3.3 共点力的平衡

解析法
图解法
要Байду номын сангаас二 应用平衡条件解题的一般步骤
1.选取研究对象 选取研究对象 根据题目要求,选取某物体 整体或局部)作为研究对象 在平衡问题中， 选取某物体(整体或局部 作为研究对象， 根据题目要求 选取某物体 整体或局部 作为研究对象，在平衡问题中，研究对象常有三 种情况： 种情况： (1)单个物体。若是有关共点力平衡的问题，可以将物体受到的各个力的作用点全部画 单个物体。 单个物体 若是有关共点力平衡的问题， 到物体的几何中心上；否则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上。 到物体的几何中心上；否则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上。 (2)多个物体 系统 。在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体间的 多个物体(系统 多个物体 系统)。在分析外力对系统的作用时，用整体法； 相互作用时，用隔离法，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。 相互作用时，用隔离法，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带。 (3)几个物体的结点。几根绳或绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象。 几个物体的结点。几根绳或绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象。 几个物体的结点 2.分析研究对象的受力情况，并作出受力图 分析研究对象的受力情况， 分析研究对象的受力情况 (1)确定物体受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力，受力分析通常按重力、弹力、 确定物体受到哪些力的作用， 确定物体受到哪些力的作用 不能添力，也不能漏力，受力分析通常按重力、弹力、 摩擦力等力的顺序来分析。 摩擦力等力的顺序来分析。 (2)准确画出受力示意图，力的示意图关键是力的方向要确定，要培养准确画图的习惯。 准确画出受力示意图， 准确画出受力示意图 力的示意图关键是力的方向要确定，要培养准确画图的习惯。 3.选取研究方法 选取研究方法——合成法或分解法 合成法或分解法 选取研究方法 在解题中采用合成法还是分解法应视具体问题而定，通常利用正交分解法求解平衡问题。 在解题中采用合成法还是分解法应视具体问题而定，通常利用正交分解法求解平衡问题。 4.利用平衡条件建立方程并求解 利用平衡条件建立方程并求解 (1)利用合成法分解问题时，其平衡方程为：F合=0。 利用合成法分解问题时， 利用合成法分解问题时 其平衡方程为： 。 (2)利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时，其平衡方程为：Fx=0，Fy=0。 利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时， 利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时 其平衡方程为： ， 。 (3)关于坐标轴的选取，一般选外力多的方向为坐标轴，使力的分解个数少，计算简化。 关于坐标轴的选取，一般选外力多的方向为坐标轴，使力的分解个数少， 计算简化。 关于坐标轴的选取 名师支招： 名师支招： (1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。 物体受三个力平衡时， 物体受三个力平衡时 利用力的分解法或合成法比较简单。 (2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力最少。物 解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合， 解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合 使需要分解的力最少。 体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。 体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。
图3-3-4
热点二
用正交分解法解决共点力平衡问题
所示， 的物体置于倾角为37°的斜面上，在水平力F作 【例2】如图 】如图3-3-5所示，一个质量为 所示 一个质量为m=8 kg的物体置于倾角为 °的斜面上，在水平力 作 的物体置于倾角为 用下保持静止。求下列情况下物体与斜面之间的静摩擦力的大小和方向。 取 用下保持静止。求下列情况下物体与斜面之间的静摩擦力的大小和方向。(g取10 m/s2) (1)F=50 N；(2)F=60 N；(3)F=70 N。 ； ； 。
【答案】(1)-8N，沿斜面向上 答案】 ， (2)0 (3)8N，沿斜面向下 ， 图3-3-5 解析】设物体所受到的静摩擦力沿斜面向下， 【解析】设物体所受到的静摩擦力沿斜面向下，则物体受力 如图3-3-6所示。 所示。 如图 所示 据平衡条件可得 Fcosθ-f-mgsinθ=0 ① FN-Fsinθ-mgcosθ=0 ② 由①得f=Fcosθ-mgsinθ 图3-3-6 (1)F=50 N时，f=(50×0.8-80×0.6) N=-8 N，负号表明 方向 时 × × ，负号表明f方向 沿斜面向上。 沿斜面向上。 (2)F=60 N时，f=(60×0.8-80×0.6) N=0。 时 × × 。 (3)F=70 N时，f=(70×0.8-80×0.6) N=8 N，方向沿斜面向下。 时 × × ，方向沿斜面向下。
A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右 有摩擦力的作用， 有摩擦力的作用 B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左 有摩擦力的作用， 有摩擦力的作用 C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出 有摩擦力的作用， 有摩擦力的作用 但摩擦力的方向不能确定， D.以上结论都不对 以上结论都不对
图3-3-1
解析】解法一(隔离法 把三角形木块隔离出来， 隔离法)： 【解析】解法一 隔离法 ：把三角形木块隔离出来，它在两个斜面上分别受到两木块对 它的压力F 它的压力 N1、FN2，摩擦力f1、f2。由两木块的平衡条件知， 这四个力的大小分别为 摩擦力 由两木块的平衡条件知， FN1＝m1gcosθ1 FN2＝m2gcosθ2 f1=m1gsinθ1 f2＝m2gsinθ2 它们的水平分力的大小(如图 如图3-3-2所示 分别为 所示)分别为 它们的水平分力的大小 如图 所示 FN1x =FN1sinθ1=m1gcosθ1sinθ1 FN2x＝FN2sinθ2＝m2gcosθ2sinθ2 f1x＝f1cosθ1＝m1gcosθ1sinθ1 f2x＝f2cosθ2＝m2gcosθ2sinθ2 其中F 其中 N1x＝f1x，FN2x＝f2x 即它们的水平分力互相抵消，木块在水平方向无滑动趋势， 即它们的水平分力互相抵消，木块在水平方向无滑动趋势，因此不受粗糙水平面的摩 擦力作用。 擦力作用。 解法二(整体法 由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体， 整体法)： 解法二 整体法 ：由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体， 如图3-3-3所示，竖直方向受到重力 1+m2+M)g和支持力 N的作用处于平衡状态，水平方向 所示， 和支持力F 如图 所示 竖直方向受到重力(m 和支持力 的作用处于平衡状态， 无任何滑动趋势，因此不受粗糙水平面的摩擦力作用。 无任何滑动趋势，因此不受粗糙水平面的摩擦力作用。
图3-3-2
图3-3-3
【名师支招】灵活地选取研究对象可以使问题简化；对于都处于平衡状态的两个物体组成的系 名师支招】灵活地选取研究对象可以使问题简化； 在不涉及内力时，优先考虑整体法。 统，在不涉及内力时，优先考虑整体法。
1 如图3-3-4所示，质量为M的直角 如图 所示，质量为 的直角 所示 三棱柱A放在水平地面上 放在水平地面上， 三棱柱 放在水平地面上，三棱柱 的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。 的斜面是光滑的，且斜面倾角为 。 质量为m的光滑球 的光滑球B放在三棱柱和 质量为 的光滑球 放在三棱柱和 光滑竖直墙壁之间， 和 都处于 光滑竖直墙壁之间，A和B都处于 静止状态， 静止状态，求地面对三棱柱的支 持力和摩擦力各为多少？ 持力和摩擦力各为多少？ 【答案】 (M+m)g 答案】 mgtanθ
热点一 “整体法”和“隔离法”在共点力平衡问题中的应 整体法” 隔离法” 的两个物体， 【 1】在粗糙水平面上放着一个三角形木块 ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m 】在粗糙水平面上放着一个三角形木块abc， 用例3-3-1所示，若三角形木块和两物体都是静止的在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为 1和m2的两个物体，m1>m2，如图 所示， 所示 若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块 D ) ，则粗糙水平面对三角形木块(
图3-3-7
力的三角形 法
2.解决动态平衡、临界与极值问题的常用方法 解决动态平衡、 解决动态平衡 方法 步骤 ①选某一状态对物体受力分析 ②将物体受的力按实际效果分解或正交分解 ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 ①选某一状态对物体受力分析 ②根据平衡条件画出平行四边形 根据已知量的变化情况， ③根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化 确定未知量大小、 ④确定未知量大小、方向的变化
2
两个可视为质点的小球a和 ， 两个可视为质点的小球 和b，用质 量可忽略的刚性细杆相连， 量可忽略的刚性细杆相连，放置在 一个光滑的半球面内，如图3-3-7所 一个光滑的半球面内，如图 所 已知小球a和 的质量之比为 示。已知小球 和b的质量之比为 3， 细杆长度是球面半径的 2倍。两球处 于平衡状态时， 于平衡状态时，细杆与水平面的夹 角θ是( D ) 是 A.45° B.30° C.22.5° D.15° ° ° ° °
要点一 共点力平衡问题的处理方法
1.处理共点力平衡问题常用的方法 处理共点力平衡问题常用的方法
方法 分解法 合成法 正交分解法 内容 物体受到几个力的作用，将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其 物体受到几个力的作用，将某一个力按力的效果进行分解， 他力在所分解的方向上满足平衡条件。 他力在所分解的方向上满足平衡条件。 物体受几个力的作用，通过合成的方法将它们简化成两个力。 物体受几个力的作用，通过合成的方法将它们简化成两个力。这两个力满 足二力平衡条件。 足二力平衡条件。 将处于平衡状态的物体所受的力，分解为相互正交的两组， 将处于平衡状态的物体所受的力，分解为相互正交的两组，每一组的力都 满足二力平衡条件。 满足二力平衡条件。 物体受同一平面内三个互不平行的力的作用平衡时， 物体受同一平面内三个互不平行的力的作用平衡时，这三个力的矢量箭头 首尾相接，构成一个矢量三角形，反之，若三个力的矢量箭头首尾相接恰 首尾相接，构成一个矢量三角形，反之， 好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形定则， 好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形定则，根据正弦定 余弦定理或相似三角形等数学知识可求解未知力。 理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求解未知力。