2019-2020学年湖北省荆州市沙市区沙市中学高二上学期期中数学试题(解析版)
湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
【详解】解：∵直线 x 1 m y 2 m 和直线 mx 2 y 8 0 平行,
∴1 2 1 m m 0 ,解得 m 1或 2 ,
当 m 2 时,两直线重合
故选 A
【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若 l1 为 A1x B1 y C1 0 , l2 为
写在同一张卡片的两面），从中任意抽取 1 张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）
1
A.
3
1
B.
6
5
C.
6
2
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知，基本事件有 6 个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有 2 个基本事件，根据古典
概型概率公式计算即可.
【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；
3a3 4 a3 d 4a3 4d ,
a3 4d an a3 (n 3) d 4d (n 3)d
(n 7)d
a7 0 ,
故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题. 7. 《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先
【详解】设第十等人得金 a1 斤，第九等人得金 a2 斤，以此类推，第一等人得金 a10 斤，则数列{an}构成等差
数列，设公差为 d，则每一等人比下一等人多得 d 斤金，
由题意得
a1 a8
a2 a9
a3 a4 a10 4
3
,即
4a1 3a1
荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年上学期高二数学期中试卷附答案解析
荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年上学期期中高二数学试卷一、单选题 1．已知复数23(,1iza R i ai+=∈+为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）.A ．23 B ．32C ．23-D ．32-2．已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y+=上”，p 的否定记为p ⌝，则（ ）. A ．p ⌝是“0(2,2)x ∃∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题B ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题C ．p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题D ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题3．“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的（ ）. A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件4．已知两条不同直线,m n 与三个不同平面,,αβγ，则下列命题正确的个数是（ ）. ①若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α④若//m α，m n ⊥，则n α⊥ A ．0B ．1C ．2D ．35．已知圆C 与直线y x =-及40x y ++=均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆C 的半径为（ ）.A ．1BC ．2D ．36．椭圆2218x y m +=的焦距为6，则m 的值为（ ）.A ．10B ．17C ．10或D 7．已知12,F F 是椭圆221108x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且△12F PF 是直角三角形，则△12F PF 的面积为（ ）.A B C 8 D 或88．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C D 9．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．410．已知F 为双曲线22221x y a b-=的一个焦点，B 为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，则双曲线的离心率为（ ）.A BC D ．2本题考查求双曲线的离心率，属于中档题。
湖北省沙市中学2019_2020学年高二数学上学期第三次双周测试题
湖北省沙市中学2019-2020学年高二数学上学期第三次双周测试题考试时间：2020年1月2日一、单选题（60分） 1．已知复数z 满足534iz i=-，则z = A ．3 B ．5 C ．1D ．52．两圆和的位置关系是 A ．内切B ．外离C ．外切D ．相交 3．已知圆22:450C x y x +--=，则过点(1,2)P 的最短弦所在直线l 的方程是 A ．3270x y +-= B ．240x y +-= C ．-230x y -=D ．-230x y +=4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为 A ．280B ．320C ．400D ．10005．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =A ．29B ．112C ．16D ．126．等差数列{}n a 满足12a =，24633a a a ++=，则468a a a ++= A ．36B ．39C ．44D ．517．已知(1,0),(1,0)A B -，P 是平面上的一动点，且2PB PA -=，则P 点的轨迹方程为.0(11)A y x x =≤-≥或 .0(1)B y x =≥ 22.1C x y -= 22.1(1)D x y x -=≥8．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和的最小值是 A ．1B ．2C ．65D ．21169．设1F ，2F 是椭圆22:116x yC m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m的取值范围是A.(][)0,832,+∞UB.(][)0,432,+∞UC.(][)0,48,+∞UD.(][)0,416,+∞U10．若直线2y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A ．[1,1--+B ．[1--C ．11⎡⎣---+D ．[1-+ 11．(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．在长方体1111ABCD A B C D -中，111A A A D ==，3AB =，E 为棱1AA 的中点，F 是棱AB 上的点，:1:2AF FB =，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值为A ．4-B ．4C ．4D ．4- 二、填空题（20分）13．直线()()()221340m x m y m +----=，不管m 怎样变化该直线恒过定点M ，则M 的坐标为__________．14．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．15．已知O e ：221.x y +=若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______． 16．已知数列{}n a 满足111n na a n n+-=+且12a =，则50a =____________．三、解答题（70分）17．在等差数列{a n }中，355,11a a == ，56n a =，求n 及公差d ．18．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为3-4（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照)50,60⎡⎣，)60,70⎡⎣，⋯，[]90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x 的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．20．已知p ：方程x 2+y 2﹣4x +m 2＝0表示圆：q ：方程223y x m+=1（m ＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且仅有一个为真，求实数m 的取值范围．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，2AC =，4AB =，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．（1）证明：//EF 平面11BCC B ； （2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P （1，32）为椭圆上一点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点C （0，1）且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．参考答案1．C 【解析】 【分析】由题意，根据复数的除法运算，求得4355z i =-+，再由复数模的运算，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()()()53454334343455i i i z i i i i +===-+--+， 则224343()()15555z i =-+=+=，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算法则和复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交. 【详解】由题意可得两圆方程为：和则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和则圆心距：则两圆相交 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.3．D 【解析】 【分析】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l 的方程. 【详解】由题可知，当直线l 与直线CP 垂直时，所截得弦长最短，Q P (1,2)，圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，标准方程为22(2)9x y -+=， ∴(2,0)C ，20212CP k -==--； ∴112l CP k k =-=； 由点斜式得直线l 方程为：12(1)2y x -=-，即230x y -+=. 故选D. 【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力. 4．C 【解析】 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I).doc
2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是__________．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为__________命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于__________．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的__________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为__________．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为__________．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c （c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=__________．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为__________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下__________滴．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明．【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜bam2＜bm2，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AB ∥CD ，利用直线与平面平行的判定定理证明AB ∥平面CDE ． （2）证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥DE ．通过体积转化V D ﹣ACE =V A ﹣CDE ．求解即可． 【解答】证明：（1）正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE ．（2）因为AE ⊥平面CDE ，AD 与平面CDE 所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1 因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD ，又正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AE ∩AD=A ，AE ，AD ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥平面ADE ，又DE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥DE ． ∵． ∴．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）已知命题p ：点M （1，3）不在圆（x+m ）2+（y ﹣m ）2=16的内部，命题q ：“曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“曲线表示双曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出s 为真时的m 的范围，结合q 是s 的必要不充分条件，得到关于t 的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若p 为真：（1+m ）2+（3﹣m ）2≥16 解得m ≤﹣1或m ≥3， 若q 为真：则解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4 若“p 且q ”是真命题， 则，解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4； （2）若s 为真，则（m ﹣t ）（m ﹣t ﹣1）＜0， 即t ＜m ＜t+1，由q 是s 的必要不充分条件， 则可得{m|t ＜m ＜t+1}{m|﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在，．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．（3﹣2i ）（1+2i ）＝（ ） A ．﹣1+4iB ．7﹣4iC ．7+4iD ．﹣1﹣4i2．已知集合A ＝{x |x ﹣2＞0}，B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2]3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →4．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A ．P （A ）＞P （B ）B ．P （A ）＜P （B ）C ．A 与B 互为对立事件D ．A 与B 互为互斥但不对立事件5．在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，则AC ＝（ ）A ．2B ．73C ．3D ．526．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．定义在R 上的奇函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0，则不等式xf （x ﹣4）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（4，10）B ．（﹣2，0）∪（0，4）∪（10，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，4）∪（10，+∞）8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知一组数据x ，x +2，3x ﹣3，2x +1，9的平均数为6，则（ ） A ．x ＝2B ．x ＝3C ．这组数据的第70百分位数为7D ．这组数据的第70百分位数为6.510．已知点A （1，4），B （3，2），C （2，﹣1），若直线l 经过点C ，且A ，B 到l 的距离相等，则l 的方程可能是（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y ﹣3＝0C ．x ﹣2＝0D ．y +1＝011．已知直线l ：(√3m +1)x −(m −√3)y −4=0与圆O ：x 2+y 2＝16相交于A ，B 两点，则△OAB 的面积可能为（ ） A ．8B ．4√3C ．4D ．2√312．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．14．若直线l 1：ax +4y +7＝0与l 2：2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ．15．已知函数f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)(ω＞0)，若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）19．（12分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为34，若乙发球，则本回合甲赢的概率为14，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． （1）求第3回合由乙发球的概率；（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．20．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．21．（12分）已知O 为坐标原点，A （0，4），P 是平面内一动点，且PA →•PO →=0，记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程．（2）已知不经过原点且斜率存在的直线l 与C 相交于M ，N 两点，且k OM •k ON ＝﹣3，试问l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，说明理由．22．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．（3﹣2i ）（1+2i ）＝（ ） A ．﹣1+4iB ．7﹣4iC ．7+4iD ．﹣1﹣4i解：（3﹣2i ）（1+2i ）＝3+6i ﹣2i ﹣4i 2＝7+4i ． 故选：C ．2．已知集合A ＝{x |x ﹣2＞0}，B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ．（﹣∞，2]C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，﹣2]解：因为A ＝{x |x ﹣2＞0}＝{x |x ＞2}，A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，而B ＝{x |x 2﹣x +m ＝0}，当Δ＝（﹣1）2﹣4m ＝0，即m =14时，B ={x|x 2−x +14=0}={12}，则A ∩B ＝∅，不合题意；当Δ＝（﹣1）2﹣4m ＞0，即m ＜14时，方程x 2﹣x +m ＝0有两个不等实根，又二次函数y ＝x 2﹣x +m 的对称轴为x =12＜2，则要使A ∩B ≠∅，只须22﹣2+m ＜0，解得m ＜﹣2； 综上，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2）． 故选：A ．3．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)，则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．4．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则（ ） A ．P （A ）＞P （B ）B ．P （A ）＜P （B ）C ．A 与B 互为对立事件D ．A 与B 互为互斥但不对立事件解：因为事件A ＝“两枚骰子的点数之和为偶数”，即事件A 包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，P(A)=3×3+3×36×6=12，事件B ＝“恰有一枚骰子的点数为偶数”，即事件B 为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数．所以P(B)=2×3×36×6=12， 所以A 与B 互为对立事件，且P(A)=P(B)=12．故A ，B ，D 错误；C 正确．故选：C ．5．在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，则AC ＝（ ）A ．2B ．73C ．3D ．52解：因为在△ABC 中，AB ＝1，BC =√5，cosA =56，由余弦定理知cosA =AB 2+AC 2−BC22AB⋅AC ，所以56=12+AC 2−(√5)22×1×AC，则3AC 2﹣5AC ﹣12＝0，解得AC ＝3或AC =−43（舍去）．故选：C ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5， 则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(45)2=2√305．故选：A ．7．定义在R 上的奇函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0，则不等式xf （x ﹣4）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（4，10）B ．（﹣2，0）∪（0，4）∪（10，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（10，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，4）∪（10，+∞）解：因为定义在R 上的奇函数f （x ） 在区间 （0，+∞）上单调递减，且f （6）＝0， 所以f （x ）的图象大致如图所示：由xf（x﹣4）＜0，①当x＞0时，f（x﹣4）＜0，即﹣6＜x﹣4＜0或x﹣4＞6，解得0＜x＜4或x＞10；②当x＜0时，f（x﹣4）＞0，即x﹣4＜﹣6或0＜x﹣4＜6（舍），解得x＜﹣2；综上，0＜x＜4，或x＞10或x＜﹣2．故选：D．8．已知实数x，y满足2x﹣y+2＝0，则√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8的最小值为（）A．3√13B．10+√13C．108D．117解：√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8=√(x−9)2+y2+√(x−2)2+(y−2)2，该式表示直线l：2x﹣y+2＝0上一点到P（9，0），Q（2，2）两点距离之和的最小值．而P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点P′（x0，y0），则{y0−0x0−9=−122×x0+92−y0+02+2=0，解得{x0=−7y0=8，∴P′（﹣7，8），故√(x−9)2+y2+√x2+y2−4x−4y+8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知一组数据x，x+2，3x﹣3，2x+1，9的平均数为6，则（）A．x＝2B．x＝3C．这组数据的第70百分位数为7D．这组数据的第70百分位数为6.5解：x，x+2，3x﹣3，2x+1，9的平均数为6，则x+x+2+3x﹣3+2x+1+9＝30，解得x＝3，故A错误，B正确；这组数据为3，5，6，7，9，由5×0.7＝3.5，则这组数据的第70百分位数为7，故C正确，D错误．故选：BC．10．已知点A（1，4），B（3，2），C（2，﹣1），若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则l的方程可能是（）A．x+y﹣1＝0B．x﹣y﹣3＝0C．x﹣2＝0D．y+1＝0解：若A，B在l的同侧，则l∥AB，A（1，4），B（3，2），则k AB=2−43−1=−1，所以l的方程为x+y﹣1＝0，若A，B在l的两侧，则l经过线段AB的中点M（2，3），此时l的方程为x﹣2＝0，综上所述，l的方程可能是x+y﹣1＝0或x﹣2＝0．故选：AC．11．已知直线l：(√3m+1)x−(m−√3)y−4=0与圆O：x2+y2＝16相交于A，B两点，则△OAB的面积可能为（）A．8B．4√3C．4D．2√3解：将l的方程转化为(√3x−y)m+x+√3y−4=0，令{√3x−y=0x+√3y−4=0，解得{x=1y=√3，即1经过定点P(1，√3)，则圆心O到l的距离d≤|OP|＝2，设∠AOB＝θ，则cos θ2=d4≤12，故60°≤θ＜90°，即120°≤2θ＜180°，△OAB的面积S=12×42×sin2θ∈(0，4√3]．故选：BCD．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH﹣NPQM是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H 在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若AF=√5，则下列结论正确的有（）A．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC．直线CP与平面ABF所成角的正弦值为√6 3D．点M到平面BFG的距离为√6 3解：设F，G在平面ABCD的投影分别为AB，BC的中点R，S，由于AF=√5，AB＝4，所以F到平面ABCD的距离为FR=√AF2−(12AB)2=1，由于上、下两层等高，所以P到平面ABCD的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2， 解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=√12+(−1)2+22=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②， ①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．14．若直线l 1：ax +4y +7＝0与l 2：2x ﹣3y ﹣1＝0垂直，则a ＝ 6 ． 解：因为l 1⊥l 2，所以2a ﹣12＝0，解得a ＝6． 故答案为：6．15．已知函数f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)(ω＞0)，若函数g （x ）＝f （x ）﹣1在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围为 (2，83] ．解：由题意可知，f(x)=√3sin(ωx +π3)+sin(ωx −π6)=√3sin(ωx +π3)−cos(ωx +π3)=2sin(ωx +π6)，由g （x ）＝0，得sin(ωx +π6)=12．由0＜x ＜π，得π6＜ωx +π6＜ωπ+π6；由在（0，π）上恰有两个零点可得13π6＜ωπ+π6≤17π6，解得2＜ω≤83．故答案为：(2，83]．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=√37×6√3=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111． 故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32，当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意．故a =32．18．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y 轴上， 由图形可得A （﹣8，0），B （8，0），D （0，4），设该圆的半径为r 米，则r 2＝82+（r ﹣4）2，解得r ＝10，圆心为（0，﹣6）， 故该圆弧所在圆的方程为x 2+（y +6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d 米，则(d 2)2+(6+1.6)2=102，解得d =2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．19．（12分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为34，若乙发球，则本回合甲赢的概率为14，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． （1）求第3回合由乙发球的概率；（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率． 解：（1）由题可知，第3回合由乙发球的概率为34×14+14×34=38； （2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 甲赢的回合数为2的概率为 34×34×14+34×14×14+14×14×34=1564， 甲赢的回合数为3的概率为34×34×34=2764， 故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为 2764+1564=2132． 20．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点，所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →，所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2， 由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16． 21．（12分）已知O 为坐标原点，A （0，4），P 是平面内一动点，且PA →•PO →=0，记动点P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程．（2）已知不经过原点且斜率存在的直线l 与C 相交于M ，N 两点，且k OM •k ON ＝﹣3，试问l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，说明理由． 解：（1）设P （x ，y ），由A （0，4），PA →•PO →=0，可得（﹣x ，4﹣y ）•（﹣x ，﹣y ）＝x 2﹣y （4﹣y ）＝0，化为x 2+y 2﹣4y ＝0， 则C 的方程为x 2+y 2﹣4y ＝0；（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0）， 由直线l 与圆相交，可得√1+k22，即1+k 2＞14（m ﹣2）2， 直线l 的方程与圆x 2+y 2﹣4y ＝0联立，可得（1+k 2）x 2+（2km ﹣4k ）x +m 2﹣4m ＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理可得x 1x 2=m 2−4m 1+k2，由x =y−mk代入圆x 2+y 2﹣4y ＝0，可得（1+k 2）y 2﹣（2m +4k 2）y +m 2＝0，由韦达定理可得y1y2=m21+k2，由k OM•k ON＝﹣3，可得y1y2x1x2=m2m2−4m=−3，解得m＝3，即有直线l的方程为y＝kx+3，则直线l恒过定点（0，3）．22．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB1＝4，得QN=3√72，因为MQ=√15，所以MQ2+MN2＝QN2，即MQ⊥MN，又MQ⊥AB，从而MQ⊥平面ABC，以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M（0，0，0），B1（0，1，√15），C1（−√3，0，√15），则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√15√21=√357．。
【20套试卷合集】湖北省沙市中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分，考试时间为120分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知焦点在x 轴上的椭圆，长轴长为4，右焦点到右顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为A ．2214x y += B ．22143x y += C ．22142x y += D ．22134x y += 2．若过点)0,5()2,2(B A 、-的直线与过点)1,1()1,2(m Q m P --、的直线平行，则m 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．213．直线022=++-λy x 与圆04222=-++y x y x 相切，则=λA ．73或-B ．82或-C ．100或D ．73-或 4．求经过点()2,3P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为A ．05=-+y xB ．032=-y xC ．05032=-+=-y x y x 或D ．以上都不对 5．已知集合(){}24,x y y x A -==，集合(){}a x y y x B +==,，并且φ≠⋂B A ，则a 的范围是A ．[]22,2-B ．[]22,0 C ．](22,2- D ．](22,06．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点为E ，右焦点为F ，上顶点为B ，若△BEF 为等边三角形，则此椭圆的离心率为A B ．12D ．2- 7．点()2,2P 到圆()()42122=+++y x 上的点的最短距离是A ．1B ．3C ．7D ．11 8．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐进线所成的锐角是A ．︒45B ．︒30C ．︒60D ．︒909．已知圆01222=--+x y x 与()002568222>=-+--+a a y x y x 相外切，则=aA ．2B ． 32C ．1D ． 2210．已知椭圆2215x y +=的左右焦点为12,F F ，设00(,)P x y 为椭圆上一点，当12F PF ∠为直角时，点P 的横坐标0x = A ．154±B．2± C ．12± D ．2±11．已知直线032:,01:1=+-=+-y x l y x l 若直线12l l 与关于l 对称，则2l 的方程为A ．02=-y xB ．02=-y xC ．012=+-y xD ．012=+-y x12．已知椭圆方程2221(15)21x y a a a +=<≤-，过其右焦点做斜率不为0的直线l 与椭圆 交于,A B 两点，设在,A B 两点处的切线交于点00(,)M x y ，则M 点的横坐标0x 的 取值范围是A ．[4,)+∞B ．25[4,]4 C ．25(4,]4 D ．25(4,)4第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知ABC ∆，()1,1-A ，()2,2B ，()0,3C ，则AB 边上的中线所在直线方程为________．14．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则目标函数y x z -=21的最大值为____．15．已知点(4,2)P 是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 方程为_______________． 16．已知圆024222=+--+y x y x 与直线1=+y x 交于B A 、两点，点()0,a M 为x 轴上的动点，则MBMA ⋅的最小值为________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知直线012:=---m y mx l ，m 是实数． （I ）直线l 恒过定点P ，求定点P 的坐标； （II ）若原点到直线l 的距离是2，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1-A 关于原点O 对称，P 是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于31， 求动点P 的轨迹方程．19．（本小题满分12分）已知圆4:22=+y x C 与直线3:+=kx y l 交于Q P 、两点，且32=PQ ，求k 的值.20．（本小题满分12分）双曲线C 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，l 是双曲线的一条渐近线，经过右焦点F 做l 的垂线，垂足为A ，且||2||OA FA =．（I ）求双曲线C 的离心率；（II ）若线段OA 的长为1，求双曲线C 的方程．21．（本小题满分12分）已知椭圆22143x y +=，左焦点为F ，右顶点为C ，过F 作直线l 与椭圆交于,A B 两点，求ABC ∆面积最大值．22．（本小题满分12分）已知点)1,0(B ，C A ,为椭圆)1(1:222>=+a y ax C 上的两点，ABC ∆是以B 为直角顶点的直角三角形．（I ）当4=a 时，求线段BC 的中垂线l 在x 轴上截距的取值范围． （II ）ABC ∆能否为等腰三角形? 若能，这样的三角形有几个?一、 选择题二、填空题 13.131+-=x y 14.21 15. 421+-=x y 16. 0 三、解答题17.（1）()1,2- (2) 01043=--y x18. ()1122322±≠=-x x y 19，22±=k20.（1）25 (2) 1422=-y x 21.29 22. （1）) ⎝⎛⎥⎦⎤⋃⎢⎣⎡-815.00,815(2) 3>a 时，有3个；31≤<a 时，有1个2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案1．A.9B.8C.10D.72．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是 A ．()()21,31==N P M PB ．()()21,21==N P M PC ．()()43,31==N P M PD ．()()43,21==N P M P3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.85yx a =+，则a =A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.94．用秦九韶算法求多项式()963445-+-=x x x x f ，当3-=x 时的值时，需要乘法运算和加法运算的次数分别为A ．4，2B ．5，3C ．5，5D ．5，45．双曲线方程为1322=-y x ，则它的右焦点坐标为A ．()0,2B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,36 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,332 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,33 6．准线为2=x 的抛物线的标准方程是（ ）A ． x y 42= B ．x y 82= C ． x y 42-= D ．x y 82-=7．甲：1A 、2A 是互斥事件；乙：1A 、2A 是对立事件，那么 A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．如图给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是 A ．100>i B ．100≤i C ．50>iD ．50≤i9．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为A.5B.12D.2310．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A13B12C23D34二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）11．执行右图程序，当输入39，24时，输出的结果是________.12．已知1F 、2F 为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，02160=∠PF F ，则=⋅21PF PF ________．13．若()52014化为六进制数为()6abcd ，则=+++d c b a _________14．为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用 简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名 名教师中，使用多媒体辅助教学的次数在三、解答题：（共3小题，共34分）INPUT a,bDO c=a-b a=b b=cLOOP UNTIL b<10 PRINT a15．（本小题10分）已知条件:p ()；x x y 的定义域函数208lg 2++-=条件:q {}0,11>+≤≤-m m x m x ，若q p ⌝⌝是充分不必要条件，求实数m 的取值范围.16．（本小题12分） （1）求图中实数a 的值；（3）若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法．．．求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.17．（本小题12分）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点1F 、2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，3143421==PF ，PF .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆()()51222=-++y x 的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（共2小题，每小题5分，共10分） 18．下列命题错误的是 A ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++≥”；B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；C ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是16π；D ．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“0a b ⋅<”.19．,".0124,,:"是假命题若命题使对已知命题p m R m R x p x x ⌝=+⋅+∈∃∈∀则m 的取值范围是A ．22≤≤-mB ．2≥mC ．2-≤mD ．22≥-≤m m 或二、填空题：（共2小题，每小题4分，共8分）三、解答题：（共3小题，共32分）22．（本小题10分）已知命题p 关于x 的不等式0422>++ax x 对一切R x ∈恒成立；命题q 函数()()xa x f 25--=是减函数,若q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求实数a 的取值范围.23．（本小题10分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个。
湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.2.直线关于直线对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设所求直线上任一点关于的对称点为，求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.详解：设所求直线上任一点，则它关于的对称点为，因为在直线上，化简得，故选D.点睛：本题考查“逆代法”的应用，属于中档题.“逆代法”的步骤：设出未知曲线上的坐标，以及在已知曲线上的对称点坐标，求出，将代入已知曲线方程.3.已知点和点，且，则实数的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】试题分析：由空间中两点间距离易知：，解得或，故选D．考点：空间中两点间距离．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得，；，故选A考点：程序框图5.设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A. 与具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】【分析】根据回归方程一次项系数正负判断A正确，根据回归方程特点判断B正确，根据回归方程计算可得C正确，根据回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.【详解】因为,所以与具有正的线性相关关系，回归直线必过样本点的中心，所以B正确，由得身高增加1cm时其体重约增加0.85kg，回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.因此选D.【点睛】本题考查线性回归方程相关概念,考查基本分析判断求解能力,属基础题.6. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：该样本中的老年教师人数为，则，．故选C．考点：分层抽样．7.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（）A. B. C. D.。
荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年上学期高二数学期中试卷附答案解析
④若 m / / ， m n ，则 n
A．0
B．1
C．2
D．3
5．已知圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆 C 的
半径为（ ）.
A．1
B． 2
C．2
D．3
6．椭圆 x2 y2 1 的焦距为 6 ，则 m 的值为（ ）. m8
【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后令实部等于 0，虚部不等于 0，求出 a 即可．
【详解】
解：复数
z
2 3i 1 ai
2 3i1 ai 1 ai1 ai
2
3a 3
1 a2
2a i
2 3a 1 a2
3 2ai
不必要条件
故选： B
【点睛】
本题考查了直线的为关系的判断条件，充分必要条件的定义，属于容易题．
4．已知两条不同直线 m, n 与三个不同平面 , , ，则下列命题正确的个数是（ ）.
①若 ， m ， n / / ，则 m n
②若 ， ，则 / /
A．2
B． 1 2
C． 3 3
D． 5 5
9．如图在一个120 的二面角的棱上有两点 A, B ，线段 AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面 内，且均与棱 AB 垂直，若 AB 2 ， AC 1 ， BD 2 ，则 CD 的长为（ ）.
A．2
B．3
C． 2 3
D．4
10．已知 F
P
满足
AP
BP
9 25
，则动点
【数学试卷】湖北省沙市中学2019-2020学年高二上学期第一次双周测试题(解析版)
湖北省沙市中学2019-2020学年 高二上学期第一次双周测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数)2()1(2i i z ++= 的虚部是（ ） A ．－2B ．－2iC ．4D ．4i2．某班由33个学生编号为01，02，…，33的33个个体组成，现在要选取6名学生参加合唱团，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，样本则选出来的第6名同学的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 17 78 30 35 20 96 23 84 26 34 91 64 50 25 83 92 12 06 76 57 23 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 49 54 43 54 82 74 47 A ．25B ．26C ．30D ．233．命题p:xxx 32),0,(≥-∞∈∀，则p ⌝为( )A ．xx x 32),0,(<-∞∈∀ B ．[)xxx 32,,0<+∞∈∀C ．0032),,0[0x x x <+∞∈∃D ．0032),0,(0x x x <-∞∈∃4．已知2{20}A x x x =--<{}ln(1)B x y x ==-,R A C B ⋂=( )A ．(]1,2-B ．[]1,2-C ．[)1,2D ．[]1,2-5．已知奇函数()f x 是[0)+∞，上的减函数，2(log 3)a f =-，2(log 3)b f =，3(log 2)c f =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）7．若非零向量b a ,满足3,22==b a ，且)23()(b a b a +⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．2π D ．43π 8．湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，若学生选择每科的可能性相同，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ） A ．12B ．14 C ．16 D ．189．已知ABC △的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π10．已知正数x ，y 满足x+y=1，则yx ++141的最小值为（ ） A ．5 B ．143C ．92D ．2 11．设x,y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ且a ∈R,若02sin 3=-+a x x ，0cos sin 43=++a y y y ，则)0(≠y y x的值为（ ）12．已知函数122,0()2,()()2,0x acosx x f x g x a R x a x -+≥⎧==∈⎨+<⎩，若对任意11)[x ∈+∞，，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21B ．21-C ．2D ．－2A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,[1,2]2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．371,,224⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知412miR i +∈+，且m R ∈，则6m i +=14．已知tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭-2，则3sin cos sin cos αααα-=+________． 15．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC =，2AC BC =，则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于_________. 16．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且s i n s i n ()2s i n 2C B A A+-=，则有如下四个结论： ①ABC ∆外接圆半径433R =； ②2a b = ；③ABC ∆的周长为443+；④ABC ∆的面积为833.这四个结论中一定成立的结论是________. 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求不等式()0f x <的解集.18．（12分）已知函数223)1(2sinxcosx co f x s x =+-，x ∈R .（1）求函数f （x ）的最小正周期及在区间[0，2π]上的最大值和最小值； （2）若0006(425)2f x x x cos ⎡⎤∈⎢⎥⎣=⎦ππ，求，，的值.19.（12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点. （1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =，求二面角B EF C --的正切值.20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，若3si n c o s a C a C c b +=+.（1） 求角A ； （2）若3a =，求b +c 的取值范围．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)f x x b ωφωφπ=+-><<的图象两相邻对称轴之的距离是2π，若将()f x 的图象先向右平移6π个单位，再向上平移3个单位，所得函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式； （2）若对任意[0,]3x π∈，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产.如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划.现公司2013－2018年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示： 年 份2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产件数x （千万件） 3 5 6 8 9 11 年销售利润y （千万元）2240 48 68 82 100 年库存积压件数（千件） 29 5830907580注：年库存积压率=年生产件数年库存积压件数（1）从公司2013－2018年的相关数据中任意选取2年的数据，求该款饮料这2年中至少有1年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为30.990.9ˆ-=x y，现公司计划2019年生产11千万件该款饮料，且预计2019年可获利108千万元.但销售部门发现，若用预计的2019年的数据与2013－2018年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的2019年年销售利润误差不超过4千万元，该款饮料的年库存积压率可低于千分之一.如果你是决策者，你认为2019年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由. 参考公式：a xb y+=ˆˆ，112211()()=()nni i i i ii n n z i i i ix x y y x y nxy b x x x nx====---=--∑∑∑∑第二次建立线性回归方程的参考数据：51()()500i i i x x y y =--=∑，521()48i i x x =-=∑，513380i ii x y ==∑，521368i ix ==∑参考答案1．C 2．A 3．D4．C 由题得A={x|-1<x<2},B={x|x ＜1 },所以{|1}R C B x x =≥，所以[1,2)R A C B ⋂=. 5．D 由题意得()()222log 3log 31log 3a f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭-221log log 103<= 22332log 3log 21,0log 1log 2log 31>==<<=2321log log 2log 33∴<< 奇函数()f x 是[0)+∞，上为减函数∴()f x 在R 上为减函数。
湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知点，，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据斜率公式求斜率，再求倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角为，选C.【点睛】本题考查斜率以及倾斜角概念,考查基本求解能力,属基础题.2.直线关于直线对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设所求直线上任一点关于的对称点为，求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程.详解：设所求直线上任一点，则它关于的对称点为，因为在直线上，化简得，故选D.点睛：本题考查“逆代法”的应用，属于中档题.“逆代法”的步骤：设出未知曲线上的坐标，以及在已知曲线上的对称点坐标，求出，将代入已知曲线方程.3.已知点和点，且，则实数的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】试题分析：由空间中两点间距离易知：，解得或，故选D．考点：空间中两点间距离．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得，；，故选A考点：程序框图5.设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（）A. 与具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】【分析】根据回归方程一次项系数正负判断A正确，根据回归方程特点判断B正确，根据回归方程计算可得C正确，根据回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.【详解】因为,所以与具有正的线性相关关系，回归直线必过样本点的中心，所以B正确，由得身高增加1cm时其体重约增加0.85kg，回归直线方程只能估计，不能肯定，所以D错误.因此选D.【点睛】本题考查线性回归方程相关概念,考查基本分析判断求解能力,属基础题.6. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：该样本中的老年教师人数为，则，．故选C．考点：分层抽样．7.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件确定直线截得圆的弦长，再根据垂径定理求，，即得结果.【详解】由题意得直线和单位圆弦长皆为，所以圆心到直线和距离皆为，即，选B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及垂径定理,考查基本分析求解能力,属基础题.8.已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点.若四边形的最小面积是2，则的值为（）A. B.C. D. 2【答案】D【解析】试题分析：如图所示，根据对称性可知，当取得最小值时面积取得最小值，而，所以当最短时，最小，即时最小，此时，四边形的面积为，解得.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系.涉及比较多的知识点，一是连接圆心和切点的直径和切线垂直；二是根据对称性，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积的和；三是最值问题，用化归与转化的数学思想方法转化为点到直线距离的距离来求解.四是点到直线的距离公式，还有圆的一般方程配成标准方程得到圆心和半径.9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】半径最小时圆面积最小，根据题意可得原点到直线距离为圆直径时半径最小，再根据圆面积公式得结果.【详解】因为半径最小时圆面积最小，而，因此圆面积的最小值为，选A.【点睛】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．10.设函数，集合，在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再根据区域图象确定面积.【详解】, 所表示的区域如图，面积为圆面积的一半，即，选C.【点睛】线性规划中可行域面积问题，首先明确可行域对应的图象，然后结合图形确定结果.11.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆，所以，因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．12.直线交曲线于两点，为原点，P在线段OQ上，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据题意解出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求斜率.【详解】因为，所以，设圆心C到直线距离为，过C作直线垂直，垂足为M，因为，所以,即，从而，选D.【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】根据概率概念可得概率与抛掷次数无关，即得结果.【详解】因为概率与抛掷次数无关，所以第998次抛掷恰好出现“正面向上”的概率等于1次抛掷恰好出现“正面向上”的概率，为.【点睛】本题考查概率概念,考查基本分析求解能力,属基础题.14.设满足约束条件，则目标函数的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最小值取法，即得结果.【详解】作可行域，则直线过点A时取最小值8.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.如图，在四面体中，若截面为正方形，则下列结论正确的是_______．①；②∥截面；③；④异面直线与所成角为．【答案】①②④【解析】因为截面是正方形，所以;①正确截面；②正确异面直线与所成的角为, ④正确16.设集合，，若存在实数，使，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据两圆有交点建立不等式，再根据不等式有解确定实数的取值范围.【详解】由题意得两圆有交点，所以，即有解，因此.【点睛】一般利用圆心距与两半径和与差的关系,判断圆与圆的位置关系.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，请写出必要的文字说明和演算推理过程）17.已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点．（1）求直线的方程；（2）若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】(1)先求p，再根据点斜式得直线的方程，(2)根据平行关系设直线方程，再根据点到直线距离确定直线方程.【详解】（1）所以过定点(-2,5)因此，即（2）设直线，则或直线为：，或【点睛】本题考查直线方程以及点到直线距离,考查基本分析求解能力,属基础题.18.已知圆内有一点，直线过点且和圆交于两点，直线的倾斜角为．（1）当时，求弦的长；（2）当弦被点平分时，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根据点斜式得直线方程，再根据点到直线距离得圆心到直线距离，最后根据垂径定理求弦长，(2)设直线方程，根据圆心到直线距离为OP，列方程解得斜率，即得直线方程. 【详解】：，圆心到距离为，所以弦长为，（2）圆心到距离为,设：所以【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.19.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．【答案】（1）0.005（2）73（3）10【解析】【分析】（1）根据直方图中各矩形面积和为1,列方程可求得的值；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校名学生语文成绩的平均分；（3）先求出各分数段的人数，总人数减去所求人数的和即可得结果.【详解】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005．(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25．故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10．【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.20.如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．（1）求证：；（2）若，为线段的中点，求证：∥平面．【答案】(1)见解析 (2) 见解析【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，从而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，于是DM∥平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DM∥EF，由线面平行的判定定理即可证得结论．(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分又已知，所以平面OCE. …………４分所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.…………６分(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，…………８分∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，…………1０分所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分21.在平面直角坐标系中，点，，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线和轨迹交于两点，且点在以为直径的圆内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点P坐标，化简条件即得轨迹方程，（2）设，，利用向量数量积表示点在以为直径的圆内，联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入化简，解不等式得结果.【详解】（1）设，因为（2），设，，，满足故的取值范围是【点睛】直线和圆的位置关系，一般转化为直线方程与圆方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.22.如图所示，已知圆上点处切线的斜率为，圆与轴的交点分别为，与轴正半轴的交点为，为圆的第一象限内的任意一点，直线与相交于点，直线与轴相交于点．（1）求圆的方程；（2）试问：直线是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP方程，分别解得P坐标，M坐标,以及N坐标，再求出直线MN方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得（2）设直线由三点共线得：直线为：即：由直线过定点.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年上学期高二数学期中试卷附答案解析
荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年上学期期中高二数学试卷一、单选题 1．已知复数23(,1iza R i ai+=∈+为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）.A ．23 B ．32C ．23-D ．32-2．已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y+=上”，p 的否定记为p ⌝，则（ ）. A ．p ⌝是“0(2,2)x ∃∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题B ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题C ．p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题D ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题3．“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的（ ）. A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件4．已知两条不同直线,m n 与三个不同平面,,αβγ，则下列命题正确的个数是（ ）. ①若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α④若//m α，m n ⊥，则n α⊥ A ．0B ．1C ．2D ．35．已知圆C 与直线y x =-及40x y ++=均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆C 的半径为（ ）.A ．1BC ．2D ．36．椭圆2218x y m +=的焦距为6，则m 的值为（ ）.A ．10B ．17C ．10或D 7．已知12,F F 是椭圆221108x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且△12F PF 是直角三角形，则△12F PF 的面积为（ ）.A B C 8 D 或88．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C D 9．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．410．已知F 为双曲线22221x y a b-=的一个焦点，B 为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，则双曲线的离心率为（ ）.A BC D ．2本题考查求双曲线的离心率，属于中档题。
湖北省荆州市沙市区2020学年高二数学上学期期中试题 理(无答案)
湖北省荆州市沙市区2020学年高二数学上学期期中试题 理（无答案）一．选择题（60分）1．直线34120x y --=在,x y 轴上的截距之和为（ ）A.7B.1-C.1D.7122．已知3,5a b ==，现要将,a b 两数互换，使5,3a b ==，下面语句正确的是（ ） A.,a b b a == B.,,c b b a a c === C.,,a c c b b a === D.,b a a b == 3．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数少于反面次数的概率为（ ）A.12 B.116 C.38D. 516 4．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，则下列结论正确的是 ( )A ．x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定B ．x 甲>x 乙，且乙比甲成绩稳定C ．x 甲<x 乙，且甲比乙成绩稳定D ．x 甲<x 乙，且乙比甲成绩稳定5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( ) A ．90 B ．75C ．60D ．456．已知集合1(,)()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭，{}22(,)(1)(1)1B x y x y =-+-≤，则A B I 所表示平面图形的面积为（ ） A.2π B.4π C. 4π或2πD. 23π7．执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．下列各进位制数中，最大的数是（ ）A.(2)1111B.(3)1221C.(4)312D.(8)569. 已知实数x 、y 满足1,0,0,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则21x y z x +-=的取值范围是( )A. []1,0-B. []1,2-C.[)1,3D.[)1,-+∞10.若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线43110x y +-=的距离等于1，则半径R 的取值范围是（ ）A.12R <<B. 3R <C. 13R <<D. 2R ≠ 11．已知点(2,0),(0,4)A B -，点P 在圆22:(3)(4)5C x y -+-=上运动，则使得90APB ∠=o 的点P 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.312．设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )A ．[222,2+22]-B ．(,222][2+22,+)-∞-∞UC ．[13,1+3]-D ．(,13][1+3,+)-∞-∞U 二．填空题（20分）13．在区间(0,1)内随机取出两个数，这两数之和小于1.2的概率为14．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为5y x a =+$$，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为 ．15．若三条直线20,30,50x y x y mx ny -=+-=++=相交于同一点，则点(,)m n 到原点的距离的最小值为 ．16．函数y 的最小值为 ． 三、解答题（70分）17．（本题满分10分）已知直线l 的斜率为12，且经过点A (2,0)． （1）求直线l 与坐标轴所围成三角形的面积；（2）将直线l 绕点A 逆时针方向旋转45o 得到直线1l ，求直线1l 的方程。
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题+答案解析(附后)
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l经过原点O，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则l的方程是( )A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则( )A. B. C. D.3.已知，若向量共面，则( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为( )A. B. C. D. 或5.先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则( )A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丁相互独立D. 丙与丁相互独立6.已知函数的最大值为M，若存在实数，使得对任意实数x，总有成立，则的最小值为( )A. B. C. D.7.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知圆，圆，M、N分别是圆、上动点，P 是x轴上动点，则的最大值是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线，动直线，则下列结论正确的是( )A. 不存在k，使得的倾斜角为B. 对任意的k，与都有公共点C. 对任意的k，与都不重合D. 对任意的k，与都不垂直10.函数，若对任意，存在使得，则实数a可能的取值为( )A. 4B. 5C. 6D. 711.某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则( )A. B. C. D.12.如图，在正方体中，点P，Q分别是棱上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是( )A. 三棱锥的体积为定值B. 对于任意位置的点P，平面APQ与平面所成的交线均为平行关系C. 的最小值为D. 对于任意位置的点P，均有平面平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019-2020学年湖北省荆州市沙市区沙市中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数23(,1iz a R i ai+=∈+为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）. A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】C【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后令实部等于0，虚部不等于0，求出a 即可． 【详解】解：复数()()()()()()()2222312332322323111111i ai a a i a i i a z ai ai ai a a a +-++--++====+++-+++ 它是纯虚数，230a +=解得23a =- 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的基本概念的应用，考查计算能力，属于基础题。
2．已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y+=上”，p 的否定记为p ⌝，则（ ）.A ．p ⌝是“0(2,2)x ∃∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题B ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题C ．p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是假命题D ．p ⌝是“(2,2)x ∀∉-，0(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”，它是真命题【答案】C【解析】根据特称命题的否定为全称命题求出p ⌝，根据特殊值判断p ⌝为假。
【详解】解：已知命题p ：“0(2,2)x ∃∈-，0(,1)P x 在椭圆22143x y+=上”则p ⌝是“(2,2)x ∀∈-，(,1)P x 不在椭圆22143x y+=上”当1y =时221143x +=解得x =()2,2-即存在两点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，故p ⌝为假命题， 故选：C 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及命题的真假判断，属于基础题。
3．“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的（ ）. A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】根据两直线垂直求出参数m 的值，然后根据充分条件必要条件进行判断. 【详解】解：由题意直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直，()()()44340m m m m ∴+-++=解得4m =-或1m =即当1m =时，可以得到“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的充分条件，由“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”得不到“1m =” 故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的不必综上：故“1m =”是“直线(4)310m x my +++=与(4)(4)50m x m y -++-=垂直”的充分不必要条件 故选：B 【点睛】本题考查了直线的为关系的判断条件，充分必要条件的定义，属于容易题．4．已知两条不同直线,m n 与三个不同平面,,αβγ，则下列命题正确的个数是（ ）. ①若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥ ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ ③若αβ⊥，m β⊥，则//m α ④若//m α，m n ⊥，则n α⊥ A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据空间中的线、面位置关系，对四个命题分别进行分析判断，即可得出结论． 【详解】解：对于①，当αβ⊥，m α⊥，//n β时，有//m n 或相交或m 与n 是异面直线，∴①错误；对于②，当αγ⊥，βγ⊥时，//αβ或α与β相交，②错误；对于③，若αβ⊥，m β⊥，则直线m 与平面α平行或直线m 包含于平面α，③错误；对于④，若//m α，m n ⊥，则直线n 与平面α可能垂直、相交或直线n 包含于平面α，④错误；综上，没有正确的命题． 故选：A ． 【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，要注意判定定理与性质定理的综合运用． 5．已知圆C 与直线y x =-及40x y ++=均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆C 的半径为（ ）.A ．1BC ．2D ．3【解析】可知直线y x =-与40x y ++=互相平行，则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。
【详解】解：因为直线y x =-与直线40x y ++=互相平行，两直线之间的距离d ==由题意，圆C 与两直线相交，四个交点围成的四边形为正方形， 则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。
设圆的半径为r ，()((2222r ∴=+解得2r = 故选：C . 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，属于中档题。
6．椭圆2218x y m +=的焦距为6，则m 的值为（ ）.A ．10B ．17C ．10或D 【答案】B【解析】对焦点分类讨论，利用a ，b ，c 的关系即可得出． 【详解】解：由题意3c =，2229c a b =-= 当焦点在x 轴时，2a m =，28b = 89m -=，解得17m =．当焦点在y 轴时，28a =，2b m = 89m -=，解得1m =-．因为0m > 所以17m = 故选：B ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知12,F F 是椭圆221108x y +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且△12F PF 是直角三角形，则△12F PF 的面积为（ ）.A ．B ．5C 8D ．5或8 【答案】B【解析】由12F PF ∆为直角三角形，则分两种情况①1290F PF ∠=︒，②2190PF F ∠=︒（或1290PF F ∠=︒）讨论，分别求出12F PF ∆的面积。
【详解】解：由椭圆方程为：221108x y +=，则a =，b =c =12F PF ∆为直角三角形①当1290F PF ∠=︒时，在12F PF ∆中，有2221221F F PF PF =+，12F F =21PF PF +=，消元得(()22211PF PF =+，方程无解，故舍去.②当2190PF F ∠=︒（或1290PF F ∠=︒）时，12F F =2PF =121255F PF S ∆∴=⨯=综上125F PF S ∆= 故选：B 【点睛】本题考查焦点三角形的面积问题，注意对角进行分类讨论，属于中档题。
8．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12CD【答案】D【解析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值。
【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()D，(B设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，(1,0,BC =-，(BD =x ⎧-=⎪=令z =y =3x =-即(3,3,n =-平面ACD 的法向量为()0,0,1m = 令二面角B CD A --的夹角为θ3cos 1n m n mθ===⨯ 因二面角B CD A --为锐二面角cos θ=故选：D【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题。
9．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知F 为双曲线22221x y a b-=的一个焦点，B 为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，则双曲线的离心率为（ ）. A．2BCD ．2【答案】A【解析】求出直线BF 的方程，利用点到线的距离公式，得到a 、b 、c 的方程，即可求出离心率。
【详解】由题意，设(),0F c ，()0,B b ，则直线BF 的方程为：1x yc b+=， 因为以坐标原点O 为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线BF 相切，故原点到直线BF 的距离为2c2c =两边同时平方得222224b c c b c =+ 222c b a =+223b c ∴=()2223c a c ∴-= 2223c a ∴=e ∴=故答案为：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题。
11．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =1b =，可得椭圆的方程． 【详解】解：22||3||AF BF =，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．12．已知曲线C⋅()2210ln x y +﹣＝，直线1y kx =-与曲线C 恰有两个交点，则k 的取值集合为（ ）.A ．{0,1}B ．{0,2}C ．(0,2)D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】化简曲线C 的方程，可知直线过定点()0,1-，分析出临界点，即可求出k 的范围 【详解】()22101ln x y x -⋅+﹣＝()00y =≠或()()221010ln x y x y +≥≠﹣＝且 化简得：()10x y =≠或()()221010ln x y x y +≥≠﹣＝且 因为直线1y kx =-与曲线C 恰有两个交点， 且直线1y kx =-与直线()10x y =≠必有一个交点，故直线1y kx =-与()()221010ln x y x y +≥≠﹣＝且有且只有一个交点， 因为直线1y kx =-过定点()0,1- 临界条件为直线刚好过点()1,1或()1,1- 解得02k <<又因直线()10x y =≠不过点()1,0 故斜率1k ≠ 综上()()0,11,2k ∈故选：D 【点睛】本题考查曲线与方程，关键是化简方程，求出方程的曲线，属于中档题。