2013考研 高等数学 基础班(第19-20课)
2013高等数学C2
说明: 若数列有两个子数列收敛于不同的极限,
则原数列一定发散 . 例如，
发散 !
4. 收敛数列的保号性.(见以后函数极限性质)
2013
二、一元函数极限
1.
时函数极限的定义
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
二元函数的极限可写作：
lim f (x, y) A lim f (x, y) A
0
x x0
y y0
2013
例8. 设
f
(x,
y)
(x2
y2 ) sin
x2
1
y2
求证：lim f (x, y) 0.
x0 y0
证:
(x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε ,当0 x2 y2 δ 时, 总有
yn
)
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理1 直接得出结论 .
2013
例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
(
x0
).
证: lim Pn (x)
x x0
时, 有
右极限 :
f
(x0 )
lim
2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)
第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。
2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。
这类函数称为分段函数。
例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。
需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。
有时也用1()y fx -=表示。
二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。
2013数学三解析
2013年数学（三）真题解析一、选择题（1） 【答案】（D ）.【解】 由 lim * °^2）= lim=0,得（A ）正确；HfOX "° X,O （J7 ） • O （J7 2 ） .. O （H ） O （g2） c A 由 lim ----------:--------= lim -------- •———=0,得（E ）正确；h —o x H —o x x 由 lim O2）二。
2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C ）正确；x-*0 X工~0XH —0X2 I 3取 J ： 2 —o （JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。
（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9工-*0 X 事实上 O （2）+ O （J ：2 ） = O （J7）,应选（D ）・（2） 【答案】（C ）.【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.（一"一1 严小一1 r Jn （—工）_ r 1由塑工（工+l ）ln （r ）= J^iHCz+l ）ln （—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.. x 1 — 1 e jlnj — 1由凹+ l)ln 工=凹工(工+ l)ln 工lim-L 1 X x\n jc(•z + l)ln 3C，得工=1为可去间断点.jc In jc =!忙(工+1山工T ， x In (— x ) _乂 Cz+l)ln (— H ) x-^o~ z (攵 + l)ln( oc ) x -»o - 2 (z + l)ln( jc )而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).(3)【答案】(B).由lim •r f ()+X X — 1 ].-- ----―――-----= lim X (j? + l)ln re zfo+(一"一1limx-^Olim x-*0x (a ： + l)ln h严F 一 1I9得 lim/Cz) = 1.X —0严 ]【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.12 = jj Ly +(— z )]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),°2i 4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x ) vo),应选(B ).°4(4)【答案】(D).【解】 方法一令lim/a ” = lim 牛=A $ 0.当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N 〉0,当 zz 〉N 时，| -y — 0 | < 1，从而 0 W a ” <C —,因为s 1收敛，所以由比较审敛法的基本形式得工s 收敛;” =1 九 n = 18 OO = OO当A>0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因为工*收n = 1 n = 1 九 n = l 兀敛，所以收敛，应选(D).n = 1I -I 00方法二 取a ” =-------，显然a ” > a 卄1 ,因为lima ” =1 # 0,所以工(一1)"一。
2013年考研数二真题及详细解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
高等数学基础班讲义(张宇)
f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法： 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
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4
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( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算 指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
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3
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2013年全国硕士研究生入学考试数学一真题答案及解析
1 a 1 2 0 0 【解析】设 A a b a ，B 0 b 0 ，因为 A与 B 为实对称矩阵， 1 a 1 0 0 0
则 A与B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2,b, 0 ，
1
A的特征方程 E-A a 1
1 /2 1 2 2 1 1 /2 2 1 3 2 sin d r dr 2 2 4 cos d sin d 0 0 0 0 2 0 4 2 0 4 1!! 1 1 1!! 1 11 . 2 2 4 4 2 2!! 2 4 2 2!! 2 4 2 8 8
/2 1 1 cos 2 d sin 2 d 0 4 4
I 3 I 4 故应选 (D). .
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2013年考研真题
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（5）设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则（ ）. （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价. （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【答案】B. 【解析】将 A, C 按列分块，若 A=(1 ,..., n ),C=( 1 ,..., n ) 由于 AB C ，故
a
1
a
1
b
a
a 0 b a 1 0 2a 2
[( b)( 2) 2a 2 ]
因为 0， 2,b 是 A 的特征值，所以 2a 0，即a 0 .
2
当a 0时
考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)-精选.pdf
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。
2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。
3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。
[整理]13年数一考纲
![[整理]13年数一考纲](https://img.taocdn.com/s3/m/0f9d787b14791711cc7917f9.png)
2013年考研数学大纲（数学一）考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin 1lim 1,lim 1e x x x x x x →→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()f x ''>0时，()f x 的图形是凹的；当()f x ''<0时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．4．掌握平面方程和直线方程及其求法．5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题．6．会求点到直线以及点到平面的距离．7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程．9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．4．掌握计算两类曲线积分的方法．5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．7．了解散度与旋度的概念，并会计算．8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅-上的傅里里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[],l l0,l上的正弦级数和余弦级数叶级数函数在[]考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10．掌握e x ，sin x ，cos x ，()ln 1x +及()1x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数．11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[],l l -上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[]0,l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式．八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列形式的微分方程：()()n y f x =,(),y f x y '''=和(),y f y y '''=．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯（Bayes）公式．3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}+∞=≤(-∞<x<)F x P X x的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．B n p、几2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(),Pλ及其应用．何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布()3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(),U a b 、正态分布()2,N μδ、指数分布及其应用，其中参数(λλ>)0为的指数分布()E λ的概率密度为()e ,0,0,0.x x f x x λλ-⎧>=⎨⎩若若≤ 5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件．3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布()221212,,,;Nμμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理列维-林德伯格（Levy-Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．六、数理统计的基本概念考试内容分布t分布F分总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩2布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为()2211.1ni i S X X n ==--∑ 2．了解2χ分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧α分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．七、参数估计考试内容点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间．八、假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．。
2013年考研高数总结
(ϕ ′(t) ≠ 0)
二阶导数
d2y dx 2
=
d
⎡ ⎢⎣dy dx⎤ Nhomakorabea⎥⎦dx
=
d
⎡ ⎢⎣
dy dx
⎤ ⎥⎦
dt
⋅
1 dx
=
ψ
′′(t
)ϕ
′(t) −ψ ′(t [ϕ ′(t )]3
)ϕ
′′(t
)
dt
5．反函数求导法则
设 y = f (x) 的反函数 x = g(y) ，两者皆可导，且
( ) d ln x + x2 + a2 = 1 dx x2 + a2
lim
f ′(x) g ′(x )
不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出
lim
f (x) g(x)
不存在且不是无穷大量情形）
若 lim g(x) = A ， lim h(x) = A ，则 lim f (x) = A
3．两个重要公式
1
法则 2．（ ∞ 型）设（1）lim f (x) = ∞ ，lim g(x) = ∞
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≥
m
则 lim
f (x) g(x)
=
A （或 ∞ ）
（2）若 xn+1 ≥ xn （ n 为正整数）又 xn ≤ M （ n 为正
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
（注：如果
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
四．闭区间上连续函数的性质
2013考研 高等数学 基础班(第21-23课)
第七章 多元函数微分学多元函数微分学第七章第七章 多元函数微分学一、重极限一、重极限,,连续连续,,偏导数偏导数,,全微分（概念，理论）Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00),(),(00y x y x →1.1.重极限重极限重极限),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2.2.连续连续连续 0),(),(),(lim ),(00000000x x x x y x f dxdx y x f y x x f y x f =→∆=∆−∆+=0),(),(),(lim ),(00000000y y y y y x f dydy y x f y y x f y x f =→∆=∆−∆+=3.3.偏导数偏导数（1）定义定义:: 是以是以““任意方式任意方式””第七章 多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点22(,)2(1)arctan ,xf x y x y y yx =++−+【例】设求).1,0(),1,0(y x f f 1)2()1,()1,0(00=+====x x x x dx dx f dx d f ;2)2(),0()1,0(11=====y y y y dydy f dy d f 【解】（2）几何意义几何意义:: 第七章 多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点4. 4. 全微分全微分)(),(),(0000ρo y B x A y x f y y x x f z +∆+∆=−∆+∆+=∆（1）定义定义: : : 若若),(00y x f x ),(00y x f y ),(y x f x ),(y x f y ),(00y x （2）判定判定::与都存在都存在; ; 和在连续连续;;①必要条件必要条件:: ②充分条件充分条件: : ③用定义判定用定义判定::),()00y x f a x ),(00y x f y 220,0000)()(])(),([lim)y x y y x f x y x f z b y x y x ∆+∆∆+∆−∆→∆→∆与是否都存在是否都存在??是否为零是否为零??),(y x f dyyfdx x f dz ∂∂+∂∂=（3）计算计算: : : 若若可微可微,,则第七章 多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点5.5.连续、可导、可微的关系连续、可导、可微的关系一元函数多元函数连续可导可微连续可导可微偏导数连续第七章 多元函数微分学多元函数微分学的相关概念及知识要点,)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=y x y x y x xyy x f )0,0(【例1】二元函数在点处（处（ ））常考题型连续、可导、可微的判定及其之间的关系（A ）连续、偏导数存在；）连续、偏导数存在； （B ）连续、偏导数不存在；）连续、偏导数不存在； （C ）不连续、偏导数存在；）不连续、偏导数存在； （D ）不连续、偏导数不存在；）不连续、偏导数不存在；第七章 多元函数微分学【解】由于则极限222222200lim lim 1x x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++22(,)(0,0)lim x y xy x y→+不存在，(,)(0,0)f x y 在不连续不连续..由对称性知从而00(,0)(0,0)00lim(0,0)lim 0x x x f x f f xx →→−−′===△△△△△(0,0)0y f ′=故应选（故应选（CC ）.第七章 多元函数微分学),(y x f ),(00y x 00(,)y f x y ′),(y x f 【例2】二元函数在点处两个偏导数存在存在,,是在该点连续的（在该点连续的（ ））（A) A) 充分条件而非必要条件；充分条件而非必要条件；充分条件而非必要条件； （B) B) 必要条件而非充分条件；必要条件而非充分条件；必要条件而非充分条件； （C) C) 充分必要条件；充分必要条件；充分必要条件；（D) D) 既非充分条件又非必要条件；既非充分条件又非必要条件；既非充分条件又非必要条件；00(,),x f x y ′第七章 多元函数微分学,),(42y x ey x f +=),0,0(x f ′)0,0(y f ′)0,0(x f ′)0,0(y f ′【例3】设则函数在原点处偏导数存在的情况是都存在； （（B ） 不存在不存在,,存在；（A ）)0,0(xf ′)0,0(y f ′（C ）存在存在,,不存在；),0,0(x f ′)0,0(y f ′都不存在；（D ）第七章 多元函数微分学【解】,(,0)xf x e =该函数在0x =处不可导，则(0,0)x f ′不存在，2(0,),y f y e =该函数在0y =处可导，则(0,0)y f ′存在，故应选（存在，故应选（BB ）.),(),,(y x v v y x u u ==),(v u f z =1. 1. 复合函数求导法复合函数求导法可导可导,,一阶偏导数一阶偏导数,,则设在相应点有连续xvv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂yvv f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===dyy zdx x z dz ∂∂+∂∂=dvvzdu u z dz ∂∂+∂∂=设都有连续一阶偏导数2. 2. 全微分形式不变性全微分形式不变性则二、偏导数与全微分的计算第七章 多元函数微分学偏导数与全微分的计算,zx F F x z−=∂∂;z y F F y z−=∂∂,0=∂∂+xz F F z x ,0=∂∂+y z F F z y 0=++dz F dy F dx F z y x 方法方法:: ②等式两边求导等式两边求导 ③利用微分形式不变性利用微分形式不变性①公式),,(z y x F ),(,0y x z z F z =≠0),,(=z y x F 3. 3. 隐函数求导法隐函数求导法有连续一阶偏导数有连续一阶偏导数,,由所确定所确定..设（1） 由一个方程所确定的隐函数第七章 多元函数微分学偏导数与全微分的计算②微分形式不变性微分形式不变性⎩⎨⎧=+++=+++00dv G du G dy G dx G dv F du F dy F dx F v u y x v u y x （2）由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）),(),,(y x v v y x u u ==⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 设由所确定所确定..①等式两边求导等式两边求导⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+00xvG x u G G x v F x u F F v u x v u x 方法方法::第七章 多元函数微分学,)1(yxyxz +=._________)1,1(=dz 常考题型常考题型则【例1】 设 1. 1. 复合函数偏导数和全微分的计算复合函数偏导数和全微分的计算 2. 2. 2. 隐函数偏导数和全微分的计算隐函数偏导数和全微分的计算隐函数偏导数和全微分的计算第七章 多元函数微分学【解】令1,y =则ln(1)(1)xx x z x e+=+=(1)ln(1)1x dz x x x dx x ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦(1,1)12ln 22ln 212z x ∂⎡⎤=+=+⎢⎥∂⎣⎦111,1,yx z y ⎛⎞==+⎜⎟⎝⎠令得[](1,1)2ln 21(1)zy ∂=+−∂[](1,1)(12ln 2)()dz dx dy =+−偏导数与全微分的计算1ln 2222−=++++−z y x x yz z e x y ),(y x z z =)1,0,1(−.__________=dz 【例2】由方程的函数在点处的全微分所确定第七章 多元函数微分学【解】0,y =令得21,1x z −+=−20,zx x∂=+∂(1,0) 2.x z =−1,x =令得11,y e z −+=−0,yz e y∂−+=∂(1,0) 1.y z =(1,0,1)2dz dx dy−=−+偏导数与全微分的计算,e xy u u=+.,,2yx uy u x u ∂∂∂∂∂∂∂])1(11;1;1[3u uu u u e xye ee x e y +−+++【例3】已知求第七章 多元函数微分学偏导数与全微分的计算,e ),,(2yz z y x f x =),(y x z z =02=+++xyz z y x ._____________)1,1,0(=−x f ]3[【例4】设其中是由确定的隐函数确定的隐函数, , , 则则第七章 多元函数微分学【解】22xxx ze ef yz yzx∂=+∂偏导数与全微分的计算),(v u f ，),(xyy x f z =._________=∂∂xz]ln [211yf y f yxxy +−【例5】设为二元可微函数，则第七章 多元函数微分学偏导数与全微分的计算)),(,(x yg xy f z =f )(x g 1=x .1)1(=g .112==∂∂∂y x y x z【例6】设函数其中函数具有二阶连续偏导可导且在处取得极值 求数, , 函数函数第七章 多元函数微分学【解】12()zyf yg x f x ∂′′′=+∂解法1 2111122()()zf xyf yfg x g x f x y∂′′′′′′′=+++∂∂2122()()yg x xf g x f ′′′′′++⎡⎤⎣⎦21111211(1,1)(1,1)(1,1).x y zf f f x y==∂′′′′′=++∂∂偏导数与全微分的计算122()zyf yg x f x ∂′′′=+∂解法211122111(,)(,)(,)y x y z yf yf f y y y y y y x y===∂′′′′′=++⎡⎤⎣⎦∂∂11122(1,1)(1,1)(1,1)f f f ′′′′′=++偏导数与全微分的计算1.1.无条件极值无条件极值无条件极值..);,(),(00y x f y x f ≥);,(),(00y x f y x f ≤（1）定义定义: : : 极大：极大：极大：极小：极小：极小：（2）极值的必要条件极值的必要条件0),(,0),(0000==y x f y x f y x 极值点极值点 驻点驻点三、极值与最值第七章 多元函数微分学多元函数的极值多元函数的极值与最值与最值,0),(00=y x f x 0),(00=y x f y 02>−B AC 00A A >⎧⎨<⎩（3）极值的充分条件且① 当时,有极值设② 当02<−B AC 时,无极值无极值..③ 当02=−B AC 时,不一定不一定((一般用定义判定一般用定义判定).).第七章 多元函数微分学极小值极大值多元函数的极值多元函数的极值与最值与最值),(y x f 0),(=y x ϕ2.2.条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法在条件条件下的极值条件下的极值.. （1） 函数 令令),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=),,(z y x f 0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ（2） 函数在条件条件下的条件极值条件下的条件极值..令),,(),,(),,(),,,,(z y x z y x z y x f z y x F µψλϕµλ++=第七章 多元函数微分学多元函数的极值与最值),(y x f D 3.3.最大最小值最大最小值在有界闭域上的最大最小值上的最大最小值..求连续函数),(y x f D （1）求在内部可能的极值点内部可能的极值点..),(y x f D （2）求在的边界上的最大最小值的边界上的最大最小值..（3）比较第七章 多元函数微分学多元函数的极值与最值),(y x f D 常考题型在有界闭区域上的最大最小值；1. 1. 求极值（无条件、条件）；求极值（无条件、条件）；2. 2. 求连续函数求连续函数3. 3. 最大最小值应用题最大最小值应用题最大最小值应用题..第七章 多元函数微分学多元函数的极值与最值),(y x f ),(00y x ),(0y x f 0y y =【例1】设可微函数在点取得极小值取得极小值,, 在处的导数大于零处的导数大于零. . （A ） 则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ））),(0y x f 0y y =在处的导数等于零处的导数等于零. . （B ）),(0y x f 0y y =在处的导数小于零处的导数小于零. . （C ）),(0y x f 0y y =在处的导数存在处的导数存在.. （D ）第七章 多元函数微分学多元函数的极值与最值),(y x f z =,ydy xdx dz +=)0,0(),(y x f ),(y x f 【例2】设函数的全微分为则点（A ）不是的连续点的连续点. . 的极值点的极值点..（B ）不是),(y x f 的极大值点的极大值点..（C ）是),(y x f 的极小值点的极小值点..（D ）是（ ））第七章 多元函数微分学多元函数的极值与最值【解】1dz xdx ydy =+解法由知,x y z x z y ==1,0,1xx xy yy z z z ===210,0AC B A −=>>则点（则点（00，0）是(,)f x y 的极小值点，故应选（的极小值点，故应选（DD ）.2212()2dz xdx ydy d x y =+=+解法则221()2z x y C=++由极值定义知221()2z x y C =++在（在（00，0）取极小值）取极小值..多元函数的极值与最值y y y x y x f ln )2(),(22++=【例3】求二元函数的极值的极值..第七章 多元函数微分学【解】222(2)02ln 10x y f x y f x y y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩令 10,x y e==得 2110,22,xx A f e e ⎛⎞⎛⎞==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠10,0,xy B f e ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠10,yy C f ee ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠20,0.AC B A −>>则1(,)0,f x y e ⎛⎞⎜⎟⎝⎠在取极小值，110,.f e e ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠多元函数的极值与最值2),(22+−=y x y x f }14),({22≤+=yx y x D 【例4】求在椭圆域上的最大值与最小值。
2013考研高等数学上册内容总结
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny或 dx n
d
n f (x dx n
)
.
莱布尼兹公式.
(u ⋅ v)(n) = u(n)v + nu(n−1)v′ + n(n − 1) u(n−2)v′′ 2!
+ n(n − 1)"(n − k + 1) u(n−k )v(k ) + " + uv(n) k!
+ Δx) − Δx
f ( x0 ) .
f−′( x0 ) =
lim
x→ x0−
f (x)− x−
f ( x0 ) = x0
lim
Δx→0−
f ( x0
+ Δx) − Δx
f ( x0 );
f+′( x0 ) =
lim
x→ x0+
f (x)− x−
f ( x0 ) = lim
x0
Δx→0+
f ( x0
无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数 y = f ( x) 的微分形式总是 dy = f ′( x)dx
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基本初等函数的微分公式
d(C ) = 0
d ( xμ ) = μxμ−1dx
d(sin x) = cos xdx
d(cos x) = − sin xdx
d(tan x) = sec2 xdx d(cot x) = − csc2 xdx
导数为 dy = dy ⋅ du 或 y′( x) = f ′(u) ⋅ ϕ′( x).
dx du dx
(4) 对数求导法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
π
2
, 则当 x → 0 时, α ( x ) 是
【 】 .
(A) 比 x 高阶的无穷小 (C) 与 x 同阶但不等价的无穷小 【答案】 答案】C.
(B) 比 x 低阶的无穷小 (D) 与 x 等价的无穷小
【考点】 考点】计算极限的方法:常用的等价无穷小.
【解析】 解析】 x sin α ( x) = cos x − 1 ~ −
(D) I 4 > 0
【解析】 解析】在第 II 象限除原点外被积函数 y − x > 0 ,因此 I 2 > 0 . 【评注】 评注】在第 IV 象限除原点外被积函数 y − x < 0 ,因此 I 4 < 0 ; 在第 I 象限和第 III 象限,根据轮换对称性得
I1 = I 3 = 0 .
(7)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵,若 AB = C ,且 B 可逆,则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 【答案】 答案】B. 【考点】 考点】向量组的线性表示方法. 【解析】 解析】将矩阵 A 和 C 按列分块,设 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) , B = (bij ) , C = (γ 1 , γ 2 ,⋯ , γ n ) . ①由 AB = C 组线性表示; 【 】 . (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
π
6
≤θ ≤
π
6
),则 L 所围平面图形的面积为
．
【答案】 答案】
π
12
.
【考点】 考点】计算极坐标曲线所围图形的面积.
张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)
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2013考研数学基础复习解读.doc
题典1800：通关、高分、夺冠必备》，首先从“通关题”开始，深入掌握基本概念、原理、性质及基本解题方法;在此基础上进入“高分题”训练，切实提高运算能力、推理能力、空间想象能力和逻辑推理能力;最后冲击“夺冠题”，使自己的思路和解题方法、
技巧达到至高水准。
四、复习时间安排
复习的阶段可以分为三个阶段：基础奠定，强化提高，模拟冲刺。
这三个阶段只是一个大体的划分，并不是严格从哪一天开始就一定是处于基础奠定，而从哪一天开始就必须开始强化。
三个阶段也是互相渗透互相融合的。
在不同的阶段需要有不同的复习资料。
比如第一个阶段，就是以教材与基础性资料为主复习，使用这些材料的目的是深入理解概念，全面掌握大纲规定的知识点。
第二个阶段，是以综合性强，侧重于整体，达到提升基础知识，掌握做题技巧的目的。
第三阶段以做套题为主，培养做题时间的把握。
当然每一个阶段都不能少了做题，多见考研题型，多训练做题思路，熟悉考研出题方式。
2013考研数学二答案真题解析
0
π
x
sin tdt + 2dt= 2(x − π
0
π
0≤ x<π +1),π ≤ x ≤ 2π
，
由于 l= im F (x) l= im F (x) 2 ，所以 F (x) 在 x = π 处连续；
x→π −
x→π +
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梦想不会辜负每一个努力的人
梦想不会辜负每一个努力的人
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设 cos x −1 =x sinα (x) ，其中 α (x) < π ，则当 x → 0 时，α (x) 是（ ） 2
要使 lim(− 1 λ→∞ α
1 lnα
) 存在，需满足α λ
>
0 ；所以 0
<α
<
2。
（5）设 z = y f (xy) ，其中函数 f 可微，则 x ∂z + ∂z = （ ）
x
y ∂x ∂y
（A） 2 yf ′(xy) （B） −2 yf ′(xy)
【答案】（A）
（C） 2 f (xy) （D） − 2 f (xy)
π ≤ x ≤ 2π
0
）
（A） x = π 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x = π 是函数 F (x) 的可去间断点
（C） F (x) 在 x = π 处连续但不可导
（D） F (x) 在 x = π 处可导
历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。
比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。
2013年考研数一真题答案解析
一、选择题(1) D解用洛必达法则 1 l—x arctanx 1 + x 2 1 + x 2—11X l im· =l im =l i m =—hm =c #-O ,x 丑X, 一-ok x k -lx-0 k x k -l (1 +X z) k x 勺x k -11因此k -1 =Z, 一-c ,即k=3,c -一故应选D.k3CZ) A解F:=zx-ys i n(xy)+L F:=-xs i n(xy)+z, F:=y曲面x 2+c os(xy) + y z十X =0在点(0'1,—1)处的切平面的法向晕n={l ,-1,1},切平面方程为：1• (x—0)—(y—1) + 1• (z + 1)= 0, 即x—y +z --Z故应选A.(3)C解观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z 故S(x)f(x). 9 1 1 s (-—) =S(--—s -=- 1 144) (4)1(了）＝勹一故应选C(4)D解由格林公式得I ,-f (y +f )山+(Zx -�) d y =』(1—x 2-f )心d y'其中D 1:x z+y z冬1,D 2:x 2+y 2�z,D3:f +y 2冬1,yD 口x z+��l.z显然在几内有y y l-x 2 -—>O , 在队外有l -x 2-—<O ,z z又如图有D1C D4 ,D4 C D z 由重积分性质知I1>I1,I4>Iz.y 又D4=几+D4\D 5,几=D5+D3\D 5,在D3\D 5上l -x 2--<0,在D4\D5上z1 2 y-x -—z>O ,2013年（数一）真题答案解析故J4=II (1-x 2—f)dxd y + II (1—X 2 --f )dxd y D5D八D s>13=』(1y —x 2勹）dxdy + I I (1—.亢2飞）dxdy. 故应选D.D5D叭D5(5) B解由千A B =C,那么对矩阵A,C按列分块，有，、｀丿，，“` ， ． ． ． ， 2”, ，1”, （ ＿ －－n nn 12…nb b b ��…�22212…”b b b11112…n b b b） ＂＂ ， ． ． ． ，2＂， 1 ＂（ Y1 =b 11a1 +b心＋…+b.1a.,即｛了:,�b ,,a +b 心＋…+b .,a.,r. =b1na1 +b z.az +…+ b n.an. 这说明矩阵C的列向最组r 口rz '…,r. 可由矩阵A的列向量组a1,a2, …, a. 线性表出．又矩阵B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选B .(6) B解记A�[�:�'考察矩阵A的特征值为2,b ,O的条件．首先，显然1At �:,因L是A的特征值．其次，矩阵A的迹t r (A )=2 t -b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2是A的特征值．由lzE—A l=—a 2-b—a =—4a 2 =O 气=O .—l -al因此充要条件为a =O,b为任意实数，故应选B.(7) A解将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小．P 1 =P {—2�X1�2} =<P (2) -中(—2)'—2X z2Pz=P {-2�X三2}=P {—《—《—}气(1)-<P (-1)'22 2 p3 =P {-2�X3�2} -2—5 x3—5 2-5 =P {3� —3� 2 } =iP (-1)—叶习=<P行）-<P(l )'由右图正态分布曲线下的面积所代表的概率可知P1 > Pz > p 3.故应选A .x7l 3(8)C解当X-t(n)时，X 2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布．当C > 0时，由t 分布的对称性有P{Y>c 2}=P{X 2>c 2}==P{ X >c}=P{X>cUX<—c}=2P{X>c}=2a.故应选C.二、填空题(9)1解把X =O 代入方程有八0)=1. 方程y -X = e xO -y )两端同时对x 求导有f'(工)-1 = e [l -f(x )] [1-f (x ) -x f'(x ) J . 把X =O 代入上式得厂(0)=2 -f(O) =l.又limf 釭）－］-=f '(O)=l,x-oX1三卢—1]飞巴!(-;;}—l气尸�1nOO)C 1e 立+c z 产-xe红解由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得Y 1 -Y 3 = e3x,Y 2 -Y 3 = ex是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解．故相应二阶齐次线性微分方程的通解为Y O = C I e 3·x + C 2 e .所以所求非齐次方程的通解可表示为y = C1e x + C 2芒—X e2x•(11)心解•• dxdy· —= cost , -= t c ost ,dt dt. dy tcost•• -= =t,dxcost 叶店）d 2y d dy dt -=--(—)＝—一＝－1 c!x2 dx cl x clxcostc!t心1从而dx 2,-f =亢＝迈．cos—4(12)lnZ解厂l n x2dx = _ l n x += +厂dx =O+l n x1+==O —l n _l =ln 2 1O+x)l+x 1 2 l+x 1 1O+x)x(13) -1解题设条件"a ;;+A ;; = 0 "即A T =—A*'于是A =—[Al'可见A只可能是0或—1.又r(A)= r (A T ) = r (-A *) = r (A 天），则rCA)只可能为3或0.而A为非零矩阵，因此r (A)不能为o ,从而r(A) = 3 , A [ #-0 , [ A [ = -1.或，用特例法．取一个行列式为—1的正交矩阵满足A T=-A勹故应填-1.104)1——e解由于X�E(l),a>O,则由指数分布的分布函数有P{Y冬a+IY>a}=P{Y>a,Y,s;:;a+l } =P{a<Y,s;:;a+l}P {Y >a}1—P{Y冬a}1-e 一(a +])—0-e -")e -a —e -a -1 1 = = =l —e -1 = 1—— l —(1—e -a )-a e e 三、解答题05)解由条件显然有J(l )=O, J'(x)=由分部积分法及换元积分法有『八x)d x =2f J(x)d 左。
2013考研数学高数公开课-中值定理辅导讲义
公开课一：中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值—设连续))((D x x f y ∈=，其中D x ∈0。
若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f <，称0x x =为)(x f 的极大点；若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f >，称0x x =为)(x f 的极小点，极大点和极小点称为极值点。
2、极限的保号性定理定理 设)0(0)(lim 0<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，)0(0)(<>x f ，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。
【证明】设0)(lim 0>=→A x f x x ，取020>=A ε，因为A x f x x =→)(lim 0，由极限的定义，存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，2|)(|A A x f <-，于是02)(>>A x f 。
3、极限保号性的应用【例题1】设2|1|)(lim ,0)1(1=-''='→x x f f x ，讨论1=x 是否是极值点。
【例题2】（1）设0)(>'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点；（2）设0)(<'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点。
【解答】（1）设0)(>'a f ，即0)()(lim >--→ax a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(>--ax a f x f 。
当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f <；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f >。
2013年数学一19题
2013年数学一19题解析一：根据题意，不难发现这是一个最优化问题，需要利用相关知识对其进行求解。
为了方便理解和分析，下面将逐步进行解析。
首先，根据题目所给条件：对于任意的实数x，函数f(x)的图象关于点P(-4,1)对称，可推知函数f(x)的对称轴为直线x=-4。
由此可得，点A的横坐标为-4。
其次，要求函数f(x)的极值，需要确定它的导函数。
根据题意，可知函数f(x)具有2个零点，设为x1、x2，其中x1 < x2。
由对称性可得，x1和x2关于x=-4对称，即x1=-8，x2=0。
于是，可以得到函数f(x)的导函数f'(x) = (x + 8)(x)(x - 4)。
进而，可求得f'(x)的零点为x=-8、x=0和x=4，这些点将极值点与临界点进行了划分。
接下来，分析函数f(x)的符号变化情况。
根据导函数的零点，将x的实数域分为4个区间：(-∞, -8)，(-8, 0)，(0, 4)和(4, +∞)。
通过对各区间取点进行符号判断，可以得到以下变化情况：当x ∈ (-∞, -8)，f'(x)值为负，则f(x)递增；当x ∈ (-8, 0)，f'(x)值为正，则f(x)递减；当x ∈ (0, 4)，f'(x)值为负，则f(x)递增；当x ∈ (4, +∞)，f'(x)值为正，则f(x)递减。
结合以上分析，可以得出函数f(x)在区间(-∞, -8)和(0, 4)上为递增函数，在区间(-8, 0)和(4, +∞)上为递减函数。
现在，考虑求最值的问题。
由于函数f(x)在包含极值点的区间内具有单调性，因此，可以通过极值点和临界点进行比较来确定最值。
具体来说：当x → -8时，f(x)逼近于正无穷大，可得极小值。
记为M1；当x → 0时，f(x)逼近于负无穷大，可得极大值。
记为M2。
最终，需要求出M2-M1的值。
根据数列极限的性质，可以得到该差值为2。
解析二：除了上述解法，我们还可以利用对称性来进一步简化解题过程。
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第六章 定积分应用
定积分应用第六章
第六章 定积分应用
一、几何应用
1.1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）
2.2.体积：
体积： （1）已知横截面面积的体积）已知横截面面积的体积 ∫=b
a
dx
x S V )(dx
x f V b
a
x )(2
∫=π∫=b
a
y dx
x xf V )(2π（2）旋转体的体积）旋转体的体积
第六章 定积分应用
定积分的几何定积分的几何应用
应用
:(),.C y y x a x b =≤≤dx
y s b a ∫′+=213. 3. 曲线弧长（数三不要求）曲线弧长（数三不要求）()
:()x x t C y y t =⎧⎨=⎩.
βα≤≤t dt y x s ∫
′+′=β
α2
2 :(),C ρρθ=.
βθα≤≤θ
ρρβ
α
d s ∫
′+=224. 4. 旋转体侧面积（数三不要求）
旋转体侧面积（数三不要求）dx
x f x f S b
a
∫′+=)(1)(22π（1）（2）（3）第六章 定积分应用
定积分的几何应用
二、物理应用（数三不要求）
1.1.压力；压力；
2.2.变力做功；变力做功；
3.3.引力。
引力。
常考题型面积和体积的计算；
第六章 定积分应用
定积分定积分的物理应用
的物理应用
x y ln =x y ln =【例1 】过坐标原点作曲线
的切线，该切线与曲线
轴围成平面图形及x D （1）求的面积；
D e =x .V （2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
D 第六章 定积分应用
【解】设过原点的切线为y kx =，其切点为0x x =，则
00
0ln 1kx x k x
=⎧⎪
⎨
=⎪⎩
则01,,x e k e ==切线,
x
y e
=定积分的物理应用
（1）1
0()1
2
y
e
e
S ey dy
=−=−
∫
（2）
2
2
1
2()ln(5123) 36
e
e
V e x xdx e e ππ
π
=−−=++
∫
或
1
222
()(5123)
36
y
V e e e dy e e
ππ
π
=−−=−+
∫
定积分的物理应用。