2015届高考数学一轮复习单元检测： 集合与函数概念(人教A版必修一)
人教A版数学必修一第一章《集合与函数概念》复习测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章《集合与函数概念》复习测试题一、选择题1.已知集合，，若，则的值是( ).A.2B.2或3C.1或3D.1或2考查目的：本题考查了两个集合的交集的含义.答案：D.解析：验证时满足条件；验证时也满足条件.2.设集合，则( ).A. B.C. D.考查目的：本题考查了集合的补集运算，理解在给定集合中一个子集的补集的含义.答案： A.解析：3.已知，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )A. B.C. D.考查目的：本题考查了集合的识图能力，及集合的交并补运算.答案：D.解析：图中阴影部分表示的集合为，而，＝.4.若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是( ).A. B.C. D.考查目的：本题考查了二次函数的图像及其性质及数形结合的思想.答案：A.解析：结合二次函数的图像可知，当时，；当时，总有，故答案选A.5.设集合，在下面4个图形中，能够表示集合到集合的函数关系的有( ).A.①②③④B.①②③C.②③ D.②考查目的：本题考查函数的概念及函数图像的表示.答案：C.解析：①中函数定义域不是集合，④中不满足函数的概念，②③正确，答案选C.A.-3B.-1C.1D.3考查目的：本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.答案：A.解析：是定义在上的奇函数，必有，故，，故选A.二、填空题7.已知：全集，集合，，则＝ .考查目的：本题考查了集合的交集和补集运算，运算的结果仍是集合.答案：.解析：=，.8.设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 .考查目的：本题考查了集合定义的理解，以及集合元素的互异性.答案：8.解析：.9.设集合，集合，则 .考查目的：本题考查了集合的代表元素应具备的特征，及函数的定义域、值域.答案：.解析：，集合，故.10．如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是__________．考查目的：本题考查了函数的单调性，注意对二次项系数是否为0的讨论.答案：.解析：当时，，显然在区间上是单调递增的，故满足题意；当时，函数在区间上是单调递增的，则，且，解得，综上所述，实数的取值范围是.11.若集合有且仅有两个子集，则实数的值是________.考查目的：考查了子集的个数问题，本题集合A是单元素集.答案：或.解析：有且仅有两个子集，则集合是单元素集，当，即时，集合，两个子集为和；当时，则，此时，集合，两个子集为和.综上所述，实数的值为或.三、解答题12.设集合，，，求实数的取值范围.考查目的：考查了绝对值不等式的含义，及集合的并集的运算.答案：.解析：，，，∴，从而得.13.已知集合，，若，求实数的取值范围．考查目的：本题考查了与的等价关系，及子集中“空集优先”原则.答案：.解析：∵，∴.又∵，∴当时，由得；当时，则解得.综上可知，.14.已知奇函数在定义域上单调递减，求满足的实数的取值范围．考查目的：本题考查了奇函数在对称区间上的单调性问题及研究函数定义域优先的原则答案：解析：由，得.又∵为奇函数，∴．∵在定义域上单调递减，∴解得.∴实数的取值范围为．15.已知函数对一切都有．⑴求证：是奇函数；⑵若，用表示.考查目的：本题考查学生对函数概念和性质的理解.解析：⑴证明：显然的定义域是，它关于原点对称.在)中，令，得；令，得，∴，∴，即，∴是奇函数．⑵由，及是奇函数，得.。
人教a版高中数学必修1第一章《集合与函数概念》单元检测卷(详解版)
“集合与函数概念”单元检测卷一．选择题：（每小题5分共60分）1.若集合{}{}43|,4|2<<-∈===x N x B x x A ，则=⋂B A （ ）A.{}2,2-B.{}22|<<-x xC.{}2D.φ 【答案】C【解析】{}{}{}{}3,2,1,043|,2,24|2=<<-∈=-===x N x B x x A {}2=⋂∴B A故选C.2.下列函数中，与函数1-=x y 是同一函数的是（ ）A.0x x y -=B.2)1-=x y （C.133-=x yD.12-=x x y【答案】C【解析】1-=x y 的定义域为R ，对A ： 0x x y -= 的定义域为{}0|≠x x ；对B:2)1-=x y （的定义域为{}1|≥x x ；对C 133-=x y 的定义域为R ，且1-=x y ；对D ：12-=xx y 的定义域为：{}0|≠x x . 故选C. 3.函数xxx f --=22)(的定义域是（ ） A.{}02|≠≤x x x 且 B.{}2|≤x x C.{}0|≠x xD.{}02|≠<x x x 且 【答案】A 【解析】x x x f --=22)( ⎩⎨⎧≠≥-∴002x x 解得：02≠≤x x 且 )(x f ∴的定义域为{}02|≠≤x x x 且.故选A.4.已知集合{}{}A B A a B a A =⋃-=-=,,1,,1,1,则实数a 的取值为（ ）A.1B.01或C.]1,0[D.0 【答案】D【解析】A B A B A ⊆∴=⋃ a a a =∴≠1 解得：0=a .故选D.5.已知{}1,2,3-∈a a ，则实数a 的值为（ ）A.3B.43或C.2D.4 【答案】D【解析】{}3131,2,3=-=∴-∈a a a a 或 .当3=a 时，21=-a 这与21≠-a 矛盾;31=-∴a 即：4=a .故选D.6.下列函数是奇函数且在),0[∞+上是减函数的是（ ） A.xx f 1)(= B.x x f -=)( C.3)(x x f -= D.2)(x x f -= 【答案】C 【解析】xx f 1)(=的定义域{}0|≠x x ，2)()(x x f x x f -=-=和 均为偶函数， 对C ：C x f x x x f x x f ∴-==--=--=)()()()(333为奇函数3)(x x f -= 是),(∞+-∞上的减函数，),0[)(3∞+-=∴在x x f 上是减函数.故选C.7.若二次函数1)(2++=bx ax x f 在区间]1,(-∞上是减函数，则（ ）A.a b 2≤B.a b 2<C.a b 2≥D.a b 2> 【答案】A【解析】1)(2++=bx ax x f 二次函数 在区间]1,(-∞上是减函数0>∴a 且对称轴12-≥-aba b 2≤∴.故选A. 8.已知函数⎩⎨⎧>---≤+=0),2()1(0,1)(x x f x f x x x f 则=)2(f （ ）A.1-B.0C.1D.2 【答案】B【解析】0)1()0()1()0()0()1()2(=--=---=-=f f f f f f f 0)2(=∴f故选B.9.偶函数)(x f 的定义域为R ，且对于任意]0,(,21-∞∈x x )(21x x ≠均有0)()(1212<--x x x f x f 成立，若)12()1(-<-a f a f ，则正实数a 的取值范围（ ）A.),32()0,(+∞⋃-∞B.),32(+∞C.)32,0(D.]32,0( 【答案】B【解析】任意]0,(,21-∞∈x x 在，)(0)()(1212x f x x x f x f ∴<--]0,(-∞上是减函数，在),0[+∞上是增函数，又)(x f 是R 上的偶函数，|)(|)(x f x f =∴)|12|()|1|()12()1(-<-⇒-<-∴a f a f a f a f |12||1|-<-∴a a 两边平方可得：0)23(>-a a 又320>∴>a . 故选B. 10. 已知函数)(x f 的定义域),0(∞+，满足1)21(),()()(=+=f y f x f xy f ，若对任意的y x <<0，都有)()(y f x f >，那么不等式2)3()(-≥-+-x f x f 的解集为（ ）A. ]4,1[-B.)0,4[-C.)0,1[-D.]0,(-∞ 【答案】C【解析】令0)1()1(2)1(1=∴===f f f y x ，令∴==221y x ，)21()2()1(f f f += 1)2(-=∴f ，令2)2(2)4(2-==∴==f f y x 由2)3()(-≥-+-x f x f 可得 )4()3(2f x x f ≥-⎪⎩⎪⎨⎧≤->->-∴430302x x x x 解得：)0,1[-.故选C.11. 已知定义域为R 的奇函数，且)4()(x f x f -=，当)0,2[-∈x 时，x x f 1)(=，则=)27(f （ ）A. 2-B.2C.72D.72- 【答案】B【解析】2211)21()21()274()27(-=-=-=-=f f f f 又而：2)21()21(=--=f f 故选B.12. 若关于x 的函数ax a x ax x x f ++++=22232021)(的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数a 的值为（ ）A.2B. 1C. 4-D.2- 【答案】A【解析】a a x xx a x a x a a x x x a x a x ax x x f +++=+++++=++++=23222322232021)(20212021)( 设ax xx x g ++=232021)(则)(x g 为奇函数，0)()(min max =+x g x g 242=∴==+∴a a N M故选A.二．填空题：（每小题5分共20分）13. 已知集合{}{}2|),(,1|),(=-==+=y x y x B y x y x A 则集合=⋂B A .【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧-)21,23(【解析】{}{}2|),(,1|),(=-==+=y x y x B y x y x A ⎩⎨⎧=-=+∴21y x y x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2123y x⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⋂∴)21,23(B A14. 已知函数)(x f 是奇函数，当)0,(-∞∈x 时，3)1(,)(2-=+=f ax x x f 且则=a . 【答案】2-【解析】 函数)(x f 是奇函数,)()(x f x f --=∴,3)1(3)1(=-∴-=f f 31=-∴a2-=∴a15. 已知函数)2(1)(≥-=x x xx f 的最大值为 . 【答案】2 【解析】1111111)(-+=-+-=-=x x x x x x f 在),2[∞+上是减函数2)2()(max ==∴f x f 16. 已知)(x f 的定义域为),0(∞+，且满足任意),0(,∞+∈y x 且y x ≠都有)()(y f x f ≠，对任意0>x 有2)1)((,1)(=->x xf f x xf ，则=)2(f .【答案】1【解析】设2)(,1)()0(1)(=+=∴>=-a f xa x f a a x xf 又2)1)((=-x xf f 2)12(2)1)((=-∴=-∴a f a af f 则必有xx f a a a 2)(112=∴=∴-=即：1)2(=f三．解答题：（第17题10分，18—22题每题12分）17. 已知集合{}1|≥=x x A ，集合{}R a a x a x B ∈+≤≤-=,33| (1) .当4=a 时，求；B A ⋂ (2) .若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】解：(1).当4=a 时：{}71|≤≤-=x x B {}1|≥=x x A {}71|≤≤=⋂∴x x B A (2).当φ=B 时：a a +>-33解得：0<a 当φ≠B 时：⎩⎨⎧≥-+≤-1333a aa 解得：20≤≤a综上述：实数a 的取值范围]2,(-∞. 18. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=1,31,12)(2x x x x x f(1).求))21((f f ，(2).若1)(≥a f ，求实数a 的取值范围.【解析】解：(1).1)2())21((==f f f 1))21((=∴f f(2).由题意可得：⎩⎨⎧≥+≤1121a a 或⎩⎨⎧≥->1312a a 解得：10≤≤a 或2≥a综上述：实数a 的取值范围为：),2[]1,0[+∞⋃. 19. 已知函数x xx f -=21)(是定义在),0(+∞上的函数. (1) .用定义证明)(x f 在),0(+∞上是减函数；(2) .若关于x 的不等式0)2(2<+-xmx x f 恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】(1).证明：任取2121),,0(,x x x x <+∞∈且)1)(()(11)()(22211212122221212222212121++-=-+-=---=-x x xx x x x x x x x x x x x x x f x f01,0),,0(,222112122121>++>-∴<+∞∈x x x x x x x x x x 且 0)()(21>-∴x f x f 即：)()(21x f x f >故：)(x f 在),0(+∞上是减函数.(2).解：由定义域可得：022>+-xm x x 在),0(+∞恒成立，即022>+-m x x 在),0(+∞恒成立，解得1>m0)1(=f )1()2(0)2(22f xmx x f x m x x f <+-⇔<+-∴ 由(1)知：)(x f 在),0(+∞上是减函数，122>+-∴xmx x 在),0(+∞上恒成立; x x m 32+->∴在),0(+∞上恒成立，又494949)23(322≥∴≤+--=+-m x x x综上述：实数m 的取值范围为),49[+∞.20. 已知函数372)(2-+-=x x x f (1) .若]2,1(∈x 求)(x f 的最小值；(2) .若函数xkx y +=),0(+∞在时有以下结论：),0(k 在是减函数，在),(+∞k 是增函数。
人教A版数学必修一高一第一章《集合与函数概念》.docx
高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年高一数学人教A 版第一章《集合与函数概念》测试卷班级 姓名 学号说明：本卷共三大题，19小题，满分120分，考试时间：100分钟。
第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷相应的表格内）1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，M ＝{0,1,2}，N ＝{2,3}则N M C U ⋂)(＝（ ） A.{2} B.{3} C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4}2．设集合}21{<≤-=x x A ，}{a x x B >=，若φ≠⋂B A ，则a 的取值范围是（ ） A.2<a B.2≤a C.1->a D.21≤<-a 3．已知集合M ＝}012|{2=++∈ax ax R x 中只含有一个元素，则a = A.－1 B.0或－1 C.1 D.0或1 4．下列各组函数相等的是（ ）A.2()x x f x x-=与()1g x x =- B.()1f x x =+与0()g x x x =+C.()21f x x =+与()g x =|1|)(-=x x f 与2)1()(-=t t g5.下列结论中正确的是（ ）A.偶函数的图象一定与y 轴相交B.奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =C. 奇函数 ()y f x =图象一定过原点D.图象过原点的奇函数必是单调函数6．已知集合}60{≤≤=x x M ，}30{≤≤=x x P ，则下列对应关系中，不能看作从M 到P 的映射的是（ ）A ．x y x f =→:B ．x y x f 31:=→ C ．x y x f 61:=→ D ． x y x f 21:=→ 7.下列函数中，值域为(0,+∞)的是 （ ） A ．y=x B.12++=x x y C.16y x =D.y =8.若函数1)12(2+-+-=x a ax y 在区间(－∞,2]上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A.)0,21[- B. ]0,21[- C.(－∞,－21] D.(－∞，0]9．给出下列命题：①xy 1=在定义域内是减函数 ②2)1(-=x y 在(0，＋∞)上是增函数 ③xy 1-=在(－∞，0)上是增函数 ④kx y =不是增函数就是减函数． 其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．若函数432--=x x y 的定义域为[a ，b ]，值域为[-425,- 4]，则下列说法正确的是（ ）A.0=a ，1=bB.若)23,0(∈a ，则)3,23(∈b C. 若0=a ，则),3(+∞∈b D. 若)23,0(∈a ，则3=b第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分, 请将正确答案填在相应的横线上）11．函数xxx x f -++=11)(的定义域为 . 12．已知函数23)12(+=+x x f ，则=)1(f .13．函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是 . 14．已知函数()ax x f -=3在区间()1,0是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数； ②函数()1xf x x =-是单函数； ③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是______________． (写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设集合}52{≤≤-=x x A⑴.设R U =，若}32{>-≤=x x x B 或，求B A ⋂，)(B A C U ⋃ ⑵.若}121{-≤≤+=m x m x B ，且A B A = ，求实数m 的取值范围。
人教A版必修1《第1章_集合与函数的概念》单元测试题(某校)(有答案)
人教A版必修1《第1章集合与函数的概念》单元测试题（某校）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合M={x|x<√18}，m=3√2，则下列关系式中正确的是（）A.m∈MB.{m}∈MC.{m}⊊MD.m∉M2. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则∁U(A∩B)等于（）A.⌀B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}3. 设集合M＝{x|4−x2>0}，N＝{x∈R||x−1|≤2}，则M∩N等于（）A.{x|−2<x≤3}B.{x|−1≤x<2}C.{x|−2<x≤−1}D.{x|−1<x<2}4. 设集合M＝{1, 2, 3}的非空真子集个数是（）A.6B.7C.8D.95. 已知集合A∪B＝{1, 2, 3}，A＝{1}则B的子集最多可能有（）A.5个B.6个C.7个D.8个6. 设集合M={x|x2∈Z}，N={n|n+12∈Z}，则M∪N＝（）A.ϕB.MC.ZD.{0}7. 不等式3−|−2x−1|>0的解集是：（）A.{x|x<−2或x>1}B.{x|−2<x<1}C.{x|−1<x<2}D.R8. 设U为全集，集合M、N⊊U，若M∪N＝N，则（）A.∁U M⊇(∁U N)B.M⊆(∁U N)C.(∁U M)⊆(∁U N)D.M⊇(∁U N)9. 已知集合M＝{x|x≤1}，P＝{x|x>t}，若⌀⊊(M∩P)，则实数t应满足的条件是（）A.t>1B.t≥1C.t<1D.t≤110. 下列四组不等式中，不同解的是（）A.xx2−4x+12>1与x>x2−4x+12B.|x−3|>|2x+6|(x∈R)与(x−3)2>(2x+6)2C.√2x−6⋅(x−2)≥0与x≥3D.(x−2)(x−3)(x+1)(x+2)≤0与(x−2)(x−3)(x+1)(x+2)≤011. 设U＝{1, 2, 3, 4, 5}，A，B为U的子集，若A∩B＝{2}，(∁U A)∩B＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5}，则下列结论正确的是（）A.3∉A，3∉BB.3∉A，3∈BC.3∈A，3∉BD.3∈A，3∈B12. 不等式ax2+ax−4<0的解集为R，则a的取值范围是()A.−16≤a<0B.a>−16C.−16<a≤0D.a<0二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）已知全集U＝R，不等式x+43−x≥0的解集A，则∁U A＝________．不等式3−|x||x|+2≥12的解集是________．不等式−x(x+5)2<(x2−2)(x+5)2的解集是________．有以下命题：①被3除余2的数组成一个集合②|x−1|+|x+2|<3的解集为⌀③{(x,y)|y+1x−1=1}={(x, y)|y＝x−2}④任何一个集合至少有两个子集其中正确命题的序号是________（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（共5小题，满分74分）已知全集U＝{x|−x2+3x−2≤0}，集合A＝{x||x−2|>1}，集合B＝{x|(x−1)(x−2)≥0}求：（1）A∩B（2）A∪B（3）A∩∁U B（4）∁U A∪B．已知A＝{a2−1, a−2, a}，B＝{3, 2a−1, a2}，若A∩B＝{3}，求a的值．解下列不等式①3x2−2x−8≤0②0≤|2x−1|<3>2③(x−2)(x+1)2x−1④(1+x)(1−|x|)>0．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}．（1）若A中只有一个元素，求a的值；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．解关于x的不等式：x2−(a+a2)x+a3>0．参考答案与试题解析人教A版必修1《第1章集合与函数的概念》单元测试题（某校）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】正确利用集合与元素，集合与集合之间的关系用恰当利用．【解答】m=3√2=√18，M={x|x<√18}，则m∉M，2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出∁U(A∩B)．【解答】∵A∩B＝{0, 1, 2, 3}∩{2, 3, 4}＝{ 2, 3 }，全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∩B)＝{0, 1, 4}，3.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先求出集合M、N，再由交集的运算求出M∩N．【解答】由4−x2>0得，−2<x<2，则集合M＝{x|−2<x<2}，由|x−1|≤2得，−1≤x≤3，则集合N＝{x|−1≤x≤3}，所以M∩N＝{x|−1≤x<2}，4.【答案】A【考点】子集与真子集【解析】根据集合子集的公式2n（其中n为集合中的元素的个数），求出集合A的子集个数，然后除去本身和空集即可得到集合A的非空真子集的个数．因为集合A中有3个元素，所以集合A子集有23＝8个，则集合A的非空真子集的个数是8−2＝6．5.【答案】D【考点】子集与真子集【解析】由题意，集合B可能为{1, 2, 3}，即最多有三个元素，故最多有8个子集．【解答】∵集合A∪B＝{1, 2, 3}，A＝{1}，∴集合B可能为{1, 2, 3}，即最多有三个元素，故最多有8个子集．6.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】根据集合中元素的意义和性质分别化简M和N两个集合，根据两个集合的并集的定义求出M∪N．【解答】∵M={x|x2∈Z}={偶数}，N={n|n+12∈Z}={n|n＝2k−1, k∈z}＝{奇数}．∴M∪N＝{偶数}∪{奇数}＝{整数}＝Z．7.【答案】B【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】不等式即即|2x+1|<3，即−3<2x+1<3，由此求得x的范围．【解答】不等式3−|−2x−1|>0，即|2x+1|<3，即−3<2x+1<3，求得−2<x<1，8.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据集合交并补的运算，结合文恩图即可【解答】∵M∪N＝N，∴M⊆N，又∵U为全集，∴∁U M⊇∁U N．9.C【考点】子集与交集、并集运算的转换集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意，⌀⊊(M ∩P)即M ∩P ≠⌀，由集合M 与P ，分析可得t 的取值范围．【解答】根据题意，⌀⊊(M ∩P)即M ∩P ≠⌀，又由M ＝{x|x ≤1}，P ＝{x|x >t}，若M ∩P ≠⌀，必有t <1，10.【答案】D【考点】其他不等式的解法【解析】根据题意，对选项中的每对不等式进行分析、求解集，再判断它们的解集是否相同，即可得出正确的结论．【解答】对于A ，∵ x 2−4x +12＝(x −2)2+8≥8，∴ x x 2−4x+12>1⇔x >x 2−4x +12，两个不等式的解集相同；对于B ，∵ |x −3|>|2x +6|(x ∈R)，∴ (x −3)2>(2x +6)2，∴ 两个不等式的解集相同；对于C ，∵ √2x −6⋅(x −2)≥0，∴ {2x −6≥0x −2≥0，∴ x ≥3，∴ 与x ≥3的解相同；对于D ，∵ (x−2)(x−3)(x+1)(x+2)≤0⇔(x −2)(x −3)(x +1)(x +2)≤0，且(x +1)(x +2)≠0，∴ 与(x −2)(x −3)(x +1)(x +2)≤0的解不同．11.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案．【解答】因为：U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，A ，B 为U 的子集，若A ∩B ＝{2}，(∁U A)∩B ＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5}，对应的韦恩图为：故只有答案C 符合．12.【答案】C函数恒成立问题二次函数的性质一元二次不等式的解法【解析】由于不能确定原不等式的二次项系数的符号，故对a进行分类讨论：当a=0时，不等式恒成立；当a≠0时，由题意可得△<0，且a<0，将这两种情况下的a的取值范围取并集，即为所求．【解答】解：当a=0时，不等式即−4<0，恒成立．当a≠0时，由题意可得Δ=a2+16a<0，且a<0，解得−16<a<0．综上，实数a的取值范围是−16<a≤0.故选C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）【答案】{x|x<−4或x≥3}【考点】补集及其运算【解析】求解分式不等式得到集合A，然后直接利用补集运算得答案．【解答】由x+43−x≥0，得−4≤x<3．∴A＝{x|−4≤x<3}．则∁U A＝{x|x<−4或x≥3}．【答案】{x|−43≤x≤43}【考点】其他不等式的解法【解析】将不等式化简为整式不等式解之．【解答】原不等式变形为3−|x||x|+2−12≥0，整理得4−3|x||x|+2≥0，即3|x|≤4，解得不等式的解集为{x|−43≤x≤43}；【答案】{x|x>1或x<−2且x≠−5}【考点】一元二次不等式的应用【解析】由已知将不等式移项化简解之．【解答】不等式−x(x+5)2<(x2−2)(x+5)2化简为不等式(x2+x−2)(x+5)2>0，等价于(x2+x−2)>0并且(x+5)2≠0，解得x|x>1或x<−2且x≠−5，【答案】①②【考点】命题的真假判断与应用【解析】①可以写出被3除余2的数组成的集合；②由绝对值的几何意义得出|x−1|+|x+2|≥3恒成立；=1}即可判断结论错误；③化简{(x, y)|y+1x−1④举例说明命题错误．【解答】对于①，被3除余2的数组成一个集合为{x|x＝3n+2, n∈Z}，∴ ①正确；对于②，∵对∀x∈R，|x−1|+|x+2|≥3恒成立，∴|x−1|+|x+2|<3的解集为⌀，②正确；=1}＝{(x, y)|y＝x−2, 且x≠1}，∴ ③错误；对于③，∵{(x, y)|y+1x−1对于④，∵空集只有1个子集，是它本身，∴ ④错误．三、解答题（共5小题，满分74分）【答案】A∩B＝A＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，A∪B＝B＝(−∞, 1]∪(2, +∞)，A∩∁U B＝[(−∞, 1)∪(3, +∞)]∩{2}＝⌀，∁U A∪B＝[{1}∪[2, 3]]∪[(−∞, 1]∪(2, +∞)]＝(−∞, 1]∪[2, +∞)．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解不等式求出全集U及集合A与集合B，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．【解答】A∩B＝A＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，A∪B＝B＝(−∞, 1]∪(2, +∞)，A∩∁U B＝[(−∞, 1)∪(3, +∞)]∩{2}＝⌀，∁U A∪B＝[{1}∪[2, 3]]∪[(−∞, 1]∪(2, +∞)]＝(−∞, 1]∪[2, +∞)．【答案】∵A＝{a2−1, a−2, a}，B＝{3, 2a−1, a2}，A∩B＝{3}，得a2−1＝3或a−2＝3或a＝3，解得：a＝−2或3或5．验证都满足题意．∴a＝−2或3或5．【考点】交集及其运算【解析】由A∩B＝{3}，得a2−1＝3或a−2＝3或a＝3，求解a的值后并验证得答案．【解答】∵A＝{a2−1, a−2, a}，B＝{3, 2a−1, a2}，A∩B＝{3}，得a2−1＝3或a−2＝3或a＝3，解得：a＝−2或3或5．验证都满足题意．∴a＝−2或3或5．【答案】①3x2−2x−8≤0等价于(x−2)(3x+4)≤0，所以不等式的解集为{x|−43≤x≤2}；②0≤|2x−1|<3等价于−3<2x−1<3，解得{x|−1<x<2}；③将不等式化为x2−x−22x−1−2>0，整理得x(x−5)2x−1>0，所以不等式的解集为{x|0<x<12或x>5}；④(1+x)(1−|x|)>0．等价于{x≥0(x+1)(x−1)<0和{x<0(1+x)2>0，解得0≤x<1和x<0且x≠−1，所以不等式的解集为{x|x<1且x≠−1}．【考点】其他不等式的解法【解析】按照不等式的解法分别解之即可．【解答】①3x2−2x−8≤0等价于(x−2)(3x+4)≤0，所以不等式的解集为{x|−43≤x≤2}；②0≤|2x−1|<3等价于−3<2x−1<3，解得{x|−1<x<2}；③将不等式化为x2−x−22x−1−2>0，整理得x(x−5)2x−1>0，所以不等式的解集为{x|0<x<12或x>5}；④(1+x)(1−|x|)>0．等价于{x≥0(x+1)(x−1)<0和{x<0(1+x)2>0，解得0≤x<1和x<0且x≠−1，所以不等式的解集为{x|x<1且x≠−1}．【答案】当a＝0时，A＝{x|2x+1＝0}={−12}，符合条件；当a≠0时，方程ax2+2x+1＝0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1＝0只有一个实数解，所以△＝4−4a＝0⇒a＝1．所以，a的值为0或1．若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A＝⌀．由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；若A＝⌀，则方程ax2+2x+1＝0无实数解，所以△＝4−4a<0⇒a>1．所以，a≥1或a＝0．【考点】元素与集合关系的判断【解析】（1）A中只有一个元素包含两种情况：一次方程或二次方程只有一个根，二次方程根的个数通过判别式为0．（2）A中至多只有一个元素包含只有一个根或无根，只有一个根的情况在（1）已解决；无根时，判别式小于0，解得．【解答】}，符合条件；当a＝0时，A＝{x|2x+1＝0}={−12当a≠0时，方程ax2+2x+1＝0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1＝0只有一个实数解，所以△＝4−4a＝0⇒a＝1．所以，a的值为0或1．若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A＝⌀．由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；若A＝⌀，则方程ax2+2x+1＝0无实数解，所以△＝4−4a<0⇒a>1．所以，a≥1或a＝0．【答案】(x−a)(x−a2)>0①当a<0时，x>a2或x<a；②当a＝0时，x≠0；③当0<a<1时，x>a或x<a2；④当a＝1时，x≠1；⑤当a>1时，x>a2或x<a；综上，当a<0或a>1时，不等式解集为{x|x>a2或x<a}；当a＝0时，不等式解集为{x|x≠0}；当0<a<1时，不等式解集为{x|x>a或x<a2}；当a＝1时，不等式解集为{x|x≠1}．【考点】一元二次不等式的应用【解析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式，然后分a大于a2、a小于a2及a等于a2三种情况即a小于0，a等于0，a大于0小于1，a等于1，a大于1五种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．【解答】(x−a)(x−a2)>0①当a<0时，x>a2或x<a；②当a＝0时，x≠0；③当0<a<1时，x>a或x<a2；④当a＝1时，x≠1；⑤当a>1时，x>a2或x<a；综上，当a<0或a>1时，不等式解集为{x|x>a2或x<a}；当a＝0时，不等式解集为{x|x≠0}；当0<a<1时，不等式解集为{x|x>a或x<a2}；当a＝1时，不等式解集为{x|x≠1}．。
高中人教A版数学必修1单元测试：第一章 集合与函数概念Word版含解析
高中人教A版数学必修1单元测试第一章集合与函数概念(一)(集合)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}2．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是()A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}5．满足条件{1,2}∪A＝{1,2}的所有非空集合A的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个6．若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．{x＝3，y＝－1} B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}C．∅D．{(3，－1)}8．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．3 C．4 D．169．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}10．如果集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，则a 的值是( ) A ．0 B ．0或1 C ．1 D ．不能确定11．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．1212．设a ，b 都是非零实数，则y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合为( ) A ．{3} B ．{3,2,1} C ．{3，－2,1}D ．{3，－1}第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝a ＋16，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝b 2－13，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝c 2＋16，c ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是________．15．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为________．16．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c ，满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 的个数为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}． 求：A ∪B ，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B .18．(本小题满分12分)(1)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}，求(∁U M )∩N ； (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}，求A ∪(∁U B )．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若a＝－2，求A∩∁R B；(2)若A⊆B，求a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，判断集合A 与B 的关系； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 组成的集合C .22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．详解答案第一章 集合与函数概念(一)(集 合)1．D 解析：选项D 中Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以方程x 2－x ＋1＝0无实数根．2．D 解析：∵集合A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A .故选D. 3．D 解析：∵U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，∴∁U A ＝{3,9}．故选D. 4．D 解析：∵A ∩B ＝{1,2}，C ＝{2,3,4}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 5．C 解析：∵{1,2}∪A ＝{1,2}∴集合A 可取集合{1,2}的非空子集．∴集合A 有3个．故选C.6．C 解析：∵A ∪B ＝{1,4，x }，∴x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝±2或x ＝1或x＝0.检验当x ＝1时，A ＝{1,4,1}不符合集合的性质，∴x ＝2或x ＝－2或x ＝0.故选C.7．C 解析：∵集合M 的代表元素是实数，集合N 的代表元素是点，∴M ∩N ＝∅.故选C.8．C 解析：∵A ∩B ＝{1,3}，∴A ∩B 的子集分别是∅，{1}，{3}，{1,3}．故选C.解题技巧：本题主要考查了列举法表示两个集合的交集，考查了子集的求法，解决本题的关键是确定出A ∩B 所含元素的个数n ，因此所有子集的个数为2n 个．9．A 解析：∵图中阴影部分表示：x ∈N 且x ∉M ，∴x ∈N ∩∁U M .∴∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴N ∩∁U M ＝{x |－2≤x <1}．故选A.10．B 解析：∵集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，∴①当a ＝0时，集合A ＝{x |2x ＋1＝0}只有一个元素，符合题意；②当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一解，∴Δ＝0，即4－4a ＝0，∴a ＝1.故选B.11．B 解析：∵x ∈N *，12x ∈Z ，∴x ＝1时，12x ＝12∈Z ；x ＝2时，12x ＝6∈Z ；x ＝3时，12x ＝4∈Z ；x ＝4时，12x ＝3∈Z ；x ＝6时，12x ＝2∈Z ；x ＝12时，12x ＝1∈Z .12．D 解析：①当a ＞0，b ＞0时，y ＝3；②当a ＞0，b ＜0时，y ＝－1；③当a ＜0，b ＞0时，y ＝－1；④当a ＜0，b ＜0时，y ＝－1.13．a ≥－1 解析：如图：∵A ∩B ≠∅，且A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，∴a ≥－1. 14．AB ＝C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝a ＋16，a ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(6a ＋1)，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝b 2－13，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3b －2)，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16[3(b ＋1)－2]，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝c 2＋16，c ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3c ＋1)，c ∈Z .∴A B ＝C .15．m ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，13 解析：集合A ＝{2，－3}，又∵B ⊆A ，∴B ＝∅，{－3}，{2}．∴m ＝0或m ＝－12或m ＝13.16．1 006 解析：因为若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c 且a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c ＝4b ，因此满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，符合条件的b 的值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006个．解题技巧：本题主要考查了以集合为背景的新概念题，解决本题的关键是弄清楚新概念、新运算、新方法的含义，转化为集合问题求解．17．解：∵全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， ∴A ∪B ＝{x |2<x <10}，A ∩B ＝{x |3≤x <7}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≥7或x <3}． ∵∁R A ＝{x |x ≥7或x <3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．18．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁U M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥0}． ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥0}．19．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3， 又A ∪B ＝{x |x ＞－2}， ∴－2＜a ≤－1， 又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.20．解：(1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，A ⊆B ， ∴a ＋3<－1，∴ a <－4.解题技巧：本题主要考查了描述法表示的集合的运算，集合间的关系，解决本题的关键是借助于数轴求出符合题意的值．在解决(2)时，特别注意参数a 是否取到不等式的端点值．21．解：A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． (1)若a ＝15，则B ＝{5}，所以B A . (2)若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15；综上所述，实数a 组成的集合C 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.22．解：(1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上，a ≥－18；(2)∵B ＝{1,2}，A ∩B ＝A ，∴A ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． ①A ＝∅，Δ<0，即a <－18；②当A ＝{1}或{2}时，Δ＝0，即a ＝0且a ＝－18，不存在这样的实数； ③当A ＝{1,2}，Δ>0，即a >－18且a ≠1，解得a ＝0. 综上，a <－18或a ＝0.第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 1002．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个3．函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A．－1,1) B．－1,1)∪(1，＋∞) C．－1，＋∞) D．(1，＋∞)4．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．－2,2] B．1,2]C．0,2] D．－2， 2 ] 5．已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为()A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤1－x －2，1<x ≤2B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x ＋2，1<x ≤2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x －2，1<x ≤2D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1－x ＋2，1<x ≤26．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x2)－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]7．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( ) A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称8．设f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)9．若奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在－3，－1]上( ) A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 D ．(0,3)11．若f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，则当不等式|f (x ＋t )－1|<3的解集为(－1,2)时，t 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．212．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在1，＋∞)上为增函数．若x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝ax 7＋bx －2，且f (2 014)＝10，则f (－2 014)的值为________． 14．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1，记f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＝m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝n ，则m ＋n ＝________. 16．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2x －2.若f (x )≥a 2－1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知f (x －2)＝3x －5，求f (x )；(2)若f (f (f (x )))＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝1x －1，x ∈2,6]．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)若y＝f(x)在区间－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b∈R)，若f(1)＝－1且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在k，k＋1](k≥1)上的最大值为8，求实数k的值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值74.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间0,1]上的最小值，其中t∈R；(3)在区间－1,3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．详解答案第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)1．D解析：∵y＝x－1与y＝(x－1)2＝|x－1|的对应关系不同，∴它们不是同一函数；y＝x－1(x≥1)与y＝x－1x－1(x>1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x(x>0)与y＝2lg x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lg x－2(x>0)与y＝lg x100＝lg x－2(x>0)有相同的定义域、值域与对应关系，因此它们是同一函数．2．C解析：令x2＝0,1,4，解得x＝0，±1，±2.故选C.3．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.4．C 解析：令t ＝－x 2＋4x ，x ∈0,4]，∴t ∈0,4]．又∵y 1＝x ，x ∈0，＋∞)是增函数∴ t ∈0,2]，－t ∈－2,0]，∴y ∈0,2]．故选C.5．C 解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1，－1)，(2,0)代入f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.故选C. 6．D 解析：f (x )＝2⊕x (x2)－2＝22－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2.由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|－2≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )＝－4－x 2x .7．A 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．8．D 解析：∵f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．9．D 解析：因为奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x )在－3，－1]上是增函数，且有最大值0.10．A 解析：由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，所以该函数为R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤a 0，解得0<a ≤14.解题技巧：本题主要考查了分段函数的单调性，解决本题的关键是利用好该函数为R 上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a 0≥4a ”．11．C 解析：由不等式|f (x ＋t )－1|<3，得－3＜f (x ＋t )－1＜3，即－2＜f (x ＋t )＜4.又因为f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，所以f (0)＝4，f (3)＝－2，所以f (3)＜f (x ＋t )＜f (0)．又f (x )在R 上为减函数，则3＞x ＋t ＞0，即－t ＜x ＜3－t ，解集为(－t,3－t )．∵不等式的解集为(－1,2)，∴－t ＝－1,3－t ＝2，解得t ＝1.故选C.12．A 解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数且把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，即f (2＋x )＝f (－x )．因为x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，所以2＜2＋x 2＜－x 1.因为函数在1，＋∞)上为增函数，所以f (2＋x 2)＜f (－x 1)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故选A.13．－14 解析：设g (x )＝ax 7＋bx ，则g (x )是奇函数，g (－2 014)＝－g (2 014)．∵f (2 014)＝10且f (2 014)＝g (2 014)－2，∴g (2 014)＝12，∴g (－2 014)＝－12，∴f (－2 014)＝g (－2 014)－2，∴f (－2 014)＝－14.14．a <12 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2.∵y ＝1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a >0，∴a <12.15．18 解析：因为函数f (x )＝x ＋3x ＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋3xx ＋1.又因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4(x ＋1)x ＋1＝4，f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116 ＝f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (8)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (1)＋4×4＝18， 所以m ＋n ＝18.解题技巧：本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力，解决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4.16．－1≤a <0 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a 2－1，解得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x －2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2.由对数函数的图象可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min ＝－2a ＋2， 所以－2a ＋2≥a 2－1，即a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a ≤1.又a <0， 所以－3≤a <0. 综上所述，－1≤a <0.17．解：(1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (f (x ))＝a 2x ＋ab ＋b ， f (f (f (x )))＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26，解得a ＝3，b ＝2.则f (x )＝3x ＋2.18．(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )是定义域上的减函数．(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1. 19．解：(1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000. 当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000； 当x ＝300时，f (x )max ＝25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000； 所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当月产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000元． 20．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 又因为x ∈－5,5]．所以函数的最大值为37，最小值为1. (2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数， 则有－a ≤－5或－a ≥5解得a ≤－5或a ≥5.解题技巧：本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调性．解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系．注意分类讨论．21．解：(1)由题意可得f (1)＝a ＋b ＝－1且－b2a ＝1， 解得a ＝1，b ＝－2. (2)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.因为k ≥1，所以f (x )在k ，k ＋1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (k ＋1)＝(k ＋1)2－2(k ＋1)＝8， 解得k ＝±3. 又k ≥1，所以k ＝3.22．解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋74＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4；②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立，∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立．∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94， ∴m <－94.。
人教A版数学必修一集合与函数的概念单元测试题.doc
1 / 6高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作集合与函数的概念单元测试题北郊中学高一数学备课组一、选择题（每小题 5 分，共 10 小题）1．已知函数 y=f （ x ），则该函数与直线 x=a 的交点个数（） A 、 1B、2C、无数个D、至多一个2、下列四组函数中，两函数是同一函数的是：（）（ A ）?(x)=x 2 与?(B)?(x)= ( x ) 2 与?(x)=x; (x)=x(C) ?(x)=x 与?(x)= 3 x 3; (D) ?(x)=x 2 与?(x)= 3x 3 ;3、函数 f ( x)x 2 2ax 3 在区间 ( –∞， 2) 上为减函数，则有：（ ）A 、 a( ,1] ； B 、 a [ 2,) ； C 、 a [1,2] ； D、 a (,1] [2, )4、已知 f(2 1)=x+3 ，则 f ( x) 的解析式可取 （）3x 1x 3x 1 2xxA 、 x 1 ； B、 x 1；C 、1 x2 ；D、1 x 2。
5、已知函数 f ( x)ax 5bx 3cx 8，且 f ( 2) 10 ，则函数 f(2) 的值是（）A 、2；6．已知 y ＝f(x) A ．－ x(1 C ．－ x(1 B、6；C、6 ；D、8。
是奇函数，当 x ＞ 0 时，f(x) ＝ x(1 ＋x) ，当 x ＜ 0 时，f(x) 等于（）－x)B ． x(1 －x)＋ x )D ． x(1 ＋x)7、已知集合 A={x|y= 1 x 2 ， x ∈ R} ， B={x|x=t 2， t ∈ A} ，则集合（）A 、A BB 、BAC 、ABD、B A22的最小值 ( )8、设 α , β 是方程 x － 2mx ＋ 1－ m =0 (m ∈ R)的两个实根 , 则 α 2 ＋ β2马鸣风萧萧2 / 6A. －2B. 0C. 1D. 29、函数?(x 3 )= x 2+4x-5, 则函数? ≥ 0) 的值域是 : ( )(x)(x(A)41 ;(B)9,;(C)33 ;(D)7,,,4410、某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168 元／套，以成本计算，一套盈利20％，而另一套亏损 20％，则此商贩 ( )A ．不赚也不赔B ．赚 37.2 元C ．赚 14 元D ．赔 14 元二、填空题： （每小题 5 分，共 6 小题）11． y=x 2 2x 3 的单调减区间是；12、函数 y=f(x) 的定义域为 [-2 ， 4] 则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为。
人教A版数学必修一第一章 《集合与函数概念》单元测试题.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 《集合与函数概念》单元测试题姓名： 班别： 学号：一、选择题：每小题4分，共40分1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是( )（A ）② （B ）③（C ）②③ （D ）①②③2、若{}{}|02,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ⋃= ( ) （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥（C ）{}02x ≤≤ （D ）{}|02x x << 3、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ⋂= ( )（A ）{}1,2 （B ）{}0,1（C ）{}0,3 （D ）{}34、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（） （A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3(5、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ）（A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f（C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）⎩⎨⎧-==xx x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 6、是定义在上的增函数,则不等式的解集是（ ）(A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,716) 7、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ ）A .是减函数，有最小值0B .是增函数，有最小值0C .是减函数，有最大值0D .是增函数，有最大值08、如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数()H h ≤≤0。
人教A版必修1高考题单元试卷：第1章_集合与函数概念(04)(有答案)
人教A版必修1高考题单元试卷：第1章集合与函数概念（04）一、选择题（共27小题）的定义域为（）1. 函数f(x)=lg(x+1)x−1A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−1, 1)∪(1, +∞)D.[−1, 1)∪(1, +∞)2. 函数y=√1−x+√x的定义域为（）A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0}D.{x|0≤x≤1}的定义域为( )3. 函数f(x)=√4−|x|+lg x2−5x+6x−3A.(2, 3)B.(2, 4]C.(2, 3)∪(3, 4]D.(−1, 3)∪(3, 6]4. 设函数y＝f(x)的图象与y＝2x+a的图象关于y＝−x对称，且f(−2)+f(−4)＝1，则a＝（）A.−1B.1C.2D.45. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油6. 函数y=√x ln(1−x)的定义域为（）A.(0, 1)B.[0, 1)C.(0, 1]D.[0, 1]( )A.{3}B.{4}C.{3, 4}D.⌀8. 设全集I ＝{(x, y)|x, y ∈R}，集合M ＝{(x, y)|y−3x−2=1}，N ＝{(x, y)|y ≠x +1}．那么M ¯∩N ¯等于（ ）A.12B.{(2, 3)}C.(2, 3)D.{(x, y)|y ＝x +1}9. 已知函数f(x)的定义域为(−1, 0)，则函数f(2x +1)的定义域为（ ）A.(−1, 1)B.(−1,−12)C.(−1, 0)D.(12，1)10. 已知A ={x|x +1>0}，B ={−2, −1, 0, 1}，则(∁R A)∩B =( )A.{−2, −1}B.{−2}C.{−2, 0, 1}D.{0, 1}11. 把函数y ＝e x 的图象按向量a →=(2, 3)平移，得到y ＝f(x)的图象，则f(x)＝（ ）A.e x−3+2B.e x+3−2C.e x−2+3D.e x+2−312. 函数f(x)=ln (x 2−x)的定义域为（ ）A.(0, 1)B.[0, 1]C.(−∞, 0)∪(1, +∞)D.(−∞, 0]∪[1, +∞)13. 设全集为R ，函数f(x)=√1−x 的定义域为M ，则∁R M 为( )A.(−∞, 1)B.(1, +∞)C.(−∞, 1]D.[1, +∞)14. 函数y ＝cos 2x −3cos x +2的最小值为（ ）A.2B.0C.−14D.615. 设全集为R ，函数f(x)=√1−x 2的定义域为M ，则∁R M 为（ ）A.[−1, 1]B.(−1, 1)C.(−∞, −1)∪(1, +∞)D.(−∞, −1]∪[1, +∞)A.(1, +∞)B.[1, +∞)C.(2, +∞)D.[2, +∞)17. 已知函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +c ．且0<f(−1)＝f(−2)＝f(−3)≤3，则（ ）A.c ≤3B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c >918. 设集合S ={x|x >−2}，T ={x|x 2+3x −4≤0}，则(∁R S)∪T =( )A.(−2, 1]B.(−∞, −4]C.(−∞, 1]D.[1, +∞)19. 函数f(x)=√log x−1的定义域为（ ） A.(0, 2)B.(0, 2]C.(2, +∞)D.[2, +∞)20. 函数f(x)=√(log 2x)−1的定义域为( ) A.(0, 12)B.(2, +∞)C.(0, 12)∪(2, +∞)D.(0, 12]∪[2, +∞) 21. 函数y =1log2(x−2)的定义域为（ ） A.(−∞, 2)B.(2, +∞)C.(2, 3)∪(3, +∞)D.(2, 4)∪(4, +∞) 22. 设x ∈R ，定义符号函数sgnx ={1,x >0，0,x =0，−1,x <0，则( )A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx23. 已知函数f(x)＝x 2−2(a +2)x +a 2，g(x)＝−x 2+2(a −2)x −a 2+8．设H 1(x)＝max {f(x), g(x)}，H 2(x)＝min {f(x), g(x)}，(max {p, q})表示p ，q 中的较大值，min {p, q}表示p ，q 中的较小值），记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A −B ＝（ ）A.16B.−16C.−16a 2−2a −16D.16a 2+2a −1624. 如果|x|≤π4,f(x)=cos 2x +sin x 最小值是（ ）A.√2−12 B.−1+√22 C.−1 D.1−√2225. 设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x−1)与y＝f(1−x)的图象关于（）A.直线y＝0对称B.直线x＝0对称C.直线y＝1对称D.直线x＝1对称26. 设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）A.Z∪∁U NB.N∩∁U NC.∁U(∁u⌀)D.∁U{0}27. 若集合E＝{(p, q, r, s)|0≤p<s≤4, 0≤q<s≤4, 0≤r<s≤4且p, q, r, s∈N}，F＝{(t, u, v, w)|0≤t<u≤4, 0≤v<w≤4且t, u, v, w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)+card(F)＝（）A.200B.150C.100D.50二、填空题（共3小题）已知函数f(x)=a x+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a+b=________．已知集合U={2, 3, 6, 8}，A={2, 3}，B={2, 6, 8}，则(∁U A)∩B＝________．)+√1−x2的定义域为________．函数y=ln(1+1x参考答案与试题解析人教A 版必修1高考题单元试卷：第1章 集合与函数概念（04）一、选择题（共27小题）1.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】依题意可知要使函数有意义需要x +1>0且x −1≠0，进而可求得x 的范围．【解答】要使函数有意义需{x +1>0x −1≠0， 解得x >−1且x ≠(1)∴ 函数f(x)=lg (x+1)x−1的定义域是(−1, 1)∪(1, +∞)． 故选：C ．2.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】保证两个根式都有意义的自变量x 的集合为函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则需{1−x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1，∴ 原函数定义域为[0, 1].故选D .3.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则有{4−|x|≥0，x 2−5x+6x−3>0，即{−4≤x ≤4，(x−2)(x−3)x−3>0，化简得{−4≤x ≤4，x >2，x ≠3，解得2<x ≤4且x ≠3，即函数的定义域为(2, 3)∪(3, 4].故选C.4.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先求出与y ＝2x+a 的反函数的解析式，再由题意f(x)的图象与y ＝2x+a 的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f(x)的解析式，问题得以解决．【解答】∵ 与y ＝2x+a 的图象关于y ＝x 对称的图象是y ＝2x+a 的反函数，y ＝log 2x −a(x >0)，即g(x)＝log 2x −a ，(x >0)．∵ 函数y ＝f(x)的图象与y ＝2x+a 的图象关于y ＝−x 对称，∴ f(x)＝−g(−x)＝−log 2(−x)+a ，x <0，∵ f(−2)+f(−4)＝1，∴ −log 22+a −log 24+a ＝1，解得，a ＝2，5.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．【解答】对于A ，由图象可知当速度大于40km/ℎ时，乙车的燃油效率大于5km/L ，∴ 当速度大于40km/ℎ时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴ 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度小于80km/ℎ时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴ 用丙车比用乙车更省油，故C 正确；对于D ，由图象可知当速度为80km/ℎ时，甲车的燃油效率为10km/L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故D 错误． 6.B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式可直接得到不等式组{x ≥01−x >0，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足{x ≥0,1−x >0,解得0≤x <1， 即函数y =√x ln (1−x)的定义域为[0, 1).故选B .7.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】通过已知条件求出A ∪B ，∁U B ，然后求出A ∩∁U B 即可．【解答】解：因为全集U ={1,2,3,4}，且∁U (A ∪B)={4}，所以A ∪B ={1, 2, 3}，B ={1, 2}，所以∁U B ={3, 4}，所以A ={3}或{1, 3}或{2, 3}或{1, 2, 3}．所以A ∩∁U B ={3}．故选A ．8.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先化简集合M ，再计算M ¯∩N ¯．【解答】∵ M ＝{(x, y)|y ＝x +1或(x, y)≠(2, 3)}，∴ M ¯={(x,y)|y ≠x +1(x,y)=(2,3)}，又∵ N ¯={(x,y)|y =x +1}．∴ M ¯∩N ¯={(2, 3)}．9.【答案】B函数的定义域及其求法【解析】原函数的定义域，即为2x +1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵ 原函数的定义域为(−1, 0)，∴ −1<2x +1<0，解得−1<x <−12．∴ 则函数f(2x +1)的定义域为(−1,−12)．故选B ．10.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A ，再求其在实数集中的补集，最后求集合B 与A 的补集的交集即可．【解答】解：∵ A ={x|x +1>0}={x|x >−1}，∴ ∁R A ={x|x ≤−1}，∴ (∁R A)∩B ={x|x ≤−1}∩{−2, −1, 0, 1}={−2, −1}.故选A.11.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】平移向量a →=(ℎ, k)就是将函数的图象向右平移ℎ个单位，再向上平移k 个单位．【解答】把函数y ＝e x 的图象按向量a →=(2, 3)平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y ＝f(x)的图象，∴ f(x)＝e x−2+3，12.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】则定义域为(−∞, 0)∪(1, +∞)．故选C ．13.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法补集及其运算【解析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1−x ≥0，得x ≤1，即M =(−∞, 1]，又全集为R ，所以∁R M =(1, +∞)．故选B ．14.【答案】B【考点】函数的值域及其求法余弦函数的定义域和值域【解析】先进行配方找出对称轴，而−1≤cos x ≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．【解答】y ＝cos 2x −3cos x +2＝(cos x −32)2−14∵ −1≤cos x ≤1∴ 当cos x ＝1时y min ＝0，15.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法补集及其运算【解析】求出函数f(x)的定义域得到集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】由1−x 2≥0，得−1≤x ≤1，即M ＝[−1, 1]，又全集为R ，所以∁R M ＝(−∞, −1)∪(1, +∞)．16.【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点0<a<1<b，则lg a=−lg b，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．【解答】解：因为f(a)=f(b)，所以|lg a|=|lg b|，不妨设0<a<b，则0<a<1<b，∴lg a=−lg b，lg a+lg b=0，∴lg(ab)=0，∴ab=1，又a>0，b>0，且a≠b，∴(a+b)2>4ab=4，∴a+b>2.故选C.17.【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由f(−1)＝f(−2)＝f(−3)列出方程组求出a，b，代入0<f(−1)≤3，即可求出c的范围．【解答】由f(−1)＝f(−2)＝f(−3)得{−1+a−b+c=−8+4a−2b+c−1+a−b+c=−27+9a−3b+c，解得{a=6b=11，则f(x)＝x3+6x2+11x+c，由0<f(−1)≤3，得0<−1+6−11+c≤3，即6<c≤9，18.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁R S，再利用并集的定义求出结果．【解答】解：∵集合S={x|x>−2}，∴∁R S={x|x≤−2}，T={x|x2+3x−4≤0}={x|−4≤x≤1}，故(∁R S)∪T={x|x≤1}.故选C．19.【答案】C函数的定义域及其求法【解析】分析可知，{x >0log 2x −1>0，解出x 即可． 【解答】由题意可得，{x >0log 2x −1>0， 解得{x >0x >2，即x >(2) ∴ 所求定义域为(2, +∞)．20.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则(log 2x)2−1>0(x >0)，即log 2x >1或log 2x <−1，解得x >2或0<x <12，即函数的定义域为(0, 12)∪(2, +∞)，故选C.21.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意得{x −2>0，log 2(x −2)≠0，解得x >2且x ≠3．故选C ．22.【答案】D【考点】带绝对值的函数分段函数的应用【解析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．解：对于选项A ，右边=x|sgnx|={x,x ≠0，0,x =0，而左边=|x|={x,x ≥0，−x,x <0，显然不正确； 对于选项B ，右边=xsgn|x|={x,x ≠0，0,x =0，而左边=|x|={x,x ≥0，−x,x <0，显然不正确； 对于选项C ，右边=|x|sgnx ={x,x ≠0，0,x =0，而左边=|x|={x,x ≥0，−x,x <0，显然不正确； 对于选项D ，右边=xsgnx ={x,x >0，0,x =0，−x,x <0，而左边=|x|={x,x ≥0，−x,x <0，显然正确. 故选D ．23.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】先作差得到ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝2(x −a)2−(8)分别解出ℎ(x)＝0，ℎ(x)>0，ℎ(x)<(0)画出图形，利用新定义即可得出H 1(x)，H 2(x)．进而得出A ，B 即可．【解答】②由ℎ(x)>0，解得x >a +2，或x <a −2，此时f(x)>g(x)(1)③由ℎ(x)<0，解得a −2<x <a +2，此时f(x)<g(x)．综上可知：（1）当x ≤a −2时，则H 1(x)＝max {f(x), g(x)}＝f(x)＝[x −(a +2)]2−4a −4， H 2(x)＝min {f(x), g(x)}＝g(x)＝−[x −(a −2)]2−4a +12，（2）当a −2≤x ≤a +2时，H 1(x)＝max {f(x), g(x)}＝g(x)，H 2(x)＝min {f(x), g(x)}＝f(x)(2)(3)当x ≥a +2时，则H 1(x)＝max {f(x), g(x)}＝f(x)，H 2(x)＝min {f(x), g(x)}＝g(x)，故A ＝g(a +2)＝−[(a +2)−(a −2)]2−4a +12＝−4a −4，B ＝g(a −2)＝−4a +12，∴ A −B ＝−4a −4−(−4a +12)＝−(16)24.【答案】D【考点】函数的值域及其求法同角三角函数间的基本关系【解析】由|x|≤π4，可进一步得到sin x 的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．【解答】函数f(x)＝cos 2x +sin x ＝1−sin 2x +sin x =−(sin x −12)2+54 ∵ |x|≤π4，∴ −π4≤x ≤π4∴ −√22≤sin x ≤√22 ∴ sin x =−√22时，(sin x −12)23+2√24 ,f(x)1−√2225. 【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】本选择题采用取特殊函数法．根据函数y ＝f(x)定义在实数集上设出一个函数，由此函数分别求出函数y ＝f(x −1)与y ＝f(1−x)，最后看它们的图象的对称即可．【解答】假设f(x)＝x 2，则f(x −1)＝(x −1)2，f(1−x)＝(1−x)2＝(x −1)2，它们是同一个函数，此函数图象关于直线x ＝1对称．26.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题目中条件“全集U＝R”，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案．【解答】解：∵全集U=R，∴Z∪∁U N=R，N∩∁U N=⌀，∁U(∁u⌀)=⌀，∁U{0}={x∈R|x≠0}．故选A.27.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算排列、组合及简单计数问题子集与交集、并集运算的转换【解析】对于集合E，s＝4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素(p, q, r, s)有4×4×4＝64个，再讨论s＝3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】s＝3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3＝27种（1）s＝2时，有2×2×2＝8种（2）s＝1时，有1×1×1＝1种（3）∴card(E)＝64+27+8+1＝100(4)(2)u＝4时：若w＝4，t，v的取值的排列情况有4×4＝16种（5）若w＝3，t，v的取值的排列情况有4×3＝12种（6）若w＝2，有4×2＝8种（7）若w＝1，有4×1＝4种（8）u＝3时：若w＝4，t，v的取值的排列情况有3×4＝12种（9）若w＝3，t，v的取值的排列情况有3×3＝9种（10）若w＝2，有3×2＝6种（11）若w＝1，有3×1＝3种（12）u＝2时：若w＝4，t，v的取值的排列情况有2×4＝8种（13）若w＝3，有2×3＝6种（14）若w＝2，有2×2＝4种（15）若w＝1，有2×1＝2种（16）u＝1时：若w＝4，t，v的取值的排列情况有1×4＝4种（17）若w＝3，有1×3＝3种（18）若w＝2，有1×2＝2种（19）若w＝1，有1×1＝1种（20）∴card(F)＝100(21)∴card(E)+card(F)＝2(00)故选：A．二、填空题（共3小题）【答案】−3 2【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b=−1，1a=0不符合题意舍去；当0<a<1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是减函数，所以{1+b=−1，1a+b=0，解得b=−2，a=12，综上a+b=−32.故答案为：−32.【答案】{6, 8}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求(∁U A)∩B【解答】解：由题意知，∵U={2, 3, 6, 8}，集合A={2, 3}，∴∁U A={6, 8}，又B={2, 6, 8}，故(∁U A)∩B={6, 8}.故答案为：{6, 8}【答案】(0, 1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．【解答】由题意得：{1+1x>01−x2≥0，即{x<−1或x>0−1≤x≤1，解得：x∈(0, 1]. 故答案为：(0, 1].。
高中数学第一章集合与函数概念质量评估检测新人教A版必修1
【师说】2015-2016学年高中数学第一章集合与函数概念质量评估检测新人教A 版必修1时间：120分钟满分：150分解析：••• U = {1,2,3,4} , ?U (A U B ) = {4},••• A U B= {1,2,3}.又••• B= {1,2} ,• {3} ? A ? {1,2,3}.又?U B= {3,4} ,• A n ?U B = {3}. 答案：A3. ⑷⑸ y = ( ,，2x - 5)2, y = 2x - 5.A. (1) , (2) B . (2) , (3) C. (3) , (5) D . (4)x + 3 x — 5解析：(1)中的y =x + 3 与y = x — 5定义域不同.(2)中两个函数的定义域不同.（3）中第1个函数的定义域、值域都为R,而第2个函数的定义域是R,但值域是{y | y >0}. （5）中两个函数的定义域不同，值域也不同.（4）中显然是同一函数.答案：D4. 2014 •福州高一检测下列函数是偶函数的是 （）23A. y = 2x - 3 B . y = x2C. y = x , x € [0,1] D . y = x解析：由函数奇偶性定义可知 B D 均为奇函数，C 定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A 为偶函数.答案：A5. 2014 •洛阳高一检测 若函数f (x )满足f (3x + 2) = 9x + 8，贝U f (x )的解析式是( )A. f (x ) = 9x + 8B. f (x ) = 3x + 2一、选择题：本大题共 只有一项是符合题目要求的.1 •若集合A = {x € R| A. 4 C. 0 D . 0 或 4解析：当a = 0时，方程化为1 = 0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ^0时,由 A = a - 4a = 0，解得 a = 4.答案：A2. ?U B =(A. C. 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,2 . . _________________ax + ax + 1 = 0}中只有一个元素，则 a =( )B . 2 已知集合 A, B 均为全集U ={1,2,3,4} 的子集，且？u (A U B ) = {4} , B = {1,2}，则A A){3} B . {4} {3,4} D . ?2014 •衡水高一检测 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）x + 3 x -5(1)y = 'X + 1 x - 1, y = ； x + 1 x - 1 y = x , y = x 2.3尸y =x , y = x .C. f (x) = —3x—4D. f (x) = 3x + 2 或f (x) = - 3x-4解析：令3x + 2= t，贝U 3x = t - 2,故f(t) = 3( t - 2) + 8= 3t + 2.答案：B6. 2014 •大庆高一检测设f(x)是定义在R上的奇函数，当x W0时，f(x) = 2x2- x,则f(1)=( )A. —3 B 1C. 1 D . 3解析：T x W0 时，f (x) = 2x —x,•••f( —1) = 2 —( —1) = 3.又f (x)为R上的奇函数，故f ( —1) =—f(1)，所以f(1) =—3.答案：A7. 设集合S= {x|x>—2}, T= {x| —4W x w 1}，贝U S A T=( )A. ［—4,+^) B . ( —2, +m)C. ［—4,1］ D . ( —2,1］解析：S A T= {x|x > —2} A{x| —4< x w 1} = {x| —2v x< 1}. 答案：D&函数f (x) = 1 + x + $的定义域是()z\.A. ［—1 ,s)B. ( —s, 0) U (0 ,+s)C. ［—1,0) U (0 ,+s)D. R1 + x》0,解析：要使函数有意义，需满足x工0,即x>—1且X M0,故选C.答案：C9. 已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f ( —1) + g(1) = 2, f(1) + g( —1) = 4,则g(1)等于()A. 4 B . 3C. 2 D . 1解析：T f(x)是奇函数，• f( —1) = —f(1).又g(x)是偶函数，• g( —1) = g(1).T f( —1) + g(1) = 2,.・. g(1) —f(1) = 2.①又f(1) + g( —1) = 4,二f(1) + g(1) = 4.② 由①②，得g(1) = 3.答案：B10. 2014 •浏阳高一检测已知偶函数y = f(x)在［0,4］上是增函数，则一定有()A. f ( —3) > f ( n ) B . f( —3) V f ( n)C. f (3) > f( — n ) D . f( —3) >f ( — n)解析：T f (x)是偶函数，• f ( —3) = f(3) , f( —n ) = f ( n ).又f(x)在［0,4］上是增函数，• f(3) V f ( n ) . • f ( —3) V f ( n ).答案：B11. (2014 •昆明高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x v 0时，f(x) = x —x2，则当x> 0 时，f(x)=( )2 2A. x —x B . —x—xC. —x+ x2 D . x+ x2解析：当x> 0 时，一x v 0, • f ( —x) =—x—( —x) = —x —X,又f ( —x) = —f (x), 故f(x) = x+ x2.答案：D12. 2014 •安阳高一检测一个偶函数定义在［—7,7］上，它在［0,7］上的图象如图所示，下列说法正确的是()A. 这个函数仅有一个单调增区间B. 这个函数有两个单调减区间C. 这个函数在其定义域内有最大值是7D. 这个函数在其定义域内有最小值是- 7解析：结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在［—7,7］上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7,无法判断最小值是多少.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____________________________________________________ 已知函数f(x) =A/X—1.若f(a) = 3,则实数a = ____________________________________________ . 解析：因为f(a) = a —1 = 3，所以a—1 = 9，即a= 10.答案：10214. 用列举法表示集合：A= {x|—^€ Z, x€ Z}= .x+ 1解析：因为x € Z,所以当x=—3时，有一1 € Z;当x = —2时，有一2€ Z;当x = 0时，有2€ Z;当x= 1 时，有1 € Z,所以A= { —3, —2,0,1}.答案：{ —3,—2,0,1}15. _____________________________________________________________________ 函数f (x) = —x2+ b在［—3,—1］上的最大值是4，则它的最小值是 _______________________ .解析：函数f(x) = —x2+ b在［—3, —1］上是增函数，当x=—1时取最大值，所以b=5，当x=—3 时，取最小值f ( —3) =—9 + 5 = —4.答案：—416. ___________________________________________ 已知函数y = f(x)在(一g, 0) U (0,+^)上为奇函数，且在(0 ,+^)上为增函数，f( —2) = 0,则不等式x • f (x) v 0的解集为.解析：根据题意画出f (x)大致图象：由图象可知一2v x v 0或0v x v 2时，x • f(x) v 0.答案：(一2,0) U (0,2)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 2014 •武昌高一检测，10分已知函数f (x) = x+ m，且f(1) = 3.x(1) 求m(2) 判断函数f (x)的奇偶性.解析：(1) ••• f (1) = 3，即1 + m= 3,m= 2.4 分2⑵由⑴知，f(x) = x + -，其定义域是{X|X M 0}，关于原点对称，7分x2 2又f (—x) = - X+ =- x +- =-f(x)，所以此函数是奇函数.10分—x x18. 2014 •杭州高一检测, 12分已知集合A= {x|3 < x v 6} , B= {x|2 v x v 9}.(1)分别求？R(A Q B , (?R E) U A;⑵已知C= {x|a v x v a+1}，若C? B,求实数a的取值范围.解析：(1) ••• A n B= {x|3 W x v 6},.?R(A n B) = {x| x v 3 或x > 6},•/ ?R B= {x| x W2 或x>9},•••(?R B) U A= {x| x<2 或3< x v 6 或x>9}.6分a> 2,⑵••• C? B,. , • 2W a< 8.a+ 1W9•实数a的取值范围为：2W a< 8.12分19. 2014 •郑州高一检测，12分已知函数f (x) = x2+ 2ax+ 2, x € ［—5,5］.(1) 当a=—1时，求函数f (x)的最大值和最小值；⑵求实数a的取值范围，使y = f(x)在区间［—5,5］上是单调函数.解析：(1)当a=—1 时，f (x) = x2—2x + 2 = (x—1)2+ 1.••• x€ ［—5,5］，故当x = 1时，f (x)的最小值为1,当x =—5时，f(x)的最大值为37.6分(2) 函数f (x) = (x+ a)2+ 2—a2的图象的对称轴为x = —a.••• f(x)在［—5,5］上是单调的，••—a<—5 或—a>5.即实数a的取值范围是a<—5或a> 5.12分20. 2014 •德州高一检测,12分设函数f(x) = x2—2|x| - 1( - 3< x< 3),⑴证明：f (x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；⑶指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；⑷求函数的值域.解析：(1) ••• f (-x) = ( -X)2—2| -x| - 1 = x2-2| x| - 1 = f (x)，即f ( -x) = f (x), •••f(x)是偶函数.3分2 2⑵当X A0 时，f (x) = x -2x- 1 = (x- 1) - 2,2 2当x v0 时，f (x) = x + 2x- 1 = (x + 1) - 2,2x - 1 - 2, 0< x w 3,即f (x) = 2x + 1 - 2, - 3W x v 0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.6分(3) 函数f(x)的单调区间为[-3,- 1) , [ - 1,0) , [0,1) , [1,3].f(x)在区间[—3,- 1) , [0,1)上为减函数，在区间[—1,0) , [1,3]上为增函数.9分⑷当x>0时，函数f (x) = (x- 1)2- 2的最小值为一2，最大值f(3) = 2; 当x v0时，函数f (x) = (x + 1)2-2的最小值为一2,最大值f ( -3) = 2.故函数f (x)的值域为[—2,2].12 分m)2+ 2 5 21. 2014 •临沂高一检测，12分已知函数f (x)= 是奇函数，且f(2)=.3x+ n 3(1) 求实数m和n的值；(2) 判断函数f (x)在(一a, —1]上的单调性，并加以证明.解析：(1) T f (x)是奇函数，•-f( -x) =- f(x).2 2 2” mx + 2 mx+ 2 mx+ 2即=- =-3x + n 3x+ n —3x - n、5比较得n=- n, n= 0,又f (2)=-,34m+ 2=6 =53 m= 2,即实数m和n的值分别是2和0.6分⑵函数f (x)在(-a, - 1]上为增函数.22X + 2 2X 2=——I3x 3 3x'设 X i V X 2<- 1,2则 f (X 1)— f ( X 2)= 3( X 1 —X 2)2X 1X 2— 1 =(X1 — X 2)•3X 1X 223(x 1 — X 2) v 0, X 1X 2> 0, X 1X 2 — 1 > 0, 3•••f (X 1)— f (X 2) v 0,.・.f (X 1) v f (X 2), 即函数f (x )在(—a, — 1］上为增函数.12分ax + b22. 2014 •济宁高一检测，12分 函数f (x ) =是定义在(—1,1)上的奇函数,1十X(1)确定函数f (x )的解析式；⑵ 用定义证明：f (x )在(一1,1)上是增函数；(3) 解不等式 f (t — 1)十 f (t ) v 0.解析：(1) ••• f (X )是定义在(—1,1)上的奇函数,b = 0.1 2a 1114•- a = 1.3 分x•函数解析式为f ( x ) = 1十x2( — 1 v x v 1).⑵证明：任取 X 1 , X 2€ ( — 1,1)，且 X 1V X 2,X 1X 2f ( X 1) — f ( X 2) = - 2 — 2 ' 1 2 31 十 X 1 1十 X 2--- 2 22 十 X 1 1 十 X 2'T — 1v X 1< X 2 v 1 ,3 2• X 1 — X 2 v 0,1 — X 1X 2> 0, (1 十 X 1)(1 十 X 2)> 0, • • f (X 1) — f (X 2) v 0,即卩 f (X 1) v f (X 2). • f (x )在(一1,1)上为增函数.6分(3) T f (t — 1)十 f (t ) v 0,「.f (t — 1) v — f (t ). T f ( — t ) =— f (t ) , • f (t — 1) v f ( — t ).证明如下：由⑴知f (x )=1 一X 1X•f (— X )=— f (X ),即- ax + b —ax — b 2 1十X 2 1十X —1v t — 1 v 1,—1v — t v 1 ,t — 1 v — t .1解得0v t v 2b =— b ,X1 —X2 1 —X1X21 •不等式的解集为{t|0 v t v2}.12分•f (X)为(一1,1)上的增函数.。
人教新课标版数学高一A版必修1单元检测 第一章集合与函数概念
数学人教A 必修1第一章 集合与函数概念单元检测(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则A ∪B ＝( )．A ．{2}B ．{1,2,2,4}C ．{1,2,4}D ．∅2．2010年11月，第16届亚运会在广州举行，在这次亚运会中，下列能构成集合的是( )．A ．所有著名运动员B ．所有志愿者C ．所有喜欢中国的运动员D ．参加开幕式表演的所有高个子演员 3．给出下列集合A 到集合B 的几种对应：其中，是从A 到B 的映射的有( )．A ．(1)(2)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(∁U B )＝( )． A ．{2} B ．{x |x ≤1}C.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．{x |x ≤1，或x ＝2}5．函数f (x )( )． A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0，＋∞) C ．[－1,0)∪(0，＋∞) D ．R6．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x ∈N *|x ＜7}，Q ＝{x |x －3＞0}，那么图中阴影表示的集合是( )．A ．{1,2,3,4,5,6}B ．{x |x ＞3}C ．{4,5,6}D ．{x |3＜x ＜7}7．设集合M ＝{x |x ＞1}，P ＝{x |x 2－6x ＋9＝0}，则下列关系中正确的是( )． A ．M ＝P B ．P M C ．M P D ．M ∪P ＝R8．函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的值域是( )． A ．R B ．[3,6]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，f (7)＝6，则f (x )( )．A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是610．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，都有2121()()x x f x f x --＞0，则( )．A ．f (－5)＜f (4)＜f (6)B ．f (4)＜f (－5)＜f (6)C ．f (6)＜f (－5)＜f (4)D ．f (6)＜f (4)＜f (－5)第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．定义在[－2,4]上的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是__________，单调递减区间是__________．12．已知函数f (x )＝31,3,,3,x x x x +<⎧⎪⎨>⎪⎩则f [f (1)]＝__________.13．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，A ∩B ＝B ，设实数m 所能取的一切值构成的集合为P ，则用列举法表示P ＝__________.14．已知函数f (x )＝2x ＋3，g (x )＝3x －5，如果f [g (x 0)]＝1，则x 0＝__________. 15．如图是偶函数y ＝f (x )的局部图象，根据图象所给信息，有以下结论：①函数一定有最小值； ②f (－1)－f (2)＞0；③f (－1)－f (2)＝0； ④f (－1)－f (2)＜0； ⑤f (－1)＋f (2)＞0.其中正确的结论有__________．(填序号)三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知函数f (x )＝－2x ＋m ，其中m 为常数． (1)求证：函数f (x )在R 上是减函数；(2)当函数f (x )是奇函数时，求实数m 的值．17．(15分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2， (1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：A 根据映射的定义知，(3)中集合A 中的元素a 对应集合B 中的两个元素x ，y ，则此对应不是映射；(4)中集合A 中的元素b 在集合B 中没有对应元素，则此对应也不是映射．仅有(1)(2)符合映射的定义，则(1)(2)是映射．4. 答案：C A ＝1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x ≤1}， 则A (B )＝12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.5. 答案：C 要使函数有意义，x 的取值需满足10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1,0)(0，＋)．6. 答案：C P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x |x ＞3}，则阴影表示的集合是P Q ＝{4,5,6}．7. 答案：B ∵P ＝{3}，∴PM .8. 答案：C 画出函数y ＝x 2－2x ＋3，－1≤x ≤2的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．9. 答案：B ∵f (x )是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.10. 答案：C ∵对任意x 1，x 2(－，0](x 1≠x 2)，都有2121()()x x f x f x --＞0，∴对任意x 1，x 2∈(－，0]，若x 1＜x 2，总有f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－，0]上是增函数．∴f (－4)＞f (－5)＞f (－6)． 又∵函数f (x )是偶函数， ∴f (－6)＝f (6)，f (－4)＝f (4)， ∴f (6)＜f (－5)＜f (4)．11. 答案：(－1,1) [－2，－1]，[1,4]12. 答案：2 f (1)＝3＋1＝4，f [f (1)]＝f (4)＝4＝2. 13. 答案：11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭由题意得A ＝{－3,2}，集合B 是关于x 的方程mx ＋1＝0的解集．由A B ＝B 得BA ，∴B ＝或B ≠.当B ＝时，m ＝0；当B ≠时，m ≠0，则x ＝1m-A ，则1m-＝－3或1m -＝2，解得m ＝13或12-.综上，m ＝0或13或12-，则P ＝11,0,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 14. 答案：43因为g (x 0)＝3x 0－5，所以f [g (x 0)]＝f (3x 0－5)＝2(3x 0－5)＋3＝6x 0－7＝1，解得x 0＝43.15. 答案：④⑤ ∵所给图象为函数的局部图象，∴不能确定函数一定有最小值；由图象知函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是增函数，则f (1)－f (2)＜0，又函数y ＝f (x )是偶函数，则f (－1)＝f (1)，则f (－1)－f (2)＜0.∵f (－1)＝f (1)＞0，f (2)＞0， ∴f (－1)＋f (2)＞0.16. 答案：(1)证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(－2x 1＋m )－(－2x 2＋m )＝2(x 2－x 1)， ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是减函数． (2)解：∵函数f (x )是奇函数， ∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝－f (x )． ∴2x ＋m ＝－(－2x ＋m )．∴m ＝0. 17. 答案：解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝2k x，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，2k x＝2， ∴k 1＝1，k 2＝2.∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋22x x x ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭＝－h (x )， ∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数． (3)由(2)知h (x )＝x ＋2x，设x 1，x 2是(0]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则h (x 1)－h (x 2)＝121222x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(x 1－x 2)＋1222x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(x 1－x 2)12121212()(2)21x x x x x x x x ⎛⎫---=⎪⎝⎭， ∵x 1，x 2(02，且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜2.∴x 1x 2－2＜0，(x 1－x 2)(x 1x 2－2)＞0. ∴h (x 1)＞h (x 2)．∴函数h (x )在(02]上是减函数，函数h (x )在(02]上的最小值是h 2)＝22 即函数f (x )＋g (x )在(02]上的最小值是22.。
人教A数学必修1专题一专题检测卷：集合与函数概念(有答案)
人教A数学必修1专题一专题检测卷：集合与函数概念一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，集合A={1,2,5}，∁U B={1,3,5}，则A∪B=（）A.{2}B.{1,4,5}C.{1,2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2. 已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则下列关系中一定成立是（）A. f(−4)>f(−6)B. f(−4)<f(−6)C.f(4)>f(−6)D.f(4)<f(−6)3. 已知集合S={a, b, c}中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不可能是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形+√4−2x的定义域为（）4. 函数f(x)=√x+1A.[−1,2]B.(−1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)5. 如图设全集U为整数集，集合A={x∈N|1≤x≤6}，B={x∈Z|−1<x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.86. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上是减函数的是（）D.f(x)=2xA.f(x)=−x2B.f(x)=|x+1|C. f(x)=1x7. 已知f(√x+1)=x+1，则函数f(x)的解析式为（）A. f(x)=x2−2x+2(x≥1)B. f(x)=x2+1(x≥1)C.f(x)=x2D. f(x)=x2−2x(x≥1)8. 在平面直角坐标系下，函数f(x)=−x√1−x2的图象（）|x+2|+|x−2|A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y =x 对称9. 函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，则下列各式恒成立的是（ ）A. f(−1)<f(1)<f(2)B. f(1)<f(2)<f(−1)C. f(2)<f(−1)<f(1)D. f(−1)<f(2)<f(1)10. 设f(x)是偶函数，且当x >0时，f(x)是单调函数，则满足f(2x)=f (x+1x+4)的所有x 之和为________.11. 已知函数f(x)={x 2−2x −1,x <0x 2+2x −1,x ≥0，对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，则下列不等式恒成立的是（ ）A.f (x 1)+f (x 2)<0B.f (x 1)+f (x 2)>0C.f (x 1)−f (x 2)>0D.f (x 1)−f (x 2)<012. 若函数f(x)满足：对任意实数x ，有f(2−x)+f(x)=0且f(x +2)+f(x)=0，当x ∈[0,1]时，f(x)=−(x −1)2，则当x ∈[2017,2018]时，函数f(x)的解析式为（ ）A.f(x)=(x −3)2B.f(x)=(x −1)2C.f(x)=(x −2017)2D.f(x)=(x −2018)2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)函数f(x)=|x|(1−x)的单调递增区间是________.已知集合A ={x|y =√4−x 2}，B ={x|a <x <a +1}，若A ∩B =B ，则实数a 的取值范围为________.若函数f(x)=x 2−2x 在(a, 3+2a)上有最小值，则实数a 的取值范围是________．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2，若对任意的x ∈[m,m +4]，不等式f(x +2m)≥4f(x)恒成立，则实数m 的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知集合A={x|y=√x−1√5−x，B={x|1<x−1<7}，C={x|−a<x≤a+ 3}．（1）求A∪B，(∁R A)∩B；（2）若C∪A=A，求a的取值范围．某商店试销一种成本单价为40元的机器人玩具，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元，经试销调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=−x+100的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S元．(1)试用销售单价x表示日利润S.(2)试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大日利润？最大日利润是多少？此时的日销售量是多少？已知定义在集合A上的函数f(x)=x2+3，g(x)=4x+3的值域分别为S和T．(1)若A=[−1,5]，求S∩T；(2)若A=[0, m]，且S=T，求实数m的值；(3)若对于集合A中的每一个数x，都有f(x)=g(x)，求集合A.已知函数f(x)=x2−mx+2．（1）若f(x)在区间(−∞,1]上的最小值为−1，求实数m的值；（2）若m≥4，对任意的x1，x2∈[1,m2+1]，总有|f(x1)−f(x2)|≤m24−4，求实数m的取值范围．已知f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数，且f(1)=1．当a，b∈[−1, 1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并给予证明；(2)若f(x)≤m2−2am+1对任意的a∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．已知函数f(x)=x2+1，且g(x)=f(f(x))，G(x)=g(x)−2λf(x).(1)若λ=3，求函数G(x)的最小值.(2)是否存在λ∈R，使得G(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(−1,0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析人教A数学必修1专题一专题检测卷：集合与函数概念一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本题考查集合的相关运算．【解答】解：因为U={x∈Z|1≤x≤5}，所以U={1,2,3,4,5}．因为∁U B={1,3,5}，所以B={2,4}，故A∪B={1,2,4,5}．故选C．2.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题主要考查函数的单调性与奇偶性．【解答】解：由(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，知f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(4)<f(6)．又f(x)为奇函数，所以f(−4)>f(−6)．故选A．3.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性【解析】本题主要考查集合中元素的互异性与三角形形状的判断．【解答】解：因为集合中a，b，c三个元素是互异的，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选D．4.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】本题主要考查函数定义域的求解．【解答】解：方法一 要使函数f(x)=√x+1√4−2x 有意义，则{x +1>04−2x ≥0，解得−1<x ≤2. 故选B ．方法二 因为x ≠−1，所以排除A ；取x =3，则4−2x =4−6=−2<0，所以x ≠3，排除C ，D ．故选B ．5.【答案】C【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】本题主要考查真子集个数的求解.【解答】解：图中阴影部分表示的集合为A ∩B ，而A ∩B ={1,2,3}，所以其真子集为⌀，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个.故选C .6.【答案】C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断．【解答】解：f(x)=−x 2是偶函数，不符合题意；f(x)=|x +1|是非奇非偶函数，不符合题意； f(x)=1x 是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，符合题意；f(x)=2x 是奇函数，但在(0,+∞)上是增函数，不符合题意．故选C ．7.【答案】A【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】本题主要考查函数解析式的求解．【解答】解：设√x +1=t ，则x =(t −1)2(t ≥1)，所以f(t)=(t −1)2+1=t 2−2t +2(t ≥1)，所以f(x)=x 2−2x +2(x ≥1)．故选A ．8.【答案】C【考点】一次函数的性质与图象【解析】本题主要考查函数的图象与性质．【解答】解：由1−x 2≥0，得−1≤x ≤1，∴ f(x)=−x√1−x 2|x+2|+|x−2|=−x√1−x 2x+2+2−x =−x√1−x 24， ∴ f(−x)=x√1−x 24=−f(x)，∴ f(x)是奇函数，∴ f(x)的图象关于原点对称．故选C ．9.【答案】B【考点】函数单调性的性质【解析】本题主要考查函数的对称性与单调性．【解答】解：由函数f(x)的图象关于直线x =1对称得f(−1)=f(3)，因为函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(−1)．故选B ．10.【答案】−8【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间【解析】本题主要考查函数的单调性与奇偶性等知识.【解答】解：∵ f(x)是偶函数，f(2x)=f (x+1x+4)，∴ f(|2x|)=f (|x+1x+4|).又f(x)在(0,+∞)上为单调函数，∴ |2x|=|x+1x+4|，即2x =x+1x+4或2x =−x+1x+4，整理得2x2+7x−1=0或2x2+9x+1=0. 设方程2x2+7x−1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4，则根据韦达定理可得：(x1+x2)+(x3+x4)=−72+(−92)=−8.故答案为：−8.11.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】本题考查函数的单调性、函数的奇偶性、分段函数、函数的图象等知识. 【解答】解：当x<0时，−x>0，所以f(−x)=x2−2x−1=f(x).当x>0时，−x<0，所以f(−x)=x2+2x−1=f(x)，即函数f(x)为偶函数.作出函数f(x)的图象如图所示.由图知当x>0时，函数f(x)单调递增，所以f(|x1|)<f(|x2|)，即f(x1)<f(x2)，所以f(x1)−f(x2)<0.故选D.12.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】本题考查函数解析式的求解．【解答】解：由f(x+2)+f(x)=0，得f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)=−(x−1)2，所以当x∈[1,2]时，2−x∈[0,1]，则f(2−x)=−(2−x−1)2=−(x−1)2，又f(2−x)+f(x)=0，所以f(x)=(x −1)2．因为2017=4×504+1，2018=4×504+2，所以当x ∈[2017,2018]时，x −2016∈[1,2]，f(x)=f(x −2016)=(x −2017)2． 故选C ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)【答案】[0,12] 【考点】函数的单调性及单调区间【解析】本题主要考查函数的单调区间．【解答】解：f(x)={−x 2+x ，x ≥0x 2−x ，x <0，结合其图象（图略）， 可知f(x)的单调递增区间是[0,12]．故答案为：[0,12]． 【答案】[−2,1]【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】本题考查集合间的运算及包含关系.【解答】解：集合A ={x|y =√4−x 2}={x|−2≤x ≤2}，B ={a <x <a +1}，又A ∩B =B ，所以B ⊆A ，{a ≥−2a +1≤2， 解得−2≤a ≤1.故答案为：[−2,1].【答案】(−1, 1)【考点】二次函数的性质【解析】本题考查了二次函数的性质.【解答】解：因为函数f(x)=(x −1)2−1，若函数f(x)在(a, 3+2a)上有最小值，则{a <13+2a >1，解得−1<a <1.故答案为：(−1, 1)．【答案】[4，+∞)【考点】函数恒成立问题【解析】本题考查函数的奇偶性与不等式恒成立的综合应用.【解答】解：依题意得f(x)={x 2,x ≥0−x 2,x <0，所以函数f(x)在R 上单调递增，且4f(x)=f(2x).对任意的x ∈[m,m +4]，不等式f(x +2m)≥4f(x)恒成立，等价于对任意的x ∈[m,m +4]，不等式f(x +2m)≥f(2x)恒成立，等价于对任意的x ∈[m,m +4]，不等式x +2m ≥2x 恒成立，等价于对任意的x ∈[m,m +4]，不等式恒成立2m ≥x ，则2m ≥m +4，解得m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞).故答案为：[4,+∞).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【答案】解：（1）∵ A ={x|y =√x −1√5−x }，∴ x 需满足{x −1≥05−x >0， 解得1≤x <5，∴ A ={x|1≤x <5}．∵ B ={x|1<x −1<7}，∴ B ={x|2<x <8}，∴ A ∪B ={x|1≤x <8}．∵ ∁R A ={x|x <1或x ≤5}，∴ (∁R A )∩B ={x|5≤x <8}．（2）∵ C ∪A =A ，∴ C ⊆A ．①当C =⌀时，满足C ⊆A ，此时−a ≥a +3，解得a ≤−32； ②当C ≠⌀时，要使C ⊆A ，则{−a <a +3−a ≥1a +3<5，解得−32<a ≤−1．由①②得a 的取值范围为(−∞,−1]．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ A ={x|y =√x −1√5−x }，∴ x 需满足{x −1≥05−x >0， 解得1≤x <5，∴ A ={x|1≤x <5}．∵ B ={x|1<x −1<7}，∴ B ={x|2<x <8}，∴ A ∪B ={x|1≤x <8}．∵ ∁R A ={x|x <1或x ≤5}，∴ (∁R A )∩B ={x|5≤x <8}．（2）∵ C ∪A =A ，∴ C ⊆A ．①当C =⌀时，满足C ⊆A ，此时−a ≥a +3，解得a ≤−32； ②当C ≠⌀时，要使C ⊆A ，则{−a <a +3−a ≥1a +3<5，解得−32<a ≤−1．由①②得a 的取值范围为(−∞,−1]．【答案】解：(1)S(x)=xy −40y =(x −40)y=(x −40)(−x +100)=−x 2+140x −4000(40≤x ≤80)．(2)由(1)，知S =−x 2+140x −4000(40≤x ≤80)，所以S =−(x −70)2+900(40≤x ≤80)，当x =70时，S 取得最大值900.所以销售单价定为70元时，该商店可获得最大日利润900元，此时的日销售量是30件.【考点】函数模型的选择与应用二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)S(x)=xy −40y =(x −40)y=(x −40)(−x +100)=−x 2+140x −4000(40≤x ≤80)．(2)由(1)，知S =−x 2+140x −4000(40≤x ≤80)，所以S =−(x −70)2+900(40≤x ≤80)，当x =70时，S 取得最大值900.所以销售单价定为70元时，该商店可获得最大日利润900元，此时的日销售量是30件.【答案】解：(1)若A=[−1,5]，则函数f(x)=x2+3的值域为S=[3,28]，g(x)=4x+3的值域T=[−1,23]，∴S∩T=[3,23].(2)若A=[0,m]，则S=[3,m2+3]，T=[3,4m+3]，由S=T，得m2+3=4m+3，解得m=4或m=0（舍去）.∴实数m的值为4.(3)若对于A中的每一个数x，都有f(x)=g(x)，则x2+3=4x+3，∴x2=4x，解得x=4或x=0，∴满足题意的集合A是{0}或{4}或{0,4}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)若A=[−1,5]，则函数f(x)=x2+3的值域为S=[3,28]，g(x)=4x+3的值域T=[−1,23]，∴S∩T=[3,23].(2)若A=[0,m]，则S=[3,m2+3]，T=[3,4m+3]，由S=T，得m2+3=4m+3，解得m=4或m=0（舍去）.∴实数m的值为4.(3)若对于A中的每一个数x，都有f(x)=g(x)，则x2+3=4x+3，∴x2=4x，解得x=4或x=0，∴满足题意的集合A是{0}或{4}或{0,4}.【答案】解：（1）函数f(x)=x2−mx+2，其图象的对称轴方程为x=m2．当m≤2时，f(x)min=f(m2)=−m24+2=−1，∴m=−2√3；当m>2时，f(x)在区间(−∞,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=12−m+2=−1，∴m=4．综上可知，m=−2√3或m=4．（2）∵m≥4，∴m2∈[1,m2+1]时，且(m2+1)−m2≤m2−1，∴当x∈[1,m2+1]时，f(x)min=f(1)=3−m，f(x)min=f(m2)=−m24+2．∵对任意的x1，x2∈[1,m2+1]，总有|f(x1)−f(x2)|≤m24−4，∴f(x)max−f(x)min=3−m+m24−2=m24−m+1≤m24−4，解得m≥5，∴实数m的取值范围是[5,+∞]．【考点】函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）函数f(x)=x2−mx+2，其图象的对称轴方程为x=m2．当m≤2时，f(x)min=f(m2)=−m24+2=−1，∴m=−2√3；当m>2时，f(x)在区间(−∞,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=12−m+2=−1，∴m=4．综上可知，m=−2√3或m=4．（2）∵m≥4，∴m2∈[1,m2+1]时，且(m2+1)−m2≤m2−1，∴当x∈[1,m2+1]时，f(x)min=f(1)=3−m，f(x)min=f(m2)=−m24+2．∵对任意的x1，x2∈[1,m2+1]，总有|f(x1)−f(x2)|≤m24−4，∴f(x)max−f(x)min=3−m+m24−2=m24−m+1≤m24−4，解得m≥5，∴实数m的取值范围是[5,+∞]．【答案】解：(1)f(x)在[−1, 1]上为单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[−1, 1]，且x1<x2，则−x2∈[−1,1]，∵f(x)是奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)⋅(x1−x2)，x1+(−x2)>0，又x1−x2<0，由已知，得f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[−1, 1]上单调递增.(2)∵f(1)=1，f(x )在[−1, 1]上单调递增.∴在[−1, 1]上，f(x)≤1．∴原问题转化为m2−2am+1≥1对任意的a∈[−1,1]恒成立.即m2−2am≥0对任意的a∈[−1,1]恒成立.设g(a)=−2am+m2.①若m=0，则g(a)=0≥0，对任意的a∈[−1,1]恒成立；②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)≥0对任意的a∈[−1,1]恒成立，则有g(−1)≥0，且g(1)≥0，即2m+m2≥0，且−2m+m2≥0，∴m≤−2或m≥2.综上，m的取值范围是{m|m=0或m≥2或m≤−2}.【考点】函数恒成立问题函数单调性的判断与证明二次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)在[−1, 1]上为单调递增.证明如下：任取x1，x2∈[−1, 1]，且x1<x2，则−x2∈[−1,1]，∵f(x)是奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)⋅(x1−x2)，x1+(−x2)>0，又x1−x2<0，由已知，得f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[−1, 1]上单调递增.(2)∵f(1)=1，f(x )在[−1, 1]上单调递增.∴在[−1, 1]上，f(x)≤1．∴原问题转化为m2−2am+1≥1对任意的a∈[−1,1]恒成立.即m2−2am≥0对任意的a∈[−1,1]恒成立.设g(a)=−2am+m2.①若m=0，则g(a)=0≥0，对任意的a∈[−1,1]恒成立；②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)≥0对任意的a∈[−1,1]恒成立，则有g(−1)≥0，且g(1)≥0，即2m+m2≥0，且−2m+m2≥0，∴m≤−2或m≥2.综上，m的取值范围是{m|m=0或m≥2或m≤−2}.【答案】解：g(x)=f(f(x))=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.G(x)=g(x)−2λf(x)=x4+2x2+2−2λx2−2λ=x4+2(1−λ)x2+2(1−λ). (1)若λ=3，则G(x)=x4−4x2−4=(x2−2)2−8，所以当x=±√2时，函数G(x)取得最小值−8.(2)存在λ=2，使得G(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(−1,0)上为增函数.理由如下：设x1，x2∈(−∞,0)，x1<x2，则G(x1)−G(x2)=[x14+(2−2λ)x12+(2−2λ)]−[x24+(2−2λ)x22+(2−2λ)]= (x1+x2)(x1−x2)[x12+x22+2(1−λ)].因为G(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(−1,0)上为增函数，所以当x1<x2≤−1时，G(x1)−G(x2)>0，因为(x1+x2)(x1−x2)>0，x12+x22+2(1−λ)>1+1+2−2λ=4−2λ，则4−2λ≥0，所以λ≤2；①当−1<x1<x2<0时，G(x1)−G(x2)<0，因为(x1+x2)(x1−x2)>0，x12+x22+2(1−λ)<1+1+2−2λ=4−2λ，则4−2λ≤0，所以λ≥2.②由①②得λ=2.【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：g(x)=f(f(x))=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.G(x)=g(x)−2λf(x)=x4+2x2+2−2λx2−2λ=x4+2(1−λ)x2+2(1−λ). (1)若λ=3，则G(x)=x4−4x2−4=(x2−2)2−8，所以当x=±√2时，函数G(x)取得最小值−8.(2)存在λ=2，使得G(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(−1,0)上为增函数.理由如下：设x1，x2∈(−∞,0)，x1<x2，则G(x1)−G(x2)=[x14+(2−2λ)x12+(2−2λ)]−[x24+(2−2λ)x22+(2−2λ)]= (x1+x2)(x1−x2)[x12+x22+2(1−λ)].因为G(x)在(−∞,−1]上为减函数，在(−1,0)上为增函数，所以当x1<x2≤−1时，G(x1)−G(x2)>0，因为(x1+x2)(x1−x2)>0，x12+x22+2(1−λ)>1+1+2−2λ=4−2λ，则4−2λ≥0，所以λ≤2；①当−1<x1<x2<0时，G(x1)−G(x2)<0，因为(x1+x2)(x1−x2)>0，x12+x22+2(1−λ)<1+1+2−2λ=4−2λ，则4−2λ≤0，所以λ≥2.②由①②得λ=2.。
人教a版高一(上)高考题单元试卷：第1章+集合与函数概念(07)
人教A版高一（上）高考题单元试卷：第1章集合与函数概念（07）一、选择题（共16小题）1．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．122．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解5．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．6．已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 7．已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]9．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x+]=[2x]10．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上11．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y] 12．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]13．已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．14．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥215．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜016．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．二、填空题（共11小题）17．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．18．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=．19．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=．20．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．21．设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=．22．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．23．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．24．设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．25．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．26．已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．27．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．三、解答题（共3小题）28．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．29．设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．30．设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．人教A版高一（上）高考题单元试卷：第1章集合与函数概念（07）参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．4．已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．5．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．6．已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选：A．7．已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=1，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．9．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x+]=[2x]【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=1.8，则[x+]=2，[x]=1，所以B选项为假．对C，x=﹣1.4，则[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．10．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．11．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．12．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．13．已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意可设k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x ﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．14．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．15．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g （b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．16．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选：B．二、填空题（共11小题）17．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．18．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．19．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．20．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．21．设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=﹣1．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x ﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．22．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．23．设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．24．设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．25．直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）26．已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）27．设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[0，]∪[，π] ．【解答】解：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈[0，]∪[，π]．故答案为：[0，]∪[，π]．三、解答题（共3小题）28．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．29．设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f（）=b﹣；（Ⅱ）﹣≤x≤时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|=|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|b﹣b0|当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=，等号成立；当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=﹣，等号成立．由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值为D=|a﹣a0|+|b ﹣b0|．（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣≤1取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b﹣=1．由此可知，z=b﹣满足条件D≤1的最大值为1．30．设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f （﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，则，由于0≤b﹣2a≤1，由此≤s ≤（﹣1≤t≤1），当0≤t≤1时，≤st ≤，由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，得﹣≤≤9﹣4，所以﹣≤b≤9﹣4；当﹣1≤t＜0时，≤st ≤，由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．第21页（共21页）。
人教A版数学必修一单元测评(一) 集合与函数概念.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作单元测评(一)集合与函数概念(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于()A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}C．{1,3,7,8} D．{1,3,6,7,8}解析：A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.答案：C2．已知f(x)，g(x)对应值如表x 01－1f(x)10－1x 01－1g(x)－10 1则f(g(1))的值为()A．－1 B．0C．1 D．不存在解析：∵g (1)＝0，f (0)＝1，∴f (g (1))＝1，故选C. 答案：C3．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1，故选C.答案：C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)，－x 2＋3x (x ＜2)，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．4解析：f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (4)＋f (－1)＝3，故选B.答案：B5．若f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{2} B ．(－∞，2] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]解析：f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋m 24的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，m 2，由条件知m 2≥1，∴m ≥2，故选C.答案：C6．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：x＝5时，y＝1,2,3,4；x＝4时，y＝1,2,3；x＝3时，y＝1, 2；x＝2时，y＝1，共10个，故选D.答案：D7．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为()A．{x|x>3或－3<x<0}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}解析：由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即为f(x)<f(3)，∴x>3，当x<0时，f(x)＜1即f(x)<f(－3)，∴x<－3，故选C.答案：C8．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)．又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.答案：A9．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )A ．0B ．1 C.52D ．5解析：f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝12，又f (－1)＝－f (1)＝－12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝52，故选C. 答案：C10．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，若f (x )≥g (x )，f (x )，若f (x )<g (x ).则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值解析：作出F (x )的图像，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝__________.解析：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B .∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案：112．已知函数f (x )＝3x 2＋mx ＋2在区间[1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是__________．解析：∵－m6≤1，∴m ≥－6，f (2)＝14＋2m ≥14＋2×(－6)＝2. 答案：[2，＋∞)13．如图所示，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f (3)＝__________.解析：由已知，得f (3)＝1，f (1)＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)＝f (1)＝2. 答案：214．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为__________．解析：由于 4 000×11%＝440>420，设稿费x 元，x <4 000，则(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800(元)．答案：3 800元三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为A ∩B ≠∅，所以a <－1或a ＋3>5，即a <－1或a >2.(6分) (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a >5或a <－4.(12分)16．(12分)图中给出了奇函数f (x )的局部图像，已知f (x )的定义域为[－5, 5]，试补全其图像，并比较f (1)与f (3)的大小．解：奇函数的图像关于原点对称，可画出其图像如图.(8分)显然f(3)＞f(1)．(12分)17．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．解：(1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，∴对称轴为x＝1.(4分)又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)．(6分)∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，即f(x)＝2x2－4x＋3.(10分)(2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <12. (12分)18．(14分)已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝ax . (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )<g (x )；(2)记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，a ]上的最小值(a >0)． 解：(1)由题意，得|x －2|<2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2<2x .或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－x <2x .(4分) ∴x ≥2或23<x <2，即x >23.(5分) ∴不等式的解集为{x |x ＞23}．(6分) (2)F (x )＝|x －a |－ax . ∵0<x ≤a ，∴F (x )＝－(a ＋1)x ＋a .(8分) ∵－(a ＋1)<0，∴函数F (x )在(0，a ]上是单调减函数，(12分) ∴当x ＝a 时，函数F (x )取得最小值为－a 2. (14分)。
人教A版必修1高考题单元试卷：第1章_集合与函数概念(02)(有答案)
人教A 版必修1高考题单元试卷：第1章 集合与函数概念（02）一、选择题（共28小题）1. 设集合A ={1, 2, 3}，集合B ={−2, 2}，则A ∩B =( )A.⌀B.{2}C.{−2, 2}D.{−2, 1, 2, 3}2. 已知集合A ＝{x|x >2}，B ＝{x|1<x <3}，则A ∩B ＝（ ）A.{x|x >2}B.{x|x >1}C.{x|2<x <3}D.{x|1<x <3}3. 设集合S ＝{x|x 2+2x ＝0, x ∈R}，T ＝{x|x 2−2x ＝0, x ∈R}，则S ∩T ＝（ ）A.{0}B.{0, 2}C.{−2, 0}D.{−2, 0, 2}4. 已知集合A ＝{0, 1, 2, 3, 4}，B ＝{x||x|<2}，则A ∩B ＝（ ）A.{0}B.{0, 1}C.{0, 2}D.{0, 1, 2}5. 若集合A ={0, 1, 2, 4}，B ={1, 2, 3}，则A ∩B =( )A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}6. 已知集合A ={−1, 0, 1}，B ={x|−1≤x <1}，则A ∩B =（ ）A.{0}B.{−1, 0}C.{0, 1}D.{−1, 0, 1}7. 已知集合A ={−2, 0, 2}，B ={x|x 2−x −2=0}，则A ∩B =( )A.⌀B.{2}C.{0}D.{−2}8. 设集合M ={0, 1, 2}，N ={x|x 2−3x +2≤0}，则M ∩N =( )A.{1}B.{2}C.{0, 1}D.{1, 2}9. 已知集合M ={2, 3, 4}，N ={0, 2, 3, 5}，则M ∩N =( )A.{0, 2}B.{2, 3}C.{3, 4}D.{3, 5}10. 设S ＝{x|2x +1>0}，T ＝{x|3x −5<0}，则S ∩T ＝（ ）A.⌀B.{x|x <−12}C.{x|x >53}D.{x|−12<x <53}11. 已知集合A ={x|x 2−2x =0}，B ={0, 1, 2}，则A ∩B =( )A.{0}B.{0, 1}C.{0, 2}D.{0, 1, 2}12. 若集合M＝{−1, 1}，N＝{−2, 1, 0}则M∩N＝（）A.{0．−1}B.{0}C.{1}D.{−1, 1}13. 已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x−1)(x−3)<0}，则A∩B＝（）A.(1, 3)B.(1, 4)C.(2, 3)D.(2, 4)14. 若集合M＝{x|(x+4)(x+1)＝0}，N＝{x|(x−4)(x−1)＝0}，则M∩N＝（）A.{1, 4}B.{−1, −4}C.{0}D.⌀15. 已知集合A＝{1, 2, 3}，B＝{1, 3}，则A∩B＝（）A.{2}B.{1, 2}C.{1, 3}D.{1, 2, 3}16. 已知集合P＝{x|x2−2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝（）A.[3, 4)B.(2, 3]C.(−1, 2)D.(−1, 3]17. 若集合M={x|−2≤x<2}，N={0, 1, 2}，则M∩N=()A.{0}B.{1}C.{0, 1, 2}D.{0, 1}18. 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝（）A.(−∞, 5]B.[2, +∞)C.(2, 5)D.[2, 5]19. 已知集合M={x|−1<x<3}，N={x|−2<x<1}，则M∩N=()A.(−2, 1)B.(−1, 1)C.(1, 3)D.(−2, 3)20. 已知集合A＝{x|(x+1)(x−2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A.{−1, 0}B.{0, 1}C.{−2, −1, 0, 1}D.{−1, 0, 1, 2}21. 设集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=()A.(0, 4]B.[0, 4)C.[−1, 0)D.(−1, 0]22. 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于（）A.{x|3≤x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}23. 设集合A＝{x|x2−2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝（）A.(0, 2]B.(1, 2)C.[1, 2)D.(1, 4)24. 设集合M＝{x|x≥0, x∈R}，N＝{x|x2<1, x∈R}，则M∩N＝（）A.[0, 1]B.(0, 1)C.(0, 1]D.[0, 1)25. 已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{−1, 0, 1, 2}B.{−2, −1, 0, 1}C.{0, 1}D.{−1, 0}26. 设集合M＝{x|x≥0, x∈R}，N＝{x|x2<1, x∈R}，则M∩N＝（）A.[0, 1]B.[0, 1)C.(0, 1]D.(0, 1)27. 设集合A＝{x||x−1|<2}，B＝{y|y＝2x, x∈[0, 2]}，则A∩B＝（）A.[0, 2]B.(1, 3)C.[1, 3)D.(1, 4)28. 已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x|−2≤x<2}，则A∩B=()A.[1, 2)B.[−1, 1]C.[−1, 2)D.[−2, −1]二、填空题（共2小题）已知集合A＝{−2, −1, 3, 4}，B＝{−1, 2, 3}，则A∩B＝________．已知集合A＝{3, 4, 5, 12, 13}，B＝{2, 3, 5, 8, 13}，则A∩B＝________．参考答案与试题解析人教A版必修1高考题单元试卷：第1章集合与函数概念（02）一、选择题（共28小题）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：∵集合A={1, 2, 3}，集合B={−2, 2}，∴A∩B={2}．故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】直接利用交集运算求得答案．【解答】∵A＝{x|x>2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∩B＝{x|x>2}∩{x|1<x<3}＝{x|2<x<3}．3.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】分析可得，S为方程x2+2x＝0的解集，则S＝{x|x2+2x＝0}＝{0, −2}，T为方程x2−2x＝0的解集，则T＝{x|x2−2x＝0}＝{0, 2}，故集合S∩T＝{0}，4.【答案】B【考点】交集及其运算求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】由B中的不等式|x|<2，解得：−2<x<2，即B＝(−2, 2)，∵A＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴A∩B＝{0, 1}．5.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，∴A∩B={0, 1, 2, 4}∩{1, 2, 3}={1, 2}．故选C．6.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={−1, 0, 1}，B={x|−1≤x<1}，∴A∩B={−1, 0}．故选B.7.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={−2, 0, 2}，B={x|x2−x−2=0}={−1, 2}，∴A∩B={2}．故选B.8.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算求出集合N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵ N ={x|x 2−3x +2≤0}={x|(x −1)(x −2)≤0}={x|1≤x ≤2}，∴ M ∩N ={1, 2}.故选D ．9.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵ M ={2, 3, 4}，N ={0, 2, 3, 5}，∴ M ∩N ={2, 3}.故选B .10.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】集合S 、T 是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】S ＝{x|2x +1>0}＝{x|x >−12}，T ＝{x|3x −5<0}＝{x|x <53}， 则S ∩T ={x|−12<x <53}，11.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】解出集合A ，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵ A ={x|x 2−2x =0}={0, 2}，B ={0, 1, 2}，∴ A ∩B ={0, 2}.故选C .12.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可．【解答】M∩N＝{−1, 1}∩{−2, 1, 0}＝{1}．13.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合B，然后求解集合的交集．【解答】B＝{x|(x−1)(x−3)<0}＝{x|1<x<3}，A＝{x|2<x<4}，∴A∩B＝{x|2<x<3}＝(2, 3)．14.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】集合M＝{x|(x+4)(x+1)＝0}＝{−1, −4}，N＝{x|(x−4)(x−1)＝0}＝{1, 4}，则M∩N＝⌀．15.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】直接利用集合的交集的求法求解即可．【解答】集合A＝{1, 2, 3}，B＝{1, 3}，则A∩B＝{1, 3}．16.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合P，然后求解交集即可．【解答】集合P＝{x|x2−2x≥3}＝{x|x≤−1或x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝{x|3≤x<4}＝[3, 4)．17.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】直接利用交集及其运算得答案．【解答】解：由M={x|−2≤x<2}，N={0, 1, 2}，得M∩N={x|−2≤x<2}∩{0, 1, 2}={0, 1}．故选D．18.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】∵集合S＝{x|x≥2, T＝{x|x≤5}，∴S∩T＝{x|2≤x≤5}，19.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={x|−1<x<3}，N={x|−2<x<1}，则M∩N={x|−1<x<1}.故选B.20.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】A＝{x|(x+1)(x−2)≤0}＝{x|−1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B＝{−1, 0, 1, 2}21.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：如图，由x2−3x−4<0，得−1<x<4．∴M＝{x|x2−3x−4<0}＝{x|−1<x<4}，又N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|−1<x<4}∩{x|0≤x≤5}={x|x=0≤x<4}．即[0,4).故选B.22.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】∵P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，∴P∩Q＝{x|3≤x<4}．23.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．【解答】A＝{x|0<x<2}，B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x<2}．24.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】∵M＝{x|x≥0, x∈R}，N＝{x|x2<1, x∈R}＝{x|−1<x<1, x∈R}，∴M∩N＝[0, 1)．25.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．【解答】解：A={x|−1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={−1, 0, 1, 2}．故选A.26.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】∵M＝{x|x≥0, x∈R}，N＝{x|x2<1, x∈R}＝{x|−1<x<1, x∈R}，∴M∩N＝[0, 1)．27.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】A＝{x||x−1|<2}＝{x|−1<x<3}，B＝{y|y＝2x, x∈[0, 2]}＝{y|1≤y≤4}，则A∩B＝{x|1≤y<3}，28.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：(x−3)(x+1)≥0，解得：x≥3或x≤−1，即A=(−∞, −1]∪[3, +∞)，∵B=[−2, 2)，∴A∩B=[−2, −1]．故选D．二、填空题（共2小题）【答案】{−1, 3}【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】∵A＝{−2, −1, 3, 4}，B＝{−1, 2, 3}，∴A∩B＝{−1, 3}，【答案】{3, 5, 13}【考点】交集及其运算【解析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】根据题意，集合A＝{3, 4, 5, 12, 13}，B＝{2, 3, 5, 8, 13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B＝{3, 5, 13}，试卷第11页，总11页。
2015年人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念作业题与答案解析--1.2习题课
千思兔在线教育://qiansitu§1.2习题课课时目标1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 .3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y ＝ f(x)图象的是 ()2．已知函数 f ： A → B(A 、B 为非空数集 )，定义域为 M ，值域为 N ，则 A 、 B 、 M 、 N 的关系是()A ．M ＝ A ，N ＝BC ．M ＝ A ，N? B3．函数 y ＝ f(x)的图象与直线A ．必有一个C ．至多一个B．M ? A ，N ＝B D ．M? A ，N? B x ＝ a 的交点 () B ．一个或两个 D ．可能两个以上4．已知函数 ，若 f(a)＝ 3，则 a 的值为 ( ) A. 3 B ．－ 3 C ．± 3 D ．以上均不对 5．若 f(x)的定义域为 [－ 1,4]，则 f(x 2)的定义域为 () A ． [－ 1,2] B ．[ －2,2] C ．[0,2] D ． [－2,0] x 6．函数 y ＝kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数 k 的取值X 围为 ( ) A ． k<0 或 k>4 B ． 0≤ k<4 C ．0< k<4 D ． k ≥ 4 或 k ≤ 0一、选择题 1．函数 f(x)＝2 x 1 ) ，则 f( )等于 ( x ＋ 1 x A ． f(x) B ．－ f(x) 1 1 C.f x D. f － x 2．已知 f(x 2－ 1)的定义域为 [ － 3， 3]，则 f(x)的定义域为 () A ． [－ 2,2] B ．[0,2] C ．[ －1,2] D ．[－ 3， 3] 3．已知集合 A ＝ { a ， b} ， B ＝ {0,1} ，则下列对应不是从 A 到 B 的映射的是 ()4．与 y ＝ |x|为相等函数的是 ()A ． y＝ ( x)2B ．y＝x2千思兔在线教育 ://qiansituC． D ． y＝3x32x＋1的值域为 ()5．函数 y＝x－3A ． (－∞，4)∪ (4，＋∞ )33 B．( －∞， 2)∪ (2，＋∞ )C．R24，＋∞ )D． (－∞，)∪ (336．若集合 A＝{ x|y＝x－ 1} ， B＝ { y|y＝ x2＋ 2} ，则 A∩B 等于 ()A ． [1，＋∞ )B ．(1，＋∞ )C．[2，＋∞ )D． (0，＋∞ )题号123456答案二、填空题7．设集合A＝ B＝ {( x，y)|x∈R， y∈R } ，点 (x， y)在映射 f： A→B 的作用下对应的点是(x－ y， x＋ y)，则 B 中点 (3,2)对应的 A 中点的坐标为____________．8．已知 f( x＋1) ＝x＋ 2 x，则 f(x)的解析式为 ___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若 3f(x－ 1)＋2f(1－ x)＝ 2x，求 f( x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升112．已知函数f(x)的定义域为 [0,1] ，则函数f(x－ a)＋ f(x＋ a)(0< a<2)的定义域为 ()A ． ?B． [a,1－ a]C．[ －a,1＋ a]D． [0,1]千思兔在线教育://qiansitu13．已知函数(1)求 f(－ 3)， f[f( － 3)]；(2)画出 y ＝ f(x)的图象； (3)若 f(a)＝1，求 a 的值． 21．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C [C选项中，当 x 取小于 0 的一个值时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定千思兔在线教育 ://qiansitu义． ]2． C [ 值域 N 应为集合 B 的子集，即 N? B ，而不一定有 N ＝ B.] 3． C [ 当 a 属于 f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．] 4． A [ 当 a ≤－ 1 时，有 a ＋ 2＝3，即 a ＝1，与 a ≤－ 1 矛盾； 当－ 1<a<2 时，有 a 2＝ 3，∴ a ＝ 3， a ＝－3(舍去 )；当 a ≥2 时，有 2a ＝ 3，∴ a ＝3与 a ≥ 2 矛盾． 2 综上可知 a ＝ 3.]225． B [ 由－ 1≤x ≤4，得 x ≤ 4，6． B [ 由题意，知 kx 2＋ kx ＋ 1≠0 对任意实数x 恒成立，当 k ＝ 0 时， 1≠ 0 恒成立，∴ k ＝ 0 符合题意．当 k ≠ 0 时，＝ k 2－ 4k<0，解得 0<k<4 ，综上，知 0≤ k<4.]作业设计1 1． A [f( 1 )＝1 x ＝ x 2＝ f(x) ． ] x 1＋ x x2 ＋12． C [ ∵ x ∈ [ － 3， 3]，∴ 0≤x 2≤3，∴－ 1≤x 2－ 1≤ 2， ∴ f(x)的定义域为 [ － 1,2]． ]3．C [C 选项中，和 a 相对应的有两个元素 0 和 1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与 y ＝ |x|不同； C 中的函数定义域不含有 x ＝0，而 y ＝ |x|中含有 x ＝ 0， D 中的函数与 y ＝ |x|的对应关系不同， B 正确． ] 5． B [ 用分离常数法．2 x －3 ＋ 7 7 y ＝x －3 ＝ 2＋ x － 3. ∵ 7≠ 0，∴ y ≠2.] x －36． C [化简集合 A ， B ，则得 A ＝ [1，＋∞ )， B ＝ [2，＋∞ )．∴A ∩ B ＝[2，＋∞)．] 5 17． (2，－2)5x － y ＝ 3 x ＝2 解析由题意 ，∴ . x ＋ y ＝ 2 1y ＝－2 8． f(x) ＝x 2－1(x ≥ 1)解析∵ f( x ＋ 1)＝ x ＋2 x＝ ( x) 2＋ 2 x ＋ 1－1＝ ( x ＋ 1)2－1，∴ f(x)＝x 2－ 1. 由于 x ＋ 1≥1，所以 f(x)＝ x 2－ 1(x ≥ 1)．9． 4 ∵－ 2<0 ，∴ f(－2)＝ (－ 2)2＝4，解析 又∵ 4≥ 0，∴ f(4)＝ 4，∴ f(f( －2)) ＝ 4.10．解令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为 3f( t)＋ 2f( －t)＝ 2(t ＋ 1)，①以－ t 代 t ，原式变为3f(－ t)＋ 2f(t)＝ 2(1－ t)，②千思兔在线教育 ://qiansitu 由①②消去 f(－ t)，得 f(t)＝2t ＋2 . 5 即 f(x) ＝2x ＋2.511．解 f(1) ＝ 1× (1＋ 4)＝5， ∵ f(1) ＋ f(a ＋ 1)＝5，∴ f(a ＋ 1)＝ 0. 当 a ＋1≥ 0，即 a ≥ － 1 时， 有 (a ＋ 1)(a ＋ 5)＝ 0， ∴ a ＝－ 1 或 a ＝－ 5(舍去 )． 当 a ＋1<0 ，即 a<－ 1 时， 有 (a ＋ 1)(a － 3)＝ 0，无解． 综上可知 a ＝－ 1.0≤ x ＋ a ≤ 1， － a ≤ x ≤ 1－ a ， 12． B [由已知，得? 0≤ x － a ≤ 1 a ≤ x ≤ 1＋a. 1又∵ 0<a<，∴ a ≤ x ≤ 1－ a ，故选 B.]13．解(1) ∵x ≤ － 1 时， f(x)＝ x ＋5，∴ f(－ 3)＝－ 3＋ 5＝ 2，∴ f[f(－ 3)] ＝ f(2) ＝ 2× 2＝ 4.(2)函数图象如右图所示．19 (3)当 a ≤ － 1 时， f(a)＝a ＋ 5＝2， a ＝－2≤－ 1； 当－ 1<a<1 时， f(a)＝ a 2＝12， a ＝±22∈ (－ 1,1)；当 a ≥1 时， f(a)＝ 2a ＝12，a ＝14?[1，＋∞ )，舍去． 9 2故 a 的值为－2或±2 .。
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2015届高考数学一轮复习单元检测：
集合与函数概念
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·上海卷)设全集U ＝R ，下列集合运算结果为R 的是
( )
A ．Z ∪∁U N
B ．N ∩∁U N
C ．∁U (∁U ∅)
D ．∁U {0}
答案：A
2．已知M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |－3＜x ＜2}，则M ∩N ＝( )
A ．{x |－3＜x ＜2}
B ．{x |－3＜x ＜1}
C ．{x |1＜x ＜2}
D ．{x |2＜x ＜3}
答案：C
3．若奇函数f (x )在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在
[－3，－1]上( )
A ．是减函数，有最小值－7
B ．是增函数，有最小值－7
C ．是减函数，有最大值－7
D ．是增函数，有最大值－7
答案：D
4．[2014·惠州模拟]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y|y ＝x －1}，则N∩(∁RM)＝( )
A. (1,2)
B. [0,2]
C. ∅
D. [1,2]
答案：B
5．已知集合A ＝R ，B ＝R ＋，若f ：x →2x －1是从集合A 到B 的一个映射，则B 中的元素3对应A 中的元素为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
答案：C
6．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )
A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)
B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)
C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)
D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)
答案：B
7．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则 f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
答案：A
8．函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )
A ．a ≥12
B ．a ≤12
C ．a ＞－12
D ．a ＜12
答案：D
9．(2013·山东卷)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
答案：C
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋1(x ≤0)－2x (x ＞0)，如果f (x )＝10，则x ＝( )
A ．±3，－5 B. －3，－5 C ．－3 D ．无解
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．
答案：(0， 6 ]
12．若A 、B 是两个集合，给出下列四个判断：
①如果A ⊆B ，那么A ∩B ＝A ；
②如果A ∩B ＝B ，那么A ⊆B ；
③如果A ⊆B ，那么A ∪B ＝A ；
④如果A ∪B ＝B ，那么B ⊆A .
其中正确的判断序号是________．
答案：①
13．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调减区间是________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－34
14．定义在R 上的函数f (x )为减函数，满足不等式f (3－2a )＜ f (a －3)的a 的集合为________．
答案：(－∞，2)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)集合若A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，
B ＝{x |ax －6＝0}，且A ∪B ＝A ，求由实数a 组成的集合
C .
解析：∵x 2－5x ＋6＝0，∴x ＝2，x ＝3，即A ＝{2,3}．
∵A ∪B ＝A ，
故B 是单元素集合{2}，{3}或B ＝∅，
当B ＝{2}，由2a －6＝0得a ＝3；
当B ＝{3}，由3a －6＝0得a ＝2；
当B ＝∅，由ax －6＝0得a ＝0.
所以由实数a 形成的集合为C ＝{0,2,3}．
16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.
(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；
(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
解析：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，
(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．
(2)当a ＞1时满足A ∩C ≠∅.
17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1＜x ＜2)，
2x (x ≥2)，
若f (a )＝3，求实数a 的值．
解析：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3，
∴a ＝1(不符合条件，舍去)．
②当－1＜a ＜2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3，
∴a ＝±3，其中负值不符合条件，故a ＝ 3.
③当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，
∴a ＝32
(不符合条件，舍去)． 综上可知a ＝ 3.
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1
，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )在[3,5]上的单调性，并证明．
(2)求函数f (x )的最大值和最小值．
解析：(1)函数f (x )在[3,5]上单调递增．
证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1＜x 2≤5.
∵f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1
＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)
， ∵3≤x 1＜x 2≤5，
∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－x 2＜0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0即f (x 1)＜f (x 2)．
∴f (x )＝2x －1x ＋1
在[3,5]上为增函数． (2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1
＝54； f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1
＝32. 19.(本小题满分14分)证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函
数．
解析：证明：设x 1，x 2是(2，＋∞)上的任意两个数，且x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋4x 2
＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x 1－4x 2 ＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2 ＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2
∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．
∴函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．
20．(本小题满分14分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6
年2万只．
乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息：
(1)说明第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？试说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？试说明理由．
解析：由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点， 从而求得其解析式为y 甲＝0.2m ＋0.8；图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而
求得其解析式为y 乙＝－4m ＋34.
当m ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，
y 乙＝－4×2＋34＝26，
y甲·y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．
(2)第1年出产鱼1×30＝30(万只), 第6年出产鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设当第m(m∈N*)年时的规模总出产量为n，那么
n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)
＝－0.8m2＋3.6m＋27.2
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25
因此，当m＝2时，n最大值为31.2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．。