数学培优(九年级)与圆相关的阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算
要计算圆的阴影部分的面积，首先需要了解一些基本的几何概念和公式。
下面将逐步介绍计算过程。
1.圆的面积公式：
2.圆的周长公式：
3.阴影部分的面积计算：
首先，我们假设有一个大圆，其半径为R。
然后，在大圆的中心位置画一个小圆，其半径为r。
阴影部分的面积就是大圆的面积减去小圆的面积。
那么，阴影部分的面积可以用以下公式表示：
Shadow Area = π * R^2 - π * r^2
为了计算具体的值，需要知道大圆和小圆的半径。
假设大圆的半径为10单位，小圆的半径为8单位。
那么，可以将这些值代入上述公式，得到阴影部分的面积：
Shadow Area = π * 10^2 - π * 8^2
=π*100-π*64
≈314.159-201.0624
≈113.0966
所以，在这个假设中，阴影部分的面积约为113.1单位。
如果想要通过给定的半径来计算阴影部分的面积，可以根据需要修改上述公式。
另外，如果阴影部分的形状不是简单的圆形，而是由多个形状组成的复杂曲线，那么计算面积的方法也会有所不同。
在那种情况下，可能需要使用数值积分等更高级的数学方法来计算。
与圆有关阴影面积计算
辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1.圆的面积公式: π=S 2r .其中r 为圆的半径.2.半圆的面积公式: π21=半圆S 2r . 3.扇形的面积公式: ︒⋅=3602r n S π扇形.其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 4.扇形的面积公式（另）: lr S 21=扇形.其中r 为扇形的半径,l 为扇形的弧长. 证明: ∵︒⋅=3602r n S π扇形,︒⋅=180r n l π ∴lr r r n r n S 21180213602=⋅⋅⋅=⋅=︒︒ππ扇形.5.关于旋转:（1）复习旋转的性质.（2）会画出一个图形旋转后的图形.（3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算. 6.重点介绍: 转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想. 7.怎样求与圆有关的阴影的面积?（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式. （2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.实战阶段:★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,点C 为OA 的中点,CE ⊥OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________.图（1）EDBCAO图（1）解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解:连结OE. ∴OA=OB=OE ∵CE ⊥OA∴△COE 为直角三角形 ∵点C 为OA 的中点∴12121===OE OA OC∴在Rt △COE 中, ∠CEO=30° ∴∠EOC=60° ∵∠AOB=90° ∴∠BOE=30°在Rt △COE 中,由勾股定理得:3122222=-=-=OC OE CEOCD OBE COE S S S S 扇形扇形阴影-+=∆1223360190360230312122πππ+=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=︒︒︒︒★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB 中,半径OA=2 cm,C 为弧AB 的中点,D 、E 分别是OA 、OB 的中点,则图中阴影部分的面积是__________.图（2）CADEOBM解:连结OC,并作CM ⊥OA 于点M. ∵点C 为弧AB 的中点, ∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB=45°∴△COM 为等腰直角三角形 ∴OM=CM ∵OC=2cm∴CM=OC 222245sin =⨯=⋅︒cm ∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点 ∴OD=OE=1 cm∴DM=OM －OD=)12(-cmDOECDM COM OBC S S S S S ∆∆∆--+=扇形阴影 21221122122212-+-+=---+=ππ)21222(-+=πcm 2. 注意: 若题目对结果无特殊要求,则结果保留π,不取具体值.★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D 为AB 的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C 恰好在弧EF 上,则图中阴影部分的面积为_____ __________.解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:（1）三角形全等的判定定理有哪些? （2）全等三角形具有怎样的性质? 对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.图（3）解:连结CD.设DE 与AC 交于点M,DF 与BC 交于点N.∵∠ACB=90° ∴∠CDE ＋∠1=90° ∵CA=CB,点D 为AB 的中点 ∴CD ⊥AB （等腰三角形“三线合一”） ∴∠CDE ＋∠2=90° ∴∠1=∠2∴∠DCN=∠21ACB=45°∴∠DAM=∠DCN ∵∠ACB=90°∴121===AD AB CD∴DE=CD=1在△ADM 和△CDN 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠12CD AD DCNDAM ∴△ADM ≌△CDN(ASA) ∴S △ADM =S △CDN∵S 四边形DMCN =S △CDM +S △DCN S △ACD =S △CDM +S △ADM ∴S 四边形DMCN = S △ACD ∴DMCN DEF S S S 四边形扇形阴影-=2142113601902-=⨯⨯⨯=-=︒︒∆ππ—扇形ACDDEF S S在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题.★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB 中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠.点O 恰好落在弧AB 上点D处,折痕交OA 于点C,则图中阴影部分的面积为__________.图（4）解析: 本题,BOC OAB S S S ∆-=2扇形阴影,题目所给条件不难求出扇形OAB 的面积,但△BOC 的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD 为等边三角形.至此,问题便很容易解决.解: 连结OD.∴OB=OD∵△BOC ≌△BDC （由翻折可得） ∴OB=BD,∠OBC =∠DBC∴OB=OD=BD ∴△BOD 为等边三角形 ∴∠OBD=60° ∴∠OBC =∠DBC=30° 在Rt △BOC 中,∵∠OBC=30°∴OBOCOBC ==∠︒30tan tan ∴336=OC ∴OC=32∴BOC OAB S S S ∆-=2扇形阴影3129232623606902-=⨯⨯-⨯⨯=︒︒ππ ★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,把该矩形绕点A 顺时针旋转α得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB 的延长线上,则图中阴影部分的面积是__________.图（5）解: 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:21)3(2222=+=+=BC AB AC∴AC=2BC ∴∠BAC=30°由旋转的性质得:α=∠BA B′=30° ∴'''ABB C AB S S S 扇形阴影-=∆423360)3(302132'ππ-=⨯⨯-⨯=-=︒︒∆ABB ABC S S 扇形 ★6.（2014.河南）如图,在菱形ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形A B′C′D′,其中点C 的运动路径为弧C C′,则图中阴影部分的面积为__________.图（6）C'D'CDAB解: 由题意可知:A 、D′、C 三点共线,A 、B 、C′三点共线,如图所示,设BC 与C′D′相交于点E.容易得知:∠BE D′=∠CEE′=90°.设D′E=x ,则BE=x ,C D′=x 2（为什么?） ∴CE=x -1在Rt △D′CE 中,由勾股定理得:222222)2()1(''x x x C D CE E D =-+=+ 解之得:213,21321--=-=x x （舍去） ∴D′E ,213-=CE=233- 433223321321'-=-⨯-⨯=∆CE D S 由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC=3∴CE D ACC S S S ''2∆-=扇形阴影43322360)3(302-⨯-⨯⨯=︒︒π 323423324-+=--=ππ★7.（2015.新乡一模）如图（7）所示,在Rt △AOB 中,∠AOB=30°,∠A=90°, AB=1,将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到Rt △COD,则在旋转过程中线段AB 扫过的面积为__________. 解析: 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为:OAC OBD S S S 扇形扇形阴影-=图（7）解: 在Rt △AOB 中,∵∠AOB=30°∴OB=2AB=2 由勾股定理得:3122222=-=-=AB OB OA ∴OAC OBD S S S 扇形扇形阴影-=︒︒︒︒⨯⨯-⨯⨯=360)3(9036029022ππ443πππ=-=★8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知⊙D 经过原点O,与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,B 点的坐标为)32,0(,OC 与⊙D 相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为__________.解析: 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具.xy 图（8）DA OBC解: 连结AB.∵∠AOB=90° ∴AB 是⊙D 的直径 ∵∠OCA=30° ∴∠OBA=30° ∵B )32,0( ∴OB=32设OA=x ,则AB=x 2在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222222)2()32(x x AB OB OA =+=+解之得:2,221-==x x （舍去） ∴OA=2, AB=4 ∴322322=⨯=∆AOB S ∴AOB S S S ∆-=半圆阴影32232222-=-⨯=ππ在求扇形的面积时确定扇形的半径很重要★9.如图（9）所示,在扇形OAB 中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C 在弧AB 上,CD ⊥OA,垂足为点D,当△OCD 的面积最大时,图中阴影部分的面积为__________.图（9）解析: 本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角△COD 满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.解: 在Rt △COD 中,由勾股定理得:16222==+OC CD OD∵0)(2≥-CD OD∴0222≥+⋅-CD CD OD OD∴8222=+≤⋅CD OD CD OD 显然,当OD=CD 时,取=号,此时△COD是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为421=⋅⋅=∆CD OD S COD ∴∠COD=45°∴COD OAC S S S ∆-=扇形阴影4243604452-=-⨯⨯=︒︒ππ ★10.（2015.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,△AOB 绕点B 逆时针旋转60°得到△BO′B′,AB 与弧OO′相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是__________.图（10）E O'OCDAB解: 由题意可知: ∠ABB′=60°,∠EBO′=15° 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:22222222=+=+=AB AD BD由正方形的性质得:OB=2 ∴12221''=⨯⨯=∆B BO S ∴''''B BO BEO BAB S S S S ∆--=扇形扇形阴影1360)2(1536026022-⨯⨯-⨯⨯=︒︒︒︒ππ 1127112132-=--=πππ▲11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在Rt △AB C 中,∠C=90°,∠A=30°, AC=6 cm, CD ⊥AB 于D,以C 为圆心,CD 为半径画弧,交BC 于E,则图中阴影部分的面积为 【 】（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-π43323cm 2 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-π83323cm 2 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π4333cm 2（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π8333cm 2图（11）EDAB CB'AB▲12.(2013.洛阳模拟)如图所示,AB 是⊙O 的切线,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是 【 】（A ）π613- （B ）π313-（C ）π6123- （D ）π3123- ▲13.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形ABCD 中,∠B=60°,AB=2,扇形AEF 的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是__________.FEDCAB▲14.（2013.郑州二模）如图所示,直径AB 为6的半圆,将其绕A 点旋转60°,此时点B 到了点B′处,则图中阴影部分的面积是__________.▲15.（2013.许昌一模）如图所示,在正方形ABCD 中,AB=4,O 为对角线BD 的中点,分别以OB 、OD 为直径作⊙O 1、⊙O 2,则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）.▲16.（2015.自贡）如图,AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB,∠CDB=30°,CD=32,则阴影部分的面积为_________.▲17.(2015.省实验中学)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=2, AB=4,∠A=30°,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连结CE,则阴影部分的面积是________.（结果保留π）CDA▲18.如图,在△ABC中,AB=BC=2,若∠ABC=90°,则图中阴影部分的面积是__________.A C▲19.如图所示,△ABC中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积是__________.▲20.如图所示是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦且与小半圆相切,且AB=24,则图中阴影部分的面积为__________.▲21.如图所示,半径为2 cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为__________.BO A▲22.如图所示,在等腰直角△ABC 中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O 交斜边BC于D,则图中阴影部分的面积为__________.DCA B▲23.（2014.赤峰）如图所示,反比例函数)0(>=kxky的图象与原点( 0 , 0 )为圆心的圆交于A、B两点,且点A的坐标为)3,1(,则图中阴影部分的面积为__________.xyBOA属于我们自己的中考九年级数学习题第11页。
九年级数学上册《与圆有关的阴影面积的计算(和差法)》教学设计
与圆有关的阴影面积的计算（和差法）教学目标：1、进一步练习圆的面积的有关知识，并能灵活运用求圆面积的的方法解决生活实际问题，从而感受数学的实际价值。
2、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想3、培养学生自主探究与合作交流的能力，收获解题的成功感。
教学重难点：重点：与圆有关的面积计算；难点：如何将复杂问题（图形）转化为简单问题（图形）教学过程：一、大胆尝试，潜移默化活动一：1个正方形和1个扇形能组合成什么图形？（正方形的边长和扇形的半径都为2）备用图1 备用图2根据课堂要求，求阴影部分面积：________________变式1：1个长方形和1个扇形能组合成什么图形？（长方形的长和扇形的半径都为2）甲、乙阴影部分面积之差是多少？ _______________变式2：一个小正方形恰好能放在一个扇形里（扇形半径为2）求阴影部分面积：________________二、小结归纳，心中有法(和差法)有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的______来求，从而达到化繁为简的目的。
三、潜移默化，用知得法活动2：1个正方形和2个扇形能组合成什么图形？(要求扇形半径和正方形边长重合，拼拼试试)阴影面积如何求呢？（独自思考，小组交流）活动3：如图，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，4为直径作半圆，求阴影部分面积。
四、走进中考，灵活变通（2015河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD 交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .（2016河南14题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=900，以点A为圆心， OA的长为半径作弧OC 交弧AB于点C，若OA=2，则阴影部分的面积是______（2009河南）在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上,点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积为（结果保留π）______变式：如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且DE=2CD，则图中阴影部分的面积为______ （结果保留π）五、回眸课堂，总结提升本环节主要由学生完成，教师对学生的归纳总结要注意上升到数学思想方法的层面．和差法是把复杂图形再构造为简单几何图形，体现转化的思想．知识灵活变通思考方法巧妙释疑。
圆面积有关的阴影部分面积计算
圆面积有关的阴影部分面积计算以圆面积有关的阴影部分面积计算为标题的文章应该涵盖以下内容：一、引言圆是数学中的基本几何图形之一，其面积是数学中的重要概念之一。
在实际生活中，我们经常遇到需要计算圆面积的问题，尤其是涉及到圆的阴影部分时。
本文将围绕圆面积与阴影部分面积的计算展开讨论。
二、圆的面积计算公式圆的面积计算公式是数学中的基本知识之一，可通过半径或直径来计算。
圆的面积公式为：S = πr²，其中S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14，r是圆的半径。
三、阴影部分面积的计算方法1. 圆的阴影部分面积计算当一个圆在光线照射下，其一部分被遮挡形成阴影时，我们需要计算阴影部分的面积。
如果阴影的形状是一个扇形，我们可以使用扇形面积公式来计算。
扇形面积公式为：S = 0.5θr²，其中θ表示扇形的圆心角（以弧度为单位），r表示圆的半径。
2. 圆与其他几何图形的阴影部分面积计算当一个圆与其他几何图形相交时，我们需要计算出圆与其他图形的交集部分的面积。
例如，当一个圆与一个矩形相交时，我们可以将矩形分为两个部分，一个是圆内部的部分，另一个是圆外部的部分。
然后，我们可以计算出这两个部分的面积，并将两个面积相减得到阴影部分的面积。
四、实际应用举例1. 圆形窗户的阴影面积计算假设有一个房间中的圆形窗户，光线从窗户外照射进来，我们想知道窗户内部的阴影面积。
我们可以使用扇形面积公式来计算窗户内部的阴影面积，其中圆心角可以由窗户的位置和光线的方向来确定。
2. 圆形花坛的阴影面积计算想象一个圆形花坛，阳光从上方斜射下来，我们想知道花坛内部的阴影面积。
我们可以将花坛分为两部分，一部分是阳光直接照射的部分，另一部分是被花坛挡住的阴影部分。
通过计算这两个部分的面积，我们可以得到花坛内部的阴影面积。
五、结论本文通过介绍圆的面积计算公式和阴影部分面积的计算方法，以及实际应用举例，帮助读者理解了圆面积与阴影部分面积的计算原理。
圆-阴影部分面积(含标准答案)
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
圆 阴影部分面积(含答案)
圆阴影部分面积(含答案)求一个图形的阴影部分面积是一个基本的几何问题。
下面给出一些例子：例1：求一个圆形和一个等腰直角三角形组成的阴影部分的面积。
首先计算圆的面积，假设半径为r，则圆面积为πr²。
然后计算三角形的面积，假设直角边长为a，则三角形面积为a²/2.最终阴影部分的面积为πr²-a²/2.例2：求一个正方形中的阴影部分面积。
假设正方形面积为7平方厘米，则阴影部分可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。
如果圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分面积为7-πr²。
例3：求一个由四个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。
首先将四个圆组成一个大圆，然后用正方形的面积减去这个大圆的面积。
假设正方形边长为2，则大圆的半径为1，面积为π，阴影部分面积为2²-π=0.86平方厘米。
例4：求一个正方形中的阴影部分面积。
同样可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。
假设正方形面积为16平方厘米，则阴影部分面积为16-πr²=3.44平方厘米。
例5：求一个由两个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。
将阴影部分分成两个“叶形”，每个“叶形”由两个圆和一个正方形组成。
假设圆的半径为r，则每个“叶形”的面积为2πr²-4，阴影部分的面积为2(2πr²-4)=4πr²-8.例6：已知一个小圆的半径为2厘米，大圆的半径是小圆的3倍，求空白部分甲比乙的面积多多少厘米？两个空白部分面积之差就是两圆面积之差。
假设小圆的半径为2，则小圆面积为4π，大圆面积为36π，空白部分的面积为32π-4π=28π=100.48平方厘米。
例7：求一个正方形中的阴影部分面积。
首先计算正方形的面积，假设对角线长为5，则正方形面积为25/2.然后计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分的面积为πr²/4-25/2=7.125平方厘米。
圆求阴影部分面积方法
圆求阴影部分面积方法圆的阴影部分面积可以通过多种方法求解。
下面将介绍两种常用的方法：几何解法和积分解法。
1.几何解法：首先，我们需要明确阴影的形成原理。
当一个圆形物体在光源的照射下，会在其周围产生一个暗影区域。
暗影区域形状类似于圆形，阴影的大小与光源与圆心之间的位置有关。
在这个问题中，我们假设光源位于圆的正上方，圆位于坐标原点（0，0），光源到圆心的距离为r，圆的半径为R。
首先，我们可以将圆分为四个象限，每个象限的阴影部分面积相同。
以第一象限为例，阴影部分面积可以通过扇形面积和三角形面积之和求解。
扇形面积的计算公式为：A1 = πR^2 θ / 360°，其中θ为扇形的圆心角，可以通过余弦定理计算得到：cosθ = r / (r+R)。
将θ代入公式可得：A1 = πR^2 cosθ。
三角形面积的计算公式为：A2 = (1/2)R^2 sinθ。
四个象限的阴影部分面积之和即为圆的阴影部分面积：A = 4(A1 +A2) = 4(πR^2 cosθ + (1/2)R^2 sinθ)。
2.积分解法：在这种方法中，我们将阴影部分分为无限多个面积微元，然后对每个面积微元求和来计算阴影部分的总面积。
设一些面积微元的宽度为dx，圆上该位置的半径为r(x)，根据图形关系可知，r(x) = (R/x) * sqrt(x^2 - r^2)。
那么微元dA的面积可以表示为：dA = 2πr(x)dx，由此可得阴影部分面积的积分公式为：A =∫dA = ∫2πr(x)dx。
所以，我们需要确定积分的上下限。
当x从-r到r变化时，即为圆的直径上的每个点，阴影部分面积的范围。
将r(x)代入积分公式，可得：A = ∫(-r，r)2π(R/x) * sqrt(x^2 - r^2)dx。
这个积分在计算上可能比较复杂，可以改写为：A = 2πR * ∫(-r，r)(1 / sqrt(1 - (r/x)^2))dx。
使用换元法，令 u = r/x，可得到：dx= -r/u^2 du。
求有关圆的阴影部分面积
圆中有关阴影部分面积的求法一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上 面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之 差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页 右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为|：44221=⨯⨯。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要， 重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中 阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用 相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正 方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之 成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的 面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形 面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积， 可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴 影部分恰是一个正方形。
八、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算要计算圆中阴影部分的面积，我们首先需要了解圆和阴影的几何属性。
阴影是由光线被物体遮挡而产生的暗部分。
在计算阴影部分的面积时，我们需要知道光源的位置和其对圆产生的阴影形状。
假设光源位于圆的正上方，这样阴影将呈现半圆形状。
为了计算阴影部分的面积，我们可以将圆分为两个部分：圆的整体部分和阴影部分。
我们可以先计算出整个圆的面积，然后减去阴影部分的面积即可得到阴影部分的面积。
首先，我们需要确定光源的位置。
假设光源的位置位于圆的正上方。
此时，光线与圆周的切点即为阴影部分的起始点。
请参考以下步骤来计算圆中阴影部分的面积：1.确定圆的半径。
2.使用圆的半径计算整个圆的面积。
公式为：A=πr²。
3.根据光源的位置，确定阴影部分的起始点和终止点。
4.计算阴影部分的面积。
由于阴影呈半圆形状，因此可以使用半圆的面积计算公式：A=0.5πr²。
其中，r为阴影部分的半径。
5.将整个圆的面积减去阴影部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
下面我们通过一个实例来进一步解释计算阴影部分的面积：假设圆的半径为10单位长度，我们要计算半径为5单位长度的阴影部分的面积。
1.圆的半径（r）=10。
2.整个圆的面积（A）=π(10)²=100π。
3.阴影部分的半径（r）=54.阴影部分的面积（A）=0.5π(5)²=12.5π。
5.阴影部分的面积=整个圆的面积-阴影部分的面积=100π-12.5π=87.5π。
因此，半径为5单位长度的阴影部分的面积约为87.5π单位²。
总之，要计算圆中阴影部分的面积，需要确定圆的半径和阴影的形状，然后使用相应的几何公式进行计算。
和圆联系的阴影部分面积求法举例
和圆联系的阴影部分面积求法举例2012-11-19 10:52:05| 分类：默认分类|举报|字号订阅求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r ，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形"，例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析
利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析常用方法是将弧的端点与圆心相连，将阴影部分的面积转化成扇形面积与其他图形的和或差。
一、割补法问题1.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是（）。
A．﹣B．﹣ C．π﹣ D．π﹣【解析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∠3+∠5=60°∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=．故选：B．问题2.（也可顺时针旋转）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA=2cm，求OC的长答案：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD；∴∠AOC=∠BOD；在△AOC和△BOD中，∵OA=OB ∠AOC=∠BOD CO=DO ，∴△AOC≌△BOD（SAS）；∴AC=BD．（2）根据题意得：S阴影=290603OAπ⨯-2609?3OCπ⨯=2?290?(60)3OA OCπ⨯-；∴34π=2()3694?0?OCπ-；解得：OC=1（cm）．二、等积法问题3如图，AB是半圆O的直径，AB=2，C、D是半圆上两点，且三等分半圆，则图中阴影部分的面积为_______.解答：连接CD，OC,OD由C、D为半圆弧的三等分点，可得CD//AB，∠COD=60°因此S△ECD=S△COD,∴S阴影部分=S扇形CED又OC=12AB=12×2=1，∴S阴影部分=S扇形CED=23606OCπ⨯=2601360π⨯=6π问题4如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC 于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆的面积阴影部分的计算
圆的面积阴影部分的计算圆的面积是数学中的一个重要概念，常常在几何题目中出现。
而计算圆的面积可以通过平面几何中的一些基本公式来实现。
在这篇文章中，将探讨如何计算圆的面积以及如何计算阴影部分的面积。
首先，我们需要了解圆的基本概念。
圆是由平面上所有到圆心距离相等的点构成的图形。
圆心通常用字母O表示，半径通常用字母r表示。
在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径。
接下来，我们来讨论如何计算圆的阴影部分的面积。
在数学中，阴影部分通常指的是两个或多个图形重叠形成的区域。
计算阴影部分的面积需要先计算重叠部分的面积，然后减去这个面积。
假设我们有两个圆，圆A和圆B，半径分别为r₁和r₂。
这里我们假设圆A的半径大于圆B的半径。
要计算阴影部分的面积，我们可以先计算圆A的面积，然后再计算圆B的面积，并将两个面积相减。
圆A的面积可以通过公式πr₁²来计算，圆B的面积可以通过公式πr₂²来计算。
接下来，我们需要计算两个圆的重叠部分的面积。
重叠部分通常是一个扇形形状。
扇形的面积可以通过计算扇形的圆心角以及扇形的半径来得到。
圆心角可以通过使用三角函数来计算。
假设圆心角为θ，则扇形的面积可以计算为θ/360*πr₂²。
最后，我们将圆A的面积减去圆B的面积再加上重叠部分的面积，即可得到阴影部分的面积。
总结起来，计算圆的面积可以使用公式πr²，其中半径r是一个给定的数值。
计算阴影部分的面积需要先计算两个圆的面积，然后计算重叠部分的面积，最后通过相加和减去得到阴影部分的面积。
在实际问题中，我们还可以应用这些概念来解决一些与圆相关的几何问题。
例如，我们可以计算多个圆的阴影部分的总面积，或者计算不同形状的阴影部分的面积。
通过了解和运用这些概念，我们可以更好地理解圆的面积以及如何计算圆的阴影部分的面积。
这些知识在数学和物理领域中都有广泛的应用。
圆求阴影部分面积方法
1、求阴影部分面积：单位：米
r= 4
r=10 16
‘
2、
求下列各图形的周长和面积：
单位：分米
四、回家练习题
1、求下列各图中阴影部分的面积;单位：厘米
2、右图中,O 为圆心,OC 垂直于AB ,三角形ABC 的面积是36平方厘米,求阴影部分的面积;
3、下图中长方形的长是6厘米,宽是5厘米,求阴影部分的面积;
5、如图,两个大小不等的正方形拼成一个图形,已知小正方形的边长是4厘米,阴影部分的面积是30平方厘米,求空白部分的面积是多少
6、将直角三角形ABC 向右平移6厘米,再向下平移厘米,得到一个图形如图,已知三角形的底边BC 长16厘米,求阴影部分的面积;
7、如图,半圆的直径为20厘米,已知阴影A 比阴影B 的面积少27平方厘
米,求MN 的长是多少
8．一个长方形如图,被两条直线分成四个长方形,其中三个面积分别是20平方米、25平方米和30平方米;阴影部分的面积是多少 作业布置
12cm
8cm 20 30。
初中几何与圆有关的阴影部分面积计算
求阴影部分面积一、公式法（阴影部分是一个规则的几何图形，例如三角形，正方形等）二、和差法1.直接和差法2、构造和差法（须添加辅助线）三、割补法1、全等2、对称练习：一、和差法 （一）直接和差法1. 小明和小兵进行投靶游戏，如图所示，靶中两个同心圆的半径OA 与OB 的比为3:4，随机投一次，若投在阴影部分，小明获胜；投在环形部分，小兵获胜；小明获胜的概率记为()小明P ，小兵获胜的概率为()小兵P ，则()小明P ()小兵P （用“＞”“＜”“＝”填空）2. 两个同心圆被两条半径截得的弧AB 长为10π，弧CD 长为6π，又AC=12，则阴影部分面积为_________。
3. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为_________。
4.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 25cm ，贴纸部分的宽 BD 为 15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 A ．175πcm ² B ．150πcm ² C.3800πcm ² D ．350πcm ²10、如图，已知两个半圆中长为4的弦AB 与直径CD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.（二）构造和差法1、如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A. B. C. D. 2、如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作交OB 于点D ．若OA ＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．+B ．+2C ．+D ．2+334π-3234π-332π-3232π-4. 如图，阴影部分是从一块直径为40cm 的圆形铁板中截出的一个工件示意图，其中△ABC 是等边三角形，则阴影部分的面积为A.800π2cmB. （32003400+π）2cm C.）π31003400(+2cm D. 200π2cm 4.如图，在⊙O 的内接正六边形ABCDEF 中，OA=2，以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点E ，得到︵AE，连接CE ，OE ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34310-π B. 322-π C. 3338-π D. 3234-π5.如图，在平行四边形ABCD 中，，BD ⊥AD ，以BD 为直径的⊙O 交AB 于E ，交CD 于F ，则图中阴影部分的面积为___________。
与圆有关的阴影面积的计算
与圆有关的阴影面积的计算圆是几何学中的一个重要概念，它是平面上所有与一个固定点的距离相等的点构成的集合。
圆与很多数学问题和现实生活中的应用息息相关，其中一个重要的应用就是计算阴影面积。
在日常生活中，我们经常会碰到与圆相关的阴影问题，比如太阳光照射到圆形表面产生的阴影面积。
解决这类问题需要了解圆的性质以及相关的数学知识。
首先，我们需要明确阴影面积的定义。
阴影面积是指由光源照射到一个物体或者图形上产生的暗部面积。
对于圆形的阴影面积，我们可以用一种简单的方式进行计算。
假设有一个半径为r的圆形物体，它位于一个平面上，光源位于物体的正上方。
为了计算阴影面积，我们需要确定光源的位置和光线的方向。
当光源位于物体的正上方，直线与平面的交点与圆与圆心相连形成的线段垂直。
这个垂直线段将圆分为两部分，一部分受到光线照射，另一部分处于阴影中。
阴影的面积可以通过计算圆的面积减去受光照部分的面积得到。
圆的面积公式为πr^2，其中π是圆周率，r是圆的半径。
受光照部分是一个扇形，其面积可以通过扇形面积公式计算，即πr^2*θ/360，其中θ是扇形的角度。
因此，阴影的面积可以表示为πr^2-πr^2*θ/360。
这个公式可以用于计算光源位于圆的正上方的情况。
然而，在实际情况中，光源的位置往往不是完全位于圆的正上方。
当光源位于圆的任意位置时，阴影的计算就变得复杂了起来。
在这种情况下，我们需要确定光线经过圆后与圆的边界相交的点，并将圆分为多个部分，计算每个部分的面积。
然后将这些部分的面积相加，得到阴影的面积。
为了计算光线与圆的相交点，我们可以使用几何学中的相似三角形原理。
假设光线与圆交于点A，圆心为O，光源为P。
我们可以利用点A、O 和P构成的三角形与光线与圆的切线构成的三角形相似，通过相似三角形比例关系计算出点A的坐标。
然后，我们需要将圆分为多个部分。
使用相似三角形原理，我们可以得到一个带有相似扇形的带型，可以计算出这个带型的面积。
圆与阴影部分的面积计算
圆与阴影部分的面积计算
在几何学中，我们经常需要计算圆形和阴影部分的面积。
在这篇文章中，我将介绍如何计算一个圆的面积，以及如何计算圆形和阴影部分的面积。
接下来，我们来计算圆形和阴影部分的面积。
假设有一块有一个圆形
孔的纸板，它的半径是r，整块纸板的面积是A1，圆形孔的面积是A2，
阴影部分的面积是A3、我们想计算出阴影部分的面积A3
首先，我们计算圆形孔的面积A2、根据之前的公式，A2=πr²。
然后，我们计算整块纸板的面积A1、整块纸板的面积等于圆形孔的
面积加上阴影部分的面积，即A1=A2+A3
最后，我们可以解出阴影部分的面积A3、A3=A1-A2
除了上述的方法外，还有其他的方法可以计算圆形和阴影部分的面积，例如使用微积分的方法。
然而，这种方法需要一些高级的数学知识，对于
一般的问题来说可能过于复杂。
因此，使用上述的几何方法可以更简单地
计算圆形和阴影部分的面积。
总结一下，计算圆形的面积可以使用公式A=πr²，其中A表示面积，π是一个常数，r是圆的半径。
计算圆形和阴影部分的面积时，需要计算
圆形孔的面积A2，整块纸板的面积A1，然后通过A3=A1-A2来计算阴影部
分的面积。
通过这些方法，我们可以简单地计算圆形和阴影部分的面积。
初三圆求阴影面积练习题
初三圆求阴影面积练习题一、题目描述在初三数学课上，老师出了一个有趣的练习题，关于求阴影面积的计算。
题目如下：有一个半径为r的圆A，圆心O，逆时针方向有一条线段BC，B在圆上，C在圆内。
线段BC与圆的切线交于点D，且∠BDC为90°。
现在需要求出阴影部分的面积。
二、解题思路为了求解这个问题，我们可以采用以下步骤：1.首先，根据题目描述，我们可以明确阴影面积是由两个形状组成：一个半圆和一个扇形。
2.然后，我们可以计算半圆的面积。
根据圆的面积公式A = πr²，其中r为半径，我们可以得到半圆面积的公式：A1 = 1/2 * π * r²。
3.接下来，我们需要计算扇形的面积。
由于扇形与圆心的连线为半径，因此我们需要求出∠BOC的大小来计算扇形的面积。
首先，我们可以利用勾股定理求得∠BDC的大小。
根据题目给出的信息，BD与BC为切线，且∠BDC = 90°。
因此，我们可以利用勾股定理得到BD = √(BC² + CD²)。
其次，我们可以利用正弦定理求得∠BOC的大小。
正弦定理表示：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
在这个问题中，我们可以利用正弦定理计算∠BOC，即：BC/sin∠BOC = BD/sin∠BDC。
由于已经求得BD和BC的值，因此我们可以通过求解这个等式来获得∠BOC的大小。
4.最后，我们利用扇形的面积公式A = 1/2 * r² * θ，其中r为半径，θ为扇形的圆心角度数，计算扇形的面积：A2 = 1/2 * r² * θ。
5.将半圆面积和扇形面积相加，即可得到整个阴影面积：A = A1 + A2。
三、实际计算假设半径r为5，我们来计算一下阴影面积的具体数值：1.计算半圆面积：A1 = 1/2 * π * r²= 1/2 * 3.14 * 5²= 1/2 * 3.14 * 25= 39.252.计算∠BDC的大小：BD = √(BC² + CD²)= √(5² + 3²)= √(25 + 9)= √34 ≈ 5.833.计算∠BOC的大小：BC/sin∠BOC = BD/sin∠BDCsin∠BOC = sin∠BDC * BC / BD∠BOC ≈ arcsin(sin∠BDC * BC / BD) ≈ 36.87°4.计算扇形面积：A2 = 1/2 * r² * θ= 1/2 * 5² * 36.87/360≈ 3.975.计算阴影面积：A = A1 + A2= 39.25 + 3.97≈ 43.22所以，阴影部分的面积约为43.22平方单位。
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与圆相关的阴影面积的计算
与圆相关的阴影面积的计算， 解题的关键是将不规则图形转化为可解的规则图形面积的 计算，在转化过程中常用到下列方法：图形割补、图形变换、等积代换、方程思想、对称观 念等。
【例 1】 （1）如图①，一个半径为 2 2 的圆经过一个半径为 4 的圆的圆心，则图中阴影部分的面积 为 （2）如图②， AB 是⊙ O1 的直径, AO 1 是⊙ O2 的直径，弦 MN // AB ,且 MN 与⊙ O2 相切 于点 C ，若⊙ O1 的半径为 2 ，则阴影部分的面积是 （2011 年十堰市中考题）
思路点拨 把不规则图形阴影部分面积表示为规则常见图形面积的和差。
图①
图②
【例 2】 （1）如图①， ABC 是直角三角形边长为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆
O1 的直径，半圆 O2 过 C 点与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.
7 π 2 a 36
B.
5 π 2 a 36
C.
7 2 a 36
D.
5 2 a 36
（绵阳市中考题） （2）如图②， A 是半径为 1 的⊙ O 外的一点， OA 2 ， AB 是⊙ O 的切线，点 B 是切点， 弦 BC // OA ，连接 AC ．则图中阴影部分面积等于（ ) A.π B.
2 3
C.
8 3
D.
2 3 3
思路点拨 对于（1） ，连接 AE 、DP ，通过分割， S阴影 S四边形PAED ；对于（2） ，连接 图① 图② OC 、OB ，由等积代换 SOCB SABC ,阴影部分的面积等于常见图形的面积。
【例 3】如图，正方形 ABCD 的边长为 a ，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径， 在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积。
（江西省竞赛题）
分析
由图形的对称性，设正方形的各部分面积分别为 x, y, z ，从如下方面寻找等量关系：
（1）正方形的面积 （2）圆心角为 90 的扇形面积 （3）由线段 BC、弧CE、弧BE 围成的曲边三角形的面积。
【例 4】如图，一个圆形花坛分成了三个区，四个小圆两两相关的公共部分是中心区，四个 小圆以外的部分是外围区，中心区栽花，外围区种草，试比较 S、T 的面积大小。
S、T 的面积看似没有关联，而圆是对称圆形，图中又隐含信息，由此可得意 分析与解 想不到的结果。
把图沿大圆对折，即能发现 4 快 S 的面积相等，4 快 T 的面积也相等，下面从总体上看 中间 4 个 S 与外沿 4 个 T 的面积是否相等。
因为图中大圆的半径等于 小圆半径的 2 倍，所以大圆面积等于 4 个小圆面积的和，而 4 个小圆 重叠部分的面积，应与 4 个小圆在大圆中的空隙相等，所以 S 与 T 的 面积相等。
练习
B C 绕点 A 逆时针旋转 30 后 1.如图，Rt ABC 中，ACB 90, AC BC 1 ， 将 Rt A
得到 Rt ADE ,点 B 经过的路径为弧 BD .则图中阴影部分的面积是 。
（2011 年成都市中考题）
2.如图，矩形 ABCD 中， AB 1, AD 2 ,以 AD 的长为半径的⊙ A 交 BC 于点 E ，则 第1题 第2题 第3题 第4题
图中阴影部分的面积为 （河南省中考题） 3.如图，在正方形 ABCD 内有一折线段，其中 AE EF ， EF FC ，并且
AE 6, EF 8, FC 10 ， 则正方形与其外接圆之间形成的每个弓形的面积为
．
（2011 年芜湖市中考题） 4.如图， CD 是⊙ O 的直径，弦 AB CD ，垂足为点 M ， AB 20 ，分别以 CM、DM 为直径作两个大小不同的⊙ O1 和⊙ O2 ， 则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
（2011 年台州市中考题） 5.如图，点 P(3a, a) 是反比例函 y
10 ，则反比例函数的解析式为
k (k 0) 与⊙ O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 x
． （深圳市中考题）
6.如图， AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动 到点 B ， 运动时间为 t ， 分别以 AP 与 PB 为直径做半圆， 则图中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为（ ） 第5题 A． B． C． D．
（烟台市中考题） 7.如图，边长为 1 的正 ABC ，分别以顶点 A、B、C 为圆心， 1 为半径作圆，则这三个圆 所覆盖的图形面积为（ ） A.
3 3 2
B.
5 3 2
C.
7 2 3 2
D. 3 2 3
（全国初中数学联赛题） 8.如图，四个半径为 1 的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切，阴影部分的面积为（ ） （2011 年南宁市中考题）
第6题
第7题
第8题
9.如图 1，已知在⊙ O 中，点 C 为劣弧 AB 上的中点，连接 AC 并延长至 D ，使 CD CA ， 连接 DB 并延长 DB 交⊙ O 于点 E ，连接 AE ．
（1）求证： AE 是⊙ O 的直径； （2）如图 2，连接 EC ，⊙ O 半径为 5 ， AC 的长为 4 ，求阴影部分的面积之和． （结果保 留π与根号） （2011 年深圳市中考题）
10.在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆） 的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 ． 第 10 题（江西省竞赛题） 第9题
（ 1 ） 如 图 ① ， 当 PA 的 长 度 等 于 时， PAD 是等腰三角形；
11.已知四边形 ABCD 是边 长为 4 的正方形，以 AB 为 直径在正方形内作半圆， P 是半圆上的动点（不与点 A、B 重合） ，连接 PA、PB 、PC 、PD ． 时 ， PAD 60 ； 当 PA 的 长 度 等 于
（2）如图②，以 AB 边所在直线为 x 轴、 AD 边所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐 标系 （点 A 即为原点 O ） ， 把 PAD 、PAB 、PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3 ． 设P 点
（a, b） 坐标为 ，试求 2S1S3 S2 的最大值，并求出此时 a、 b 的值．
（2011 年苏州市中考题）
2
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