数理方程资料
数理方程公式大全
数理方程公式大集合1. 考察两端固定的弦的自由振动问题● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为2. 有界长杆的热传导问题3. 二维拉普拉斯方程的边值问题4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)⎪⎩⎪⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1∑∞=+-=nn n tlxn l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin)(2dx lxn x la ln ⎰=πϕ,sin)(2dx lxn x an b ln ⎰=πψπ⎪⎩⎪⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,(),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin) (),(1∑∞=-+=n y an n y an n x an eb ea y x u πππ,sin )(20⎰=+an n xdx an x f a b a π,sin)(2⎰=+-ab an n b an n xdx an x g aeb ea πππ11),0(0r r <<5. 圆域内的泊松公式6. 无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式其中方程(3)的通解形式为7. 无限长弦强迫振动问题的解为公式和差化积sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2).(|θf u r r ==)20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰=πθθθπ20cos )(1d n f r a n n ⎰=πθθθπ20sin )(1d n f r b nn), ,2 ,1 ,0( =n ),,2 ,1( =n ),( )(cos 2)(21),(0200220220r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰ϕϕθϕπθπ),0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt)()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ.)(21⎰+-+atx atxd a ααψ).()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)),0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ⎰+-+atx atxd aααψ)(21..),(21)()(⎰⎰-+--+t t a x t a xd d f aτξτξττ222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆是三维拉普拉斯算子。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程-总结复习及练习要点
数理方程基本知识
➢ 方向导数
x x0 cos
数量场函数
uu(x,y,z;t)沿射线 cos
的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 (x0, y0, z0)
沿方向e r c o s,c o s,c o s方向导数，记作 Deu(x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
光学与电子科技学院 6 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
数理方程基本知识
•
－劈形算符符合矢量运算
g=x22 y22 z22
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
光学与电子科技学院 3 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
基本知识 定解问题的确立及分析 定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程第1讲-69页PPT资料
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
《数理方程》学习资料：5.3 傅里叶变换的应用
则偏微分方程的初值问题, 转化为了关于t的ODE 的初值问题(把α看作参数) 解得
U (α, t) = Φ(α)e
3
2
பைடு நூலகம்
e
c dα = 2π
+∞
ei(
2 α3 +α +αx) 3 2
dα.
−∞
求热传导方程的初值问题
ut = a2 uxx + f (x, t), u(x, 0) = ϕ(x),
例5.3.2. 求解初值问题
− ∞ < x < + ∞, t > 0 , − ∞ < x < + ∞.
(5.3.1)
(5.3.2)
注5.3.1. 这里我们用到了如下结论:
dy + P (t)y = Q(t), dt y ( t0 ) = y 0 . [
P (s)ds
的解为
y (t) = e
−
∫t
t0
∫ y0 +
t
∫τ
]
P (s)ds
Q(τ )e
t0
t0
dτ .
注5.3.2. 1) 若记
G(x, t) =
2 a2 t
)=
x2 1 √ e− 4a2 t 2a πt
因此, 有
( ) ) ∫ t x2 x2 1 1 − √ e− 4a2 t + √ u(x, t) =ϕ(x) ∗ f (x, τ ) ∗ e 4a2 (t−τ ) dτ 2a πt 2 a π ( t − τ ) 0 ∫ +∞ ∫ t ∫ +∞ 2 (x−ξ)2 ( x − ξ ) f (ξ, τ ) 1 − 2 − 2 4 √ e 4a t ϕ(ξ )dξ + e a (t−τ ) dξ dτ = √ 2a πt −∞ 0 −∞ 2a π (t − τ ) (
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程公式整理
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质 线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
数理方程第一章
6、求解方法
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 横向： T cos α = T 'cos α ' 纵向： T sin α + T 'sin α '− ρ gds ≈ ma − 其中：cos α ≈ 1 cos α ' ≈ 1
2
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui = f i
∑f
i
=f
∑u ∑u
i
i
=u
Lu = f
Lu = 0
Lui = 0
=u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
5、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。 通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意 常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
v n
M
温度发生变化需要的热量为： Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t 2 ) − u ( x, y, z , t1 )]dV V t2 t 2 ∂u ∂u = ∫∫∫ cρ ∫ dtdV = ∫t ∫∫∫ cρ dVdt t1 ∂t 1 ∂t V V
Q1 = Q2
2
热场
∫ ∫∫∫ k∇ udV dt = ∫
数理方程 第一章
uபைடு நூலகம்
1 (u u ) 6( )
20
y 0
Tricomi方程变为
u yy 0
这就是抛物型的标准形式。
21
第三节 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件
定解条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
22
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
2 2u u 2 f ( x, t ), t 0, x R 2 a 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
非奇异
x y 0 x y
5
u ( x, y )
复合求导
( x, y ) ( x, y )
u ( , )
u u u x x x u u u y y y
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) y 2 2 y y y 2 y y 2 y 2
数学物理方程 第一章
第一节 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x2 ,, xn )
u( x) u( x1, x2 ,, xn )
2
自变量
未知函数
u u u F ( x, u, ,, , 2 ,) 0 x1 xn x1
数理方程公式总结
数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。
它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。
数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。
在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。
本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。
1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。
根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。
常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。
数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。
它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。
根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。
常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。
它可以看作是微分方程的一种推广。
积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。
常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。
数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。
总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。
在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。
解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。
因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
运城学院参考资料数理方程第二章
sin
2a
l
t
v2(t) p2V2 ( p) pv2 (0) v2 (0) p2Vn ( p)
2a
l
p2
22 a2
l2
2
sin 2a
l
t
2a
p2V2 ( p)
4a2
l2
2
V2
(
p)
p2
l
4a2 2
l2
2a
V2 ( p)
p2
l
4a 2 2
p2
1
4a 2 2
l2
l2
l 2a
2a
v2 (t) 2a sin l t sin l t
X (0) 0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0 X (0) A B 0
X Aex Bex X (l) Ael Bel
0 2 0
AB0
X 0
X 0
X Ax B X B0
X 2 X 0
X Asin x B cosx
X (0) A 0
n
Xn
n2
n0
u(1, ) An (1) cos n Bn (1) sin n 0 n0
B2
1
B2
4
2
B2
1 2
2
An (1) Bn (1) 0 An (0) Bn (0)
C0 D0 ln
Cn n Dn n An 0
Bn 0 n 2
C B2
4
C2
12C 2 4C 2 D2 2
X (x) Ae x Be x
0 xl X (l) 0
X (0) A B 0 X (l) Ael Bel 0
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一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
（12分）七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）0xx yy yu xu +=八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。
（12分）数理方程试卷答案一 判断题（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V 二 填空题 （1）抛物 （2）2222220,xx yy x y Ru u x y Ru φ+=⎧+=+<⎪⎨=⎪⎩（3）0212()()33P x P x +（4）11[()()]()22x at x atx at x at t dt φφφ-+++--⎰（5）1!()m m s a +-三 解 ：有条件知 固有值为2()n n l πλ=，固有函数系为 ：cos,0,1,2,...nn x n lπφ== （3分）设0(,)()cos n n n u x t T t x lπ∞==∑带入方程得 20['()()()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l lππω∞=+=∑ （2分）02'()sin ()'()()()0(0)0n n n T t A t n a T t T t lT ωπ∴=+== （4分）得0()(1c o s ),()0,1,2,...n AT t tT t n ωω=-==（4分）(,)(1cos )Au x t t ωω∴=- （1分）四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分） 对方程两端同时作Laplace 变换得((,)1)1,d pU x p dx p-=（3分）(,)1dU x p p dxp∴=2(,)1dU x p dxp=（3分）且211(0,)U p p p =+22111(,)U x p xppp∴=+ （3分）(,)1u x y xy y ∴=++ （2分）（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）对原方程两端同时作Laplace 变换得：21()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分）2311131()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分）3313()16416ttty t e te e-∴=+-（4分）五．解：建立方程20000,00,cos 0tt xx t tt x x u a u x t u u x u===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩ （3分）由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程 2'',0'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分）根据达兰贝尔公式得11'(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa +-==⎰ （3分）从而，原问题的解为11(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa+-==⎰（2分）六．解：定解问题为0000,00,00,xx yy x x a y y bu u x a y bu u u ux====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩（2分）由初值条件得 固有值 2(),n nx aλ= 固有函数系为 ()sin,1,2,...n n x X x n aπ== （2分）方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑=0sin()n n n xY y aπ+∞=∑()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）()n n aa yyn n n Y y C eD eππ-∴=+代入原方程得 1(,)()sinn n aa yyn n n n u x y C eD ex aπππ+∞-==+∑又 (,0)0,(,)u x u x b x ==解得()sinsinn n aa n nb bbn n C D n n C e D ex x xdxaaππππ-+=+=⎰（3分）n ban bn b aan b an b n b aan n e C ee eD eeππππππ---=-=- （3分）()()1(,)sinn b y n b y aan b n b n ee n u x y x aeeπππππ---+∞-=-∴=-∑（2分）七．解：显然 x ，y 不同时 为零，xy ∆=-，特征方程为2()0dy y x dx+= （1分）（1） 当0xy ∆=->时，方程式双曲型的。
（1分）0,0x y <>时，特征方程是dy dx= ，解得33221,2()x y c -±=，（1分）令 3322(),x y ξη=-=，得标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） 当 0,0y x <>时，特征方程是dy dx=标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） （2）0xy ∆=-= ，抛物型。
标准型为 0,xx u = 或 0yy u =。
（1分） （3）0xy ∆=-<，椭圆型。
特征方程解为 33221,2()x iy c -±=（1分） 令 3322,x y ξη==，得 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη+++=。
（1分）八．证明：微分性质[()]()[()]()(0)d L f t s sL f t s f dt=-（2分）[()]()()()()()(0)()[()]()(0)stststststd d L f t s ef t dtdtdtedf t f t ef t def s ef t dt sL f t s f +∞-+∞+∞--+∞-+∞-===-=-+=-⎰⎰⎰⎰（3分）卷积性质1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = （2分）12120()12012012[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]()tsts s t ststL f t f t s f f t d edtf ef t e dt d f t edt f t edtL f t s L f t s τττττττττ+∞-+∞+∞---+∞+∞--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5分）第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法 1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x xu a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n nt x u＝lx n l t an D l t an C n n nπππ∑∞=+1sin)sincos(其中：⎰=lndx lx n x lC 0sin)(2πϕ，⎰=ln dx l x n x an D 0sin)(2πφπ2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu atu (2.18)0),(,0),0(=+∂∂=t l hu x t l u t u ），（ (2.19))()0,(x x u ϕ= (2.20)其中ρc k a =2，00>=kk h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。