2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评6 极大值与极小值
苏教版数学高二 选修2-2测评6 极大值与极小值
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．【答案】 22．(2016·南通质检)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________.【解析】f′(x)＝2x＋x·2x ln 2＝2x(1＋x ln 2)，由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－1ln 2.【答案】－1 ln 23．设a∈R，若函数y＝e x－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．【解析】y′＝e x－a，令y′＝0得x＝ln a，令ln a>0，则a>1.【答案】(1，＋∞)4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间的关系如下表由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13.∴m＝－19.【答案】－195．已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos 2α＝________.【解析】∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3，且f(x)在x＝1处有极值．∴f′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝35，因此cos 2α＝2cos2α－1＝－725.【答案】－7 256．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图1-3-4所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)图1-3-4①当x＝32时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．【解析】由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．【答案】②③④7．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1,3)内与x 轴的交点的个数为________．【解析】 f ′(x )＝4x 3＋9，易知f ′(x )在(－1,3)上单调递增，则f ′(x )>f ′(－1)＝5>0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增，∵f (－1)·f (3)<0.∴f (x )的图象在(－1，3)内与x 轴的交点个数为1.【答案】 18．(2016·石家庄高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ， 函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13. ∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5. 【答案】 [1,5) 二、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【导学号：01580014】【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0. 10．(2016·太原高二检测)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．【解】 因为f (x )＝1＋ln xx ，x >0， 则f ′(x )＝－ln x x 2， 当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎨⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.[能力提升]1．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的惟一一个极值点，则实数k 的取值范围为_________________．【解析】 f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝(x －1)e xx 2，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e.【答案】 (－∞，e]2．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x (x >0)，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax ＝0的两根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根， ∴由根与系数的关系知 ⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a 2b ＝1×2，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－12.故a ＋b ＝－52. 【答案】 －523．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax .已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，其等价于ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝2ax －1的图象两个交点．以下研究临界状态：①如图．当函数h (x )＝ln x 与函数g (x )＝2ax －1的图象相切时，设切点为A (m ，ln m )，其中m >0，则函数h (x )的图象在点A 处的切线的斜率k ＝1m ，∴2a ＝1m .又∵直线g (x )＝2ax －1过点(0，－1)， ∴k ＝ln m ＋1m ， ∴ln m ＋1m ＝1m.解得m ＝1，∴当两线相切时，a ＝12.②当a ＝0时，h (x )与g (x )的图象只有一个交点． ∴所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图1-3-5所示，给出下列判断：图1-3-5①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值． 则上述判断中正确的是________．(填序号)【解析】 当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )不取极值，⑤错．【答案】 ③5．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【解】 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．＋6ln 2，由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。
苏教选修22数学课时分层作业6 含解析
课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]2．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值D[∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.当x∈(－1,1)时f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.]3．函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝()A．9 B．11C ．12D ．15B [f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 函数f (x )无极值，舍去． 故m ＝2，n ＝9，故m ＋n ＝11.]4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9xB [∵三次函数过原点，故可设为 y ＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c .又x ＝1,3是y ′＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－2b 3，1×3＝c 3，，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6c ＝9，∴y ＝x 3－6x 2＋9x ，又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， ∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4，当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.]5．已知f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)，则f (x )的极值情况是( ) A ．极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，极小值为f (1)B ．极大值为f (1)，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，没有极小值D ．极小值为f (1)，没有极大值A [由函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)得：p ＋q ＝1,2p ＋q ＝3， 解得p ＝2，q ＝－1， 则函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ， 则f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得到：x ＝1或x ＝13.当x ≥1或x ≤13时，函数单调递增；当13<x <1时，函数单调递减，所以极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，极小值为f (1)．]二、填空题6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．2 [由题意得，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.故当x ＝2时取得极小值．]7．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． －19 [y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. x ，y ′，y 之间的关系如下表y ′ － 0 ＋ 0 － y极小值极大值由表可知y 极大值＝f (4)＝32＋m ＝13， ∴m ＝－19.]8．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．[1,5) [由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)·f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5.另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)内没有极值点．故实数a 的取值范围为[1,5)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值． [解] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知f (x )＝－6x 3＋9x 2.所以f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )>0； 当x >1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0. 10．已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．[解] 因为f (x )＝1＋ln xx ，x >0， 则f ′(x )＝－ln xx 2， 当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， 所以⎩⎨⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.[能力提升练]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23 B ．－2 C ．－2或－23D ．不存在A [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 且f (x )在x ＝1处取得极大值10， ∴f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b －a 2－7a ＝10， ∴a 2＋8a ＋12＝0，∴a ＝－2，b ＝1或a ＝－6，b ＝9. 当a ＝－2，b ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)．当13＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)；当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．∴a b ＝－69＝－23.]2．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()A.23 B.43 C.83 D.123C[函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c ＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－43＝8 3.]3．函数f(x)＝a ln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________.－52[f′(x)＝ax＋2bx＋3＝2bx2＋3x＋ax(x>0)，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝2bx2＋3x＋ax＝0的两根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a 2b ＝1×2，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－12.故a ＋b ＝－52.]4．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax . 已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，其等价于ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝2ax －1的图象有两个交点．以下研究临界状态：①如图．当函数h (x )＝ln x 与函数g (x )＝2ax －1的图象相切时，设切点为A (m ，ln m )，其中m >0，则函数h (x )的图象在点A 处的切线的斜率k ＝1m ，∴2a ＝1m .又∵直线g (x )＝2ax －1过点(0，－1)， ∴k ＝ln m ＋1m ， ∴ln m ＋1m ＝1m .解得m ＝1，∴当两线相切时，a ＝12.②当a ＝0时，h (x )与g (x )的图象只有一个交点． ∴所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]5．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．[解](1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋6 x＝(x－2)(x－3)x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。
2018年苏教版数学选修2-2第1章 1.3.2 极大值与极小值
1.3.2极大值与极小值1．会求函数的极大值与极小值．(重点)2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)[基础·初探]教材整理1函数极大(小)值的概念阅读教材P30上半部分，完成下列问题．函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．判断正误：(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成下列问题．(1)极大值与导数之间的关系(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．图1-3-2【解析】由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f (x )＝x 2－2x －1； (2)f (x )＝x 44－23x 3＋x 22－6； (3)f (x )＝|x |.【自主解答】 (1)f ′(x )＝2x －2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 因为当x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且y 极小值＝－2.(2)f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ＝x (x 2－2x ＋1)＝x (x －1)2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝1.所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值(3)f (x )＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0.显然函数f (x )＝|x |在x ＝0处不可导，当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．[再练一题]1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________.【导学号：01580013】【解析】∵f′(x)＝2x－2 x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. 【答案】 1已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．【精彩点拨】 (1)求导函数f ′(x )，则由x ＝1和x ＝－23是f ′(x )＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b .(2)由f (－1)＝32求出c ，再列表求解． 【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ， 由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1. ∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎭⎪－23，1.当x ＝－23时，f (x )有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值为f (1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[再练一题]2．已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．【解】 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．[探究共研型]探究1【提示】不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．探究2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-3所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？图1-3-3【提示】一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．x1，x3是极大值点．探究3函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？【提示】不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．【精彩点拨】求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．【自主解答】令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，图略． 由已知应有⎩⎨⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．[再练一题]3．上例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ 【解】 由例题，知函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.[构建·体系]1．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝________，b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 两零点为－2,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b3，∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24. 【答案】 －3 －242．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.【解析】 由f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝0，∴x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1， 又f (x )在x ＝1处取极值，∴x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，∴a ＝3. 【答案】 33．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．【答案】 (－∞，－1)4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． 【解】 y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极小值我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
2018年苏教版数学选修2-2学业分层测评10 微积分基本定理
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝________. 【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 【答案】 －132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 【导学号：01580026】【解析】 ∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) |π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.【答案】 π3．将曲边y ＝e x ，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．【答案】 ⎠⎛02e x d x 4．定积分⎠⎛233t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是________． 【答案】 由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积．5．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图1-5-3)是________．(写成定积分形式)图1-5-3【答案】 ⎠⎛04()x 2－4d x 6．设a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x <⎠⎛01x 2d x <⎠⎛01x d x ，即a >b >c . 【答案】 a >b >c7．计算定积分⎠⎛－11 4－4x 2d x ＝________. 【解析】 由于⎠⎛－114－4x 2d x ＝2⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的面积π， 所以⎠⎛－114－4x 2d x ＝π. 【答案】 π8．如图1-5-4由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．图1-5-4【解析】 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.【答案】 423＋76二、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ；【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝[ln x －ln (x ＋1)]| 21＝ln 43.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )． 【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2.所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________. 【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝56. 【答案】 562． f (x )＝sin x ＋cos x ，【解析】＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2.【答案】 23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________. 【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1.【答案】 14．计算：⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20 (－2x ＋1)d x ＋ ⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】 125．已知f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 【解】 因为f (x )＝⎠⎛－ax (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。
2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.3.3最大值与最小值
1.3.3 最大值与最小值【学习目标】1•理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值.新知探究点点落实问题导学知识点函数的最大(小)值与导数如图为y = f(x), x€ ［a, b］的图象.思考1观察［a, b］上函数y= f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.思考2 结合图象判断，函数y= f(x)在区间［a, b］上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少?思考3函数y= f(x)在［a , b］上的最大(小)值一定是某极值吗?思考4 怎样确定函数f(x)在［a, b］上的最小值和最大值?1. 函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间［a, b］上函数y= f(x)的图象是一条 ___________ 的曲线，那么它必有最大值与最小值.2. 求函数y= f(x)在闭区间［a, b］上的最值的步骤(1)求函数y= f(x)在(a, b)上的 ________ ;⑵将第⑴步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间［a, b］上的最大值与最小值题型探究季点难点平亍击破类型一求函数的最值2 2例1已知函数f(x)= —x3+ ax2+ 1(a€ R)，且f(x)在点(-,f(-))处的切线垂直于y轴.(1)求实数a的值；⑵求f(x)在区间［0,2］上的最大值和最小值.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导,并检验f (x) = 0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练i (1)函数f(x)=x2—cos x, x€ ［—n，n的值域是_____________ .⑵已知函数f(x)= x3—ax2+ 3x,若x= 3是f(x)的极值点，求f(x)在x€ ［1 , a］时的最值.类型二由函数的最值求参数例2 (1)已知函数f(x)= ax3—6ax2+ b, x€ ［—1,2］的最大值为3,最小值为一29,求a, b的值.⑵已知h(x)= x3+ 3/ —9x+ 1在区间［k,2］上的最大值是28，求k的取值范围.跟踪训练2 (1)若函数f(x) = 3x —x3在区间(a2—12, a)上有最小值，则实数a的取值范围是⑵已知函数f(x)= x—ln(x + a)的最小值为0,其中a>0.求a的值.类型三与最值有关的恒成立问题例 3 设函数f(x) = tx2+ 2t2x+1 —1(x€ R , t>0).(1)求函数f(x)的最小值h(t);⑵在(1)的条件下，若h(t)< —2t + m对t € (0,2)恒成立，求实数m的取值范围.反思与感悟(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时,一般需转化为函数最值来解决.若不等式中含参数,则可考虑分离参数,以求避免分类讨论.(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略：①a>f(x)恒成立？ a>f(X)max, a<f(x)恒成立？ a<f(x)min ；②f(x)>g(x) + k 恒成立？ k<[f(x)—g(x)]min ；③f(x)>g(x)恒成立？ [f(x) —g(x)]min>0 ；④a>f(x)能成立？ a>f(x)min , a<f(x)能成立？ a<f(x)max.跟踪训练3 (1)函数f(x)= x3—3x—1,若对于区间[—3,2]上的任意X1,X2都有|f(X1) —f(x2)| < t,则实数t 的最小值是_________ .⑵已知函数f(x)= x(x2—a)(a€ R), g(x)= In x.若在区间［1,2］上f(x)的图象在g(x)图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围.类型四利用导数证明不等式1 o例 4 求证：当x>0 时，In(x+ 1)>x —2x2反思与感悟(1)解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f(x)= In (x+ 1) —x +扩，把问题转化为求函数f(x)的最值.⑵利用函数的最值证明不等式的基本步骤是：①将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；②利用导数将函数y= f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出.⑶证明y= f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)，即证不等式成立.跟踪训练4当x>0时，求证：1 + 2x<e2x.达标检测n的最大值是 _________ 1 .函数y= x—sin x, x€2•若函数f(x)= x3—3x2- 9x+ k在区间［-4,4］上的最大值为10,则其最小值为3. 若对任意的x> 0,恒有In x< px- 1(p> 0)，贝U p的取值范围是____________ •4. 设r为正有理数，求函数f(x) = (1 + x)r+1—(r + 1)x—1(x> —1)的最小值.(--------- ■■规律与方法■■ -----------1. 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.2 •已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.3. “恒成立”问题可转化为函数最值问题.提醒：完成作业 1.3.31答案精析问题导学 知识点思考1极大值为：f(X i ) , f(X 3)，极小值为f(X 2), f(X 4). 思考 2 存在，f(X )min = f(a) , f(X )max =f(X3).思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值.思考4 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值. 1. 连续不断 2. (1)极值 题型探究2例1解(1)依题意：f (2)= 0,2因为 f ' (X ) = — 3X + 2ax , 2 o 2所以一3X (刁2+ 2 a§ = 0, 所以a = 1.32(2)由(1)知：f(x) = — X + X + 1 ,2f ' (X )=— 3X + 2x ,2 令 f ' (X )= 0? X 1 = 0, X 2= 3.因为 f(0) = 1, f(|)= 27, f(2) = — 3,31 所以 f(x)max = 27, f (X )min = — 3.2跟踪训练1(1)[—1, n^解得x = 3或x =孑(舍去)・32⑵解 f ' (X ) = 3X — 2ax + 3,由题意知 f ' (3) = 0，即 27 — 6a + 3= 0, 解得a = 5,••• f ' (X )= 3X 2— 10x + 3.令 f ' (X )= 0,即卩 3X 2— 10x + 3 = 0,•-f(3) = - 9, f(1) = - 1 , f(5) = 15,•••当x€ [1,5]时，f(x)的最小值为一9,最大值为15.例2解(1)由题设知a丰0,否则f(x) = b为常函数，与题设矛盾.2求导得f' (x) = 3ax —12ax= 3ax(x- 4),令f' (x)= 0,得X1 = 0, x2= 4(舍去).①当a>0，且x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x= 0时，f(x)取得极大值b,也就是函数在［—1,2］上的最大值，•- f(0) = b = 3.又f(—1) = —7a + 3, f(2) = —16a+ 3<f( —1),• f(2) = —16a+ 3 = —29,解得 a = 2.②当a<0时，同理可得，当x= 0时，f(x)取得极小值b,也就是函数在［—1,2］上的最小值, • f(0) = b = —29.又f(—1) = —7a —29, f(2)=—16a —29>f( —1),• f(2) = —16a—29= 3,解得a=— 2.综上可得，a = 2, b= 3 或a= —2, b = —29.3 2 2(2)h(x)= x + 3x —9x+ 1, h' (x)= 3x + 6x—9.令h' (x) = 0,得X1 =—3, X2 = 1,当x变化时，h' (x)及h(x)的变化情况如下表：当x=—3时，取极大值28;当x = 1时，取极小值一4.1而h(2) = 3<h(—3) = 28,如果h(x)在区间［k,2］上的最大值为28,则k< - 3. 跟踪训练2 (1)( —1, 11)⑵解f(x)的定义域为(一a,+ R),1 x+ a —1f ' (x)= 1— = . x+a x+ a由f' (x)= 0,解得x= 1—a> — a.当一a<x<1 — a 时，f' (x)<0 , f(x)在(—a,1 —a)上单调递减；当x>1 — a 时，f' (x)>0 , f(x)在(1—a ,+R)上单调递增.因此，f(x)在x= 1 —a处取得最小值，由题意知f(1 —a) = 1 — a = 0，故 a = 1.例 3 解(1) •/ f(x) = t(x+ t)2—t3+1 —1(x€ R , t>0),•••当x=—t 时，f(x)的最小值为f( —t) = —t3+1—1 ,即h(t)=—t3+ t—1.3(2)令g(t) = h(t) —(—2t)=—t + 3t—1.由g' (t) = —3t2+ 3= 0 及t>0,得t = 1,当t变化时，g' (t), g(t)的变化情况如下表：由上表可知当t = 1时，g(t)有极大值g(1) = 1.又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，•函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max = 1.h(t)< —2t + m 在(0,2)内恒成立，即g(t)<m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max= 1<m,即m>1时上式成立，•实数m的取值范围是(1 ,+^).跟踪训练3 (1)20⑵解 由题意知f(x)>g(x)在区间［1,2］上恒成立, 即 x(x 2— a)>ln x ,从而 a<x 2 —匕仝，x2 In x ,1— “ x 2x — 1 + ln x记 h(x) = x —丁, h (x) = 2x — x 2= 厂当 x € ［1,2］时，2x 3— 1 > 1 , In x >0,所以 h ' (x)>0, 所以h(x)在［1,2］上单调递增，从而 h(x)min = h(1) = 1,所以a<1. 1 2例 4 证明 设 f(x)= ln(x + 1) — (x — 2x )1 2 =ln(x + 1) — x + qx , 函数的定义域是(一1,+8),当 x € (— 1,+ a )时，f ' (x)>0, ••• f(x)在(—1,+a )上是增函数.•••当 x>0 时，f(x)>f(0) = 0,即当 x>0 时，ln(x + 1)>x — ^x 2. 跟踪训练4 证明 构造函数f(x) = 1 + 2x — e 2x (x>0), 则 f ' (x)= 2 — 2e 2x .•/x>0, • e 2x >1, • f ' (x)= 2 — 2e 2x <0,•- f(x)= 1 + 2x — e^ 在 (0, + a )上单调递减, • f(x)<f(0).又 f(0) = 1 + 2x 0— e 0= 0, • f(x)<0, 即 1 + 2x — e 2x <0, •1+ 2x<e 2x . 达标检测 1. n 2. — 71 3.［1 ,+a )4.解 •/ f ' (x)= (r + 1)(1 + x)r — (r + 1)r=(r + 1)[(1 + x) - 1], 令 f ' (x)= 0,解得 x = 0.当一1<x<0 时，f ' (x)<0,「. f(x)在(一1,0)内是减函数;则 f ' (x) = —1 + x =x + 1 x + 1当x>0 时，f' (x)>0 , ••• f(x )在(0 ,+s)内为增函数.故函数f(x)在x= 0处取得最小值f(0)= 0.。
数学选修2-2分层作业6 利用导数研究函数的极值 含解析
课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[解析]根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．[答案] B2．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[解析]f′(x)＝1x－2x2，令f′(x)＝0，即1x－2x2＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.[答案] D3．已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是()A．{2,4,6,8，…}B．{0,2,4,6,8，…} C．{1,3,5,7，…} D．N＋[解析]∵f′(x)＝2x－2·(－1)kx且x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．[答案] A4．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m>32C．m≤32D．m<32[解析]令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.经检验，知x＝3是函数的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－27 2.因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32，故选A.[答案] A5．函数f(x)＝xe x在区间[2,4]上的最小值为()A．0B.1e C.4e4 D.2e2[解析]f′(x)＝e x－x e x(e x)2＝1－xe x，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e 4.[答案] C二、填空题6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值．[解析] 由f (x )＝x 3－3x 2＋1，得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值．[答案] 27．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则实数k 的取值范围是________．[解析] 设f (x )＝x 3－3x －k ，则f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝±1，且f (1)＝－2－k ，f (－1)＝2－k ，又f (x )的图象与x 轴有3个交点，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k >0，－2－k <0，∴－2<k <2.[答案] (－2,2)8．已知函数f (x )＝a x 2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 由f (x )＝a x 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1．要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.[答案] [e ，＋∞)三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数y 的极小值．[解] (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)．令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0；当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．[解] 因为f (x )＝1＋ln x x ，x >0，则f ′(x )＝－ln x x 2，当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎨⎧ a <1，a ＋12>1，解得12<a <1．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )() A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为427，极小值为－427[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－p －q ＝0，3－2p －q＝0，解得p ＝2，q ＝－1．∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝13时，函数有极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427， 当x ＝1时，函数有极小值，f (1)＝1－2＋1＝0，故选A.[答案] A2．如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.123[解析] 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.[答案] C3．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．[解析] 由题意，知f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，得x ＝±a .因为函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，所以f (a )＝2，f (－a )＝6，即(a )3－3a a ＋b ＝2，(－a )3＋3a a ＋b ＝6，解得a ＝1，b ＝4.所以f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )<0，解得－1<x <1，所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)．[答案] (－1,1)4．设函数f (x )＝e x －e －x ，若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围．[解]令g(x)＝f(x)－ax，由g′(x)＝f′(x)－a＝e x＋e－x－a，由于e x＋e－x＝e x＋1e x≥2(当且仅当x＝0时等号成立，)所以当a≤2时，g(x)＝e x＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln a－a2－42<0，x2＝lna＋a2－42>0，此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)<g(0)＝0，即f(x)<ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.。
高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评7 最大值与最小值 Word版含答案
学业分层测评(七)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．函数()＝＋(∈[])的最小值是．【解析】′()＝－＋＝，当∈[]时，′()>，()是增函数，∴()在∈[]上的最小值为()＝.【答案】．函数()＝－－＋在区间[]上的最大值是，则的值为．【解析】′()＝－－，∈[]，令′()＝，得＝.又()＝，()＝－，()＝＋，∴()在[]上的最大值为＋＝，∴＝.【答案】．若函数()＝－－在区间[]上的最大值、最小值分别为，，则－＝.【解析】∵′()＝－，∴当>或<－时，′()>，当－<<时，′()<.∴()在[]上单调递减，在[]上单调递增．＝()＝－－＝－－＝.∴()最小值又∵()＝－，()＝－，∴()<()．＝()＝－＝，∴()最大值∴－＝－－(－－)＝.【答案】．若对任意的>，恒有≤－(>)，则的取值范围是.【导学号：】【解析】原不等式化为－＋≤，≤.令()＝－＋，只需()最大值由′()＝－知()在上单调递增，在上单调递减．∴()最大值＝＝－，由()最大值≤，得≥.【答案】[，＋∞)．设直线＝与函数()＝，()＝的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为．【解析】设()＝－，易知′()＝－＝，>，＝是()在∈(，＋∞)内惟一极小值点，且＝－>，则最小值＝()最小值，∴达到最小时，＝.【答案】．已知函数()＝－(∈)在区间[，]上取得最小值，则＝.【解析】′()＝＋＝(>)．当≥时，′()>，()在[，]上为增函数，()最小值＝()＝－＝，则＝－.与≥矛盾．当<时，若－<，即>－，()最小值＝()＝－＝，则＝－，与>－矛盾，若－∈[，]，即－≤≤－，()最小值＝(－)＝(－)＋＝，解得＝－，与－≤≤－矛盾．若－>.即<－时，()最小值＝()＝－＝.解得＝－符合题意．【答案】－．已知函数()＝＋，若当>时，()≥恒成立，则实数的取值范围是．【解析】由＋≥恒成立，得≥·(－)恒成立．令()＝(－)，则′()＝(－)∵>，∴当<<时，′()>；当>时，′()<.∴()最大值＝()＝.∴≥.即实数的取值范围是[，＋∞)．【答案】[，＋∞)．若函数()＝(>)在[，＋∞)上的最大值为，则的值为．【解析】′()＝＝，当>时，′()<，()单调递减，当－<<时，′()>，()单调递增，当＝时，()＝＝，＝<，不合题意．∴()最大值＝()＝＝，＝－.【答案】－二、解答题。
2018版高中数学苏教版选修2-2学案：1.3.2极大值与极小值
1. 3.2极大值与极小值【学习目标】1•了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并 会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法 3掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学知识点一函数的极值点和极值思考1观察y = f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.思考2导数为0的点一定是极值点吗?1. 极小值点与极小值若函数y = f(x)在点x = a 的函数值f(a)比它在点x = a 附近其他点的函数值都小，f ' (a) = 而且在点x = a 附近的左侧 ______________________ ，右侧 _________ ，就把 _________ 叫做函数y = f(x)的极小 值点， _________ 叫做函数y = f(x)的极小值. 2. 极大值点与极大值若函数y = f(x)在点x = b 的函数值f(b)比它在点x = b 附近其他点的函数值都大，f ' (b) = 而且在点x = b 附近的左侧 ______________________ ，右侧 _________ ，就把 ______ 叫做函数y = f(x)的极大值 点， ______ 叫做函数y = f(x)的极大值.3. ________________________________ 极大值点、极小值点统称为 ____ ;极大值、极小值统称为 ___________________________________ . 知识点二函数的极值的求法 思考1极大值一定比极小值大吗？思考2函数的极值与单调性有什么联系?新知探究点点落实cje o s h i j x一般地，求函数y= f(x)的极值的方法是：解方程f (x) = 0,当f' (x o)= 0 时：(1)如果在X0附近的左侧________ ，右侧_______ ，那么f(X o)是 _________ .(2)如果在x o附近的左侧________ ，右侧________ ，那么f(X o)是 _________ .题型探究車点理点仆击破类型一求函数的极值点和极值例1求下列函数的极值，并画出函数的草图.In x(1) f(x) = (x2—1)3+ 1 ；(2)f(x)= ■—.回回誓录91淘i果网(www.91 taok&.com j.听窖师带讲谍程—函数的极值——函数极值的正求反思与感悟(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.⑵求可导函数f(x)的极值的步骤如下:①求导数f'(X);②求方程f' (x)= 0的根；③观察f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.注意：f' (x)无意义的点也要讨论，可先求出f' (x) = 0的根和f' (x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.跟踪训练1 (1)设三次函数f(x)的导函数为f' (x)，函数y= x f' (x)的图象的一部分如图所示，则(填写正确的序号).①f(x)极大值为f( ,3)，极小值为f( —3);②f(x)极大值为f( —3)，极小值为f( 3);③f(x)极大值为f( —3)，极小值为f(3);④f(x)极大值为f(3)，极小值为f(—3).⑵函数f(x)=我―4x + 4的极大值与极小值之和为_____________ .3类型二已知函数极值求参数例 2 (1)已知函数f(x) = x3+ 3ax2+ bx+ a2在x=—1 处有极值0，贝U a = __________ , b = ⑵若函数f(x) = fx3—x2+ ax—1有极值点，则a的取值范围为___________ .反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1) 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2) 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2 (1)函数f(x) = x3+ ax2+ bx+ c的图象如图所示，且与直线y= 0在原点处相切，函数的极小值为一4.①求a, b, c的值；②求函数的递减区间.1 + in x i⑵已知函数f(x)= ——，若函数在区间(a, a+ -)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值X 2范围.求实数a的取⑶已知函数f(x)= $ + 1(a—1)x2+ ax(a€ R)在区间(0,1)内有极大值和极小值,值范围.类型三函数极值的综合应用例3 (1)函数f(x) = 3x3—4x+ 4的图象与直线y= a恰有三个不同的交点，贝U实数a的取值范3围是________ .1⑵已知函数f(x)= x3—6x + 9x+ 3,若函数y= f(x)的图象与y = ~f z (x) + 5x+ m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.反思与感悟⑴解答本例⑴的关键是求出函数f(x)的极值，画出函数的图象，解答本例⑵的突破口是把两函数图象的交点问题转化为一个新函数的图象与⑵利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练3若2ln(x+ 2) —x2-x + b = 0在区间［—1,1］上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围.达标检测1•函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x).①无极大值点，有四个极小值点；②有三个极大值点，两个极小值点；③有两个极大值点，两个极小值点；x轴的交点问题.④有四个极大值点，无极小值点.2. 已知f(x) = x3+ ax2+ (a+ 6)x + 1有极大值和极小值，则a的取值范围为 ________ .3. _________________________________________________________________________ 设a € R，若函数y= e x+ ax, x€ R有大于零的极值点，则a的取值范围为 __________________ .4. 直线y= a与函数y= x3—3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_________ .( -------- ■■规律与方法.和------------ 11. 在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2. 函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x= x o处取得极值的充要条件是f (x o)=0且在x= x o两侧f' (x)符号相反.3. 禾U用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.提醒：完成作业 1.3.2答案精析问题导学知识点一思考1 极大值点为e, g, i,极大值为f(e), f(g), f(i),极小值点为d, f, h,极小值为f(d),f(f), f(h).思考2 不一定，如f(x)= x3，尽管f' (x) = 3x2= 0，得出x= 0,但f(x)在R上是递增的，不满足在x = 0的左、右两侧符号相反，故x= 0不是f(x)= x3的极值点.1. 0 f' (x)<0 f' (x)>0 点a f(a)2. 0 f' (x)>0 f' (x)<0 点b f(b)3. 极值点极值知识点二思考1极大值与极小值之间无确定的大小关系. 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示.f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d).思考2 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性.(1) f' (x)>0 f' (x)<0 极大值(2) f' (x)<0 f' (x)>0 极小值题型探究例 1 解(1)y' = 6x(x2—1)2= 6x(x+ 1)2(x—1)2.令y' = 0,解得X1 = —1, X2= 0, X3= 1.当x变化时，y' , y的变化情况如下表：x(—m，—1)—1(—1,0)0(0,1)1(1, ) / y一0一0+ 0+ y无极值极小值0无极值•••当x= 0时，y有极小值且y极小值=0.函数的草图如图所示.令 f ' (x)= 0,解得 x = e.当x 变化时，f ' (x)与 f(x)的变化情况如下表:x(0, e) e (e , + s ) f ' (x) +0 一 f(x)单调递增1 e单调递减1因此，x = e 是函数的极大值点，极大值为 f(e) =-，没有极小值.函数的草图如图所示.跟踪训练1 (1)④(2)8 例 2 (1)29 (2)( —s, 1)跟踪训练2解(1)①•••函数图象过原点，••• c = 0, 即 f(x)= x 3 + ax 2 + bx , • f ' (x)= 3x 2 + 2ax + b.又•••函数f(x)的图象与直线y = 0在原点处相切,• f ' (0) = 0,解得 b = 0, • f ' (x)= 3x 2 + 2ax = x(3x + 2a).2a由 f ' (x)= 0 得 x = 0 或 x =——.由题意可知x =— 2a 时，函数取得极小值—4. • (— 3a)3 + a( — |a)2=— 4,⑵函数f(x)=In x T 的定义域为(°，解得a=- 3.••• a =—3, b = c= 0.②由①知f(x) = x3—3x2,且f' (x)= 3x(x—2),由f' (x)<0 得3x(x—2)<0 ,•0<x<2,•函数f(x)的递减区间是(0,2).1 + In x⑵•/ f(x) = —, x>0,则f' (x)=—乎，当0<x<1 时，f ‘ (x)>0 ;当x>1 时，f' (x)<0.•f(x)在(0,1)上单调递增，在(1 ,+s)上单调递减, •函数f(x)在x= 1处取得极大值.1•••函数f(x)在区间(a, a + 2)(其中a>0)上存在极值,a<1,解得c <a<i.a +1>1 , 22(3) f' (x) = x + (a—1)x+ a,•/f(x)在(0,1)内有极大值和极小值,• f' (x)= 0在(0,1)内有两不等实根,a —1•.•对称轴x=^ ——,a—10<—w，f' (0>0,L f' (1 >0,2-△= (a—1 j - 4a>0 , —1<a<1,即a>0,1+ a —1 + a>0 ,--0<a<3 —2、2.例3(1)( - 3，28)解析13••• f(x)= §x3- 4x+ 4,••• f' (x)= x2— 4 = (x+ 2)(x —2). 令f' (x)= 0,得x= 2 或x=— 2.zx(—m,—2)—2(—2,2)2(2, +8 )f' (x)+ 0—0+f(x)极大值极小值-3 3且f(x)在(—8,—2)上递增，在(—2,2)上递减，在(2,+^)上递增.根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知：—■<a<28.3 2(2)解由f(x)= x —6x + 9x + 3,可得f' (x) = 3x2—12x+ 9,1(3x2—12x+ 9) + 5x+ m= x2+ x+ 3 + m,则由题意可得x3—6x2+ 9x+ 3= x2+ x+ 3+ m有三个不相等的实根，即g(x) = x3—7/+ 8x —m的图象与x轴有三个不同的交点,(x) + 5x+ m=••• g ' (x)= 3x 2— 14x + 8 = (3x — 2)(x — 4),2•••令 g ' (x) = 0 得 x =-或 x = 4. 3则函数g(x)的极大值为g(-) = 27 — m ,极小值为g(4) =— 16— m.1•••由y = f(x)的图象与y = -f ' (x) + 5x + m 的图象有三个不同交点，(2 68得 g G 尸 27— m >°，g 4 =— 16— m<0 ,解得—16<m<27.跟踪训练3 解 令 g(x)= 2ln(x + 2) — x 2— x + b ,522x (x + 2) 贝y g ' (x) = — 2x — 1 = — (x> — 2).x +2 x +2结合图象(图略)可知，要使 f(x) + b = 0在区间［—1,1］上恰有两个不同的实数根，只需 T ：g — 1 三 0,g 0 >o ,『b w 0,即」2ln 2 + b>0 , 所以一2ln 2<b w 2- 2ln 3.2ln 3 —2+ b w 0,故实数b的取值范围是(一2ln 2,2 —2ln 3].达标检测1 ③ 2.( —a, —3) U (6,+^ )3. (— a, —1)4.( —2,2)。
苏教版高中数学选修2-2《极大值与极小值》教学教案2
1.3.2 极大值与极小值学习目标1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；2．了解函数在某点取得极值的充要条件——导数在极值点两侧异号；3．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．学习重点正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．学习难点正确掌握“点是极值点”的充要条件，灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．学习内容一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。
2.用导数求函数单调区间的步骤：求出函数的导函数后，根据导数的符号写出单调区间.二、讲解新课：1．极大值与极小值的概念：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)，x0是极大值点.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f (x0)，x0是极小值点. 2．极大值与导数的关系：3．极小值与导数的关系：4(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.三、典型例题例1．求函数31431)(3+-=x x x f 的极值． 解析详见课本P31.例2．求ex e y x -=的极值解析略提示：求导列表即可。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2学业分层测评7 最大值与最小值
学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题 1．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的最小值是________． 【解析】 f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，当x ∈[1,3]时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (x )在x ∈[1,3]上的最小值为f (1)＝32. 【答案】 322．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2x －1，x ∈[0,2]， 令f ′(x )＝0，得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－13舍去.又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2， ∴f (x )在[0,2]上的最大值为a ＋2＝3，∴a ＝1. 【答案】 13．(2016·南通高二检测)若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝______.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3， ∴当x >1或x <－1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )最小值＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n .又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)<f (3)． ∴f (x )最大值＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 【答案】 204．若对任意的x >0，恒有ln x ≤px －1(p >0)，则p 的取值范围是________.【导学号：01580018】【解析】 原不等式化为ln x －px ＋1≤0， 令f (x )＝ln x －px ＋1，只需f (x )最大值≤0.由f ′(x )＝1x －p 知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1p 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ，＋∞上单调递减．∴f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝－ln p ，由f (x )最大值≤0，得p ≥1. 【答案】 [1，＋∞)5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为_______________．【解析】 设h (x )＝x 2－ln x ，易知h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，x >0，x ＝22是h (x )在x ∈(0，＋∞)内惟一极小值点， 且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝12－12ln 12>0，则|MN |最小值＝h (x )最小值，∴MN 达到最小时，t ＝22. 【答案】 226．(2016·扬州质检)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.【解析】f′(x)＝1x＋mx2＝x＋mx2(x>0)．当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在[1，e]上为增函数，f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4.与m≥0矛盾．当m<0时，若－m<1，即m>－1，f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4，与m>－1矛盾，若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)最小值＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，与－e≤m≤－1矛盾．若－m>e.即m<－e时，f(x)最小值＝f(e)＝1－me＝4.解得m＝－3e符合题意．【答案】－3e7．(2016·常州高二检测)已知函数f(x)＝ax2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________________．【解析】由ax2＋2ln x≥2恒成立，得a≥x2·2(1－ln x)恒成立．令h(x)＝2x2(1－ln x)，则h′(x)＝2x(1－2ln x)∵x>0，∴当0<x<e时，h′(x)>0；当x>e时，h′(x)<0.∴h(x)最大值＝h(e)＝e.∴a≥e.即实数a的取值范围是[e，＋∞)．【答案】[e，＋∞)8．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．【解析】f′(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－a<x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝a时，f(x)＝a2a ＝33，a＝32<1，不合题意．∴f (x )最大值＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.【答案】 3－1二、解答题9．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．【解】 易知f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.(1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12时，f ′(x )<0； 当x >－12时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减．(2)由(1)知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 2＋14.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝116＋ln 72.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)最小值＝－5＋a.要使f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)最小值＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022.[能力提升]1．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，函数f(x)的最大值是________．【解析】f(x)的定义域(0，＋∞)，且f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：从上表可知，函数f(x)在x＝1处取得极大值0.又f(x)在(0，＋∞)上有惟一极大值．∴x＝1时，f(x)有最大值为0.【答案】02．(2016·无锡质检)若关于x 的不等式x 2＋1x ≥m 对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12恒成立，则m 的取值范围是________________．【解析】 设y ＝x 2＋1x ，则y ′＝2x －1x 2＝2x 3－1x 2，当x ≤－12时，y ′<0，所以y ＝x 2＋1x 在区间内是减函数， ∴当x ＝－12时，y 取得最小值为－74. ∵x 2＋1x ≥m 恒成立， ∴m ≤－74.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－743．(2016·汕头质检)已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值，即最小值为f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立．则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.【导学号：01580019】【解析】 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x 与y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x 与y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．【答案】 (－∞，2ln 2－2]5．设函数f (x )＝e x －e －x ，若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围．【解】 令g (x )＝f (x )－ax ， 由g ′(x )＝f ′(x )－a ＝e x ＋e －x －a ，由于e x ＋e －x ＝e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时等号成立，)所以当a ≤2时，g ′(x )＝e x ＋e －x －a ≥2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥ax ， 当a >2时，方程g ′(x )＝0的根为x 1＝ln a －a 2－42<0，x 2＝ln a ＋a 2－42>0，此时，若x ∈(0，x 2)，则g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，x 2)内为减函数，所以x ∈(0，x 2)时，g (x )<g (0)＝0，即f (x )<ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 1.3.2 函数的极大值与极小值 同步检测
1.3.2《函数的极大值与极小值》同步检测一、基础过关1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个．2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的极大值为________．4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.6．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．10．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x 3－22(x －1)2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．答案1．1 2．④ 3．5 4．1 －3 5．3 6．9 7．③ 8．9 9．1<a <410．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′ (x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ↗从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.↘故当x ＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f (－1)＝－38.11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .↗↘↗∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋12m3＋2m3－4＝－52，∴m＝1.12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2e x，f′(x)＝(x2＋2x)e x，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)内是增函数，在(－2a ，a －2)内是减函数． 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)内是增函数， 在(a －2，－2a )内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .。
高中数学 课时跟踪检测(七)极大值与极小值 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题
课时跟踪检测（七）极大值与极小值[课下梯度提能]一、基本能力达标1．函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值 D．无极值解析：选D ∵y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝(x－1)21＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极大值点，则a＝( )A．－4 B．－2C．4 D．2解析：选B f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，易得f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，故f(x)的极大值点为－2，即a ＝－2，故选B.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，因此选C.4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是( )A．0 B．1C．5 D．6解析：选D ∵f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6，5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值X 围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞ 解析：选A ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a .令y ′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.6．若函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝1a处有极值，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝2a ·1a＋b ＝0，即b ＝－2.答案：－27.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1，x ＝2是函数的两极值点， ∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确． 答案：②③④8．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值X 围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的X 围为[1,5)．答案：[1,5) 9．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )－3－1所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.10．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )283－43从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．二、综合能力提升1．若函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )A ．0＜b ＜1B ．0＜b ＜2C ．－1＜b ＜1D ．－1＜b ＜2解析：选C f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )·[x －(b ＋1)]，令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝b ＋1，当x ＜b 时，f ′(x )＞0，函数是增函数；当b ＜x ＜b ＋1时，f ′(x )＜0，函数是减函数；当x ＞b ＋1时，f ′(x )＞0，函数是增函数，∴x ＝b ＋1是极小值点，∴0＜b ＋1＜2，∴－1＜b ＜1，故选C.2．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 答案：－13．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值X 围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值X围是(－3,1)．。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)学业分层测评6 极大值与极小值 Word版含答案
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．【答案】 22．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________.【解析】f′(x)＝2x＋x·2x ln 2＝2x(1＋x ln 2)，由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－1 ln 2.【答案】－1 ln 23．设a∈R，若函数y＝e x－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．【解析】y′＝e x－a，令y′＝0得x＝ln a，令ln a>0，则a>1.【答案】(1，＋∞)4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间的关系如下表极大值∴m＝－19.【答案】－195．已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos 2α＝________.【解析】∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3，且f (x )在x ＝1处有极值．∴f ′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝35，因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 【答案】 －7256．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图1-3-4所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)图1-3-4①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．【解析】 由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．【答案】 ②③④7．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1,3)内与x 轴的交点的个数为________． 【解析】 f ′(x )＝4x 3＋9，易知f ′(x )在(－1,3)上单调递增，则f ′(x )>f ′(－1)＝5>0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增，∵f (－1)·f (3)<0.∴f (x )的图象在(－1，3)内与x 轴的交点个数为1.【答案】 18．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足错误!∴错误! ∴1≤a <5. 【答案】 [1,5) 二、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【导学号：01580014】【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx . 由题意，知错误!即错误! 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0. 10．(2016·太原高二检测)已知函数f (x )＝1＋ln x x，若函数在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．【解】 因为f (x )＝1＋ln x x，x >0，则f ′(x )＝－ln x x2，当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋12>1，解得12<a <1.[能力提升]1．已知函数f (x )＝ex x2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的惟一一个极值点，则实数k 的取值范围为_________________．【解析】 f ′(x )＝x2ex －2xex x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x2＋1x ＝错误!(x >0)．设g (x )＝错误!，则g ′(x )＝错误!，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e.【答案】 (－∞，e]2．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx2＋3x ＋ax (x >0)，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx2＋3x ＋ax＝0的两根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根， ∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.故a ＋b ＝－52.【答案】 －523．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax .已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，其等价于ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝2ax －1的图象两个交点．以下研究临界状态：①如图．当函数h (x )＝ln x 与函数g (x )＝2ax －1的图象相切时，设切点为A (m ，ln m )，其中m >0，则函数h (x )的图象在点A 处的切线的斜率k ＝1m，∴2a ＝1m.又∵直线g (x )＝2ax －1过点(0，－1)， ∴k ＝ln m ＋1m ，∴ln m ＋1m＝1m.解得m ＝1，∴当两线相切时，a ＝12.②当a ＝0时，h (x )与g (x )的图象只有一个交点． ∴所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12.4．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图1-3-5所示，给出下列判断：图1-3-5①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)【解析】 当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )不取极值，⑤错．【答案】 ③5．设f (x )＝a (x －5)2＋6lnx ，其中a∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【解】(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x(x>0)，故f′(x)＝2a(x－5)＋6 x .令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝1 2 .(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋6x＝错误!.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。
1.3.极大值与极小值-苏教版选修2-2教案
1.3.极大值与极小值-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.了解函数极值的概念和判定方法2.掌握求函数极值的方法3.应用函数极值解决实际问题二、教学重点1.极值的概念和判定方法2.求函数极值的方法三、教学难点1.如何应用函数极值解决实际问题四、教学内容和方法4.1 教学内容1.极值的概念2.极值的判定方法3.求函数极值的方法4.极值应用实例4.2 教学方法1.讲授法2.举例法3.案例分析法4.3 教学步骤（1）引入引导学生回顾导数的概念和几何意义。
（2）小组讨论将学生分为小组，让他们对下列问题进行讨论：1.什么是函数的极值？2.如何判定函数是否有极值？3.如何求出函数的极值？（3）案例分析教师通过案例分析，让学生感受到应用极值解决实际问题的魅力。
（4）归纳总结教师根据学生讨论和案例分析的结果，对极值的概念和判定方法进行归纳总结，并让学生掌握求函数极值的方法。
4.4 教学评价通过小组讨论和案例分析，检验学生对极值概念和判定方法的掌握情况；通过应用题，检验学生解决实际问题的能力。
五、学习方法和建议1.熟练掌握求一元函数的导数和导数变化的性质2.善于化归问题、抽象问题3.多做练习，积累求解各种实体问题的经验六、教学反思通过本次教学，学生对函数的极值有了更深入的认识，掌握了求函数极值的方法。
在教学过程中，教师通过案例分析加深学生对极值概念和解决实际问题的了解，让学生更好地理解和掌握了极值的相关知识。
在今后的教学中，可以注重培养学生的实际运用能力，让他们掌握更多实际问题解决的技能和方法。
苏教版高中数学选修2-2 1.3.2极大值与极小值(二) 学案
1.3.2 极大值与极小值(二)学习目标 1.进一步理解极值的概念.2.会应用极值解决相关问题．1．极大值与导数之间的关系x x 1左侧 x 1 x 1右侧 f ′(x ) f ′(x )>0 f ′(x )＝0 f ′(x )<0 f (x )增↗极大值f (x 1)↘减2.极小值与导数之间的关系x x 2左侧 x 2 x 2右侧 f ′(x ) f ′(x )<0 f ′(x )＝0 f ′(x )>0 f (x )↘减极小值f (x 2)增↗类型一 求函数的极值例1 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3. 反思与感悟 (1)研究函数首先要研究其定义域． (2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值． (3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚． 跟踪训练1 设函数f (x )＝ax 3＋32(2a －1)x 2－6x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当a ＝13时，求f (x )的极大值和极小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋32x 2－6x ，f ′(x )＝3x 2＋3x －6，k ＝f ′(－1)＝3－3－6＝－6，f (－1)＝132，所以y －132＝－6(x ＋1)，即12x ＋2y －1＝0为所求切线的方程． (2)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－12x 2－6x ，f ′(x )＝x 2－x －6.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：所以f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝223，f (x )的极小值为f (3)＝－272. 类型二 极值的综合应用例2 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点， ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23 (23，4) 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) ↗6827－m ↘－16－m↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由g (x )的图象与x 轴有三个不同交点， 得⎩⎪⎨⎪⎧g (23)＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.反思与感悟 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 跟踪训练2 已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 解 (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．答案1解析由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，极小值为f(x2)．2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．答案③④解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2)．3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.答案－1ln 2解析 f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.5．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．(填序号)①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 答案 ④解析 不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f (－33)，∴排除①； 取函数f (x )＝－x (x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝x (x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点， ∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意 (1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法．课时作业一、填空题1．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1.若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 (32，4)2．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________． 答案 8解析 y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8.3．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.4．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，12)解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x －a )＝ln x ＋1－2ax (x >0)，令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2.易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 大致图象如下图．若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5.6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9.7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递减，同理f (x )在(2,4)内单调递减，在(－2,2)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递增，所以可排除①和②，可填③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均单调递增，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点的左、右两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零，所以才会有极大值和极小值． 由4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.9．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，由题意得f ′(1)＝0，即1＋2－a4＝0，解得a ＝3.10．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 答案 (22，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，a >0，解得a >22. 二、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－13－13 ⎝⎛⎭⎫－13，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， ∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴(527＋a )(a －1)>0， ∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 13．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解 (1)因为f ′(x )＝a1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16. (2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增， 且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0， 所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，极小值为f (3)＝32ln 2－21，所以要使直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，当且仅当f (3)<b <f (1)．因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．三、探究与拓展14．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；(2)求证：(x －1)f (x )≥0.(1)解 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.x ＝1是g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－1.综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明 由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0.当0＜x ＜1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1≥0.∴(x －1)f (x )≥0. 15．若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x (x ＋52)x ＋2(x >－2)． g (x )与g ′(x )在(－2，＋∞)的变化情况如下表：由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 1.3.2极大值与极小值
1.3.2 极大值与极小值双基达标限时20分钟1．以下结论中，正确的是________．①导数为零的点一定是极值点；②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值；③如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值；④如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值解析由极值点和极值的定义可知，②正确，③、④不正确．导数为零的点不一定是极值点，故①不正确．答案②2．已知命题甲：f′(x0)＝0，命题乙：点x0是可导函数f(x)的极值点，则甲是乙的________条件解析f′(x0)＝0不能得出点x0是可导函数f(x)的极值点，即甲不是乙的充分条件；但点x0是可导函数f(x)的极值点可得出f′(x0)＝0，故甲是乙的必要条件．答案必要而不充分3．函数f(x)＝x3－3x极小值为________．解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极小值为f(1)＝－2.答案－24．函数y＝x3－3x2－9x＋5的极值情况是__________(写出所有正确的序号)．①在x＝3处取得极大值②在x＝－1处取得极小值③在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值④既无极大值也无极小值解析y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)＝0，x＝3或x＝－1，如下表x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)y′＋0 －0 ＋y 增函数极大值减函数极小值增函数答案③5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.解析因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 答案 1 －36．求下列函数的极值：(1)f(x)＝6x 2－x －2；(2)f(x)＝x 3－27x.解 (1)因为f(x)＝6x 2－x －2，所以f′(x)＝12x －1. 令f′(x)＝12x －1＝0，得x ＝112. 当x>112时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<112时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以，当x ＝112时，f(x)有极小值，并且极小值为：f ⎝⎛⎭⎫112＝6×⎝⎛⎭⎫1122－112－2＝－4924. (2)因为f(x)＝x 3－27x ，所以f′(x)＝3x 2－27. 令f′(x)＝3x 2－27＝0，得x 1＝3或x 2＝－3. 下面分两种情况讨论：①当f′(x)>0，即x>3，或x<－3时； ②当f′(x)<0，即－3<x<3时．当x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)↗54↘－54↗当x ＝3时，f(x)有极小值，并且极小值为－54.综合提高 限时25分钟7．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为________． 解析 f′(x)＝3x 2－2a ＝0，x ＝± 2a3， 由题意知只要0< 2a 3<1，即0<a<32. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，32 8．函数f(x)＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________．解析 ∵f′(x)＝3x 2－a ，又∵f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数， 所以在[1，＋∞)上，f′(x)≥0， 即3x 2≥a 在[1，＋∞)恒成立， 由3x 2∈[3，＋∞)， ∴a 的最大值为3. 答案 39．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意得y′＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和3， ∴由根与系数的关系得，－1＋3＝－2a 3，(－1)×3＝b3，∴a ＝－3，b ＝－9.答案 －3 －910．函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．解析 f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令f′(x)＝0， 即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根 即Δ＝4a 2－ka －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)11．若直线y ＝m 与y ＝3x －x 3的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 y′＝(3x －x 3)′＝3－3x 2＝3(1－x 2)，∴x ＝±1时，y′＝0，又x ∈(－∞，－1)、(1，＋∞)时，y′<0；x ∈(－1,1)时，y′>0，∴x ＝－1是函数y ＝3x －x 3的极小值点，y 极小值＝f(－1)＝－2；x ＝1为函数y ＝3x －x 3的极大值点，y 极大值＝f(1)＝2.因此，要使直线y ＝m 与曲线y ＝3x －x 3有三个不同交点，则－2<m<2.12．设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 解 (1)f′(x)＝3x 2－3a.因为曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f′2＝0，f 2＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧34－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝±a.当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是函数f(x)的极小值点．13．(创新拓展)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值为－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2)h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m＜0，所以m的取值范围为m＞1.。
苏教版高二数学选修2-2 1.3.2 极大值与极小值 作业
[基础达标]1.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．解析：因为f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，f ′(1)＝3－a22＝0，所以a ＝3. 答案：32.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为________．解析：观察y ＝f ′(x )的图象，设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点的横坐标依次为x 1，x 2，0，x 3，则x ∈(a ，x 1)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )是增函数；x ∈(x 1，x 2) 时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )是减函数；x ∈(x 2，x 3)时，f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )是增函数；x ∈(x 3，b )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )是减函数．所以，当x ＝x 2时，y ＝f (x )取得极小值，别无其他极小值． 答案：13.函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________．解析：f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x，因为函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax＝0的两个根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－32b ＝1＋2，a 2b＝1×2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.答案：－2 －124.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点左、右两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零，才会有极大值和极小值．∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)5.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1，0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．解析：∵f (x )与x 轴切于(1，0)点， f ′(x )＝3x 2－2px －q ， ∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0， ∴p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝0得x 1＝13，x 2＝1.当x <13时f ′(x )>0，f (x )为增函数．当13<x <1时f ′(x )<0，f (x )为减函数． 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．327f (x )极小值＝f (1)＝0.答案：4276.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________(填序号)．解析：从图象知，x ∈(－3，－2)时f ′(x )<0，当x ∈(－2，－12)时f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－3，－12内不单调，同理，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，3内也不单调，故①②均不正确；当x ∈(4，5)时f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增，故③正确；由于f ′(2)＝0，并且在x ＝2附近的左、右两侧分别有f ′(x )>0与f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，而在x ＝－12附近的左、右两侧均有f ′(x )>0，所以x ＝－12不是函数的极值点，即④⑤均不正确．故填③.答案：③7.已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x －2，g (x )＝f (x )＋13mx ，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：g (x )＝f (x )＋13mx ＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，则g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋13m ，令g ′(x )＝0，当Δ<0时，g ′(x )>0恒成立，函数g (x )单调递增，无极值，所以函数有极值时Δ≥0，方程3x 2－4x＋1＋13m ＝0有实数根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实数根x ＝23，在x ＝23附近的左、右两侧均有g ′(x )>0，故函数g (x )无极值；②当m <1时，g ′(x )＝0有两个实数根x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，故在m ∈()－∞，1时，函数g (x )有极值，当x ＝13(2－1－m )时，g (x )取得极大值；当x ＝13(2＋1－m )时，g (x )取得极小值．8.设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，x 2x 2由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因为x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[能力提升]1.已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．解析：函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，等价于函数的极大与极小值中恰有一个为0，函数的导数为y ′＝3x 2－3，令y ′＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，可知极大值为f (－1)＝2＋c ，极小值为f (1)＝c －2.由f (－1)＝2＋c ＝0，解得c ＝－2，由f (1)＝c －2＝0，解得c ＝2，所以c ＝－2或c ＝2. 答案：－2或22.已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________．解析：由于f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0， 得x ＝－2或x ＝1.当x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当－2<x <1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (x )在x ＝－2时取得极大值，且f (－2)＝103＋m ；f (x )在x ＝1时取得极小值，且f (1)＝－76＋m ，因此要使函数f (x )的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－76＋m ≥0，m ≥76，故m 的取值范围是m ≥76.答案：m ≥763.设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6(x ＋a 6)2＋b －a 26，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. 所以，实数a ，b 的值分别为3，－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.所以函数f (x )的极大值为f (－2)＝21，极小值为f (1)＝－6. 4．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.解：(1)f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有惟一实根x 0，且x 0∈(－1，0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝（x 0＋1）2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.。
苏教版高二数学选修2-2_ 1.3.2_ _极大值与极小值_ 作业
1.3.2极大值与极小值一、单选题1．函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0,q:x=x0是f(x)的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分不必要条件C．p是q的必要不充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数极值的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】函数f(x)=x3是单调递增函数，f′(x)=3x2，x0=0满足f′(x0)=0，但x0=0不是f(x)的极值点，即充分性不成立，由极值点的定义知若x=x0是f(x)的极值点，则必须有f(x0)=0，即必要性成立，则p是q必要不充分条件，故选C.【点睛】本题通过极值的定义主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p⇒q,q⇒p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2．已知函数()32f x x ax=-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx=+在()3,1a--上的极小值不大于1m-，则实数m的取值范围是A．159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．159,4⎛⎤--⎥⎝⎦C．15,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．(),9-∞-【答案】B【解析】∵()2'3f x x a=-，当0a≤时，()'0f x≥，()f x无极值；当0a>时，易得()f x在x=4f⎛=⎝，即3a=，于是()()332g x x m x=+-+，()()2'33g x x m=+-.当30m-≥时，()'0g x≥，()g x在()3,2-上不存在极小值..当30m-<时，易知()g x在x=处取得极小值，依题意有32,{1,g m -<<≤-，解得1594m -<≤-. 故选B.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解.3．设函数f (x )＝e x(x －a e x)(其中e 是自然对数的底数)恰有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列说法不正确的是( )A ．0＜a ＜12 B ．－1＜x 1＜0C ．－12＜f (0)＜0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞0 【答案】D【解析】因为函数f(x)=e x (x −ae x )，所以f′(x)=(x +1−2ae x )⋅e x ，由于函数f(x)的两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x 0)=0的两个不等实根，即x +1−2ae x =0，且a ≠0，所以x+12a=e x ，设y 1=x+12a(a ≠0)，y 2=e x ，在同一坐标系内画出这两个函数的图像，如图所示：要使这两个函数有两个不同的交点，应满足{12a >012a>1，解得0<a <12，所以a的范围是(0,12)，结合图像可以发现D 项是错误的，故选D. 4．函数的极大值为，那么的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】，令可得，容易判断极大值为.考点：函数的导数与极值.5．设函数，则（）A ．为()0,1的极大值点B ．为()0,1的极小值点C ．为()0,1的极大值点 D ．为()0,1的极小值点【答案】 D【解析】，由得，又函数定义域为，当时，，递减，当时，，递增，因此是函数的极小值点．故选D ．考点：函数的极值点．6．已知函数()3223f x x x a =-+，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.考点：导数与极值，数形结合. 7．已知函数，其导函数的图象如图，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由导函数的图象可知， ()f x 在2x =处取得极小值，. 考点：导数与极值，数形结合.二、填空题8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是________．【答案】②【解析】由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先增后减，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．故答案为②.9．已知函数f(x)＝x3－3x2＋3＋a的极大值为5，则实数a＝________.【答案】2【解析】∵f′(x)＝3x2－6x；由f′(x)＝0得x＝0或x＝2；由f′(x)>0得x<0或x>2，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f′(x)<0得0<x<2，则f(x)的单调递减区间为(0，2)．当x＝0时函数取得极大值，∴f(0)＝3＋a＝5，∴a＝2.答案：210．若函数在处取得极值，则的值为___________.【答案】0 【解析】，由题意得．考点：导数与极值．三、解答题11．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值．【答案】（1）见解析；（2）当1a=时，函数()f x没有极值；当1a>时，函数()f x在0x=处取得极大值1，在1x a=-处取得极小值()311a--.【解析】试题分析：由已知得()0f x'=，解得120,1x x a==-．（1）当1a=时，()26f x x'=，()f x在(),-∞+∞上单调递增；当1a>时，由()f x'的正负，列表即可得到函数的单调区间；（2）由（1）知，根据函数的单调性，即可求解函数的极值点与极值．试题解析：由已知得()()f x6x x a1⎡⎤=--⎣'⎦，令()f x0'=，解得12x0,x a1==-．（1）当a1=时，()2f x6x'=，()f x在(),∞∞-+上单调递增；当a1>时，()()f x6x x a1⎡⎤=--⎣'⎦，()()f x,f x'随x的变化情况如下表：从上表可知，函数()f x在(),0∞-上单调递增；在()0,a1-上单调递减；在()a1,∞-+上单调递增．（2）由（1）知，当a1=时，函数()f x没有极值；当a1>时，函数()f x在x0=处取得极大值1，在x a1=-处取得极小值()31a1--．12．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－a)有互为相反数的极大值和极小值，试确定常数a的值．【答案】1a=-或2a=或【解析】试题分析：由函数()f x，求得()f x'，令()0f x'=，转化为方程()0f x'=有不相等的两实数根，再根据()()0f m f n+=，即可求解实数a的值.试题解析：()()()()3211f x x x x a x a x ax=--=-++，∴()()2321f x x a x a=-++'，令()0f x'=，得()23210x a x a-++=，由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为m,n，∴()()()()()3322f m f n m n a1m n a m n+=+-++++13．已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为【解析】（1）当时，，，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减；所以当时取极大值，极大值为，无极小值.（2）函数的定义域为，.当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，所以函数在上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减.综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.考点：利用导数求函数的极值和单调区间，分类讨论思想.。
苏教版高二数学选修2-2 1.3.2 极大值与极小值 学案 (2)
1.3.2极大值与极小值1．会求函数的极大值与极小值．(重点)2．掌握函数极大(小)值与导数的关系．(难点)3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件．(易错点)[基础·初探]教材整理1函数极大(小)值的概念阅读教材P30上半部分，完成下列问题．函数极大(小)值的概念设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；设函数f(x)在x2附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．判断正误：(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成下列问题．(1)极大值与导数之间的关系增减(2)减增函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．图1-3-2【解析】由图象可知：导函数f(x)＝0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数f(x)只有一个极值点．【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f (x )＝x 2－2x －1； (2)f (x )＝x 44－23x 3＋x 22－6； (3)f (x )＝|x |.【自主解答】 (1)f ′(x )＝2x －2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 因为当x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且y 极小值＝－2.(2)f ′(x )＝x 3－2x 2＋x ＝x (x 2－2x ＋1)＝x (x －1)2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝1.所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调 递减单调 递增单调 递增极小值(3)f (x )＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0.显然函数f (x )＝|x |在x ＝0处不可导， 当x >0时，f ′(x )＝x ′＝1>0， 函数f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．[再练一题]1．已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________.【导学号：01580013】【解析】∵f′(x)＝2x－2 x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. 【答案】 1已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．【精彩点拨】 (1)求导函数f ′(x )，则由x ＝1和x ＝－23是f ′(x )＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b .(2)由f (－1)＝32求出c ，再列表求解． 【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ， 由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1. ∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )的递增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎭⎪－23，1.当x ＝－23时，f (x )有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值为f (1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[再练一题]2．已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．【解】 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．[探究共研型]探究1【提示】不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．探究2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-3所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？图1-3-3【提示】一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点．x1，x3是极大值点．探究3函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？【提示】不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．【精彩点拨】求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．【自主解答】令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，图略． 由已知应有⎩⎨⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．[再练一题]3．上例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ 【解】 由例题，知函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.[构建·体系]1．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a ＝________，b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 两零点为－2,4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a3，－2×4＝b 3，∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－24. 【答案】 －3 －242．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.【解析】 由f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝0，∴x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1， 又f (x )在x ＝1处取极值，∴x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，∴a ＝3. 【答案】 33．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．【答案】 (－∞，－1)4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． 【解】 y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：单调递减单调递减单调递增故当x＝3时函数取得极小值，且y＝f(3)＝－22.极小值我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
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学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．【答案】 22．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________.【解析】f′(x)＝2x＋x·2x ln 2＝2x(1＋x ln 2)，由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－1 ln 2.【答案】－1 ln 23．设a∈R，若函数y＝e x－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．【解析】y′＝e x－a，令y′＝0得x＝ln a，令ln a>0，则a>1.【答案】(1，＋∞)4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．【解析】y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x1＝0，x2＝4.x，y′，y之间的关系如下表极大值∴m＝－19.【答案】－195．已知函数f (x )＝x 3＋(3－5cos α)x 2－3x 在x ＝1处有极值，则cos 2α＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2(3－5cos α)x －3， 且f (x )在x ＝1处有极值．∴f ′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝35， 因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 【答案】 －7256．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图1-3-4所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)图1-3-4①当x ＝32时函数取得极小值； ②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．【解析】 由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．【答案】 ②③④7．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1,3)内与x 轴的交点的个数为________．【解析】 f ′(x )＝4x 3＋9，易知f ′(x )在(－1,3)上单调递增，则f ′(x )>f ′(－1)＝5>0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增，∵f (－1)·f (3)<0.∴f (x )的图象在(－1，3)内与x 轴的交点个数为1.【答案】 18．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ， 函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13. ∴应满足⎩⎨⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎨⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5. 【答案】 [1,5) 二、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【导学号：01580014】【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎨⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0. 10．(2016·太原高二检测)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．【解】 因为f (x )＝1＋ln xx ，x >0，则f ′(x )＝－ln xx 2，当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.[能力提升]1．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的惟一一个极值点，则实数k 的取值范围为_________________．【解析】 f ′(x )＝x 2e x －2x e xx 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝(x －1)e xx 2，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e.【答案】 (－∞，e]2．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋a x (x >0)，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx 2＋3x ＋ax ＝0的两根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根， ∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a 2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.故a ＋b ＝－52. 【答案】 －523．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax .已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，其等价于ln x ＋1－2ax ＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝2ax －1的图象两个交点．以下研究临界状态：①如图．当函数h (x )＝ln x 与函数g (x )＝2ax －1的图象相切时，设切点为A (m ，ln m )，其中m >0，则函数h (x )的图象在点A 处的切线的斜率k ＝1m ，∴2a ＝1m .又∵直线g (x )＝2ax －1过点(0，－1)， ∴k ＝ln m ＋1m ，∴ln m ＋1m ＝1m .解得m ＝1，∴当两线相切时，a ＝12.②当a ＝0时，h (x )与g (x )的图象只有一个交点． ∴所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图1-3-5所示，给出下列判断：图1-3-5①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值． 则上述判断中正确的是________．(填序号)【解析】 当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )不取极值，⑤错．【答案】 ③5．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【解】 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f′(x)＝x－5＋6x＝(x－2)(x－3)x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。