等差数列常用性质

合作探究：
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2
b
a A +=
反之，若
2
b
a A +=
，则A-a =b -A 由此可可得：,,2
b a b
a A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =
2
b
a +是a ,A ,
b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n
的数列的图象，这个图象有什么特点？
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的
图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？
定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
性质1：在等差数列
{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m
a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
例1在等差数列{n
a }中，若1
a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9
a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中
的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a
分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求
某项必须消元（项）或再弄一个等式出来
例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n
是不
是一个与n 无关的常数。

等差数列的常用性质：
1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是
；d<0时，{a n }是
；d=0时，{a n }是
；
(2)d=
=
= （m ，n ∈N +）
(3)通项公式的推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）。

精讲点评：
111111(1)(1)2()2,
(1)(1)2
()2, .
m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
弥补、拓展与提升：
推论：若m+n=2k ，则a m +a n = ;
自然语言叙述为: ; 推论:12132n
n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅
自然语言叙述为: . 2、若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; 3、若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n +qb n }（p 、q 为常数）也是 ;如：
若{a n }与{b n }都是等差数列，则{a n +b n }，{ a n -b n }也是等差数列；再如：若{a n }是等差数列，则数列{λa n +b}也是等差数列（λ，b 是常数）
4、a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ;
课堂总结：1．,,2
b a b a A ⇔+=成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
3．若数列{n a }的通项公式为q pn a n
+=的形式，p,q 为常数，则此数列为等差数列。

课后巩固
一.选择题
1、在等差数列{a n }中，a 1+3a 8+a 15=120，则3a 9-a 11=（ ）
A 、6
B 、12
C 、24
D 、48
2、在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=80，则a 2+a 8=（ ）
A 、8
B 、16
C 、32
D 、64
3、若{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9=（ ）
A 、39
B 、20
C 、11
D 、33
4、设{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，则a 37+b 37=（ ）
A 、0
B 、37
C 、100
D 、-37
5、已知等差数列{a n }的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n 等于
A 、2n-5
B 、2n-3
C 、2n-1
D 、2n+1
二．填空题
6、在数列{a n}中，a1，a12是方程x2-2x-5=0的两根，若{a n}是等差数列，则a5+a8= 。

7、已知{a n}为等差数列，且其公差为d，则{a2n-1}的公差为。

8、在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则这个数列为。

9、等差数列{a n}中，a15=33，a25=66，则a35=
10、在等差数列{a n}中，已知a m+n=A，a m-n=B，则a m= 。

三．解答题
11、已知a，b，lg6，2lg 2+lg 3为等差数列，求a、b的值。

12、设各项均为正数的无穷数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*，都有2b n=a n+a n+1且a2n+1=b n b n+1。

b}是等差数列；
（1）求证：{
n
（2）设a1=1，a2=2，求{a n}和{b n}的通项公式。