精品2019九年级数学上册 专题突破讲练 构造相似三角形解题试题 (新版)青岛版

构造相似三角形解题构造相似三角形的基本方法1. 由平行得相似，如图①和②；图①图②图③图④2. 由同角或等角得相似，如图③；3. 由垂直得相似，如图④。

方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。

总结：1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。

2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。

例题如图所示，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG∶DF∶CE＝（）A. 1∶1∶1B. 1∶2∶1C. 1∶2∶ 3D. 1∶2∶1AB CDEFG解析：不难证明△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。

那么，本题只要求AG∶DF即可。

要求AG和DF的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。

在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接BF和BD，通过三角形相似来求解。

答案：连接BF、BD。

因为∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝∠ABE－90°，∠CBE＝∠ABE－∠ABC＝∠ABE－90°。

所以∠ABG ＝∠CB E，又AB＝BC，BG＝BE，所以△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。

因为∠DBF＝∠ABE－∠ABD－∠EBF＝∠ABE－45°－45°＝∠ABE－90°，所以∠DBF＝∠ABG。

又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BD∶BF、边长的比AB∶BG，都等于这两个正方形的相似比，即BD∶B F＝AB∶BG，所以AB∶BD＝BG∶BF，所以△ABG∽△DBF。

所以AG∶DF＝BG∶BF＝1∶2。

所以AG∶DF∶CE＝1∶2∶1。

故选D。

AB CDEFG点拨：本题难度大，特别是确定AG和DF的关系是一大难点。

解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。

如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。

例题 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F 。

（1）如图①，当CE EB ＝13时，求S △CEFS △CDF 的值；（2）如图②，当DE 平分∠C DB 时，求证：AF ＝2OA ；（3）如图③，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG⊥BC 于点G ，求证：CG ＝12BG 。

解析：（1）利用相似三角形的性质求得EF 与DF 的比值，因为△CEF 和△CDF 同高，所以其面积的比就是EF 与DF 的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，可以证得AD ＝AF ，在直角△AOD 中，利用勾股定理可求得AD ＝2OA ，从而得出AF ＝2OA ；（3）连接OE ，易证OE 是△BCD 的中位线，然后根据△FGC 是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。

答案：（1）解：∵CE EB ＝13，∴CE BC ＝14。

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AD ＝BC ，∴△CEF∽△ADF，∴EF DF ＝CEAD，∴EF DF ＝CE BC ＝14，∴S △CEF S △CDF ＝EF DF ＝14。

（2）证明：∵DE 平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，又∵AC、BD 是正方形ABCD 的对角线。

∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD ＝90°，OA ＝OD ，而∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF ，在直角△AOD 中，根据勾股定理得：AD ＝OA 2＋OD 2＝2OA ，∴AF＝2OA 。

（3）证明：连接OE ，∵点O 是正方形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点。

∴点O 是BD 的中点。

又∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE∥CD，OE ＝12CD ，∴△OFE∽△CFD。

∴EF DF ＝OE CD ＝12，∴EF ED ＝13。

又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴GF CD ＝EF ED ＝13。

在直角△FGC 中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝GF ，又∵CD＝BC ，∴GF CD ＝CGBC＝13，∴CG BG ＝12。

∴CG＝12BG 。

点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。

（答题时间：45分钟）一、选择题*1. 如图所示，已知AD ∥EF ∥BC ，若AD ∶EF ∶BC ＝1∶2∶4，则梯形AEFD 与梯形EBCF 的面积之比为（ ） A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶3A B CD EF*2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，M 、N 为BD 所在直线上的两点，且AM ＝5，∠MAN＝135°，则四边形AMCN 的面积为（ ）A. 32B. 2C. 52D. 3AB CDMN**3. 如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 交AC 于P 、Q 两点，则AP∶PQ∶QC ＝（ ）A. 1∶1∶3B. 3∶2∶5C. 5∶3∶12D. 5∶4∶10ABCDM NP Q**4. 如图所示，四边形ABCD 是一个矩形，AD ＝12、AB ＝5，P 是AD 上任意一点，PE ⊥BD 于点E ，PF ⊥AC 于点F 。

则PE ＋PF ＝（ ）A. 4813B. 6013C. 5D. 7013 ABC DP E F二、填空题5. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为__________。

ABCDE*6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是______________。

AB CDE*7. 如图，△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，点E 在AB 上且AE ＝3，点F 在AC 上，连接EF ，若△AEF 与△ABC 相似，则AF ＝__________。

**8. 如图所示，点C 在线段BG 上且四边形ABCD 是正方形，AG 与BD 、CD 分别相交于点E 、F ，如果AE ＝5且EF ＝3，那么FG ＝__________。

ABCDE F G53三、解答题9. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 的外接圆的︵BC 上任一点，连接AD 、BD 。

求证：BE BD ＝AEAB。

ABCDE*10. 如图所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于点E 。

求证：DE 2＝BE ·CE 。

FAB**11. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F 。

求证：AB AC ＝DFAF。

ABCDEF**12. 如图所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE ＝14AD ，FG ⊥CE 于点G 。

求证：FG 2＝EG ·CG 。

1. C 解析：延长BA 、CD 交于点O ，则△OAD ∽△OEF ∽△OBC ，设S △OAD ＝s ，则S △OEF ＝4s ，S △OBC ＝16s ，所以S 梯形AEFD∶S 梯形EBCF ＝3S ∶12S ＝1∶4。

2. C 解析：过点A 作AE⊥BD 于点E ，则点E 是BD 中点。

在Rt△AEM 中，AM ＝5，AE ＝22，∴ME＝322，∴BM ＝2。

∵∠MAN＝135°，∴∠M AB ＋∠NAD＝45°，又∠AND＋∠NAD＝∠ADB ＝45°，∠AMB＋∠MAB＝∠ABD ＝45°，∴∠AND＝∠MAB，∠NAD＝∠AMB，∴△AND∽△MAB，∴DN AB ＝AD BM ，即DN 1＝12，∴DN＝22。

∴MN ＝BM ＋BD ＋DN ＝2＋2＋22＝525，又△AMN 和△CMN 面积相等，∴四边形AMCN 的面积是2×12×MN ×AE ＝2×12×522×22＝52。

ABCDMNE3. C 解析：∵DC∥BA，∴△APM∽△CPD，∴AP PC ＝AM DC ＝13，∴AP＝14AC 。

同理AQ QC ＝AN DC ＝23，∴AQ＝25AC 。

∴PQ＝25AC－14AC ＝320AC ，又QC ＝35AC ，∴AP∶PQ∶QC＝14∶320∶35＝5∶3∶12。

4. B 解析：根据题意可得AC ＝BD ＝13且△PDE ∽△BDA 、△PAF ∽△CAD ，所以PD BD ＝PE BA ，PA CA ＝PF CD ，即PD 13＝PE 5，PA13＝PF 5，所以PD ＝135PE ，PA ＝135PF ，所以PD ＋PA ＝135（PE ＋PF ）＝AD ，即135（PE ＋PF ）＝12，所以PE ＋PF ＝6013。

5. 9 解析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAD ＋∠CAD ＝60°。

∵∠CAD ＋∠ADE ＋∠CDE ＋∠C ＝180°，∠C ＝60°，∠ADE ＝60°，∴∠CAD ＋∠CDE ＝60°。

∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ＝60°，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD ＝CDCE，设△ABC 的边长为x ，则x 3＝x －32，解得x ＝9。

6. 6013 解析：过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点B 作BF ⊥AC 于点F 。

则△AGC ∽△BFC ，∴AC BC ＝AGBF。

∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，BC ＝10，∴BG ＝5，AG ＝AB 2－BG 2＝12。

∴1310＝12BF ，∴BF ＝12013。

∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴DE ∥BF ，又点D 是AB的中点，∴DE ＝12BF ＝6013。