2011届高考数学二轮复习课件8.5 直线、平面垂直的判定及性质
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2011高考数学总复习课件85直线、平面垂直的判定及性质
4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、
β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( D)
A.n⊥βBBiblioteka n∥β，或n βC.n⊥α
D.n∥α,或nα
解析 ∵n与β的位置关系各种可能性都有，
∴A、B都不对.当nα时，作n′∥n,且n′∩m
=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l,
又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;当nα
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC， △PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 5 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱锥P—ABCD的体积. 思维启迪 (1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=45 , ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， BD面ABCD， ∴BD⊥面PAD. 又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD. (2)解 过P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PO⊥面ABCD， 即PO为四棱锥P—ABCD的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形， ∴PO=2 3.
知能迁移1 Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB= SC，D为斜边AC中点.
（1）求证：SD⊥面ABC； （2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC.
证明 （1）如图所示，取AB中点E， 连结SE，DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、 AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB, ∵SA=SB， ∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB. ∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE=E， ∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.
高考数学总复习 第七章第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面
γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
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【解析】 A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，
过 P 作直线 a ， b ，使 a⊥m ， b⊥n.∵γ⊥α ， a⊥m ，则 a⊥α ，
第五节
直线、平面垂直的判定及其性质如果直线l与平面α内的__________ 任意一条 直线都垂直，则直线l与平 面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条________ 直线都垂直，则 相交 该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________ 平行．
∴ a⊥l ，同理有 b⊥l. 又 a∩b ＝ P ， a⊂γ ， b⊂γ ， ∴ l⊥γ. 故命题 C 正确．
对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂
直于平面β，即命题D错误． 【答案】 D
7
3．已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x， y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是
与α的位置关系为(
A．b⊂α C．b⊂α或b∥α
)
B．b∥α D．b与α相交
【解析】 由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交． 【答案】 C
5
2．(2011·浙江高考)下列命题中错误的是(
)
A．如果平面 α⊥平面β，那么平面 α内一定存在直线平行于平
面β
B．如果平面 α不垂直于平面 β，那么平面 α内一定不存在直线 垂直于平面β
25
(2)连结FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第11讲 直线与圆锥曲线的位置关系
此时①也成立， 此时①也成立， 故直线 l 斜率的取值范围是－
3－1 － 3－1 － ， 2 . 2
题型二 圆锥曲线中的探索性问题
福建)已知中心在坐标原点 【例 2】 (2010·福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 】 福建 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． ， 为其右焦点． 为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有 是否存在平行于 ， 公共点， 公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直 ？若存在， 的方程；若不存在，说明理由． 线 l 的方程；若不存在，说明理由． x2 y2 解法一： 依题意 依题意， 解：解法一：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1 a b (a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)． ， ′－ ．
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 ∆＝B2－4AC，应用 ∆>0， ＋ ＝ ≠ ． ＝ ， ， 所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由根与系数的关系 韦达 ＋ ＝ 的解．由根与系数的关系(韦达 B C 定理)求出 定理 求出 x1＋x2＝－A，x1x2＝A，所以 A、B 两点间距离为 、 两点间距离为|AB|＝ ＝ B2－4AC 的斜率)，即弦长公式． (1＋k ) A2 (其中 k 为 l 的斜率 ，即弦长公式．也可以写成 ＋ 其中
0
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴 】 ： 的离心率为 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 设直线 、 两点， 3 面积的最大值． 距离为 2 ，求△AOB 面积的最大值． 6 c ＝ ， 解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意a 3 设椭圆的半焦距为 ， a＝ 3， ＝ ， x2 2 ∴b＝1，∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1. ＝ ，
新高考数学一轮总复习课件第八章第四节直线、平面垂直的判定及其性质
(2)在 CC1 上取点 M 使得 CM＝2MC1，连接 DM，MF，EC1， 因为 D1E＝2ED，DD1∥CC1，DD1＝CC1， 所以 ED＝MC1，ED∥MC1， 所以四边形 DMC1E 为平行四边形，所以 DM∥EC1， 因为 MF∥DA，MF＝DA，所以四边形 MFAD 为平行四边形，所以 DM∥AF，所以 EC1∥AF， 因此点 C1 在平面 AEF 内．
(2)过 M 作 PN 的垂线，交点为 H，如图：
因为 AO∥平面 EB1C1F， AO⊂ 平面 A1AMN，平面 A1AMN∩平面 EB1C1F＝NP， 所以 AO∥NP，又因为 NO∥AP，所以 AO＝NP＝6，AP＝ON， 因为 O 为△A1B1C1 的中心，
1
π1
π
所以 ON＝3 A1C1sin 3 ＝3 ×6×sin 3 ＝ 3 ，
A．α∥β⇒ m∥n
B．α⊥β⇒ m⊥n
C．m⊥α⇒ α⊥β
D．m⊥n⇒ m⊥α
【解析】选 C.由平面 α，β，直线 n⊂α，直线 m⊂β，知：对于 A，α∥β， 则 m，n 平行或异面，故 A 错误；对于 B，α⊥β，则 m，n 相交、平行或异面， 故 B 错误；对于 C，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故 C 正确； 对于 D，m⊥n，则 m 与 α 相交、平行或 m⊂α，故 D 错误．
(2)选 C.因为平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，BC⊥BD，所以 BD⊥平面 ABC，又 AC⊂ 平面 ABC，所以 BD⊥AC，故①正确．因为 BD⊥AC，BD ⊥BC，AC∩BC＝C，所以 BD⊥平面 ABC，又因为 BD⊂ 平面 ABD，所以平面 ABD ⊥平面 ABC，故②正确．因为 AC⊥AB，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以 AC⊥平面 ABD，又 AC⊂ 平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 ABD，故③正确．
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第6讲 平面向量
当 b＝λa 时，a，b 一定共线；但 a，b 共线时，若 b≠0，a＝0，则 b＝λa 就不成立，从而 C 也不是充要条件. λ2 对于 D，假设 λ1≠0，则 a＝－ b，因此 a，b 共线；反之，若 a，b λ1 n 共线，则 a＝mb，即 ma－nb＝0. 令 λ1＝m，λ2＝－n，则 λ1a＋λ2b＝0. 答案：D
拓展提升——开阔思路
提炼方法
向量的有关概念及运算要注意以下几点： (1)正确理解向量的基本概念； (2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a· b＝ b· a，λa· b＝λ(a· b)与 a(b· c)≠(a· b)c； (3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现错误．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 4．距离公式与定比分点坐标公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为 → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12. → 若 P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)，P (x，y)，且P1P＝λ PP2 ，
(2)解析：A 项，a 与 b 共线，则∃λ∈R，使得 a＝λb，则有 m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B 项，b⊙a＝np－mq＝ －(a⊙b)；C 项，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝ λ(mq－np)＝λ(a⊙b)；D 项，(a⊙b)2＋(a· 2＝(mq－np)2＋(mp＋ b) nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2. 答案：B
故 cos φ＝cos[θ－(θ－φ)] ＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ) ＝ 5 3 10 2 5 10 2 × ＋ × ＝ . 5 10 5 10 2
2011届高考数学二轮复习考点突破课件第8讲 数列求和及数列综合应用
3．数列的应用题 ． (1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此 应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广， 应用问题一般文字叙述较长 要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力， 要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数 学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决． 学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决． (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较 数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中， 数列应用题一般是等比 广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数 如经济上涉及利润、成本、效益的增减， 列模型{a ，利用该数列的通项公式、 项和公式． 列模型 n}，利用该数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式．
1．等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前 n 项和为 Sn，等比数 ．等差数列 各项均为正整数， 各项均为正整数 ， 列{bn}中，b1＝1，且 b2S2＝64，{ban}是公比为 64 的等比数列． 中 ， ， 是公比为 的等比数列． (1)求 an 与 bn； 求 1 1 1 3 (2)证明： ＋ ＋…＋S < . 证明： 证明 S S 4
1 1－－2n － 1 1 n－2n＝ －n－2n. 1 1＋ ＋2 3n＋2 ＋ 1 － )n 所以 Sn＝94－(－1) n－1 (n∈N*)． ∈ ． 2
拓展提升——开阔思路 提炼方法 拓展提升 开阔思路 本题主要考查等比数列的基本运算和简单的分类讨论思想． 本题主要考查等比数列的基本运算和简单的分类讨论思想．由两 个条件可求出等比数列的首项和公比确定等比数列，而对于 个条件可求出等比数列的首项和公比确定等比数列，而对于{an}成等差 成等差 数列，{bn}成等比数列，求数列 nbn}的前 n 项和问题可利用推导等比数 成等比数列， 数列， 成等比数列 求数列{a 的前 项和公式的方法——错位相减法．将问题转化为等比数列的求和， 错位相减法． 列前 n 项和公式的方法 错位相减法 将问题转化为等比数列的求和， 求和的关键是通过观察通项确定求和的类型和方法． 求和的关键是通过观察通项确定求和的类型和方法．
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第12讲 空间点、直线、平面之间的关系
(2)证明：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 证明： 为正方形， 证明 ⊥ 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. ∥ ， ⊥ 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC. ⊥ ， ⊥ ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ⊥ ， ⊥ 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ＝ ， 的中点， ⊥ ∴FH⊥平面 ABCD，∴FH⊥AC. ⊥ ， ⊥ 又 FH∥EG，∴AC⊥EG. ∥ ， ⊥ 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ (3)解：EF⊥FB，∠BFC＝90°， 解 ⊥ ， ＝ ， ∴BF⊥平面 CDEF. ⊥ 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线 ⊥ 于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角． ， － － 的一个平面角． 设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝ 2，DE＝ 3. ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
1.正三棱柱 A1B1C1－ABC 中，点 D 是 BC 的中点，BC＝ 正三棱柱 的中点， ＝ 2BB1，设 B1D∩BC1＝F.求证： 求证： ∩ 求证 (1)A1C∥平面 AB1D； ∥ ； (2)BC1⊥平面 AB1D. 证明：(1)连结 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连结 DE. 证明： 连结 ， ， 中点， 中点， ∵点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，∴DE∥A1C ∥ ∵A1C⊄平面 AB1D， ⊄ ， DE⊂平面 AB1D， ⊂ ， ∴A1C∥平面 AB1D. ∥
2．直线、平面平行的判定及其性质 ．直线、 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. 线面平行的判定定理 ⊄ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. 线面平行的性质定理 ∥ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， 面面平行的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ ， b∥α，∴α∥β. ∥ ， ∥ (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 面面平行的性质定理 ∥ ， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ∴a∥b. ∥ 3．直线、平面垂直的判定及其性质 ．直线、 (1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， 线面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ，⊥ ， l⊥n，∴l⊥α. ⊥ ， ⊥ (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. 线面垂直的性质定理 ⊥ ， ⊥ ， ∥ (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. 面面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊥ ， ⊥ (4)面面垂直的性质定理 面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， ⊥ ， ∩ ＝， ⊂ ， ⊥， ∴a⊥β. ⊥
高中数学必修二直线、平面垂直的判定及其性质PPT模板
人教版高中数学必修二
直线、平面垂直的 判定及其性质
人教版高中数学必修二
直线、平面垂直的 判定及其性质
一条直线与一个平面垂直的意义B1
直线与平面垂直的定义
如果一条直线 L 和一个平面内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线L和平面 α互相垂直。
记作L ⊥α
L叫做α的垂线，α叫做 l的垂面，L与α的交点P叫做垂足。
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面。
L
m n
b
α
!
01 直线与平面垂直的定义
02 直线与平面垂直的判定与性质
（01）
（02） （03）
?
过Δ������������������所在平面������外一点������，作������������⊥������，垂足为������，连接������������、������������、������������。
则直线 l和平面 α互相垂直？
错误！
b是平面α内任一直线,a⊥α，则 a⊥b（性质定理）
当且仅当折痕AD是BC边上的高时， AD所在直线与桌面所在平面α 垂直。
A A
aB
D
C
B
D
C
?
01
有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α 上的一条直线 垂直,就可以判断AD垂直平面α ,你同意他的说法吗?
02 02折AD痕⊥ABDD⊥，B由C此，你翻能折得之到后什垂么直结关论系? 不变,即AD⊥CD，
（1）若������������=������������=������������,∠������=90^0,则������是������������边的_____点； （2）若������������=������������=������������,则������是Δ������������������的_____心； （3）若������������⊥������������,������������⊥������������,������������⊥������������,则������是Δ������������������的_____心。
2024版新教材高考数学总复习：第四节直线平面垂直的判定与性质课件
夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( × ) (2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一 个平面．( × ) (4)垂直于同一个平面的两个平面平行．( × )
2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满
足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
答案：C
解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相 交或异面，故B、D错，对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确，故选C.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 [2023·河南安阳期末]如图，在正四棱锥P - ABCD中，侧棱长为
3，底面边长为2，点E，F分别为CD，CB中点．求证： (1)PA⊥EF； (2)平面PAD⊥平面PBC.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
如果一条直线与一个
判定 定理
平面内的两条 ___相_交____ 直 线 垂 直 ， 那么该直线与此平面
垂直
性质 垂直于同一个平面的 定理 两条直线___平_行____
图形语言
符号语言
l⊥a l⊥b a⊂α b⊂α a∩b＝O
a⊥α b⊥α
2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直__二_面__角___，就说这两个
[常用结论] 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任 意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面 也垂直． 5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三 个平面．
《新高考全案》高考数学 75直线、平面垂直的判定与性质课件 人教
一条也垂直于这个平面，即 aa∥ ⊥bα⇒b⊥α.
• (3)直线和平面垂直的性质 • ①性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． • ②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面 内的任意一条直线． • ③过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且 只有一个平面和已知直线垂直． • ④如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行 ．
的大小．平面角是直角的二面角叫做
直．二面角
• 3．平面与平面垂直 • (1)定义： • 平面α与平面β相交，如果 所成的二面角是直二面角 ， 称α与β互相垂直，记为 α⊥β . • (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，那么这两个平面互相垂直．
• (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
(3)[解] 因为 PA＝AB＝AD＝2，所以 PB＝PD＝BD＝ 2 2，
• (1)[证明] ∵AC＝BC，M为AB的中点， • ∴CM⊥AB. • ∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， • ∴PA⊥CM. • ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， • ∴CM⊥平面PAB. • ∵CM⊂平面PCM， • ∴平面PAB⊥平面PCM.
• (2)[ 证 明 ] 由 (1) 知 CM⊥ 平 面 PAB.∵PM⊂ 平 面 PAB ， ∴CM⊥PM. • ∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， • ∴PA⊥AC. • 取PC的中点N，连接MN、AN. • 在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点， • ∴AN＝PN＝NC. • 在Rt△PMC中，点N为斜边PC的中点， • ∴MN＝PN＝NC. • ∴PN＝NC＝AN＝MN. • ∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．
高考数学第二轮复习 立体几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。
考点扫描：1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。
2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。
3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。
4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。
考题先知：例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。
请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。
解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。
证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：PDF O PEFO PDE O DEF P V V V V ----++==r S r S r S PDF PEF PDE ⋅+⋅+⋅313131BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++==r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅3131313131，从而21表表S S V V ABC DEF DEF P =--。
例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6==AC AB ，13-=BC ，以∠BAC 为例。
高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件
⑤若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于
另一个平面.
其中正确的是( )
A.①②⑤ B.②③⑤ 精C品.①③④ D.①
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【解析】选D.①正确.否则两个平面应平行. ②错误.当该点是交线上的点时,l与β不一定垂直. ③错误.异面直线所成角的范围是 ( 0 ，而 ] 二, 面角的范围是[0,π].
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
精品
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(2)(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不 同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
过空间一点P作m′∥m,n′∥n.
则m′,n′可确定平面γ.
由题意知:l⊥γ,l′⊥γ.
所以l∥l′.
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(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、 相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平 面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经 过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项 D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l, 因为n⊥α,则l⊥α,由于l⊥α,l⊂β,所以α⊥β.
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【解题视点】(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面α,β相交, 然后可证交线与直线l平行. (2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.
精品
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【规范解答】(1)选D.因为m,n为异面直线,m⊥平面α,
2011届高考数学二轮复习课件：函数、基本初等函数的图象与性质
利用数形结合，－3,2 是方程 ax2＋(b－8)x
－a－ab＝0 的两根，求出 a，b 的值，得 f(x)的解析式， 进而确定 f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数 g(x)＝ax2 ＋bx＋c 的性质，确定 c.
＝－3 解 由题意得 x＝－ 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0，则 ＝－ ＝ 的零点且 ≠ ，
4．函数单调性的判定方法 ． (1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答． 定义法：取值，作差，变形，定号 ，作答． 定义法 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． (2)导数法． 导数法． 导数法 (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 复合函数的单调性遵循“同增异减 ”的原则． 复合函数的单调性遵循 5．函数奇偶性的判定方法 ． (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 (2)对于定义域内的任意一个 ， 对于定义域内的任意一个x， 对于定义域内的任意一个 若都有f(－ ＝ 为偶函数． 若都有 － x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． ， 为偶函数 若都有f(－ ＝－ ＝－f(x)， 为奇函数． 若都有 － x)＝－ ，则 f(x)为奇函数． 为奇函数 若都有f(－ － 为偶函数． 若都有 － x)－f(x)＝0，则 f(x)为偶函数． ＝ ， 为偶函数 若都有f(－ ＋ 为奇函数． 若都有 － x)＋f(x)＝0，则 f(x)为奇函数． ＝ ， 为奇函数
变式训练1 ，＋∞ 变式训练 设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x) ＝ ＋ ， ∈ － ，＋ 时 恒成立， 的取值范围． ≥ a恒成立，求 a的取值范围． 恒成立 的取值范围
直线平面垂直的判定及其性质新高考数学自主复习ppt
3
10
求四棱锥C1－AA1B1B的体积．
(1)【证明】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝A1C1，BC＝B1C1，AB∥A1B1，因为 AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.因为E为A1B1的中点，所以C1E⊥A1B1，故C1E⊥AB.因 为AC1＝BC1，D为AB的中点，所以AB⊥C1D.因为C1E∩C1D＝C1，且C1E，C1D⊂平 面C1DE，所以AB⊥平面C1DE.
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第4节
直线、平面垂直的判定及其性质
【解析】如图，连接BD，BE.∵N为正方形ABCD的中心，∴N∈BD.又∵M是ED的中点，
∴M∈ED.∴M，N∈平面BED.∴由图知BM与EN相交．设ED＝DC＝a，则BD＝ a，EB
第4节 直线、平面垂直的判定及其性质
真题自测 考向速览
考点1 直线与平面垂直
1．[北京2019·12]已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①l⊥m； ②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正 确的命题：________.
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，3×DE3＝＝22 2
3，所以C1D2＋C1E2＝DE2，
即C1D⊥C1E，所以DE·C1H＝C1D·C1E，故C1H＝ .所以四棱锥C1－AA1B1B的体积V
＝
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.
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高考数学一轮总复习 第八章 8.5直线、平面垂直的判定与性质
思维升华
证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的 面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则 直的性质.
跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，A 平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱 EF⊥AD.
命题点1 直线与平面所成的角 例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若 PA＝AB＝2，且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
命题点2 与垂直有关的探索性问题 例4 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC 点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
题组三 易错自纠
4.(2018·赣州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且
是“m⊥l”的
√A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立； 若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
D.HG⊥平面AEF
14.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与 相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
√3 3
A. 4
23 B. 3
32 C. 4
3 D. 2
拓展冲刺练
15.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为 N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列 _①__②__.(写出所有正确说法的序号)
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（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 二面角的平面角： 为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱 的两 为端点， 条射线， 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角. 面角. 4.平面与平面垂直 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. 定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 利用判定定理： 则这两个平面垂直. 一条垂线 ，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直， 两平面垂直，则一个平面内垂直于 交线 的直线 垂直于另一个平面. 垂直于另一个平面.
4.（2008·湖南文， 4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、 湖南文 已知直线m
β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( D ) 满足m A.n B.n β A.n⊥β B.n∥⊂ ，或nβ
C.n C.n⊥α 解析 D.n ⊂ D.n∥α,或nα 的位置关系各种可能性都有， ∵n与β的位置关系各种可能性都有，
∴A、B都不对.当nα时，作n′∥n,且n′∩m ′∥n ′∩m 都不对. ⊄ 则有m =O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l, 又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;当nα ′,所以l 所以 ′,∴l ,∴n ⊂ 时，显然成立.故C不对，D正确. 显然成立. 不对， 正确.
时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α. 不是相交直线，则得不到l
2.若 外一点,则下列命题正确的是( 2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是( D ) A.过P只能作一条直线与平面α相交 A.过 B.过 B.过P可作无数条直线与平面α垂直 C.过 C.过P只能作一条直线与平面α平行 D.过P可作无数条直线与平面α平行 D.过 解析 平行， 过P点存在一平面与α平行，则该平面内 平行. 过P的直线有无数条都与α平行.
是相交直线或异面直线. ②③错 是相交直线或异面直线.故②③错，选C.
题型分类 深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质 如图所示,已知PA 矩形ABCD所在平面, PA⊥ ABCD所在平面 【例1 】 如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面, 分别是AB PC的中点 AB， 的中点. M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MN⊥CD； (1)求证：MN⊥CD； 求证 (2)若∠PDA=45°. (2)若 PDA=45° =45 求证：MN⊥平面PCD. 求证：MN⊥平面PCD. PCD (1)因 AB中点 只要证△ 中点, 思维启迪 (1)因M为AB中点,只要证△ANB 为等 腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN MN⊥AB. 腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB. (2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC, (2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出 已知MN MN △PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可 PMC为等腰三角形，利用N PC的中点， 为等腰三角形 的中点 得MN⊥PC. MN⊥PC.
(2)直线和平面垂直的性质 (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. 直线垂直于平面， 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线 平行 . ③垂直于同一直线的两平面 平行 . 2.斜线和平面所成的角 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 斜线和它在平面内的射影所成的锐角， 和平面所成的角. 和平面所成的角. 3.二面角的有关概念 3.二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面 所 二面角： 组成的图形叫做二面角. 组成的图形叫做二面角.
在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点， SAC中 SA=SC， AC中点， 中点 ∴SD⊥AC. SD⊥AC. ∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC. SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB= ,∴SD⊥ ABC. SD （2）若AB=BC，则BD⊥AC， AB=BC， BD⊥AC， 由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC， 可知，SD⊥ ABC， BD ABC， ⊂ ∴SD⊥BD， SD⊥BD， ∵SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC. SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC= ,∴BD⊥ SAC. BD
3.（2009·广东理， 3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题: 广东理 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行； 平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 若一个平面经过另一个平面的垂线， 两个平面相互垂直； 两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 若两个平面垂直， 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( 其中，为真命题的是( A.① A.①和② C.③ C.③和④ ) B.② B.②和③ D.② D.②和④
当两个平面相交时， 解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直 线可以平行于另一个平面， 线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与 不对； 平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一 平面垂直的判定可知②正确； 条直线的两条直线可以相交也可以异面， 条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③ 不对；若两个平面垂直， 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直， 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④ 正确. 正确. 答案 D
基础自测
1.设 1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内， 均为直线，其中m 则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A ) A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 C.充要条件 解析 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件
但当l 当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m,l⊥n
题型二
面面垂直的判定与性质
如图所示，在四棱锥P 【例2 】 如图所示，在四棱锥P—ABCD 平面PAD 平面ABCD AB∥DC， PAD⊥ ABCD， 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC， △PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， 是等边三角形 BD=2AD=8 AB=2DC=4 AB=2DC=4 5 . =2DC (1)设M是PC上的一点， (1)设 PC上的一点， 上的一点 证明：平面MBD⊥平面PAD； 证明：平面MBD⊥平面PAD； MBD PAD (2)求四棱锥P ABCD的体积. (2)求四棱锥P—ABCD的体积. 求四棱锥 的体积 (1)因为两平面垂直与M 因为两平面垂直与 思维启迪 (1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 MBD 平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. 平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. PAD BD PAD (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离. (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离. 四棱锥底面为一梯形,BD=8,AB AD=4,BD=8,AB=4 (1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5 , .∴AD BD. AD⊥ ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， PAD⊥ ABCD， PAD∩ ABCD=AD， ⊂ BD ABCD， BD面ABCD， ∴BD⊥面PAD. BD⊥ PAD. 又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD. BD BDM， MBD⊥ PAD. ⊂ (2)解 (2)解 过P作PO⊥AD， PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD， PAD⊥ ABCD， ∴PO⊥面ABCD， PO⊥ ABCD， 即PO为四棱锥P—ABCD的高. PO为四棱锥P ABCD的高. 为四棱锥 的高 又△PAD是边长为4的等边三角形， PAD是边长为4的等边三角形， 是边长为 ∴PO= 2 3. PO=
5.下列命题中， 5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、 下列命题中 表示两条不同的直线，
γ表示三个不同的平面. 表示三个不同的平面.
① 若 m⊥ α , n ∥ α , 则 m⊥ n ; ② 若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , 则α∥β； ③ 若 m∥ α , n ∥ α , 则 m∥ n ; ④ 若 α ∥ β , β ∥ γ , m⊥ α , 则 m⊥ γ . 正确的命题是( 正确的命题是( C ) A.①③ A.①③ 解析 B.②③ B.②③ C.①④ C.①④ D.②④ D.②④ ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以 可能相交，
直线、 §8.5 直线、平面垂直的判定及性质 基础知识 自主学习
要点梳理
1.直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. 定义法. ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 利用判定定理： 直线都垂直，则该直线和此平面垂直. 相交 直线都垂直，则该直线和此平面垂直. ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直 推论：如果在两条平行直线中， 于一个平面， 于这个平面. 于一个平面，那么另一条直线也 垂直 于这个平面.
证明
（1）连接AC，AN，BN， 连接AC，AN，BN， AC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， PA⊥平面ABCD， PA⊥AC， ABCD 在Rt△PAC中，N为PC中点， Rt△PAC中 PC中点， 中点 1 ∴ AN = PC. 2 PA⊥平面ABCD ABCD， ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A， PA⊥BC， BC⊥AB，PA∩AB= BC⊥平面PAB PAB， BC⊥PB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中 BN为斜边PC上的中线， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， Rt 为斜边PC上的中线 1 AN=BN， ∴ BN = PC.∴AN=BN， 2 ABN为等腰三角形 为等腰三角形， ∴△ABN为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB， 为底边AB的中点， MN⊥AB， AB的中点 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD. AB∥CD， MN⊥CD.