 偶－S 奇＝□09nd ，S 奇S 偶＝□10a na n ＋1. (3)等差数列的项数若为2n ＋1(n ∈N *)项，则S 2n ＋1＝□11(2n ＋1)a n ＋1且S 奇－S 偶＝□12a n ＋1，S 奇S 偶＝□13n ＋1n . (4)若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)数列{a n }为等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0则该数列S n一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围为________．(4)(教材改编P 29例1)13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 (4)215探究1 等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．解解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝30，S2m ＝2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2，所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.拓展提升等差数列前n 项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n ；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．【跟踪训练1】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A解析由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.故选A.探究2 等差数列的奇(偶)项和问题例2 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项，公差，项数．解解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝24，S 偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k (a 1＋a 2k －1)＝24，12k (a 2＋a 2k)＝30，(2k －1)d ＝212，所以⎩⎪⎨⎪⎧k [a 1＋(k －1)d ]＝24，k (a 1＋kd )＝30，(2k －1)d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4， ∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a 2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧ kd ＝6，(2k －1)d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32. ∴首项为32，公差为32，项数为8. 拓展提升等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n (S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 是数列的中间项)，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.【跟踪训练2】 (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d .解 (1)等差数列{a n }共有1006个奇数项，1005个偶数项， ∴S 奇＝1006(a 1＋a 2011)2，S 偶＝1005(a 2＋a 2010)2.∵a 1＋a 2011＝a 2＋a 2010， ∴S 奇S 偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S 奇＝13×75＝25，偶数项和S 偶＝23×75＝50，又S 偶－S 奇＝10d ， ∴d ＝50－2510＝2.5.探究3 等差数列前n 项和的最值问题例3 等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．解由题意可知：a 1＝25，S 17＝S 9，则17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，d ＝－2.解法一：S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大，最大值是169. 解法二：S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d <0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S 13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大．最大值为169. 解法四：∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0.得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小．拓展提升求解等差数列前n 项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．【跟踪训练3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负．∴数列前6项和最大．探究4 等差数列前n 项和的比例问题例4 (1)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项和的比为32∶27，求该数列的公差d .答案 (1)6512 (2)见解析解析 (1)解法一：a 5b 5＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)．则a 5＝S 5－S 4＝65t ，b 5＝T 5－T 4＝12t . 故a 5b 5＝65t 12t ＝6512.(2)利用等差数列前n 项和的性质求解．⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192.S 奇＝162. 因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？答案 6516解析 S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt ，∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516. 拓展提升解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理．【跟踪训练4】若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n.解解法一：∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝dn 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又A n B n ＝7n ＋14n ＋27，∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)， b n ＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)． ∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，亦成立．[规律小结]等差数列前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数的关系来解决问题，即：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是：n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．[走出误区] 易错点⊳分析问题不严密致误[典例] 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解档案] 设公差为d ，∵S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得60d ＝－100，即d ＝－53， ∴a n ＝20－(n －1)×53，当a n >0时，20－(n －1)×53>0， ∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大， S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[误区警示] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[规范解答] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0.∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.[名师点津] 求等差数列前n 项和最值的关键是分清正负项，找准正负项的分界点，尤其是数列中含有零项时，注意答案的全面性.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12 答案 A解析 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1.2．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 C解析 ∵S 23＝23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ＝S 10，化简得，13(a 1＋16d )＝0，∴2a 1＋32d ＝0，即a 1＋7d ＋a 1＋25d ＝0，即a 8＋a 26＝0，∴k ＝26，故选C.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23 答案 C解析由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3， a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案 24解析 ∵{a n }是等差数列，由S 9＝72，得S 9＝9a 5，a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．解依题意得，S nn ＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：基础巩固练一、选择题1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝9S 3，则{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n ＋1 D ．a n ＝4n ＋2 答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 9＝9S 3得9a 1＋36d ＝9(3a 1＋3d )，化简得d ＝2a 1，若a n ＝4n －2，则d ＝4，a 1＝2，适合题意，B ，C ，D 均不适合，故选A.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( )A ．36B ．18C ．72D ．9 答案 A解析由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知：S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×(－6＋18)2＝36.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9 答案 C解析因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.4．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列答案 C解析设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．二、填空题5．已知四个数成等差数列，S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d ＝________. 答案 8解析设首项为a 1，公差为d ，则由a 2∶a 3＝1∶3得a 1＋da 1＋2d＝13，∴d ＝－2a 1，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，d ＝8.6．在等差数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn (n ∈N *)，其中a ，b 均为常数，则ab ＝________.答案－1解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a n ＋1－a n ＝4.∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－12n .∴a ＝2，b ＝－12，故ab ＝－1.7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n＝________.答案 10解析 (a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2) ＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31. 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝155，∴31n2＝155⇒n ＝10. 三、解答题8．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解 (1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18. 9．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足：(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ① n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ② 由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)，当n 为偶数时，T n ＝＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n .综上所述，T n ＝(－1)n ·n .B 级：能力提升练1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9 答案 C解析 a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *，由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)2×5，解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解 (1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列．由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又∵b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3. ∵b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5.∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. ∵n 增大时，T n 增大，∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.若T n >k57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13>k57，∴k <19，则k max ＝18.。

《等差数列的前 n 项和》导学案

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。

2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。

3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。

2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。

三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。

2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。

（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。

四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。

有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。

高斯很快就得出了答案 5050。

他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。

这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。

则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。

04等差数列前n项和的性质及应用教学设计

等差数列前n项和的性质及应用教学设计课题名称等差数列前n项和的性质及应用课时计划：1课时第1课时授课日期：教学目标1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n 项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n 项和的性质．重点难点1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质．教学方法教师讲授，学生主导，师生互动科组模式板书设计作业布置课后反思等差数列前(1)在等差数列1．设等差数列等差数列，且公差为5．已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，则a nb n＝S2n－1T2n－1，a mb n＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1.例3(1)已知S n，T n分别是等差数列{a n}与{b n}的前n项和，且S nT n＝2n＋14n－2(n＝1,2，…)，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15等于()A.11 20B.4178C.4382D.2342(2)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.跟踪训练3(1)等差数列{a n}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于()A．12B．18C．24D．30(2)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求公差d.1．知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用．(2)等差数列前n项和的最值问题．(3)等差数列前n项和性质的应用．2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．常见误区：(1)忽视最值问题中n的个数．(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．。

高中数学 2.3.2等差数列的前n项和(二)导学案新人教版必修3

2. 3 .2等差数列的前n 项和（二）[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 [自主学习]1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n2．等差数列前n 项和公式 S n ＝＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．探究点一数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项和S n 取到最值时序号n 的规律. 序号等差数列基本量前n 项和S nS n 的最值1 1,3,5,7,9，…， a 1＝， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝1，此时n ＝ .2 －5,－3，－1,1,3， …， a 1＝， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝，此时n ＝ 3 4,2,0,－2，－4，…， a 1＝， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝，此时n ＝ 4－1,－2，－3,－4，－5，…， a 1＝， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝，此时n ＝通过上面的例子，我们看到等差数列前n 项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a 1＞0，d ＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最值． (2)若a 1＜0，d ＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最值；特别地，若a 1＞0，d ＞0，则S 1是{S n }的最值;若a 1＜0，d ＜0，则S 1是{S n }的最值．【典型例题】例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .跟踪训练1 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n，求a n.例2 在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值例3 若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.跟踪训练3 已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|} 的前n项和T n.[达标检测]1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a n等于( )A．n B．n2C．2n＋1 D．2n－12．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )A．－2 B．－1 C．0 D．13．设数列{a n}的通项为a n＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 练习题一、基础过关1．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－1，则a4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n3，则a5＋a6的值为 ( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n(n ∈N*)，则通项an ＝________. 6．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求Sn 的最小值及对应的n 值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为( )A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．。

用2.3.2等差数列前n项和的性质推导

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9
＝(n＋m)[－d2(n＋m－1)－1＋n＋m2－1d] ＝－(n＋m)．性质(4) ∵Sm＝Sn，∴ma1＋mm2－1d＝na1＋nn－2 1d ∴a1＋d2(m＋n－1)＝0，
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10
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm2＋n－1d
＝(m＋n)[a1＋d2(m＋n－1)]＝0.
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7
同
理
：
S3k
－S2k
＝k(a1
＋2kd)
＋
kk－1 2
d
＝ka1
＋kk－2 1d
＋
2k2d，
∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，构成等差数列，且公差为 k2d.
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8
性质(3) Sn＝na1＋nn－2 1d＝m. Sm＝ma1＋mm2－1d＝n. 两式相减得：
∴(n－m)a1＋d2[(n2－n)－(m2－m)]＝m－n， ∴a1＝－d2(n＋m－1)－1， ∴Sn＋m＝(n＋m)a1＋n＋mn2＋m－1d
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12
∴S 偶＝n(a1＋d)＋nn－2 1·2d＝na1＋n(n－1)d＋nd. S 奇＝na1＋nn－2 1·2d＝na1＋n(n－1)d. S 偶－S 奇＝nd. SS奇偶＝nan1＋a1＋nnn－n－1d1＋dnd＝a1＋a1＋n－nd1d＝aan＋n 1.
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13Βιβλιοθήκη 性质(7)从略．性质(8) ∵Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n， ∴当 a1>0，d<0 时，d2<0，a1－d2>0. 而抛物线的顶点横坐标为－a1－d d2>0，开口向下．所以此时 Sn 存在最大值．
10若s教材45页例4要注意从函数的角度来看待等差数列注意知识之间的衔接联系一方面可从二次函数最值来讨论另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察注意体会这种多角度全方位看问题的方法

人教版高中数学必修五探究式导学案2：2.3.2等差数列的前n项和(二)

2.3.2 等差数列的前n 项和（二）等差数列前n 项和的性质【学习目标】1．进一步熟练掌握等差数列的前n 项和公式； 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题； 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 【重、难点】重点：等差数列的前n 项和公式；难点：理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 【新知探究】探究一. 数列前n 项和 S n 与 a n 的关系问题1. 根据数列前n 项和的定义，你能用 S n 表示 a n 吗？答：当 n =1 时，a 1=S 1；当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1 .例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12 n ，求数列{a n }的通项公式．【解析】由题意 S n =n 2＋12 n (n ≥1) ………… ① S n−1=(n −1)2＋12( n −1) (n ≥2)………… ②∴ 当 n ≥2 时，由①−②得 a n =2n −12 ………… ③ 又当 n =1 时，a 1=S 1=32. 也满足③式. ∴ 数列{a n }的通项公式为 a n =2n −12【注】该数列是以 32 为首项，公差为2的等差数列．变式1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋ 12n +1，求数列{a n }的通项公式．【解析】由题意 S n =n 2＋12 n +1 (n ≥1) ………… ① S n−1=(n −1)2＋12( n −1)+1 (n ≥2) ………… ②∴当n≥2时，由①−②得a n=2n−12…………③又当n=1时，a1=S1=52. 显然不满足③式.∴数列{a n}的通项公式为a n={52，n=12n−12，n≥2.变式2. 已知数列{a n}满足a1＋2a2＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)，求a n.【解析】令b n＝na n，则{b n}的前n项和S n＝b1＋b2＋…＋b n＝n(n＋1)(n＋2)，当n=1时，b1＝S1＝6；当n≥2时，b n＝S n－S n－1＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)·n·(n＋1)＝3n(n＋1)．显然，b1＝6也适合∴b n＝3n(n＋1) ∴a n＝3(n＋1)【解题反思】如何由数列的前n项和S n= f(n)求数列的通项a n？答：解题时要分类讨论：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1；（2）当n＝1时，a1＝S1. 最后再验证a1是否符合a n，若符合，则统一用一个解析式表示，否则就要写成分段式.但要注意以S n的展开式表示的前n项和，比如变式2 .探究二. 等差数列前n项和与二次函数的关系问题2.（1）等差数列{S n}的通项公式S n=na1+ n(n−1)2d与二次函数有什么关系？（2）若数列{S n}的通项公式是二次函数S n=pn2+qn+r，其中p≠0，q为常数，那么这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？答：（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：S n=d2n2+(a1−d2)n显然，当d≠0时，S n是关于序号n的二次函数，其图像是抛物线f(x)＝d2x2+(a1−d2)x上一系列孤立的点，d决定了该抛物线的开口方向.（2）∵S n=pn2+qn+r(n≥1)…………①S n−1=p(n−1)2+q(n−1)+r(n≥2)…………②∴当n≥2时，由①−②得a n=2pn+q−p…………④又当n=1时，a1=S1=p+q+r. …………③∴当r=0时，③式也适合④式，则a n=2pn+q−p；当r≠0时，③式不适合④式，则a n={p+q+r2pn+q−p.由等差数列与一次函数的关系，当r=0时，{a n}是等差数列；当r≠0时，{a n}不是等差数列 .例2．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解析】（方法一）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n =na 1+n(n−1)2d .由已知得{10a 1+10×92d =100 100a 1+100×992d =10，解得{a 1=1099100d =−1150∴ S 110=110×1099100+110×1092×(−1150)=−110（方法二）设S n ＝an 2＋bn .∵ S 10＝100，S 100＝10， ∴ {102a +10b =100 1002a +100b =10 ，解得{a =−11100 b =11110∴ S n =−11100n 2+11110n ∴ S 100=−11100×1102+11110×110=−110【解题反思】如何求涉及等差数列前n 项和的综合问题？答：涉及等差数列前n 项和的综合问题，可以用基本量求解，也可以用待定系数法求解.变式2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【答案】1092探究三. 等差数列前n 项和的最值问题3. 根据二次函数的图像和性质，讨论S n 何时有最大值？何时有最小值？答：根据等差数列前n 项和与二次函数的关系和二次函数的性质，（1）当d > 0时，S n 有最小值；（2）当d < 0时，S n 有最大值.特别地，当a 1>0，d <0 时，数列的前若干项为正数，把这些项相加即得{S n }的最大值．当a 1<0，d >0 时，数列的前若干项为负数，把这些项相加即得 {S n } 的最小值；例3. 等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．【解析】（方法1）由a 1＝25，S 17＝S 9得17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∴ S n ＝25n ＋n(n−1)2×(−2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数的图像和性质，该数列前13项之和最大，最大值是169. （方法2）由a 1＝25，S 17＝S 9得17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.由S 17＝S 9 得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0 ∴ a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. 又 a 1＝25>0 ∴ a 13>0，a 14<0. ∴ S 13最大，最大值为169. （方法3）由a 1＝25，S 17＝S 9得17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∵ a 1＝25>0由{a n =25−2(n −1)≥0a n+1=25−2n ≤0 ，得272≤n ≤252 又 n ∈N ∗ ∴ 当n ＝13时，S n 有最大值169.【解题反思】怎么求等差数列前n 项和S n 的最值？答：(1)用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝An 2＋Bn ，通过配方或求二次函数最值的方法求得．(2)在等差数列中有关S n 的最值问题除了借助二次函数图象求解，还常用邻项变号法来求解，即 ① 当a 1>0，d <0时，满足{a n ≥0a n ≤0的项数n ，使S n 取最大值；② 当a 1<0，d >0时，满足{a n ≤0a n ≥0的项数n ，使S n 取最小值．变式3. 已知等差数列{a n }，a 2＝3，a 4＝－5，求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最大值．【解析】∵ 在等差数列{a n }中，d =a 4−a 22=−4，a 1＝a 2－d ＝7，∴ S n =na 1+n(n−1)2d ＝－2n 2＋9n ＝－2(n －94)2＋818.又 n ∈N ∗ ∴ 当n ＝2时，S n 的最大值是10.。

高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)导学案新人教版必修5

学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究nS的最大（小）值.学习过程一、课前准备复习1：等差数列{na}中，4a＝－15，公差d＝3，求5S.复习2：等差数列{na}中，已知31a=，511a=，求na和8S.变式：已知数列{}na的前n项为212343nS n n=++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项na和前n项和nS关系为na=11(1)(2)n nS nS S n-=⎧⎨-≥⎩，由此可由nS求na.例2 已知等差数列2454377，，，....的前n项和为nS，求使得nS最大的序号n的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 动手试试练习；已知232n S n n =+，求数列的通项n a .※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =- 2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .。

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B
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()
A．9 B．8 C．7 D．6
10．设等差数列的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
知识点三:等差数列前n项和的最值
思考:我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝ n2＋(a1－ )n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
梳理:等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
12．数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝ (n∈N*)，求数列的通项公式an.
13．已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn＝ (an＋2)2.
(1)求证{an}是等差数列；
(2)设bn＝ an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来学习难点等差数列前n项和性质的理解
学习过程
学习过程【导、探、议、练】
备注
导
知识点一:数列中an与Sn的关系
思考:已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?
梳理:对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝
知识点二：由数列的Sn判断数列的类型
梳理:由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋ d＝ n2＋(a1－ )n.令A＝，B＝a1－，则Sn＝____________，所以Sn是关于n的常数项为0的______函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的________函数，那么这个数列也是______________数列．
练
A
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于()
A．7B．8C．9D．17
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()
A．11或12B．12
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
8．已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
类型三:求等差数列前n项的绝对值之和
例3:若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
附件（二）：调查问卷设计
§8-2购物环境与消费行为2004年3月20日
秘诀：好市口＋个性经营
（4）信息技术优势
跟踪训练3:已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．
C．13D．12或13
4．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
5．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是________．
引申探究:例1中前n项和改为Sn＝n2＋ n＋1，求通项公式．
跟踪训练1:已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
类型二:等差数列前n项和的最值
例2:已知等差数列5,4 ，3 ，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．
跟踪训练2:在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．
3.3.2等差数列前n项和的性质与应用导学案
设计
高二数学组
审核
高二数学组
授课人
课型
新授课
年级
高二
班级
小组
姓名
学习课题
使用时间
年月日第节
第课时
累计课时
学习
目标
1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式
2、会解等差数列前n项和的最值问题
3、理解an与Sn的关系，能根据Sn求an
学习重点
等差数列前n项和的性质及应用；求等差数列前n项和的最值
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
探-议
类型一:已知数列{an}的前n项和Sn求an
例1:已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
作业
1.完成课时作业
图1-1大学生月生活费分布
月生活费人数（频率）百分比
（二）对“碧芝”自制饰品店的分析
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？
因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜。
在上海，随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要商圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐为一大热门。在人民广场地下的迪美购物中心，有一家DIY自制饰品店--“碧芝自制饰品店”