2020版高考数学总复习 第四章 三角函数、平面向量与复数 第20讲 同角三角函数 文(含解析)新人教A版

第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式夯实基础 【p 49】【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本公式．2．掌握正弦、余弦的诱导公式．【基础检测】1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( ) A ．－513 B ．－1213 C.513 D.1213【解析】∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213. 【答案】B2．已知cos (π＋α)＝－13，且α为第四象限角，则sin (2π－α)＝( ) A ．－223 B.223 C.13 D ．－13【解析】由题cos (π＋α)＝－13，且α为第四象限角，则cos (π＋α)＝－cos α＝－13，∴cos α＝13，sin α＝－223，sin (2π－α)＝－sin α＝223. 选B.【答案】B3．若tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A.35B.45C.74D.34【解析】原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45，故选B.【答案】B4．已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x<π， 则cos x －sin x 的值为( ) A.75 B ．－75 C.725 D ．－725【解析】将sin x ＋cos x ＝15两边平方， 得1＋2sin x·cos x ＝125，即sin xcos x ＝－1225<0. ∵0<x<π，∴sin x>0，cos x<0，∴cos x －sin x<0，cos x －sin x ＝－1－2sin xcos x ＝－1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝－75.【答案】B【知识要点】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__sin 2α＋cos 2α＝1__． (2)商数关系：__tan __α＝sin αcos α__． 2．诱导公式(1)2k π＋α(k∈Z )，－α，π±α，2π－α的三角函数值等于α的__同名__函数值，前面加上一个把α看成__锐__角时原函数所在象限的符号．(2)π2±α，3π2±α的三角函数值等于α的__互余__函数值，前面加上一个把α看成__锐__角时原函数所在象限的符号．记忆方法为：__奇变偶不变，符号看象限__．⎝ ⎛⎭⎪⎫注：奇、偶指π2的奇数倍或偶数倍. (3)化任意角的三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是“去负—脱周—化锐”． 也可简记为：负化正，大化小，化到锐角再查表．组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝__1－2sin __αcos ____α__，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝__2sin ____2α__．典 例 剖 析 【p 49】考点1 利用诱导公式化简求值例1已知f ()α＝sin ()π－αcos ()π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ()π＋α，若α为第二象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝25，求f ()α的值． 【解析】f (α)＝sin （π－α）cos （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α） ＝sin α（－cos α）sin α（－sin α）（－sin α）＝－cos α.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝25，∴sin α＝25. 又∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－425＝－215， f (α)＝215. 【小结】应用诱导公式时，注意符号的确定原则是视α为锐角，符号是定形前的三角函数的象限符号．考点2 利用同角三角函数公式化简、求值例2(1)已知sin ()－π＋θ＋2cos ()3π－θ＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13【解析】因为sin ()－π＋θ＋2cos ()3π－θ＝0，所以－sin θ－2cos θ＝0，可得tan θ＝－2，sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13，故选C. 【答案】C(2)若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－tan 2α D．tan 2α【解析】因为α是第二象限角，所以tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝tan α×－cos αsin α＝－1. 【答案】A【小结】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cosα这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点3 运用“sin α±cos α”与“sin αcos α”的关系求值例3已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin α与cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，求α及m.【解析】由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝3＋12， ①sin α·cos α＝m 2， ② 将①式两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝2＋32，sin αcos α＝34. 由②得m 2＝34，m ＝32， 方程可化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，x ＝12或x ＝32. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin α＝12，cos α＝32. 故α＝π6. 【小结】本题充分利用根与系数关系及三角函数基本关系式．【能力提升】例4(1)在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin (π－A )，且cos A ＝－3cos (π－B )，则C 等于________．【解析】∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin (π－A )， ∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33. 又∵A∈(0，π)，∴A ＝π6. 由cos A ＝－3cos (π－B )，得cos A ＝3cos B.∴cos B ＝12，又B∈(0，π)，∴B ＝π3.故C ＝π－π6－π3＝π2. 【答案】π2(2)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f ()sin α>f ()cos βB ．f ()sin α<f ()cos βC ．f ()sin α>f ()sin βD ．f ()cos α<f ()cos β【解析】∵f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，∴f (x )在[－1，0]上为减函数；又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[0，1]上为增函数；若α，β是锐角三角形的两个内角，则α＋β>π2，即π2>α>π2－β>0， ∴0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β<sin α<1，故f ()sin α>f ()cos β. 【答案】A【小结】(1)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用；(2)灵活运用函数性质、诱导公式解题．方 法 总 结 【p 50】同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． 走 进 高 考 【p 50】1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79【解析】(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝169，sin 2α＝1－169＝－79，故选A. 【答案】A。