2012高三一轮复习 第二章 第十节 函数模型及其应用

x2 1 f(x)＝－ ＋162x－21000＝－ (x－4050)2＋307050. 50 50 所以，当 x＝4050 时，f(x)最大， 最大值为 f(4050)＝307050 元． 即当每辆车的月租金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大．最大 月收益为 307050 元．
答：(1)能租出88辆车．
解：(1)当0＜t≤10时，f(t)＝－t2＋24t＋100 ＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(10)＝240. 当20<t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，
且f(20)＝240.
所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能 持续10分钟． (2)f(5)＝195，f(25)＝205， 所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并
求出最小总费用．
解：(1)矩形的另一边长为 a m， 则 y＝45x＋180(x－2)＋180· 2a ＝225x＋360a－360， 360 由已知 xa＝360，得 a＝ x ， 3602 ∴y＝225x＋ x －360(x＞0)．
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种增长型函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞) 上的单调性
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y
增函数
增长速度
相对平稳
考点一 一次函数与二次函数模型的应用 随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种
(1)当t＝4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断 这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生
后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
[自主解答] (1)由图象可知：当 t＝4 时，v＝3×4＝12， 1 ∴s＝ ×4×12＝24. 2 1 32 (2)当 0≤t≤10 时，s＝ ·3t＝ t ， t· 2 2 1 当 10<t≤20 时，s＝ ×10×30＋30(t－10)＝30t－150； 2
1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，
对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确
的是 A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) ( )
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：画出函数的图象，如图所示：
产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生
产这两种产品的有关数据如下表： 每件产品 每件产品 每年最 年固定成 成本(万美 销售价(万 多可生 本(万美元) 元) 美元) 产件数 20 a 10 200 甲产品 40 8 18 120 乙产品
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8. 另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税． (1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与 生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
解析：钱从2004年6月30日存入银行到2012年6月30日取 回，存入银行的时间为8年，所以可取回a(1＋x)8元． 答案：A
3．有一组实验数据，如下表：
t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01
( )
则最佳的体现这些数据关系的函数模型是 A．v＝log2t t2－1 C．v＝ 2 B．v＝2t－2 D．v＝2t－2
3602 (2)∵x＞0，∴225x＋ x ≥2 225×3602＝10800， 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10440. 3602 当且仅当 225x＝ x 时，等号成立． 即当 x＝24 m 时， 修建围墙的总费用最小， 最小总费用是 10440 元．
考点三
分式函数模型的应用
某学校要建造一个面积为
10000平方米的运动场．如图，运 动场是由矩形ABCD和分别以AD， BC为直径的两个半圆组成的．跑道是一条宽8米的塑胶跑 道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑
道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r(米)，试建立塑胶跑道面积S与r 的函数关系式S(r)； (2)由于条件限制，r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场 造价最低？
(3)该企业如何决定投资可获最大年利润？
[自主解答] (1)由题知y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－ 20,0≤x≤200且x∈N； y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40 ＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120且x∈N.
(2)∵3≤a≤8，∴10－a>0，
(2)当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益 最大，最大月收益为307050元．
考点二
分段函数模型的应用
据气象中心观察和预测：发生 于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，
其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图
象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横 轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h) 内沙尘暴所经过的路程s(km)．
∴当 r∈[30,40]时，f′(r)<0， 80000 ∴函数 y＝300000＋120×( r ＋8πr)－7680π 在[30,40]上为减函数． ∴当 r＝40 时，y 取得最小值，此时 y＝300000＋120×(2000＋320π) －7680π＝540000＋30720π. 即运动场的造价最低为(540000＋30720π)元．
[自主解答] ×2＝
10000－πr2 (1)由题可得 S(r)＝π[r2－(r－8)2]＋8× 2r
80000 r ＋8πr－64π，
∵πr2<10000， 100 ∴0<r< . π 100 又∵r－8>0，∴8<r< . π
(2)设运动场的造价为 y 元，则 80000 80000 y＝150×( r ＋8πr－64π)＋30×(10000－ r －8πr＋64π) 80000 ＝300000＋120×( r ＋8πr)－7680π， 80000 令 f(r)＝ r ＋8πr， 80000 ∵f′(r)＝8π－ 2 ， r
1 1 当 20<t≤35 时，s＝ ×10×30＋10×30＋(t－20)×30－ ×(t－ 2 2 20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 3 2 t ，t∈[0，10]， 2 综上，可知 s＝30t－150，t∈10，20]， －t2＋70t－550，t∈20，35].
万美元．
(3)由(2)知(y1)max－(y2)max ＝(1980－200a)－460
>0，3≤a<7.6 ＝1520－200a＝0，a＝7.6 <0，7.6<a≤8
.
所以当 3≤a<7.6 时， 投资生产甲产品 200 件可获得最大年利润； 当 a＝7.6 时， 投资生产甲产品 200 件与生产乙产品 100 件均可 获得最大年利润； 当 7.6<a≤8 时，投资生产乙产品 100 件可获得最大年利润．
当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象 位于二次函数的图象的上方，二次 函数的图象位于对数函数图象的上方， 故g(x)>f(x)>h(x)． 答案：B
2．2004年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复 利计算，到2012年6月30日可取回 A．a(1＋x)8元 C．a(1＋x8)元 B．a(1＋x)9元 D．a＋(1＋x)8元 ( )
围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面 利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在 旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所
示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元
/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围 墙的总费用为y(单位：元)．
∴y1＝(10－a)x－20为增函数． 又0≤x≤200，x∈N，
∴x＝200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为 (10－a)×200－20＝(1980－200a)(万美元)． 又y2＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N， ∴x＝100时y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460
3 (3)∵t∈[0,10]时，smax＝ ×102＝150<650， 2 t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650， ∴当 t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得 t1＝30，t2＝40. ∵20<t≤35，∴t＝30. ∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城．
答案： y＝20－2x(5<x<10)
5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过
部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费
1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租 车行驶了________ km.
最大？最大月收益是多少？
解：(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为 3600－3000 ＝12，所以这时租出了 88 辆车． 50 (2)设每辆车的月租金定为 x 元． 则租赁公司的月收益为 f(x)＝(100 x－3000 x－3000 － )(x－150)－ ×50， 50 50 整理得