《圆的标准方程》课件3 (北师大版必修2)
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2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
(2)在求圆的标准方程时， 尽量利用圆的几何性质， 可以大大地 减少计算量． 一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】 直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心 坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及 半径来解决．
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
(2)在求圆的标准方程时， 尽量利用圆的几何性质， 可以大大地 减少计算量． 一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】 直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心 坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及 半径来解决．
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
2
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1 ) 圆 心 为 C (a ,b )， 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
当 圆 心 在 原 点 时 a=b=0， 圆 的 标 准 方 程 为 ： x2 + y2 = r2
(2 ) 由 于 圆 的 标 准 方 程 中 含 有 a , b , r 三 个 参 数 ， 因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1 ) 圆 心 为 C (a ,b )， 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
当 圆 心 在 原 点 时 a=b=0， 圆 的 标 准 方 程 为 ： x2 + y2 = r2
(2 ) 由 于 圆 的 标 准 方 程 中 含 有 a , b , r 三 个 参 数 ， 因 此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知 条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标 列方程的问题一般采用圆的标准方程。
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4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径
就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以 判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将 该点坐标代入圆的方程判断．
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是
根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两 个几何要素，然后代入标准方程．
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
3 |a|
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是 A(5,1), B(7,3), C (2,8)
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： , • 已知圆心为C的圆经过点 A(1 1) 和 B(2,2) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作业:
课本第134页
2、3、4。
同 学 们 再 见 ！
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4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
作为练习：
请完成课本131页练习第4题
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
故可设圆心坐标为(a,3a－2)．又∵|CA|＝|CB|， 故 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32， 解得 a＝2，∴圆心为(2,4)，半径 r＝|CA|＝ 10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
规律方法
求圆的标准方程一般有两种思路：①由圆的几何性
§ 圆与圆的方程 2 2．1 圆的标准方程
《圆的标准方程》课件4 (北师大版必修2)
所求圆的方程为
a2 b 3 r 5
待定系数法
( x 2) ( y 3) 25
2 2
解：设点C（a，b）为直径 P P 1 2 的中点，则
P131 练习 3
93 46 6 a 5 b 2 2
圆心坐标为（5，6）
P (4,9) 1
2
C
P (6,3) 2
2
典型例题
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) O C E C(2,-8) D
x
B(7,-3)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
( x a ) ( y b) r
2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
C
( x a) ( y b) r
2 2
圆的标准方 程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
练习
x 3 y 3 0 得 x 3, 解方程组 y 2. x y 1 0 (3,2) 所以圆心C的坐标是
所以，圆心为C的圆的标准方程是
圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5
2
( x 3) ( y 2) 25
1、圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程为（ B ） A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ D） A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2 C C（0，2） r = 2 D C（2，0） r= 2 3、已知 M (5,7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在 （ B ） A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定
a2 b 3 r 5
待定系数法
( x 2) ( y 3) 25
2 2
解：设点C（a，b）为直径 P P 1 2 的中点，则
P131 练习 3
93 46 6 a 5 b 2 2
圆心坐标为（5，6）
P (4,9) 1
2
C
P (6,3) 2
2
典型例题
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) O C E C(2,-8) D
x
B(7,-3)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
( x a ) ( y b) r
2 2
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
C
( x a) ( y b) r
2 2
圆的标准方 程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
练习
x 3 y 3 0 得 x 3, 解方程组 y 2. x y 1 0 (3,2) 所以圆心C的坐标是
所以，圆心为C的圆的标准方程是
圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5
2
( x 3) ( y 2) 25
1、圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程为（ B ） A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ D） A C（2，0） r = 2 B C（ – 2，0） r = 2 C C（0，2） r = 2 D C（2，0） r= 2 3、已知 M (5,7) 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M在 （ B ） A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[研一题]
[例2] 已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)， Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[自主解答] 由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝ 1 |P1P2|＝ 2 3＋12＋6－22＝2 2. 1 2
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8， (5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
[悟一法]
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位
置关系，即比较|MC|与r的关系：
[悟一法] 直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐
标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
[通一类]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)， B(0，－2)．
解：(1)由两点间距离公式， 得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29， ∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[悟一法] 用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
①设出圆的标准方程．
②根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组 得a，b，r的值． ③代入标准方程，得出结果．
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
《圆的标准方程》课件8 (北师大版必修2)
( x a ) ( y b) r
2 2
O
C
x
2+(y-b)2=r2 (x-a)
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y
(2)、(x+1)2+y2=1
y
-2 C(0、0) r=2
0
+
x
-1 C(-1、0) r=1
0
x
例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的 方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个 圆上.
§4.4.1 圆的标准方程
圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点，则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } y M(x,y)
196 ∴所求圆的方程为： 1) ( y 3) (x 25
圆心：已知 半径：圆心到切线的距离
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[自主解答] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2a－b－3＝0， 2 2 2 5－a ＋2－b ＝r ， 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程．
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为
3．中点坐标 x1＋x2 y1＋y2 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为( ， )． 2 2
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为
3．中点坐标 x1＋x2 y1＋y2 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为( ， )． 2 2
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
《圆的标准方程》课件3 (北师大版必修2)
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线 方程. 4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求 切线的长.
Y
C（8、3） P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
• 解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, • 已知a=1,b=3 • 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0 的距离， • 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 2 2 = 5 =3 15 3 + ( -4 )
§ 4.1 圆的方程
§4.4.1 圆的标准方程
求曲线方程பைடு நூலகம்步骤
选系取动点,找等量，列方程,化简
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
Y
C（8、3） P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
• 解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, • 已知a=1,b=3 • 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0 的距离， • 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 2 2 = 5 =3 15 3 + ( -4 )
§ 4.1 圆的方程
§4.4.1 圆的标准方程
求曲线方程பைடு நூலகம்步骤
选系取动点,找等量，列方程,化简
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
2
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是
A ( 5 ,1), B ( 7 , 3 ), C ( 2 , 8 )
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： • 已知圆心为C的圆经过点 A (1,1) 和 B ( 2 , 2 ) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
2
y r C
M
O
x
得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
y r C
M
O
x
+ (y -b )
2
= r
把上式两边平方得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
1.课本探究：几何画板
• 2.课本例２：
• 三角形ABC的三个顶点的 坐标分别是
A ( 5 ,1), B ( 7 , 3 ), C ( 2 , 8 )
• • 求它的外接圆的方程．
1。完成课本131页练习2、 3
• 2。课本例3： • 已知圆心为C的圆经过点 A (1,1) 和 B ( 2 , 2 ) ， 且圆心C • 在直线 l : x y 1 0 上， • 求圆心为C的圆的标准方程。
2
y r C
M
O
x
得： (x -a )
2
+ (y -b )
2
= r2
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： M (x ,y )是 圆 上 任 意 一 点 ， 设
根 据 定 义 ，点 M到 圆心 C的 距 离 等 于 r， 所 以 圆 C 就 是 集 合 P = {M | |M C |= r } 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x -a )
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
d ay＋b b a － ，－ 的直线的斜率的 倍． (4) ：过点(x，y)与点 c a c cx＋d
|ax＋by＋c| a2＋b2 (5) ：点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 d d 倍．
【变式 3】 已知实数 x、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求 x2＋y2的最大值和最小值． 解 设 P(x，y)，则 P 点在已知圆 C： (x－3)2＋(y－3)2＝6 上． 而 x2＋y2的几何意义就是 O 与 P 两点的距离． 如图连接 OC 并 延长交圆于 A、B 两点，显然 P 与 B 重合时|OP|最大，最大值 为|OB|＝3 2＋ 6； 当 P 与 A 重合时|OP|最小，其最小值为|OA|＝3 2－ 6. 综上所述： x2＋y2的最大值是 3 2＋ 6，最小值是 3 2－ 6.
确定圆心的位置是解决本题的切入点， 同时， 本题易 漏掉圆心在直线 y＝－2x 上这种情况．纠正错误的关键是弄清 距离的概念，审题时要做到滴水不漏。
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(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
规律方法
本题利用了点与圆心的距离与半径之间的大小关系
2.2.1《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)
(a-1)2 +(2-a+1)2 = (a+1)2 +(2-a-1)2 .
解得a=1,即圆心为(1,1), 半径 r= (1-1)2 +(1+1)2 =2. 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二：由圆的性质可知，AB的中垂线与直线
x+y-2=0的交点为圆心，
又AB的中垂线为：x-y=0,
三、解答题 7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M（6，9）在圆上，求半径a； (2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外， 求a的范围.
【解析】（1）∵点M（6，9）在圆上，
∴（6-5）2+（9-6）2=a2,即a2=10, 又a>0, ∴a=
x+y-4=0 x=1 交点，由 得 , 3x-y=0 y=3
即圆心C（1，3），
又圆的半径 r=|AC|= (1-1)2 +(3+1)2 =4. 故圆C的方程为：（x-1)2+(y-3)2=16.
）
【解析】选B.由方程形式可知y≤0, 原方程可化为(x-1)2+y2=4,且y≤0, 故已知方程表示以（1，0）为圆心，半径为2的圆在x轴及x轴 下方的部分.
二、填空题
5.（2010·北京模拟）圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆 的方程为____. 【解析】圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心为（2，-1）， 半径r=
x2+y2-2x-2y+1=0.
9.(10分)已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m： 3x-y=0平分圆的面积，求圆C的标准方程.
解得a=1,即圆心为(1,1), 半径 r= (1-1)2 +(1+1)2 =2. 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二：由圆的性质可知，AB的中垂线与直线
x+y-2=0的交点为圆心，
又AB的中垂线为：x-y=0,
三、解答题 7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M（6，9）在圆上，求半径a； (2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆内，另一点在圆外， 求a的范围.
【解析】（1）∵点M（6，9）在圆上，
∴（6-5）2+（9-6）2=a2,即a2=10, 又a>0, ∴a=
x+y-4=0 x=1 交点，由 得 , 3x-y=0 y=3
即圆心C（1，3），
又圆的半径 r=|AC|= (1-1)2 +(3+1)2 =4. 故圆C的方程为：（x-1)2+(y-3)2=16.
）
【解析】选B.由方程形式可知y≤0, 原方程可化为(x-1)2+y2=4,且y≤0, 故已知方程表示以（1，0）为圆心，半径为2的圆在x轴及x轴 下方的部分.
二、填空题
5.（2010·北京模拟）圆(x-2)2+(y+1)2=5关于原点对称的圆 的方程为____. 【解析】圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心为（2，-1）， 半径r=
x2+y2-2x-2y+1=0.
9.(10分)已知圆C经过A（1，-1），B（5，3），并且被直线m： 3x-y=0平分圆的面积，求圆C的标准方程.
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
《圆的标准方程》课件4 (北师大版必修2)
所求圆的方程为
a2 b 3 r 5
待定系数法
( x 2) ( y 3) 25
2 2
解：设点C（a，b）为直径 P P2 1 的中点，则
P131 练习 3
圆心坐标为（5，6）
93 46 6 a 5 b 2 2
P (4,9) 1
C
P2 (6,3)
r CP 1 （4 5） 9 6） 10 （
2 2
CM 10
圆的方程为
（x 5） y 6） 10 （
2 2
CN 13 10 CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆径的一半
例：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆. y
典型例题
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) O C E C(2,-8) D
x
B(7,-3)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
4.1.1圆的标准方程
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了． 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离． y M(x,y) 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x
a2 b 3 r 5
待定系数法
( x 2) ( y 3) 25
2 2
解：设点C（a，b）为直径 P P2 1 的中点，则
P131 练习 3
圆心坐标为（5，6）
93 46 6 a 5 b 2 2
P (4,9) 1
C
P2 (6,3)
r CP 1 （4 5） 9 6） 10 （
2 2
CM 10
圆的方程为
（x 5） y 6） 10 （
2 2
CN 13 10 CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆径的一半
例：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆. y
典型例题
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
A(5,1) O C E C(2,-8) D
x
B(7,-3)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
典型例题
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
4.1.1圆的标准方程
一、引入新课
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点 圆心 定长 半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了． 因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离． y M(x,y) 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x
《圆的标准方程》课件2 (北师大版必修2)
y r C
M
O
x
特例：如果圆心在 坐标原点，圆的方 程为 x2+y2=r2.
小结：
1 圆心确定圆的位置，半径确
定圆的大小。 2 只要a,b,r(r＞0）三个量确定
了,方程就确定了。 3 要确定圆的方程，必须知道 三个独立的条件。
课本例1 • 写出圆心为A（2，3）半径 长等于5的圆 的方程， • 并判断点 M 1 （5，-7）， （- 5 ，-1） M2 • 是否在这个圆上。
普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书
4。1。1
圆的标准方程
本节要求：掌握圆的标准方程并
能根据条件写出圆的标准方程。
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
y r C
M
O
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解： 设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的 条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
5 (x-3)2+(y-4)2=5
(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)(x-8源自2+(y+3)2=25
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x 思考： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 2.圆心和半径能直接求出吗？ 3.怎样求出圆的方程？ 4.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 解得，b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2
2
，求经
y P(x,y)
分析：利用平面向量知识. 设P（x,y)是切线上不同于M的 任意一点,则
OM MP OM MP= 0
M ( x0 , y0 )
O
x
x0x +y0 y = r2
当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程.
经过圆 x 2 + y 2 = r 2上一点M ( x0 , y0 ) 的切线的 方程是 x0x +y0 y = r2
Y
C（8、3） P（5、1）
0
X
(x-8)2+(y-3)2=13
练习
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
• 解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, • 已知a=1,b=3 • 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0 的距离， • 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 2 2 = 5 =3 15 3 + ( -4 )
M ( x0 , y0 )
2 0
所求的切线方程是 x0 x +
x0 x + y0 y = x + y . 2 2 = r2, 因为点M在圆上,所以 x 0 + y 0
整理得
2 0
O
x
y0 y = r .
2
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
例2 已知圆的方程是 x 2 + y 2 = r 2 ，求经过圆 y 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y
(2)、(x+1)2+y2=1
Y
-2 C(0、0) r=2
0
+2
X
-1 C(-1、0) r=1
0
X
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3； （2）、圆心在(-3、4),半径为 5 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
思考题：
圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 是关于x、y的二元二次方程。
那么是否二元二次方程均可化为圆方程？ 怎样的二元二次方程可化为圆的方程？
• 所以圆的方程为
(x-1)2+(y-3)2=9
练习
7、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为直径的圆的方程.
Y
A(4、9)
B(6、3)
0 X
提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2
例2、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程. y
思考
M ( x0 , y 0 )
O
1.圆的切线有哪些性质？ 2.求切线方程的关键是什么？ 3.切线的斜率一定存在吗？
x
4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= -
1 kOM
.
kOM =
y0 x0
,
k =-
x0 . y0
y
经过点M 的切线方程是
x0 y - y0 = - y (x x0 ), 0
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线 方程. 4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求 切线的长.
x
C1
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(yb)2=r2。
(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
r
d
用r 表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则 （1）直线和圆相交 d<r
（2）直线和圆相切 （3）直线和圆相离
d=r d>r
课外思考题
x2+y2=r2 xx+yy=r2 x0x+y0y=r2 练习3：写出过圆x2+y2=10 上一点 M（2， ) 6 的切线方程。 2x + 6 y =10
例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长 y 度（精确到0.01）
§ 4.1 圆的方程
§4.4.1 圆的标准方程
求曲线方程的步骤
选系取动点,找等量，列方程,化简
圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.
根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)， 半径是r的圆的方程?
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
-10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y 思考
利用圆的几 何性质，你能否 用直线方程求出 圆心坐标？进而 写出圆的方程？
.
练习
3、圆心在（-1、2），与y轴相切
Y
c
-1
0
C(-1、2) r=1
X
(x+1)2+(y-2)2=1
练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
Y
2
Y=X
C(2,2)
-2 0
C(-2,-2)
2
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
练习
5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
分析：利用平面几何知识， 按求曲线方程的一般步骤求 解. 如图，在Rt△OMP中 由勾股定理： |OM|2+|MP|2=|OP|2 P(x,y)
M ( x0 , y0 )
O
x
x0x +y0 y = r2
例 2.已知圆的方程是 x + y 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
2
2
=r