2011年株洲市初中数学竞赛初三试题卷
株洲市2011年初中毕业学业考试试卷数学参考答案及评分标准
株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准 第 1 页（共5页）株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：9．1x > 10. 19 11. 40 12. 25 13．2 14．1y x =- 15． ②③ 16．21n + 三、解答题：17．解：原式=211-- ……3分0= ……4分18．解：原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ ……3分 当2x =-时，原式1211x =+=-+=- ……4分 （说明：直接代入求得正确结果的给满分）19.解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100x -）瓶，依题意得： ……1分23(100)270x x +-= ……3分 解得：30x = 10070x -= ……5分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得： ……1分10023270x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……3分 解得：3070x y =⎧⎨=⎩……5分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分 20.（1）解法一：AC DE 垂直平分CE=AE ∴ E C D =A =36∴∠∠︒ …… 3分 解法二：AC DE 垂直平分 A D =C D A D E=C D E =∴∠∠︒ 又DE=DE ADE ∴∆≌CDE ∆ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分（2）解法一：AB=AC,A=36∠︒株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准 第 2 页（共5页）B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分 ECD=36∠︒BCE=ACB-ECD=36∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=72=B ∴∠︒∠BC=EC=5∴ ……6分解法二：AB=AC,A=36∠︒B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分 BEC=A+ECD=72∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=B ∴∠∠BC=EC=5∴ ……6分21．（1）15 ……3分（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为 1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，方法有：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5） 共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是42105= (或写成0.4)……6分 (说明：第2问只写出正确结果的也给满分.)22．（1）证明：BC 是O 的切线，AB 为O 的直径ABC=90∴∠︒，A+C=90∴∠∠︒ …… 2分又AOD=C ∠∠AOD+A=90∴∠∠︒ …… 3分 90ADO ∴∠=︒OD AC ∴⊥ …… 4分（2）解：OD AE ⊥ ，O 为圆心D ∴为AE 中点 …… 6分1AD=AE=42∴ 又3tan 4A = OD=3∴ …… 8分OE D CBAEDCBA株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准 第 3 页（共5页）23．（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC …… 1分 ∴PDO QBO ∠=∠，又OB OD =，POD QOB ∠=∠ ∴△POD ≌△QOB …… 3分 ∴OP OQ = …… 4分（2）解法一： 8PD t =- …… 5分四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，8AD cm =，6AB cm =，∴10BD cm =，∴5OD cm =.当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴POD A ∠=∠，又ODP ADB ∠=∠∴△ODP ∽△ADB ， …… 6分 ∴OD AD PD BD =，即58810t =-， …… 7分 解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分 解法二：8PD t =- …… 5分 当四边形PBQD 是菱形时，(8)PB PD t cm ==- …… 6分四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，在Rt △ABP 中，6AB cm =∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-， …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分 24.解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点，OA OB ==90AOB ∠=︒，∴2AC OC BC ===，∴B (2，2-) ……… 2分将B (2，2-)代入抛物线2(0)y ax a =<得，12a =-. ……… 3分 （2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分Q PODCBA株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准 第 4 页（共5页）∴12BF =. 又 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=︒， ∴△AEO ∽△OFB ，∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. (6)解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分∴1tan 212OF OBF BF ∠=== 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，∴tan tan 2AEAOE OBF OE =∠=∠=，∴2AE OE = 设点A （-m ，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法三：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分设A （-m ，212m -）（0m >），则 222151()24OB =+=，22414OA m m =+，222211(1)()22AB m m =++-+，90AOB ∠=︒∴222AB OA OB =+，∴2222221111(1)()(1)()2222m m m m ++-+=++-+，解得：4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准 第 5 页（共5页）（3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2)2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分(1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴12b mn =-……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OE OF BF =，∴220.50.5m mn n =，∴4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分（说明：写出定点C 的坐标就给2分） 解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 化简，得12OC mn =. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OE OF BF =，∴220.50.5m mn n=，∴4mn =……… 9分∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,2-）……… 10分说明：mn 的值也可以通过以下方法求得. 由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+， 由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+， 化简，得4mn =.本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.。
2011年初中数学竞赛市区获奖学生通报
株洲市2011年初中数学竞赛市区获奖名单(市区部分)市一等奖初三年级组：景炎学校：谭鹏程寅翥刘熠曹晶殷骁肖圣圣尹昊黄鹏唐帅杰付哲睿王炜轩崔明轩綦麟刘涵唐其昌李彦茹曾成昕颜畅易玮秀付文凯孟凯威李楚楠景弘中学：刘佳轩袁志立罗蓓吴雨晗唐杰张智昊言评洪泽宇刘华雄叶坚肖敖夏刘凌志沈庆辉补天天李轩陈思凯戴佳成北师大株洲附校：张鹏尹龙涵肖士钧刘倩妤外国语学校：萧子洲谭伟伟段振文邓旻玥市五中：蒋新市十九中：杨霖琳初二年级组：景炎学校：郭若木方子为周文杰米泓博叶紫薇石镇洪肖懿嘉李常阳安平谢天玙袁中锦唐腾越熊艺航戴承志郭永康曹鸿皓彭至为杨崴华熊可欣汪啸峰陈艺贤丁泽华宾胜杰成爵良景弘中学：李玲轶陈唯戴宁陈奕泽佘崧林谭博雅北师大株洲附校：刘迪嘉傅益斌外国语学校：刘欣玥王姝上智李畅林刘孜博刘依依梁瑞青漆凤辉陆天翌市十五中：袁晟欧阳瑞斌市十六中：刘敏市二等奖初三年级组：景炎学校：彭理文夏虓林易国文张普李威炀唐博蒋钰昕杨涛杨召豪刘素琪肖添铭唐甜陈景翼李俊霖苏永萍廖泽文邓亦琪庄鑫杰邓凯键滕菲易珺陈思新林远志钱旺唐紫琦易阳俊曾思佳吴奕楠邹泽敏黄佳琳刘湛黎峰王依琛彭子灿曾轲周煜景弘中学：刘培松王林峰袁盛强何迎港刘智琦郭圣郁李宾张颖霖陈晓婧蒋嘉怡刘颖郭阳郭胜齐希斯戴羽李维政唐婉荧凌向荣唐俊玮北师大株洲附校：寻德昕刘志成王曦李锦鑫刘周石伟鹏外国语学校：徐丹妮袁正午谭佳菲张行健周泽霖龙昊旻李清扬毛晟轩顾玮琛贺子琼杨凌波吴梦萍市十六中：桂烨市十九中：杨莅徐志良邓淇匀刘佳斌阳鹏飞田心中学：邱艺铭初二年级组：景弘中学：潘康周睿戴璇鲁添郭文静易星汉龚睿谢庆忠谭宇豪廖聪张聪周煜昊尹可人景炎学校：刘华光谭畅黎倩瑶任星华胡杨孙赫张航程修欧阳毅铮罗瑞华孟李清旷嘉奇蒋佳洲梁步云张菁徐颖华舒子瑞符恒迈曹勋平龚雅婷李赫何杼鑫洪采菲段子韬刘扬帆罗煊昭廖天怡王昀昊刘珊张熙谢柯毅黄志轩邹孟志任鸿翔刘佳昊颜竞人罗钰婷谭钰峰张有驰外国语学校：胡智怿童旻敏余嘉文曹龙佳石超唐珑涛曹远志刘鑫淼戴如彦曹向琳方舟唐依婷梁杰俊周鑫漆嘉威王锦涛王瑀李慧敏汪圣焘黎晓玮叶晓卉娄懿邹伊涵刘溈厉建树蒋柠鸿李薇北师大株洲附校：周楠龙霖萱甘成昱黄燊诚蔡博诚唐硕游紫荆市五中：郑鑫市十五中：李河舟市十六中：符钰婷林文志市十九中：付亮亮师专附中：聂之翔枫叶中学：宋博贺家土中学：王州市三等奖初三年级组：景炎学校：谭伏宁杨冬辰吴鸿玉李娜罗豪郭亚琪刘云鹤吴雪婧谭齐家董雅蓉李子彦宾汝聪黄翔蔡灏禹钱书宁张文璐罗杰中孟柯成谭伊航严伊峻罗晓琴李爽许原源吴沁雯谭元珍廖彧易子钧贾慧萱向维哲肖悦成施筱琪陈志方程志豪谭子杰夏慧雯郭一廷黄牧晨林鹤洲彭思璇范知名李炜涛刘立柱龙姝羽李东骏李昱璇李敏琦陈柱彬张万千刘文俊宾雨儿盛云祥肖智乙邹妤婷龙铭翁浩谱宋颖邓文陈杰斌王泽远何锦涛黄放周裴珂李梦嘉刘佳欣文佳程熊宇蒋荣卿黄睿邦伍龙姝王非凡刘云松徐凯澜文婕景弘中学：虞资兴李云啸黄魁颜赠钰尹恩民文川苇袁隆瑞陈易帜肖一男邓超陈伯钧王淑臻申桢陈送福刘剀强刘宇练易凌邓远宏吴斐毓冯文龙张鸿远刘鹏程龙赛楠刘思为臧诗槐朱旦言韬胤杨子欣北师大株洲附校：喻姝研刘佳豪范崇星房靖雅彭之臻谭心睿虞志辉高楠彭清扬刑方圆易大鹏蒋佳伟邹欣哲外国语学校：邹疏雨董骏灿李依竹刘康妮谢一鸣周杨平冯金铭周芊骞周柽朱浩骅俞一波兰天陶熙家彭澍杨孟宸李依松傅宇喧唐宇杰高婧雯贺源易昊杰陈思瑶焦文彬杨柳青市五中：曹逸飞唐格西石冲曾艳姣周红利市七中：陈成市十二中：肖宇恒市十五中：唐西昊市十六中：万磊市十九中：李中玉卢先尚吴陈朱家豪汤佳蒙师专附中：谭修远易凡易可彬田洪奔胡翔宇贺家土中学：易泽恩枫叶中学：左荻殷登峰曾江袁海鹏芦鑫宏谢明田心中学：莫婷婷徐诗睿体育路中学：曹雨晴泰山学校：汤洪马文韬李海生淞欣学校：黄艺鸿淞南中学：刘瑞琪雷打石中学：张辉鸿初二年级组：景弘中学：喻江波范志军张逸豪沈彦岐赵益明熊立彬李钰瑶杨鸿雁郭柏平苏嵘楷唐凯鑫黄威彭杰赵承凯桂望哲宾绮昱周宇航宋尹嘉周俊智程斌景炎学校：黄敏萱周宇刘迪威梁彦超万诗雨张若晨周欣艺聂俊韬黄永刚申美晴陈丽芳谢瑜璋雷云霖肖悦心郭璠颖王祎琳石宇杰曾郁文王泓涛谭歆仪李文韬刘钰江熊紫珂刘鑫正黄易奇王艺璇罗晶邓卓文何祎纯彭彦卿罗涵宇姜文琪易振宇刘惟瑾刘冰莹孙原谭力铭刘紫乐王柯张一弛凌俣茜盛雅琪粟惠民刘燕玲毛喆远杨熙婷沈紫薇资丰源周文妍宋文君彭旖婧杨小萌牛子昂言佳欧阳羽刘威胡震宇丁沁王磊刘鑫浩吴铮童鑫牛麒麟李慧敏外国语学校：颜金波唐梓杰王诗洋唐鑫铸徐铬秦柯卓谢亚奇肖开阳彭佳琪黄颖烜刘健宇余可人曾卓邓湘李棹安彭雨阳倪思敏唐健杨磊黄标成金石梦刘新康宋超然黄亦晨颜文吉易鑫张俊涂冰婧吕文超杨展俏田小溪龚梓钰邱卓刘迅陈家立刘颖逸刘博张凌雁冯钜石北师大株洲附校：肖湘钰曹嘉珊谢鑫和杨帆邓轩肖勇张杰铭章荣康吴广涵郭雅婷周仕杰彭小洛市十五中：易钰陈锾焕凌志威市十六中：文静市十九中：潘鑫府范爱军袁琼泰山学校：贺东陈恩祺师专附中：曹茳林周佳旺体育路中学：黄旭张浩高添雄杨洁林咏琴苏志成田心中学：王程红董雅静刘鑫洋常若婕枫叶中学：龚迪琳白关中学：罗奕龙头铺中学：丁皓宇株洲市教育科学研究院株洲市中学数学教学专业委员会2011年12月。
2011年中考数学试题及答案
2011年九年级教学质量检测数 学 试 题注意事项：本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题,84分；共120分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共36分)一、选择题 (本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来填入题后的括号内，每小题选对得3分.) 1.下列根式中与18是同类二次根式的是( ). A .321 B .27 C .6 D .32.抛物线y ＝2x 2＋4x －3的顶点坐标是（ ）.A ．（1，－5）B ．（－1，－5）C ．（－1，－4）D ．（－2，－7） 3.国家游泳中心——“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积为62828平方米，将62828用科学记数法表示是（保留三个有效数字）（ ）. A .62.8×103 B .6.28×104 C .6.2828×104 D .0.62828×105 4.数据0，-1，6，1，x 的众数为-1，则这组数据的方差是（ ）. A ．2B ．534C ．2D ．5265.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（ ）. A .3≤OM ≤5 B .4≤OM ≤5 C .3＜OM ＜5 D .4＜OM ＜56.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎 到其内切圆(阴影)区域的概率为（ ）. A .21 B .π63C .π93 D .π33第6题图第11题图7.如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ， 如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值范围是( ).A ．1＜m ＜11B ．2＜m ＜22C ．10＜m ＜12D ．5＜m ＜68.如图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点．过这三点分别 作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ， 设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 1<S 3<S 2 D .S 1=S 2=S 39.直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ）.A .1x >-B .1x <-C .2x <-D .无法确定10.如图，将A B C △沿D E 折叠，使点A 与B C边的中点F 重合，下列结论中①EF AB ∥且12E F A B =；②BAF C AF ∠=∠；③DE AF 21S ADFE∙=四边形；④2B D F F E C B A C ∠+∠=∠， 一定正确的个数是（ ）. A ．1B ．2C ．3D .411.若关于x 的一元二次方程ax 2+2x -5=0的两根中有且仅有一根在0和1 之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）. A .a ＜3 B .a ＞3 C .a ＜-3 D .a ＞-312.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE 的度数是 （ ）.A .55°B .60°C .65°D .70°DABCO第7题图xb +x第9题图第8题图第12题图第16题图第Ⅱ卷 非选择题（共84分）二、填空题（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．） 13.当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解.14.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧--≥-0125a ＞x x 无解，则a 的取值范围是 .15.已知关于的一元二次方程012)1(2=-++x x k 有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是 .16.如图，梯形ABCD 中，BC AD //，1===AD CD AB ，︒=∠60B直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PD PC +的最小值是 .17.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝b 2；当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ．则当x ＝2时，（1⊕x ）－（3⊕x ）的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）18.（本题满分8分）据《生活报》报道，有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？（3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？图2图1最喜欢的体育活 动项目的人数/人育活动项目19.（本题满分9分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？20.（本题满分9分）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得∠ACB=68°.（1）求所测之处江的宽度（.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈ ）； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.21.（本题满分10分）如图，B D 为圆O 的直径，A B A C =，A D 交B C 于E ，2A E =，4E D =．（1）求证：A B E A D B △∽△，并求A B 的长；（2）延长D B 到F ，使B F B O =，连接F A ，那么直线F A 与⊙O 相切吗？为什么？22.（本题满分10分）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来,并求出最低的租车费用．C23.(本题满分11分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC 交BC的延长线于E点.（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积.24.（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O ，且与x 轴、y轴分别相交于A (-6，0)，B （0，-8）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABCS S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.A8.D9.B10.B11.B12.C 二、填空题13.-6 14.a ≥3 15.k ＞-2，且k ≠-1 16.3 17.-318.解：（1）由图1知：4810181050++++=（名）………2分 答：该校对50名学生进行了抽样调查．（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人．………………3分x181003650⨯=％％………………………………………….4分∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36％． （3）1(302624)20-++=％％％％ 20020100÷=％ （人）…6分8100100016050⨯⨯=％ （人）答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．………8分 19.解：⑴ y ＝(x －50)∙ w ＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12000，∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x 2＋340x －12000．.......3分 ⑵ y ＝－2x 2＋340x －12000＝－2 (x －85) 2＋2450，∴当x ＝85时，y 的值最大． ……………………………6分 ⑶ 当y ＝2250时，可得方程 －2 (x －85 )2＋2450＝2250． 解这个方程，得 x 1＝75，x 2＝95． 根据题意，x 2＝95不合题意应舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．…………9分20.解：（1）在BAC Rt ∆中， 68=∠ACB ，∴24848.210068tan =⨯≈⋅= AC AB （米）答：所测之处江的宽度约为248米…………………………………3分 （2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分……………9分21.（1）证明：A B A C = ，ABC C ∴=∠∠，C D = ∠∠，ABC D ∴=∠∠．又BAE D AB = ∠∠，ABE AD B ∴△∽△．A B A E A D A B∴=． AB 2=AD ·AE=（AE+ED ）·AE=（2+4）×2=12.AB ∴=． ……………………………………………………5分（2）直线F A 与⊙O 相切．理由如下： 连接O A ．BD 为⊙O 的直径，∴∠．BD ∴====1122B F B O B D ∴===⨯=AB = ，BF BO AB ∴==．90OAF ∴= ∠．∴直线F A 与⊙O 相切． ……………………………………10分22.解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是元，租用一辆乙型汽车的费用是元．由题意得解得答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．……………………………………………………………3分 （2）设租用甲型汽车辆，则租用乙型汽车辆．由题意得解得……………………………………………………6分由题意知，为整数，或或共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆． 方案一的费用是（元）； 方案二的费用是（元）；方案三的费用是（元），所以最低运费是4900元．……………9分答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．……………………………………………10分 23.证： ⑴∵AD ∥BC ∴AD ∥CE 又∵DE ∥AC∴四边形ACED 是平行四边形……………… 3分 ⑵过D 点作DF ⊥BE 于F 点 ……………………4分∵DE ∥AC ，AC ⊥BD ∴DE ⊥BD ，即∠BDE=90° 由⑴知DE=AC ，CE=AD=3∵四边形ABCD 是等腰梯形∴AC=DB ………………………………………7分 ∴DE=DB ……………………………………8分∴△DBE 是等腰直角三角形，∴△DFB 也是等腰直角三角形 ∴DF=BF=21(7－3)+3=5……………………9分(也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)()2553721DF BC)(AD 21S ABCD=⨯+=∙+=梯形……11分注：⑴过对角线交点O 作OF ⊥BC 于F ，延长FO 交AD 于H ，于是OH ⊥AD由△ABC ≌△DCB ，得到△OBC 是等腰直角三角形，OF=21BC=27同理OH=21AD=23，高HF=52327=+⑵过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DH ⊥BC 于H ，由△AFC ≌△DHB得高AF=FC=21(AD+BC)=5⑶DOA COD BOC AOB ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=梯形(进行计算)24. 解：（1）设直线AB 的函数表达式为(y kx b k =+∵直线AB经过(60)(08)A B --，，，，∴由此可得60,8.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得4,38.k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的函数表达式为483y x =--． (4)分（2）在R t AO B △中，由勾股定理，得10AB ===，x∵圆M 经过O A B ，，三点，且90AO B ∠=°，AB∴为圆M 的直径，∴半径5M A =，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，M N x ⊥∵，∴由垂径定理，得132A N O N O A ===．在R t A M N △中，4M N ===，541C N M C M N ∴=-=-=，∴顶点C 的坐标为(31)-，， 设抛物线的表达式为2(3)1y a x =++， 它经过(08)B -，，∴把0x =，8y =-代入上式，得28(03)1a -=++，解得1a =-，∴抛物线的表达式为22(3)168y x x x =-++=---．…………8分（3）如图，连结A C ，B C ，35213521ON MC 21AN MC 21S S S BMC AMC ABC ⨯⨯+⨯⨯=∙+∙=+=∆∆∆ =15在抛物线268y x x =---中，设0y =， 则2680x x ---=， 解得12x =-，24x =-．D E ∴，的坐标分别是(40)-，，(20)-，， 2D E ∴=；设在抛物线上存在点()P x y ，，使得111511515P D E A B C S S =⨯=△△＝，则1y 221y DE 21S PDE =⨯⨯=∙=∆，1y ∴=±，当1y =时，2681x x ---=，解得123x x ==-，1(31)P ∴-，；当1y =-时，2681x x ---=-，解得13x =-+，23x =--2(3)P ∴-+-1，3(3)P ---1．综上所述，这样的P 点存在，且有三个，1(31)P -，，2(3)P -+-1，3(31)P ---．…………………….12分。
2011年株洲市初中毕业会考数学.doc
2011年株洲市初中毕业会考数学模拟一、选择题（本大题满分24分，每小题3分） 1. 在0，-3，1，41这四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. -3 C. 1 D.41 2. 数据0.00000026用科学记数法表示为2.6×10n，则n 的值是（ ）A. -7B. -6C. 6D. 7 3. 若点P （a -2，3+-a ）是第二象限的点，则a 必须满足（ ）A 、a ＜3B 、a ＞2C 、a ＜2D 、2＜a ＜34. 某班抽取5名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80.下列表述错误．．的是（ ） Ａ．众数是80 Ｂ．中位数是75 Ｃ．平均数是80 Ｄ．极差是15 5. 如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数ky=的图象大致是（ ）6、设x1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x12＋x 22的值是（ ） A 、15 B 、12 C 、6 D 、37.方程01122=--+x x x 的解是（ ） A. x =-1 B. x =2 C. x =-1或x =2 D. 无解8. 如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO 等于（ ）A 、54B 、53C 、34D 、43二、填空题（本大题满分24分，每小题3分） 9.计算：)52)(52(+-x x = .10.方程0322=--x x 的解是 . （第8题）11.反比例函数ky x =的图象经过点(-3,1)，则k 的值为 .12. 将抛物线22y x =-向上平移1个单位后，再向左平移2个单位，得一新的抛物线， 那么新的抛物线的表达式是 ．13.学校篮球队五名队员的年龄分别为17、15、17、16、15（单位：岁），其方差为0.8， 则一年前，这五名队员年龄的方差是 ．POA · xxxxD ．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90︒，AB=5cm ，D 为AB 的中点，则CD= cm .（第14题） （第15题）15. 如图8, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 .16.观察下列各式：1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；……，请写出第n 个式子 . 三、解答题（本大题满分52分）17. （本题41012sin 45(2)3-⎛⎫+-π- ⎪⎝⎭18.（本题4分）先化简，后求值：()2111211x x x ⎛⎫+÷-- ⎪--⎝⎭，其中x =19. （本题6分）某商店用3000元购进一批学习用品，后发现供不应求，商店又购进第二批同样的学习用品，数量是第一批购进数量的3倍，单价贵了4元，结果第二批用了9720元。
2011年初中毕业升学考试(中考)数学试卷及答案
数学试卷第1页（共10页）准考证号：**市2011年初中毕业生学业考试数学试卷【说明】全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷3－10页。
考试时间120分钟，满分150分。
考试结束后，第Ⅱ卷和答题卡按规定装袋上交。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束后，本试卷由考场统一收回，集中管理。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1．－2的相反数A ．－2B ．2C ．2±D ．－2 2．下列分式是最简分式的Ａ．b a a 232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222ba ab a -- 3．下列运算错误的是A ．235a a a ⋅=B ．347()m m =C ．3363282c b a bc a =）（ D ．624m m m ÷= 4．一幅扑克牌（不含大小王），任意抽取一张，抽中方块的概率是 A ．21 B ．521 C ．31 D ．415．函数31--=x x y 的自变量x 的取值范围是 A ．1x > B ．1x >且3x ≠ C ．1≥x D. 1≥x 且3x ≠数学试卷第2页（共10页）6．点（－2，3）关于原点对称的点的坐标是A ．(2,3)B ．(－2,－3)C ．(2,－3)D ．(－3,2) 7．如图：等腰梯形ABCD 中 ，AD ∥BC ，AB=DC ， AD=3，AB=4,∠B=60︒，则梯形的面积是 A.310 B.320 C.346+ D.3812+ 8．计算2sin30︒-sin 245︒+cot60︒的结果A.3321+ B.3321+ C.23+ D.23-1+ 9．如图：△ABC 中，DE ∥BC ，AD:DB=1:2,下列选项正确的是A ．DE:BC=1:2B ．AE:AC=1:3C ．BD:AB=1:3D ．S DE A ∆:S ABC ∆=1:4（ 第9题） （第10题）10．如图：在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ，下列说法中正确的个数是①CD AB BC AC ⋅=⋅ ②DB AD AC ⋅=2③BA BD BC ⋅=2 ④DB AD CD ⋅=2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个CBEDABDAC数学试卷第3页（共10页）绝密★启用前【考试时间：2011年6月】**市2011年初中毕业生学业考试数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或中性笔直接答在试卷上。
2011年中考湖南株洲数学试卷及解析
绝密★启用前株洲市2011年初中毕业学业考试数 学 试 题 卷时量:120分钟 满分:100分注意事项:1．答题前,请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号. 2．答题时,切记答案要填在答题卡上,答在试题卷上的答案无效. 3．考试结束后,请将试题卷和答题卡都交给监考老师.一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共8小题,每小题3分,共24分) 1．8的立方根是A ．2B ．2-C ．3D ． 42．计算234x x ⋅的结果是A ．34xB ．44xC ．54xD ． 64x3．孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中,6位评委给他的打分如下表:A ．95B ．90C ．85D ．804．株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况,从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试,发现其中视力不良的学生有100人,则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 A ．100人B ．500人C ．6000人D ．15000 人5．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段,其中AB ∥CD ,45EAB ∠=︒,则FDC ∠的度数是A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒EFA BCD6．右图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体.请问下列选项中,既是中心对称图形,又是这个几何体的三视图之一的是7．根据生物学研究结果,青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律,由图可以判断,下列说法错误的是: A ．男生在13岁时身高增长速度最快B ．女生在10岁以后身高增长速度放慢C ．11岁时男女生身高增长速度基本相同D ．女生身高增长的速度总比男生慢8．某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分) 9．不等式10x ->的解集是 ．10．当10x =,9y =时,代数式22x y -的值是 ．11．如图,孔明同学背着一桶水,从山脚A 出发,沿与地面成30︒角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B 处),80AB =米,则孔明从A 到B 上升的高度BC 是 米．ABDC第7题图/岁第8题图)AB- 1 1xyO第14题图12．为建设绿色株洲,某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林,每班植树株数如下表,则这四个班平均每班植树 株．13．孔明同学在解一元二次方程230x x c -+=时,正确解得11x =,22x =,则c 的值为 ．14．如图,直线l 过A 、B 两点,A (0,1-),B (1,0),则直线l 的解析式为 ．15．按下面摆好的方式,并使用同一种图形,只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有 (写出所有正确答案的序号).16．如图,第(1)个图有1个黑球；第(2)个图为3个同样大小球叠成的图形,最下一层的2个球为黑色,其余为白色；第(3)个图为6个同样大小球叠成的图形,最下一层的3个球为黑色,其余为白色；；则从第(n )个图中随机取出一个球,是黑球的概率是 .三、解答题(本大题共8小题,共52分)班次 植树株数 0801 22 080225 080335 080418（1） （2） （3）（4）· · ·第11题图第12题表30︒BAC正三角形①正方形 ②矩形 ③正五边形 ④AB17．(本题满分4分)计算:02011|2|3)(1)--+-18．(本题满分4分)当2x =-时,求22111x x x x ++++的值．19．(本题满分6分)食品安全是老百姓关注的话题,在食品中添加过 量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A B 、两种饮料均需加入同种 添加剂,A 饮料每瓶需加该添加剂2克,B 饮料每瓶需加该添加 剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A B 、两种饮料共100瓶, 问A B 、两种饮料各生产了多少瓶？20．(本题满分6分)如图, ABC ∆中,AB AC =,36A ∠=︒,AC 的垂直平分线交AB 于E ,D 为垂足,连结EC ． (1)求ECD ∠的度数； (2)若5CE =,求BC 长．EDCBA21．(本题满分6分)我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现,大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中,共有50名同学参与调查,每人必选且只选一项,将调查结果绘制成频数分布直方图如下,根据图中信息回答: (1)被调查的同学中选择喜欢网球的有____________________人；(2)孔明同学在被调查中选择的是羽毛球,现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛,求孔明被选中的概率.22．(本题满分8分)如图,AB 为O 的直径,BC 为O 的切线,AC 交O 于点E ,D 为AC 上一点,AOD C ∠=∠．(1)求证:OD AC ⊥；(2)若8AE =,3tan 4A =,求OD 的长．23．(本题满分8分)如图,矩形ABCD 中,点P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的中点, PO 的延长线交BC 于Q . (1)求证:OP OQ =；(2)若8AD =厘米,6AB =厘米,P 从点A 出发,以1厘米/秒的速度向D 运动(不与D 重合). 设点P 运动时间为t 秒,请用t 表示PD 的长； 并求t 为何值时,四边形PBQD 是菱形．Q P ODCBA羽毛球 排球 网球 足球 篮球项目OE D CBA24．(本题满分10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ,两直角边与该抛物线交于A 、B 两点,请解答以下问题: (1)若测得22OA OB ==(如图1),求a 的值；(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时,过B 作BF x ⊥轴于点F ,测得1OF =,写出此时点B 的坐标,并求点A 的横坐．．标．； (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标．再次提醒:所有的答案都填(涂)到答题卡上,答在本卷上的答案无效.株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准y xBAO图1F Ey xBAO一、选择题:9．1x > 10. 19 11. 40 12. 25 13．2 14．1y x =- 15． ②③ 16．21n + 三、解答题:17．解:原式=211-- ……3分0= ……4分18．解:原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ ……3分 当2x =-时,原式1211x =+=-+=- ……4分 (说明:直接代入求得正确结果的给满分)19.解法一:设A 饮料生产了x 瓶,则B 饮料生产了(100x -)瓶,依题意得: ……1分23(100)270x x +-= ……3分解得:30x = 10070x -= ……5分 答:A 饮料生产了30瓶,B 饮料生产了70瓶 ……6分 解法二:设A 饮料生产了x 瓶,B 饮料生产了y 瓶,依题意得: ……1分10023270x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……3分 解得:3070x y =⎧⎨=⎩ ……5分 答:A 饮料生产了30瓶,B 饮料生产了70瓶 ……6分 20.(1)解法一:AC DE 垂直平分CE=AE ∴ ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分解法二:AC DE 垂直平分 AD=CD ADE=CDE=90∴∠∠︒又DE=DE ADE ∴∆≌CDE ∆ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分(2)解法一:AB=AC,A=36∠︒B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分ECD=36∠︒BCE=ACB-ECD=36∴∠∠∠︒ …… 5分EDCBABEC=72=B ∴∠︒∠BC=EC=5∴ ……6分解法二:AB=AC,A=36∠︒B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分 BEC=A+ECD=72∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=B ∴∠∠BC=EC=5∴ ……6分21．(1)15 ……3分(2)记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为 1,2,3,4,5,其中1为孔明, 从中随机抽取2人,方法有:(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5) 共10种,其中孔明被选中的有4种,所以孔明被选中的概率是42105= (或写成0.4)……6分 (说明:第2问只写出正确结果的也给满分.) 22．(1)证明:BC 是O 的切线,AB 为O 的直径ABC=90∴∠︒,A+C=90∴∠∠︒ …… 2分又AOD=C ∠∠AOD+A=90∴∠∠︒ …… 3分90ADO ∴∠=︒OD AC ∴⊥ …… 4分(2)解:OD AE ⊥,O 为圆心D ∴为AE 中点 …… 6分1AD=AE=42∴ 又3tan 4A = OD=3∴ …… 8分23．(1)证明:四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC …… 1分∴PDO QBO ∠=∠,又OB OD =,POD QOB ∠=∠Q PODCBAOE D CBA∴△POD ≌△QOB …… 3分 ∴OP OQ = …… 4分(2)解法一: 8PD t =- …… 5分 四边形ABCD 是矩形,∴90A ∠=︒,8AD cm =,6AB cm =,∴10BD cm =,∴5OD cm =.当四边形PBQD 是菱形时, PQ ⊥BD ,∴POD A ∠=∠,又ODP ADB ∠=∠∴△ODP ∽△ADB , …… 6分 ∴OD AD PD BD =,即58810t =-, …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时,四边形PBQD 是菱形. …… 8分 解法二:8PD t =- …… 5分 当四边形PBQD 是菱形时,(8)PB PD t cm ==- …… 6分 四边形ABCD 是矩形,∴90A ∠=︒,在Rt △ABP 中,6AB cm =∴222AP AB BP +=, ∴2226(8)t t +=-, …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时,四边形PBQD 是菱形. …… 8分 24.解:(1)设线段AB 与y 轴的交点为C ,由抛物线的对称性可得C 为AB 中点,OA OB ==90AOB ∠=︒,∴2AC OC BC ===,∴B (2,2-) ……… 2分将B (2,2-)代入抛物线2(0)y ax a =<得,12a =-. ……… 3分 (2)解法一:过点A 作AE x ⊥轴于点E , 点B 的横坐标为1,∴B (1,12-), ……… 4分 ∴12BF =. 又 90AOB ∠=︒,易知AOE OBF ∠=∠,又90AEO OFB ∠=∠=︒,∴△AEO ∽△OFB ,∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A (m -,212m -)(0m >),则OE m =,212AE m =,∴2122m m = ∴4m =,即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法二:过点A 作AE x ⊥轴于点E ,点B 的横坐标为1,∴B (1,12-), ……… 4分∴1tan 212OF OBF BF ∠=== 90AOB ∠=︒,易知AOE OBF ∠=∠,∴tan tan 2AEAOE OBF OE =∠=∠=,∴2AE OE = 设点A (-m ,212m -)(0m >),则OE m =,212AE m =,∴2122m m = ∴4m =,即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法三:过点A 作AE x ⊥轴于点E , 点B 的横坐标为1,∴B (1,12-), ……… 4分 设A (-m ,212m -)(0m >),则 222151()24OB =+=,22414OA m m =+,222211(1)()22AB m m =++-+,90AOB ∠=︒∴222AB OA OB =+,∴2222221111(1)()(1)()2222m m m m ++-+=++-+,解得:4m =,即点A 的横坐标为4-. ……… 6分(3)解法一:设A (m -,212m -)(0m >),B (n ,212n -)(0n >), F EyxBAO设直线AB 的解析式为:y kx b =+, 则221 (1) 21 (2) 2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩,……… 7分 (1)(2)n m ⨯+⨯得,2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+, ∴12b mn =- ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ,∴AE OE OF BF=,∴220.50.5m m n n =,∴4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值,直线AB 恒过点(0,2-)………10分 (说明:写出定点C 的坐标就给2分)解法二:设A (m -,212m -)(0m >),B (n ,212n -)(0n >), 直线AB 与y 轴的交点为C ,根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形,可得 2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 化简,得12OC mn =. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ,∴AE OE OF BF=,∴220.50.5m m n n =,∴4mn =……… 9分∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C (0,2-)……… 10分说明:mn 的值也可以通过以下方法求得.由前可知,22414OA m m =+,22414OB n n =+,2222211()()22AB m n m n =++-+, 由222OA OB AB +=,得:242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+, 化简,得4mn =. 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分.。
2011年全国初中数学竞赛试题+参考答案
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为(A ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+（D ）4712+解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为(B ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y，）=（1，0）． 3．若1x >，0y >，且满足3y yx xy x xy==，，则x y +的值为(C ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）112解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．点D E ，分别在△ABC 的边A B A C ，上，B E C D ，相交于点F ，设1234BD F BC F C EF EAD F S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为(C ).解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于(A ).（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7解：当2 3 99k = ，，，时，因为()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ . 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是3＜m ≤4.解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m∆=-≥0，所以1642m -<， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是19.解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（第4题）（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2B D A C =，则224OC OD - 的值为6.解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6. 9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为32.解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=．10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于 △ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为84.解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ②（第8题）（第10题）由①②得 2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，， 两式相加得 2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=， 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩， 解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以A B 为直径的⊙1O 和△B C H 的外接圆⊙2O 相交于点D，延长A D 交C H 于点P ，求证：点P 为C H 的中点.证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为C H 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ，Q 两点.（1）求证：∠A B P =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ， 故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一 设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C =3a，B D =3b，所以 A C =32a -，A D =23b-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即3223a a bb-=-，所以3a b ab+=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b ==将32b =代入223y x=，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =-所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =. 故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3.又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+.14．如图，△ABC 中，60B A C ∠=︒，2A B A C =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC的面积．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是22324A Q A P B Q C P ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ . 故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．。
2011年湖南省株洲市中考数学试卷
2011年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．42．（3分）计算x2•4x3的结果是（）A．4x3B．4x4C．4x5D．4x63．（3分）孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：评委代号ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ评分859080959090则孔明得分的众数为（）A．95 B．90 C．85 D．804．（3分）株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有（）A．100人B．500人C．6000人D．15000人5．（3分）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．（3分）如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体．请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是（）A．B．C．D．7．（3分）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是（）A．男生在13岁时身高增长速度最快B．女生在10岁以后身高增长速度放慢C．11岁时男女生身高增长速度基本相同D．女生身高增长的速度总比男生慢8．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）不等式x﹣1＞0的解集为．10．（3分）当x=10，y=9时，代数式x2﹣y2的值是．11．（3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是米．12．（3分）为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树株．班次植树株数08012208022508033508041813．（3分）孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为．14．（3分）如图，直线l过A、B两点，A（0，﹣1），B（1，0），则直线l的解析式为．15．（3分）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有（写出所有正确答案的序号）．16．（3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．（4分）计算：．18．（4分）当x=﹣2时，求的值．19．（6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？20．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D 为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．21．（6分）我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答：（1）被调查的同学中选择喜欢网球的有人；（2）孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．23．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．24．（10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．2011年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2011•株洲）8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．4【分析】根据立方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2．故选A．【点评】本题考查的是立方根的定义，即如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．2．（3分）（2011•株洲）计算x2•4x3的结果是（）A．4x3B．4x4C．4x5D．4x6【分析】本题根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出结果．【解答】解：x2•4x3=4x5故选C．【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意灵活运用单项式乘以单项式的法则是本题的关键．3．（3分）（2011•株洲）孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：评委代号ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ评分859080959090则孔明得分的众数为（）A．95 B．90 C．85 D．80【分析】根据众数的定义，从表中找出出现次数最多的数即为众数．【解答】解：孔明同学共有6个得分，其中90分出现3次，次数最多，故孔明得分的众数为90分．故选B．【点评】此题结合图表考查了众数的概念﹣﹣﹣一组数据中出现次数最多的数叫该组数据的众数．4．（3分）（2011•株洲）株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有（）A．100人B．500人C．6000人D．15000人【分析】利用样本来估计总体，首先计算出样本中视力不良的学生所占的百分比，再用30000名初三学生×视力不良的学生所占的百分比即可得到答案．【解答】解：100÷500=20%，30000×20%=6000，故选：C．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，题目比较基础．5．（3分）（2011•株洲）某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由邻补角的定义即可求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，即可求得∠ADC 的度数，则问题得解．【解答】解：∵∠EAB=45°，∴∠BAD=180°﹣∠EAB=180°﹣45°=135°，∵AB∥CD，∴∠ADC=∠BAD=135°，∴∠FDC=180°﹣∠ADC=45°．故选B．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．6．（3分）（2011•株洲）如图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体．请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是（）A．B．C．D．【分析】首先把此几何体的三视图画出来，然后找出是中心对称图形．【解答】解：A，这是主视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；B，这是俯视图，它是中心对称图形，故此选项正确；C，这是左视图，它不是中心对称图形，故此选项错误；D，它不是由7个同样的立方体叠成的几何体的三视图，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了三视图的几何知识，考查了学生的空间思维想象能力．7．（3分）（2011•株洲）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是（）A．男生在13岁时身高增长速度最快B．女生在10岁以后身高增长速度放慢C．11岁时男女生身高增长速度基本相同D．女生身高增长的速度总比男生慢【分析】根据图象即可确定男生在13岁时身高增长速度是否最快；女生在10岁以后身高增长速度是否放慢；11岁时男女生身高增长速度是否基本相同；女生身高增长的速度是否总比男生慢．【解答】解：A、依题意男生在13岁时身高增长速度最快，故选项正确；B、依题意女生在10岁以后身高增长速度放慢，故选项正确；C、依题意11岁时男女生身高增长速度基本相同，故选项正确；D、依题意女生身高增长的速度不是总比男生慢，有时快，故选项错误．故选D．【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．8．（3分）（2011•株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2011•株洲）不等式x﹣1＞0的解集为x＞1．【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．10．（3分）（2011•株洲）当x=10，y=9时，代数式x2﹣y2的值是19．【分析】本题需先对要求的代数式进行变形，再把x=10，y=9代入即可求出结果．【解答】解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）当x=10，y=9时原式=（10+9）×（10﹣9）=19故答案为19．【点评】本题主要考查了如何求代数式的值，在解题时要能对代数式进行变形是本题的关键．11．（3分）（2011•株洲）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是40米．【分析】根据题意将实际问题转化为关于解直角三角形的问题解答，利用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=80米，则BC=80×=40 米．故答案为40米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，将实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键．12．（3分）（2011•株洲）为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树25株．班次植树株数080122080225080335080418【分析】本题需先利用算术平均数的计算方法列出式子，最后求出结果即可得出正确答案．【解答】解：∵这四个班平均每班植树=（22+25+35+18）÷4=25故答案为：25【点评】本题主要考查了算术平均数的计算方法，在解题时要能结合实际问题求出平均数是本题的关键．13．（3分）（2011•株洲）孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为2．【分析】根据两根x1=1，x2=2，得出两根之积求出c的值即可．【解答】解：解方程x2﹣3x+c=0得x1=1，x2=2，∴x1x2=c=1×2，∴c=2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系利用两根之积得出c的值是解决问题的关键．14．（3分）（2011•株洲）如图，直线l过A、B两点，A（0，﹣1），B（1，0），则直线l的解析式为y=x﹣1．【分析】从图象上找到直线所过的两个点的坐标，利用待定系数法求解即可．【解答】解：设函数解析式为y=kx+b，将（1，0），（0，﹣1）分别代入解析式得，，解得，函数解析式为y=x﹣1．故答案为y=x﹣1．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，从图象所在坐标系找出关键点是列方程组的必要步骤．15．（3分）（2011•株洲）按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有②③（写出所有正确答案的序号）．【分析】根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，得出每个内角必须是90°，分别分析即可．【解答】解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；②正方形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；③矩形，每个内角等于90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；④正五边形，每个内角等于108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．故答案为：②③．【点评】此题主要考查了平面镶嵌的性质以及平移的性质，得出符合两个图形的条件是解决问题的关键．16．（3分）（2011•株洲）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是．【分析】根据图示情况，得出黑球和白球出现的规律，求出第n个图中球的总数和黑球的个数，即可求出从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率．【解答】解：根据图示规律，第n个图中，黑球有n个，球的总数有1+2+3+4+5+…+n=，则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是=．故答案为：．【点评】此题将规律性问题与概率公式相结合，考查了同学们的综合运用能力，而计算出球的总数和归纳出黑球的个数是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．（4分）（2011•株洲）计算：．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、绝对值的化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=2﹣1﹣1，=0．【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、绝对值等考点的运算．18．（4分）（2011•株洲）当x=﹣2时，求的值．【分析】将两个分式直接通分，分子写成完全平方式，再与分母约分，代值计算．【解答】解：原式===x+1，（3分）当x=﹣2时，原式=x+1=﹣2+1=﹣1．（4分）【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，将分式化简，代值计算．19．（6分）（2011•株洲）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B 两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？【分析】本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．【解答】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意得：，解得：，答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键．20．（6分）（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【点评】本题考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质，应熟记其性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．21．（6分）（2011•株洲）我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答：（1）被调查的同学中选择喜欢网球的有15人；（2）孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率．【分析】（1）根据频数分布直方图中每一组内的频数总和为50，计算出喜欢网球的人数；（2）列举出所有的结果，根据孔明被选中的有4种，除以总个数即可得出概率．【解答】解：（1）50﹣5﹣10﹣12﹣8=15；（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，方法有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是（或写成0.4），【点评】此题主要考查了条形图以及列举法求概率，根据已知得出符合要求的个数是求出概率的关键．22．（8分）（2011•株洲）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O 于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．【分析】（1）根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC；（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，AE=8，∴，又，∴OD=3．【点评】此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用OD⊥AE，O为圆心，得出D为AE中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键．23．（8分）（2011•株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又∵O为BD的中点，∴OB=OD，在△POD与△QOB中，∵∴△POD≌△QOB（ASA），∴OP=OQ；（2）解：PD=8﹣t，∵四边形PBQD是菱形，∴PD=BP=8﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即62+t2=（8﹣t）2，解得：t=，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．【点评】本题主要考查了矩形的性质，在解题时要注意与全等三角形、矩形的知识点结合起来是解本题的关键．24．（10分）（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标﹣4；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．【分析】（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．（3）设A（﹣m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，﹣2）．【解答】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB 中点，∵，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，∴B（2，﹣2），将B（2，﹣2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，．（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），∴．又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴，∴AE=2OE，设点A（﹣m，）（m＞0），则OE=m，，∴，∴m=4，即点A的横坐标为﹣4．解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），∴，∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，∴，∴AE=2OE，设点A（﹣m，）（m＞0），则OE=m，，∴，∴m=4，即点A的横坐标为﹣4．解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），设A（﹣m，）（m＞0），则，，，∵∠AOB=90°∴AB2=OA2+OB2，∴（1+m）2+（﹣+m2）2=+m2+m4，解得：m=4，即点A的横坐标为﹣4．（3）解法一：设A（﹣m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，（1）×n+（2）×m得，，∴（8分）又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴．由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，﹣2）．（说明：写出定点C 的坐标就给2分）解法二：∵点A 是抛物线y=﹣x 2上的点，∴设A （﹣m ，）（m ＞0），B （n ，）（n ＞0），直线AB 与y 轴的交点为C ，根据S △AOB =S 梯形ABFE ﹣S △AOE ﹣S △B0F =S △AOC +S △BOC ， 可得， 化简，得． 又易知△AEO ∽△OFB ， ∴， ∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值．故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0，﹣2），说明：mn 的值也可以通过以下方法求得． 由前可知，，，， 由OA 2+OB 2=AB 2，得：， 化简，得mn=4．本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．【点评】本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．参与本试卷答题和审题的老师有：ZJX；lantin；CJX；sd2011；zcx；gbl210；Liuzhx；sjzx；cook2360；zhangCF；wangjc3；HJJ（排名不分先后）菁优网2017年4月23日。
初中数学竞赛区获奖学生通报
株洲市2011年初中数学竞赛市区获奖名单(市区部分)市一等奖初三年级组：景炎学校：谭鹏程寅翥刘熠曹晶殷骁肖圣圣尹昊黄鹏唐帅杰付哲睿王炜轩崔明轩綦麟刘涵唐其昌李彦茹曾成昕颜畅易玮秀付文凯孟凯威李楚楠景弘中学：刘佳轩袁志立罗蓓吴雨晗唐杰张智昊言评洪泽宇刘华雄叶坚肖敖夏刘凌志沈庆辉补天天李轩陈思凯戴佳成北师大株洲附校：张鹏尹龙涵肖士钧刘倩妤外国语学校：萧子洲谭伟伟段振文邓旻玥市五中：蒋新市十九中：杨霖琳初二年级组：景炎学校：郭若木方子为周文杰米泓博叶紫薇石镇洪肖懿嘉李常阳安平谢天玙袁中锦唐腾越熊艺航戴承志郭永康曹鸿皓彭至为杨崴华熊可欣汪啸峰陈艺贤丁泽华宾胜杰成爵良景弘中学：李玲轶陈唯戴宁陈奕泽佘崧林谭博雅北师大株洲附校：刘迪嘉傅益斌外国语学校：刘欣玥王姝上智李畅林刘孜博刘依依梁瑞青漆凤辉陆天翌市十五中：袁晟欧阳瑞斌市十六中：刘敏市二等奖初三年级组：景炎学校：彭理文夏虓林易国文张普李威炀唐博蒋钰昕杨涛杨召豪刘素琪肖添铭唐甜陈景翼李俊霖苏永萍廖泽文邓亦琪庄鑫杰邓凯键滕菲易珺陈思新林远志钱旺唐紫琦易阳俊曾思佳吴奕楠邹泽敏黄佳琳刘湛黎峰王依琛彭子灿曾轲周煜景弘中学：刘培松王林峰袁盛强何迎港刘智琦郭圣郁李宾张颖霖陈晓婧蒋嘉怡刘颖郭阳郭胜齐希斯戴羽李维政唐婉荧凌向荣唐俊玮北师大株洲附校：寻德昕刘志成王曦李锦鑫刘周石伟鹏外国语学校：徐丹妮袁正午谭佳菲张行健周泽霖龙昊旻李清扬毛晟轩顾玮琛贺子琼杨凌波吴梦萍市十六中：桂烨市十九中：杨莅徐志良邓淇匀刘佳斌阳鹏飞田心中学：邱艺铭初二年级组：景弘中学：潘康周睿戴璇鲁添郭文静易星汉龚睿谢庆忠谭宇豪廖聪张聪周煜昊尹可人景炎学校：刘华光谭畅黎倩瑶任星华胡杨孙赫张航程修欧阳毅铮罗瑞华孟李清旷嘉奇蒋佳洲梁步云张菁徐颖华舒子瑞符恒迈曹勋平龚雅婷李赫何杼鑫洪采菲段子韬刘扬帆罗煊昭廖天怡王昀昊刘珊张熙谢柯毅黄志轩邹孟志任鸿翔刘佳昊颜竞人罗钰婷谭钰峰张有驰外国语学校：胡智怿童旻敏余嘉文曹龙佳石超唐珑涛曹远志刘鑫淼戴如彦曹向琳方舟唐依婷梁杰俊周鑫漆嘉威王锦涛王瑀李慧敏汪圣焘黎晓玮叶晓卉娄懿邹伊涵刘溈厉建树蒋柠鸿李薇北师大株洲附校：周楠龙霖萱甘成昱黄燊诚蔡博诚唐硕游紫荆市五中：郑鑫市十五中：李河舟市十六中：符钰婷林文志市十九中：付亮亮师专附中：聂之翔枫叶中学：宋博贺家土中学：王州市三等奖初三年级组：景炎学校：谭伏宁杨冬辰吴鸿玉李娜罗豪郭亚琪刘云鹤吴雪婧谭齐家董雅蓉李子彦宾汝聪黄翔蔡灏禹钱书宁张文璐罗杰中孟柯成谭伊航严伊峻罗晓琴李爽许原源吴沁雯谭元珍廖彧易子钧贾慧萱向维哲肖悦成施筱琪陈志方程志豪谭子杰夏慧雯郭一廷黄牧晨林鹤洲彭思璇范知名李炜涛刘立柱龙姝羽李东骏李昱璇李敏琦陈柱彬张万千刘文俊宾雨儿盛云祥肖智乙邹妤婷龙铭翁浩谱宋颖邓文陈杰斌王泽远何锦涛黄放周裴珂李梦嘉刘佳欣文佳程熊宇蒋荣卿黄睿邦伍龙姝王非凡刘云松徐凯澜文婕景弘中学：虞资兴李云啸黄魁颜赠钰尹恩民文川苇袁隆瑞陈易帜肖一男邓超陈伯钧王淑臻申桢陈送福刘剀强刘宇练易凌邓远宏吴斐毓冯文龙张鸿远刘鹏程龙赛楠刘思为臧诗槐朱旦言韬胤杨子欣北师大株洲附校：喻姝研刘佳豪范崇星房靖雅彭之臻谭心睿虞志辉高楠彭清扬刑方圆易大鹏蒋佳伟邹欣哲外国语学校：邹疏雨董骏灿李依竹刘康妮谢一鸣周杨平冯金铭周芊骞周柽朱浩骅俞一波兰天陶熙家彭澍杨孟宸李依松傅宇喧唐宇杰高婧雯贺源易昊杰陈思瑶焦文彬杨柳青市五中：曹逸飞唐格西石冲曾艳姣周红利市七中：陈成市十二中：肖宇恒市十五中：唐西昊市十六中：万磊市十九中：李中玉卢先尚吴陈朱家豪汤佳蒙师专附中：谭修远易凡易可彬田洪奔胡翔宇贺家土中学：易泽恩枫叶中学：左荻殷登峰曾江袁海鹏芦鑫宏谢明田心中学：莫婷婷徐诗睿体育路中学：曹雨晴泰山学校：汤洪马文韬李海生淞欣学校：黄艺鸿淞南中学：刘瑞琪雷打石中学：张辉鸿初二年级组：景弘中学：喻江波范志军张逸豪沈彦岐赵益明熊立彬李钰瑶杨鸿雁郭柏平苏嵘楷唐凯鑫黄威彭杰赵承凯桂望哲宾绮昱周宇航宋尹嘉周俊智程斌景炎学校：黄敏萱周宇刘迪威梁彦超万诗雨张若晨周欣艺聂俊韬黄永刚申美晴陈丽芳谢瑜璋雷云霖肖悦心郭璠颖王祎琳石宇杰曾郁文王泓涛谭歆仪李文韬刘钰江熊紫珂刘鑫正黄易奇王艺璇罗晶邓卓文何祎纯彭彦卿罗涵宇姜文琪易振宇刘惟瑾刘冰莹孙原谭力铭刘紫乐王柯张一弛凌俣茜盛雅琪粟惠民刘燕玲毛喆远杨熙婷沈紫薇资丰源周文妍宋文君彭旖婧杨小萌牛子昂言佳欧阳羽刘威胡震宇丁沁王磊刘鑫浩吴铮童鑫牛麒麟李慧敏外国语学校：颜金波唐梓杰王诗洋唐鑫铸徐铬秦柯卓谢亚奇肖开阳彭佳琪黄颖烜刘健宇余可人曾卓邓湘李棹安彭雨阳倪思敏唐健杨磊黄标成金石梦刘新康宋超然黄亦晨颜文吉易鑫张俊涂冰婧吕文超杨展俏田小溪龚梓钰邱卓刘迅陈家立刘颖逸刘博张凌雁冯钜石北师大株洲附校：肖湘钰曹嘉珊谢鑫和杨帆邓轩肖勇张杰铭章荣康吴广涵郭雅婷周仕杰彭小洛市十五中：易钰陈锾焕凌志威市十六中：文静市十九中：潘鑫府范爱军袁琼泰山学校：贺东陈恩祺师专附中：曹茳林周佳旺体育路中学：黄旭张浩高添雄杨洁林咏琴苏志成田心中学：王程红董雅静刘鑫洋常若婕枫叶中学：龚迪琳白关中学：罗奕龙头铺中学：丁皓宇株洲市教育科学研究院株洲市中学数学教学专业委员会2011年12月。
初三数学竞赛试题(含答案)-
初三数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm, 里面空 心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷(株洲卷)及试卷解析
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷（株洲卷）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）设，则3a3+12a2﹣6a﹣12=（）A．24B．25C．D．2．（7分）在同一直角坐标系中，函数y=（k≠0）与y=kx+k（k≠0）的图象可以是（）A．B．C．D．3．（7分）在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A．1个B．4个C．7个D．10个4．（7分）若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）A．1B．2C．D．5．（7分）设，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是．7．（7分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是．8．（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是．9．（7分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣OD2的值为．10．（7分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，试求a、b的值．12．（20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．13．（20分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A 任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．14．（20分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷（株洲卷）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1．（7分）设，则3a3+12a2﹣6a﹣12=（）A．24B．25C．D．【分析】先化简整式，然后将a的值代入即可．【解答】解：3a3+12a2﹣6a﹣12=3a3+3a2+9a2﹣6a+1﹣13=3a2（a+1）+（3a﹣1）2﹣13当时原式=37﹣13=24．故选：A．【点评】本题考查二次根式的混合运算，有一定难度，将原式化简是解决本题的关键．2．（7分）在同一直角坐标系中，函数y=（k≠0）与y=kx+k（k≠0）的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：A、从一次函数的图象过二、四象限知k＜0与反比例函数的图象k ＞0相矛盾，错误；B、从一次函数的图象知k＞0与反比例函数的图象k＞0一致，正确；C、从一次函数的图象与y轴的负半轴相交知k＜0与反比例函数的图象k＞0相矛盾，错误；D、从一次函数的图象与y轴的正半轴相交知k＞0与反比例函数的图象k＜0相矛盾，错误．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数k的取值．3．（7分）在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【分析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解答此题时要根据等边三角形三线合一的特点进行解答．4．（7分）若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）A．1B．2C．D．【分析】首先将xy=x y变形，得y=x y﹣1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y的值，则可得x的值，代入x+y求得答案．【解答】解：由题设可知y=x y﹣1，∴x=yx3y=x4y﹣1，∴4y﹣1=1．故，从而x=4．于是．故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同．5．（7分）设，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】由于，由此可以得到1＜S=，然后即可求出4S的整数部分．【解答】解：当k=2，3…99，因为，所以1＜S=．于是有4＜4S＜5，故4S的整数部分等于4．故选：A．【点评】此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了．二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．（7分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是（+1）2．【分析】由m是一个完全平方数，得m是的平方数，则比大且最小的整数是+1，从而得出它的平方．【解答】解：∵m是一个完全平方数，∴m是的平方数，∴比大且最小的整数是+1，它的平方是（+1）2．故答案为：（+1）2．【点评】本题考查了一个数的完全平方数，以及完全平均数的性质，要熟练掌握．7．（7分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3＜m≤4．【分析】根据原方程可知x﹣2=0，和x2﹣4x+m=0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，所以x2﹣4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，∴①x﹣2=0，解得x1=2；②x2﹣4x+m=0，∴△=16﹣4m≥0，即m≤4，∴x2=2+，x3=2﹣，又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．8．（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是．【分析】利用列表法求出所有的举朝上的面两数字之和，得出5的个数，即能得出朝上的面两数字之和为奇数5的概率．【解答】解：∵正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是：∴朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了用列举法求概率，列举出所有的可能结果是解决问题的关键．9．（7分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣OD2的值为6．【分析】根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a﹣，线段BD=b﹣，根据BD=2AC，有b﹣=2（a﹣），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值．【解答】解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，）AC=a﹣，BD=b﹣，∵BD=2AC，∴b﹣=2（a﹣）4OC2﹣OD2=4（a2+）﹣（b2+）=4[+2]﹣[+2]=4+8﹣4﹣2=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值．10．（7分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为84．【分析】首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．【解答】解：如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解﹣25舍去），所以a+b+c=49+35=84．故答案为：84．【点评】此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想．三、解答题（共4小题，满分80分）11．（20分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x=1，试求a、b的值．【分析】首先把根x=1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件即可得a、b的值．【解答】解：把x=1代入原方程并整理得（b+4）k=7﹣2a要使等式（b+4）k=7﹣2a不论k取什么实数均成立，只有满足，解之得，b=﹣4．【点评】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．12．（20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值．【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根．利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a，b，c的值，相加即可．【解答】解：设方程x2+ax+b=0的两个根为α，β，∵方程有整数根，设其中α，β为整数，且α≤β，则方程x2+cx+a=0的两根为α+1，β+1，∴α+β=﹣a，（α+1）（β+1）=a，两式相加，得αβ+2α+2β+1=0，即（α+2）（β+2）=3，∴或解得或又∵a=﹣（α+β）=﹣[（﹣1）+1]=0，b=αβ=﹣1×1=﹣1，c=﹣[（α+1）+（β+1）]=﹣[（﹣1+1）+（1+1）]=﹣2，或a=﹣（α+β）=﹣[（﹣5）+（﹣3）]=8，b=αβ=（﹣5）×（﹣3）=15，c=﹣[（α+1）+（β+1）]=﹣[（﹣5+1）+（﹣3+1）]=6，∴a=0，b=﹣1，c=﹣2；或者a=8，b=15，c=6，∴a+b+c=0+（﹣1）+（﹣2）=﹣3或a+b+c=8+15+6=29，故a+b+c=﹣3，或29．【点评】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去a后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．13．（20分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A 任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．【分析】（1）利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．【解答】（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，﹣t）．设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x P，y P），（x Q，y Q）．由，得，于是，即．于是=．，又因为，所以．因为∠BCP=∠BDQ=90°，所以△BCP∽△BDQ，故∠ABP=∠ABQ；（2）解：设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知∠ABP=∠ABQ=30°，BC=，BD=，所以AC=，AD=．因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．于是，即，所以．由（1）中，即，所以，于是可求得．将代入，得到点Q的坐标（，）．再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得．所以直线PQ的函数解析式为．根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为或．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．14．（20分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．【分析】首先构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP．根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值．再根据角间的关系求得∠QAP=60°，进而得到△APQ 为直角三角形、△BQP为直角三角形．再利用勾股定理求得AB2的长．利用正弦定理与三角形的面积计算公式求得△ABC的面积．【解答】解：如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．∵AB=2AC，∴△ABQ与△ACP相似比为2．∴AQ=2AP=2，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=AP=3，∴BP2=25=BQ2+PQ2，从而∠BQP=90°，过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，∴AM=PQ，MQ=AP，∴AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+8，故S=AB•ACsin60°===3+．△ABC故答案为：3+．【点评】本题考查三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，根据相似三角形的性质及勾股定理求得AB2的值．。
湖南省株洲市中考数学试题解析
湖南省株洲市2011年初中毕业学业考试一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．8的立方根是 A ．2B ．2-C ．3D ． 4 2．计算234x x ⋅的结果是A ．34xB ．44xC ．54x D ． 64x 3．孔明同学在庆祝建党90周年的演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：A ．95B ．90C ．85D ．804．株洲市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 A ．100人B ．500人C ．6000人D ．15000 人5．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中 AB ∥CD ，45EAB ∠=︒，则FDC ∠的度数是 A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．右图是一个由7个同样的立方体叠成的几何体.请问下列选项中，既是中心对称图形，又是这个几何体的三视图之一的是7．根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是：A ．男生在13岁时身高增长速度最快B ．女生在10岁以后身高增长速度放慢C ．11岁时男女生身高增长速度基本相同D ．女生身高增长的速度总比男生慢8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角A B D C EFA BCD第7题图 /岁)第8题图x第14题图坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．不等式10x ->的解集是 ．10．当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是 ．11．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30︒角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），80AB =米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是 米． 12．为建设绿色株洲，某校初三0801、0802、0803、0804四个班同学参加了植树造林，每班植树株数如下表，则这四个班平均每班植树 株．13．孔明同学在解一元二次方程230x x c -+=时，正确解得11x =，22x =，则c 的值为 ．14．如图，直线l 过A 、B 两点，A （0，1-），B （1，0），则直线l 的解析式为 ．15．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有（写出所有正确答案的序号）.16．如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色； ；则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是 .三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（本题满分4分）计算：02011|2|(1)--+-第11题图第12题表正三角形 ① 正方形 ② 矩形③正五边形 ④18．（本题满分4分）当2x =-时，求22111x x x x ++++的值． 19．（本题满分6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过 量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A B 、两种饮料均需加入同种 添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A B 、两种饮料共100瓶，问A B 、两种饮料各生产了多少瓶？20．（本题满分6分）如图， ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连结EC ． （1）求ECD ∠的度数； （2）若5CE =，求BC 长．21．（本题满分6分）我国网球名将李娜在今年法国网球公开赛上的出色表现，大大激发了国人对网球的热情．在一项“你最喜欢的球类运动”的调查中，共有50名同学参与调查，每人必选且只选一项，将调查结果绘制成频数分布直方图如下，根据图中信息回答： （1）被调查的同学中选择喜欢网球的有____________________人；（2）孔明同学在被调查中选择的是羽毛球，现要在参与调查选择喜欢羽毛球的同学中随机抽取2人参加一项比赛，求孔明被选中的概率.22．（本题满分8分）如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，AC 交O 于点E ，D 为AC上一点，AOD C ∠=∠． （1）求证：OD AC ⊥；（2）若8AE =，3tan 4A =，求OD 的长．EDCBA羽毛球 排球 网球 足球 篮球项目OE D CBA23．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证：OP OQ =；（2）若8AD =厘米，6AB =厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）. 设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长； 并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．参考答案及评分标准Q P ODCBA一、选择题：29．1x > 10. 19 11. 40 12. 25 13．2 14．1y x =- 15． ②③ 16．21n + 三、解答题：17．解：原式=211-- ……3分0= ……4分18．解：原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ ……3分当2x =-时，原式1211x =+=-+=- ……4分（说明：直接代入求得正确结果的给满分）19.解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100x -）瓶，依题意得： ……1分23(100)270x x +-= ……3分解得：30x = 10070x -= ……5分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得： ……1分10023270x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……3分 解得：3070x y =⎧⎨=⎩……5分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分 20.（1）解法一：AC DE 垂直平分CE=AE ∴ E C D =A =36∴∠∠︒ …… 3分 解法二：AC DE 垂直平分 A D =C D A D E =C D E=∴∠∠︒ 又DE=DE ADE ∴∆≌CDE ∆ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分（2）解法一：AB=AC,A=36∠︒B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分ECD=36∠︒BCE=ACB-ECD=36∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=72=B ∴∠︒∠BC=EC=5∴ ……6分解法二：AB=AC,A=36∠︒B=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分BEC=A+ECD=72∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=B ∴∠∠BC=EC=5∴ ……6分21．（1）15 ……3分EDCBA（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为 1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，方法有：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5） 共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是42105= (或写成0.4)……6分 (说明：第2问只写出正确结果的也给满分.)22．（1）证明：BC 是O 的切线，AB 为O 的直径ABC=90∴∠︒，A+C=90∴∠∠︒ …… 2分又AOD=C ∠∠AOD+A=90∴∠∠︒ …… 3分90ADO ∴∠=︒OD AC ∴⊥ …… 4分（2）解：OD AE ⊥ ，O 为圆心D ∴为AE 中点 …… 6分 1AD=AE=42∴ 又3tan 4A = OD=3∴ …… 8分23．（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC …… 1分 ∴PDO QBO ∠=∠，又OB OD =，POD QOB ∠=∠∴△POD ≌△QOB …… 3分 ∴OP OQ = …… 4分（2）解法一： 8PD t =- …… 5分四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，8AD cm =，6AB cm =，∴10BD cm =，∴5OD cm =. 当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴POD A ∠=∠，又ODP ADB ∠=∠∴△ODP ∽△ADB ， …… 6分 ∴OD AD PD BD =，即58810t =-， …… 7分 解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分解法二：8PD t =- …… 5分 当四边形PBQD 是菱形时，(8)PB PD t cm ==- …… 6分 四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，在Rt △ABP 中，6AB cm =∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-， …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分 24.解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点，OA OB ==90AOB ∠=︒，Q PODCBAOE D CBA∴2AC OC BC ===，∴B (2，2-) ……… 2分将B (2，2-)代入抛物线2(0)y ax a =<得，12a =-. ……… 3分（2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分∴12BF =. 又 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=︒，∴△AEO ∽△OFB ，∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴212m m =∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ， 点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分∴1tan 212OF OBF BF ∠=== 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠， ∴tan tan 2AEAOE OBF OE=∠=∠=，∴2AE OE = 设点A （-m ，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分 解法三：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分设A （-m ，212m -）（0m >），则222151()24OB =+=，22414OA m m =+，222211(1)()22AB m m =++-+，90AOB ∠=︒∴222AB OA OB =+， ∴2222221111(1)()(1)()2222m m m m ++-+=++-+，解得：4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分（3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2) 2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分 (1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+∴12b mn =- ……… 8分又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF=，∴220.50.5m m n n =，∴4mn =……… 9分 ∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分（说明：写出定点C 的坐标就给2分）解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >），直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 化简，得12OC mn =. ……… 8分又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF=，∴220.50.5m m n n =，∴4mn =……… 9分∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,2-）……… 10分说明：mn 的值也可以通过以下方法求得.由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+， 由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+，化简，得4mn =.。
初三竞赛数学试题及答案
初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值：A. 2, 3B. -2, 3C. -3, 2D. 1, 43. 一个圆的半径为r，若圆的周长为2πr，则圆的面积是：A. πr^2B. 2πrC. πrD. r^24. 函数y = 3x - 2的图象与x轴交点的坐标是：A. (0, -2)B. (2/3, 0)C. (0, 0)D. (2, -3)5. 若一个数的平方根等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或16. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的对角线的长度是：A. √(a^2 + b^2)B. √(a^2 + b^2 + c^2)C. √(a^2 + b^2 + c)D. √(a + b + c)二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是______。
2. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
3. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
4. 一个数的倒数是它本身，这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个等差数列的首项a1=2，公差d=3，求这个数列的前10项的和。
2. 解不等式：2x - 5 > 3x - 1。
3. 证明：对于任意正整数n，n^3 - n^2 - n + 1能被6整除。
4. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，求斜边的长度。
5. 一个圆的半径为5，求圆的内接正六边形的边长。
答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. A6. B二、填空题1. 0, 1, -12. 非负数3. 04. ±1三、解答题1. 等差数列前n项和公式为S_n = n/2 * (a1 + an)，其中an = a1 + (n-1)d。
2009年株洲市初中数学竞赛试卷
2011年株洲市初中数学竞赛试卷（初三年级）时量：120分钟 总分：100分 注意事项：1、用黑色、蓝色钢笔或圆珠笔作答；2、在密封线内答题，答题内容不要超过密封线；3、不准使用计算器。
一、选择题（每题4分，共32分，每题仅有一个正确选项，请将正确选项填入表格内 ） 题 次 1 2345678答 案1. 已知实数a 满足3|2|2a a a -+-=-则 a 满足A ．3a >B ．4a ≥C ．4a =D ． 3a = ２．已知115a b a b+=+，则b aa b +的值是 A ．5 B ．7 C ．3 D ．13３．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打 A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折4．为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，数据处理后制成以下条形统计图和扇形统计图．小明在该超市购买一瓶乙品牌食用油，估计能买到“优秀”等级的概率是A ．12B ． 13C ．35D ． 895．铁板甲形状是等腰三角形，其顶角为45°，腰长为20cm ，铁板乙的形状是直角梯形，两底分别为7cm,16cm,且有一个角为60°，现在我们把这两块铁板任意翻转，分别试图从一个直径为14cm两种品牌食用油检测结果直方图瓶数优秀合格不合格710 01 等级不合格的10%合格的30%优秀60%甲种品牌食用油检测结果扇形分布图图⑴图⑵（ 第4题图）的圆洞中穿过，若不考虑铁板厚度，则结果是（ ）（参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈） A ．甲、乙都能穿过 B ．甲、乙都不能穿过 C ． 甲能穿过，乙不能穿过 D ．甲不能穿过，乙能穿过6．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为A ．16B ．18C ．20D ．327．如图，在直角三角形ABC 中（∠C ＝900）,放置边长分别3,4,x 的三个正方形，则x 的值为A ．５B ． ６C ．７D ． 128．某人从一鱼摊上买了3条鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了2 条鱼， 平均每条b 元，而后以 每条2a b+元的价格售出，结果发现赔了钱， 原因是： A ．a=b B ．a > b C ．a < b D ．与a ，b 间的大小无关二、填空题（每题 5分，共30分，请将答案填在表格内）题 次 91011121314答 案9．已知有理数x 满足：31752233x xx -+-≥-，则化简12x x --+= 。
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题(株洲卷)及评分标准
初中数学竞赛训练一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式2212a a +-的值为( ).（A ）－6 （B ）24 （C ）4710+ （D ）4712+2．在同一直角坐标系中，函数x ky =（0≠k ）与k kx y +=（0≠k ）的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）3、在等边三角形ABC 所在的平面内存在点P ，使⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PAC 都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P 的个数（ ）（A ）1 （B ）7 （C ）10 （D ）15 4．若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1125．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是 . 。
7．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .8．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .9．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x= （x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 . 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，试求a 、b 的值。
株洲中考数学试题答案.doc
株洲市2011年初中毕业学业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题： 二、填空题：9．1x > 10. 19 11. 40 12. 25 13．2 14．1y x =- 15． ②③ 16．21n + 三、解答题：17．解：原式=211-- ……3分0= ……4分18．解：原式=2221(1)111x x x x x x +++==+++ ……3分 当2x =-时，原式1211x =+=-+=- ……4分 （说明：直接代入求得正确结果的给满分）19.解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100x -）瓶，依题意得： ……1分23(100)270x x +-= ……3分解得：30x = 10070x -= ……5分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得： ……1分10023270x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……3分 解得：3070x y =⎧⎨=⎩……5分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶 ……6分20.（1）解法一：AC DE Q 垂直平分CE=AE ∴ ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分解法二：AC DE Q 垂直平分 AD=CD ADE=CDE=90∴∠∠︒ 又DE=DE Q ADE ∴∆≌CDE ∆ECD=A=36∴∠∠︒ …… 3分（2）解法一：AB=AC,A=36∠︒QB=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分ECD=36∠︒Q题 次1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ACBCBBDAABCE=ACB-ECD=36∴∠∠∠︒ …… 5分 BEC=72=B ∴∠︒∠BC=EC=5∴ ……6分解法二：AB=AC,A=36∠︒QB=ACB=72∴∠∠︒ …… 4分 BEC=A+ECD=72∴∠∠∠︒ …… 5分BEC=B ∴∠∠BC=EC=5∴ ……6分21．（1）15 ……3分（2）记喜欢羽毛球的5个同学分别表示为 1，2，3，4，5，其中1为孔明，从中随机抽取2人，方法有：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）（2,5）（3,4）（3,5）（4,5） 共10种，其中孔明被选中的有4种，所以孔明被选中的概率是42105= (或写成0.4)……6分(说明：第2问只写出正确结果的也给满分.)22．（1）证明：BC Q 是O e 的切线，AB 为O e 的直径ABC=90∴∠︒，A+C=90∴∠∠︒ …… 2分又AOD=C ∠∠QAOD+A=90∴∠∠︒ …… 3分90ADO ∴∠=︒OD AC ∴⊥ …… 4分（2）解：OD AE ⊥Q ，O 为圆心D ∴为AE 中点 …… 6分1AD=AE=42∴ 又3tan 4A = OD=3∴ …… 8分23．（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC …… 1分 ∴PDO QBO ∠=∠，又OB OD =，POD QOB ∠=∠ ∴△POD ≌△QOB …… 3分Q PODCBAOE D CBA∴OP OQ = …… 4分（2）解法一： 8PD t =- …… 5分Q 四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，Q 8AD cm =，6AB cm =，∴10BD cm =，∴5OD cm =.当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴POD A ∠=∠，又ODP ADB ∠=∠∴△ODP ∽△ADB ， …… 6分 ∴OD AD PD BD =，即58810t =-， …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分 解法二：8PD t =- …… 5分 当四边形PBQD 是菱形时，(8)PB PD t cm ==- …… 6分Q 四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，在Rt △ABP 中，6AB cm =∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-， …… 7分解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. …… 8分 24.解：（1）设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛物线的对称性可得C 为AB 中点，Q 22OA OB ==，90AOB ∠=︒，∴2AC OC BC ===，∴B (2，2-) ……… 2分将B (2，2-)代入抛物线2(0)y ax a =<得，12a =-. ……… 3分 （2）解法一：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，Q 点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分 ∴12BF =. 又Q 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠，又90AEO OFB ∠=∠=︒， ∴△AEO ∽△OFB ，∴1212AE OF OE BF === ∴2AE OE = ……… 5分 设点A （m -，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法二：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，F EyxBOQ 点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分 ∴1tan 212OF OBF BF ∠=== Q 90AOB ∠=︒，易知AOE OBF ∠=∠， ∴tan tan 2AEAOE OBF OE=∠=∠=，∴2AE OE = ……… 5分 设点A （-m ，212m -）（0m >），则OE m =，212AE m =，∴2122m m = ∴4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分解法三：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，Q 点B 的横坐标为1，∴B (1，12-)， ……… 4分 设A （-m ，212m -）（0m >），则 222151()24OB =+=，22414OA m m =+，222211(1)()22AB m m =++-+，Q 90AOB ∠=︒∴222AB OA OB =+，∴2222221111(1)()(1)()2222m m m m ++-+=++-+，解得：4m =，即点A 的横坐标为4-. ……… 6分（3）解法一：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+， 则221 (1) 21 (2)2mk b m nk b n ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，……… 7分(1)(2)n m ⨯+⨯得，2211()()()22m n b m n mn mn m n +=-+=-+，∴12b mn =-……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF=，∴220.50.5m m n n =，∴4mn =……… 9分∴1422b =-⨯=-.由此可知不论k 为何值，直线AB 恒过点（0，2-）………10分（说明：写出定点C 的坐标就给2分） 解法二：设A （m -，212m -）（0m >），B （n ，212n -）（0n >）， 直线AB 与y 轴的交点为C ，根据0AOB AOE B F AOC BOC ABFE S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=+梯形，可得2222111111111()()222222222n m m n m m n n OC m OC n ⋅++-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 化简，得12OC mn =. ……… 8分 又易知△AEO ∽△OFB ，∴AE OEOF BF =，∴220.50.5m m n n =，∴4mn =……… 9分∴2OC =为固定值.故直线AB 恒过其与y 轴的交点C （0,2-）……… 10分说明：mn 的值也可以通过以下方法求得. 由前可知，22414OA m m =+，22414OB n n =+，2222211()()22AB m n m n =++-+， 由222OA OB AB +=，得：242422221111()()()()4422m m n n m n m n +++=++-+， 化简，得4mn =.本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年株洲市初中数学竞赛试题
（初三年级）
时量：120分钟总分：100分
注意事项：
1．用黑色．蓝色钢笔或圆珠笔作答；
2．在密封线内答题，答题内容不要超过密封线；
3．不准使用计算器．
1．1．下列各式计算正确的是
A．10a6÷5a2＝2a3B．32＋23＝5 5
C．1
2
-=D．(a－2)2＝a2－4
2．已知点P1（a-1，5）和P2（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为
A．-1 B．1 C．0 D．（-3）2013
则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是
A．15，16 B．13，15 C．13，14
D．14，14
4．设a．b是方程x2+ x-1006=0的两个实数根，则22
a b
+的值为
A.2012
B.2013
C.2014
D.2015
5．已知：如图，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G C D E F H
→→→→→，相对应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间的t（s）函数图象如图2，若6
AB=cm，则以下四个结论中正确的个数有
①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2，
③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2，
A．1个B．2个C．3个D．4个
A
B
图1 t(s)
图2
6．如图为某企业标志图案，在△ABC 中，∠ACB=900，∠A=200, 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转
角α到△A ′B ′C 的位置，其中A ′，B ′分别是A, B 的对应点，B 在A ′B ′上，CA ′交AB 于D ，则∠BDC 的度数为
A.300
B.450
C.600
D.900
7．如图：Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒,P 为BC 中点，1
,332
ADB APB PE EB ∠=
∠==，则AE ED =
（A ）7 （B ）8 （C ）12 （D ）16
8．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本2本、圆珠笔1支共需3.1元；若购铅笔2支、练习本3本、圆珠笔4支共需7.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ C ）元.
A ．1.8
B ．1.9
C ． 2.1
D ． 2.4
二．填空题（每题 5分，共30分，请将答案填在表格内）
9. 若
20 10b c ==，，则b c
+的值为 ________________．
10．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A 、B 两点， 在格点（网格线交叉点）中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的 概率为_________________．
A
B A
（第6题图）
（第7题图）
（第10题图）
D C B
A
M E K
11．在正比例函数 y= kx 的图象上有一点A ，它的横坐标n 使方程012
=-+-n nx x
有两个相
等的实数根，以点 A 与 B(1,0)．C(4,0) 为顶点的三角形面积等于6，则正比例函数的解析式为 ；
12． 小明．小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题 多 _____道．
13．如图，ABCD 是边长为9的正方形，E 是BC 上的一点，
BE=EC 2
1
．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN ， 则=∆ANE S ．
14． 近年，株洲市的园林绿化取得飞速发展，在全国产生很大反响。
某校数学小组课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：
第k 棵树种植在点11(,),1,1k k k P x y x y ==处
其中， 当111215([][]),552,,12[][]55k k k k k k x x k k k y y ----⎧
=+-⨯-⎪⎪≥⎨
--⎪=+-⎪⎩
时式中[]a 表示非负实数a 的整数部分，
例如：
[2.6]2,[0.2]0==。
按此方案第2012棵树种植点的坐标应为 。
三．解答题（本大题共4个小题，共38分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）已知关于x 的方程014)3(222
=--+--k k x k x ．
（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若以方程014)3(222
=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数
4y x =+的图象上，求满足条件的k 的值．
（第13题图）
16．（本题满分10分）某欢乐世界团购票价如下表:
今有甲．乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费10080元.问这两个旅游团各有多少人?
17．（本题满分10分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线A-B-C表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，y关于x的函数的大致图像如图中折线C-D-E，求图中D点的坐标．
18．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 是等边三角形，M 为正方形内的一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：EN=AM ；
⑵当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，求出该最小值； ⑶若::1:2:3AM BM MC =,求AM B ∠的度数.
C。