20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.文)含详解
2001年春季高考数学试题及答案(上海)
绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分． 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分． 1．函数)0(1)(2≤+=x xx f 的反函数=-)(1x f______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z=________．3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________． 4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________． 5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：nn n n )13(lim ++∞→=________． 8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即2baba +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a、b、c都能成立的一个等式可以是_______。
11．关于x的函数)sin()(φ+=xxf有以下命题：（1）对任意的φ，)(x f都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f既是奇函数，又是偶函数；（3）存在φ，使)(x f是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。
因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。
12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%。
乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式12-x x ＜0的解为 .2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= .4.已知1x 12=0，1x 1y=1，则y= .5.已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .7.设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= . 8.方程x 31139x =+-的实数解为 . 9.若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= . 10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则r l = .11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 . 13.设常数a ＞0.若1x 92+≥+a xa 对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 . 14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若i,j,k,l ∈{}321，，且i ≠j,k ≠l ，则()j i a +a ·()l k c c +的最小值是 .二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.函数1)(f 2-=x x （x ≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ ） （A ）3（B ）－3（C ）1+2（D ）1－216.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ）（A ）（－∞，2） （B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞） （D ）[2，+∞）17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 18.记椭圆1144x 22=++n ny 围成的区域（含边界）为n Ω（n=1,2,…）.当点（x,y ）分别在1Ω，2Ω，…上时，x+y 的最大值分别是M 1,M 2,…，则n lim M n +∞→=( ) （A ）0 （B ）41 （C ）2 （D ）22 三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。
3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。
5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ， 由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。
2020年上海高考数学真题试卷(word解析版)
13．下列等式恒成立的是 ( )
A． a2 b2 2ab
B． a2 b2 2ab
C． a b 2 | ab |
D． a2 b2 2ab
14．已知直线方程 3x 4 y 1 0 的一个参数方程可以是 ( )
A．
x 1 3t y 1 4t
(t
为参数）
B．
x
y
1 4t 1 3t
135( 1) x, 0 3
x
40
．
k(x 40) 85, 40 x 80
（1）若交通流量 v 95 ，求道路密度 x 的取值范围；
（2）已知道路密度 x 80 ，交通流量 v 50 ，求车辆密度 q 的最大值．
20．（16
分）已知双曲线 1 :
x2 4
y2 b2
1与圆 2
: x2
y2
4 b2 (b 0) 交于点 A(xA ， yA ) （第
B ．∵(a b)2 0 ， a2 b2 2ab 0 ， a2 b2 2ab ，故 B 正确；
C ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a b 2 | ab | 不成立，故 C 错误；
D ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a2 b2 2ab 不成立，故 D 错误．
（3）若{an} 是 1，2，3， ，m 的一个排列 (m 4) ，{bn} 符合 bk ak1(k 1，2， ，m 1) ， {an} 、{bn} 都具有性质 P ，求所有满足条件的数列{an} ．
参考答案
1．{2 ， 4}
【解析】因为 A {1 ，2， 3} ， B {2 ，4， 5} ，则 A∩B {2 ， 4} ．故答案为：{2 ， 4} ．
所以 ab 36 ，故答案为：36．
2001年高考数学试题——(上海卷)及答案
2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．1．函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f______．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z =________． 3．函数xx y cos 1sin -=的最小正周期为________．4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为________．5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________． 6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________． 7．计算：nn n n )13(lim ++∞→=________．8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 10．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_______ 11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题： （1）对任意的φ，)(x f 都是非奇非偶函数；（2）不存在φ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在φ，使)(x f 是奇函数；（4）对任意的φ，)(x f 都不是偶函数其中一个假命题的序号是_______因为当φ=_______时，该命题的结论不成立12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元五年内保持不变，结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13．若a 、b 为实数，则0>>b a 是22b a >的（ ）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既非充分条件也非必要条件． 14．若直线1=x 的倾斜角为α，则α（ ）（A ）等于0（B ）等于4π （C ）等于2π （D ）不存在15．若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（ ）（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β． （C ）过点P 且垂直于β的直线在α内．（D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内．16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（ ）（A ）}{12+k a（B ）}{13+k a（C ）}{14+k a（D ）}{16+k a三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知R 为全集，}125|{},2)3(log |{21≥+=-≥-=x x B x x A ，求B A18．（本题满分12分）已知)24(12sin sin22π<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥ （1）求证：AEF C A 平面⊥1；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小三角函数值表示） 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆C 的方程为1222=+yx ，点),(b a P 的坐标满足1222≤+ba 过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和．（1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立．2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学答案及评分标准说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．给分或扣分均以1分为单位． 答案及评分标准 一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分． 1．1)x ≥． 2．1i -． 3．2π． 4．20． 5．221916xy-=．6．22(1)(1)1x y -+-=． 7．2e ．8．90°． 9．45．10．),(*)()*(c a b a c b a ++=+(*)()(),()()()(),()()a b c a *c b *c a *b c a b *c b c *a a c *b a *b c b *a c +=++=+=+=++=+11．（1），()k k Z π∈；（1），()2k k Z ππ+∈；（4），()2k k Z ππ+∈等（两个空格全填对时才能得分，其中k 也可以写成任何整数） 12．219.01 二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分 13．A 14．C 15．D 16．B 三、（第17至22题）17．解 由已知4log )3(log 2121≥-x因为x y 21log =为减函数，所43≤-x 由⎩⎨⎧>-≤-0343x x 解得31<≤-x 所以}31|{<≤-=x x A由125≥+x ，解得32≤<-x 所以}32|{≤<-=x x B 于是3}1|{≥-<=x x x A 或故}312|{=-<<-=x x x B A 或18．解 因为αα=α+α+αcos sin 2tg 12sin sin22所以αα=cos sin 2k因而k -=αα-=α-α1cos sin 21)cos (sin 2 又24π<α<π，于是0cos sin >α-α因此k -=α-α1cos sin19．解（1）设'h 为正四棱锥的斜高由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'h a 41h ,2a 'h 214a 2222解得)0(112>+=h h a（2）)0()1(33122>+==h h h haV 易得)h 1h (31V +=因为2121=⋅≥+hh hh ，所以61≤V 等式当且仅当hh 1=，即1=h 时取得故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米．20．证（1）因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1由B A AE AE B A 11,平面⊂⊥，得AE C A ⊥1，同理可证AF C A ⊥1 因为AE C A AF C A ⊥⊥11, 所以AEF C A 平面⊥1解（2）过A 作BD 的垂线交CD 于G ， 因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥设AG 与C A 1所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由已知，计算得49=DG ．如图建立直角坐标系，则得点(0,0,0)A ，)0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(1C A G ，}5,3,4{},0,3,49{1-==C A AG ，因为AG 与C A 1所成的角为α所以25212||||cos 11=⋅⋅=αC A AG C A AG 25212arccos=α由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25212arccos21．解（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(由已知12,1222222121=+=+y x y x （1）b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211（2） 由（1）得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， （3）由（2）得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， （4） 由（3）、（4）及221x x x +=，221y y y +=，2121x x y y k --=，得点Q 的坐标满足方程02222=--+by ax y x （5）当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（a ，0）显然点Q 的坐标满足方程（5）综上所述，点Q 的坐标满足方程02222=--+by ax y x 设方程（5）所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得024)2(2222=-+-+b ax x b a 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∆128222b a b ，由已知1222≤+b a ， 所以当1222=+ba 时，△=0，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点P （a ，b ）当1222<+ba 时，△＜0，曲线L 与椭圆C 没有交点因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点（0，0），（0，b ）由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点（0，0），（a ，0）当a =0，b =0，即点P （a ，b ）为原点时，（a ，0）、（0，b ）与（0，0）重点，曲线L 与坐标轴只有一个交点（0，0）当a =0且20≤<b ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点（a ，0）与（0，0）重合，曲线L 与坐标轴有两个交点（0，b ）与（0，0）同理，当b =0且10≤<a ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点（a ，0）与（0，0）当10<<a 且)1(202a b -<<，即点P （a ，b ）在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线L 与坐标轴有三个交点（a ，0）、（0，b ）与（0，0） 22．解（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，得(221211411N n S S n n n ∈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++ （2）要使21>--+cS c S k k ，只要0223<-⎪⎭⎫⎝⎛--kk S c S c因为42114<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=kk S ，所以N)(k S S S k k k ∈>-=⎪⎭⎫⎝⎛--0212223，故只要N)(k S c S k k ∈<<-223 ①因为)(1N k S S k k ∈>+，所以12232231=-≥-S S k ，又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3当c =2时，因为21=S ，所以当k =1时，k S c <不成立，从而①不成立因为c S >=-252232，由)(1N k S S k k ∈<+，得2232231-<-+k k S S ，所以当2≥k 时，c S k >-223，从而①不成立当c =3时，因为21=S ，32=S ，所以当k =1，2时，k S c <不成立，从而①不成立因为c S >=-4132233，又2232231-<-+k k S S ，所以当3≥k 时，c S k >-223，从而①不成立故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS c S k k 成立。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【分值】4分 【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______【分值】4分4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【分值】4分 【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【分值】4分 【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【分值】5分 【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【分值】5分 【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
【分值】5分 【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【分值】5分【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数x x x f (1)(2+=≤)0的反函数=-)(1x f．2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z = ．3．函数x xy cos 1sin -=的最小正周期为4．二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 6．圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为7．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n 13lim8．若非零向量→α、→β满足|→→+βα|=|→→-βα|，则→α与→β所成角的大小为9．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是 （结果用分数表示）10．若记号“*” 表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b 2ba +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题： （1）对任意的)(,x f φ都是非奇非偶函数； （2）不存在,φ使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在,φ使)(x f 是奇函数； （4）对任意的,φ)(x f 都不是偶函数．其中一个假命题的序号是 ．因为当φ= 时，该命题的结论不成立．12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄．甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%．乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元．（假定利率五年内保持不变．结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若a 、b 为实数，则a >b >0是22b a >的 （ ）(A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件(B) 充要条件(D) 既非充分条件也非必要条件14．若直线x =1的倾斜角为α，则α （ ）(A) 等于0(B) 等于4π(C) 等于2π (D) 不存在15．若有平面α与β，且l P P l ∉∈⊥=,,,αβαβα ，则下列命题中的假命题（ ）(A) 过点P 且垂直于α的直线平行于β (B) 过点P 且垂直于l 的平面垂直于β (C) 过点P 且垂直于β的直线在α内 (D) 过点P 且垂直于l 的直线在α内16．若数列{}n a 前8项的值各异，且n n a a =+8对任意的N ∈n 都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为（ ）(A) {}12+k a (B) {}13+k a(C) {}14+k a(D) {}16+k a三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知R 为全集，A =)3(log |{21x x -≥}2-，B =25|{+x x ≥}1，求B A ． 18．（本题满分12分）已知)24(tan 12sin sin 22παπααα<<=++k ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．（1）求a 关于h 的函数解析式；（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． 在长方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 、F 分别在B B1、DD1上，且AE ⊥A1B ，AF ⊥A1D ． （1）求证：A1C ⊥平面AEF ；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB =4，AD =3，AA 1=5时，求平面AEF 与平面D1B1BD 所成角的大小．（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分．已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足222b a +≤1．过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点．求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分． 已知{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立．2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题1．x x (1--≥)1． 2．1-i 3．2π． 4．20． 5．116922=-y x ． 6．1)1()1(22=-+-y x ． 7．2e ． 8．︒90． 9．54． 10．),(*)()(c a b a bc a ++=+),*()*()*(c b c a c b a +=+,*)(*)(*)()(*b c a a c b c b a c b a +=+=+=+ c a b c b a +=+)*()*(等．≤411．（1），)(Z ∈k k π；（1），)(2Z ∈+k k ππ；（4），)(2Z ∈+k k ππ等．（两个空格全填对时才能得分．其中k 也可以写成任何整数）12．219.01．二、选择题13．A ． 14．C ． 15．D ． 16．B ．三、解答题17．[解]由已知)3(log 21x -≥4log 21．由⎩⎨⎧>--,033x x 解得-1≤x ＜3．所以1|{-=x A ≤}3<x ．由25+x ≥1，解得-2＜x ≤3．所以2|{-=x B ＜x ≤}3． 于是 x x x A 或1|{-<=≥}3，故}312|{=-<<-=x x x B A 或 ．18．[解]因为αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++，所以ααcos sin 2=k ． 因而k -=-=-1cos sin 21)cos (sin 2αααα． 又24παπ<<，于是0cos sin >-αα．因此k -=-1cos sin αα．19．[解]（1）设'h 为正四棱锥的斜高．由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'41,2'2142222h a h a h a解得 )0(112>+=h h a ．（2）)0()1(33122>+==h h hha V ．易得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h h V 131．因为h h 1+≥212=⋅h h ，所以V ≤61．等式当且仅当h h 1=，即1=h 时取得．故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米． 20．[证]（1）因为B A CB 1平面⊥，所以C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1． 由B A 1AE ⊥，B A AE 1平面⊂，得C A 1AE ⊥． 同理可证C A 1AF ⊥．因为C A 1AF ⊥，C A 1AE ⊥， 所以C A 1AEF 平面⊥．[解]（2）过A 作BD 的垂线交G CD 于．因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥． 设C A AG 1与所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由已知，计算得49=DG ． 如图建立直角坐标系，则得点),0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(),0,0,0(1C A G A}5,3,4{},0,3,49{-==．因为与A 1所成的角为α， 所以25212||||cos 11=⋅=C A AG α， 25212arccos=α． 由定理知，平面AEF 与平面BD B D 11所成角的大小为25212arccos． 21．[解]（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ． 当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(．由已知12,1222222121=+=+y x y x ， ①b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211， ②由①得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， ③ 由②得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， ④ 由③、④及21212121,2,2x x y y k y y y x x x --=+=+=，得点Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ． ⑤当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（0,a ）．显然点Q 的坐标满足方程⑤．综上所述，Q 的坐标满足方程 02222=--+by ax y x ． 设方程⑤所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得 024)2(2222=-+-+b ax x b a ． 因为)12(8222-+=∆b a b ，由已知222b a +≤1，所以当222b a +=1时，0=∆，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点),(b a P ．当222b a +＜1时，0<∆，曲线L 与椭圆C 没有交点．因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内．故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x ．（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点)0,0(、),0(b ．由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点)0,0(、)0,(a ．当0,0==b a ，即点),(b a P 为原点时，)0,(a 、),0(b 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴只有一个交点)0,0(．当0=a ，且||0b <≤2，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点)0,(a 与)0,0(重合，曲线L 与坐标轴有两个交点),0(b 与)0,0(．同理，当0=b ，且||0a <≤1，即点),(b a P 不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点)0,(a 与)0,0(．当||0a <<1,且||0b <)1(22a -<，即点),(b a P 在椭圆C 内且不在坐标轴上，曲线L 与坐标轴有三个交点)0,(a 、),0(b 与)0,0(．22．[解]（1）由)211(4n n S -=，得∈+=-=++n S S n n n (221)211(411N )． （2）要使21>--+c S c S K K ，只要K K S c S c ---)223(＜0．因为)211(4k k S -=＜4，所以)(0212)223(N ∈>-=--k S S S k k k ，故只要 )(223N ∈<<-k S c S k k ．①因为k k S S >+1（N ∈k ），所以 223-k S ≥12231=-S ，又4<k S ，故要使①成立，c 只能取2或3．当2=c 时，因为Ｓ１＝２，所以当k ＝１时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2232-S c >=25，由N)∈<+k s s k k (1,得 2232231-<-+k k S S ， 所以当k ≥２时，223-k S c >，从而①不成立．当3=c 时，因为21=S ，32=S ，所以当2,1=k 时，k S c <不成立，从而①不成立．因为2233-S c >=413，又 2232231-<-+k k S S ， 所以当k ≥3时，2233-S c >，从而①不成立．故不存在自然数c 、k ，使21>--+cS cS K K 成立．。
2020普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （ ） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（ ）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】 【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积； （2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论； （2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==， 在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； （2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含答案,不完整版)
上海市数学（文）（有答案，不完整版）-2020年普通高等学校招生统一考试三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数0≥a ，函数a a x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，，οο45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。
若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围； ⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y轴为曲线E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a L 成等差数列，求数列12100,,,a a a L 的公差的取值范围.19.解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=， 112233PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上 ∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC ∴2233BO BD ==，26PO =，113262222323V =⋅⋅⋅= 20.解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x x x f x +==+∈-∞-+∞--U ∴121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U （2）∵2()2x x a f x a+=-且0a ≥ ∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数 ②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21.解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥ 即2403516400CDCD CD ≥-，解得，202CD ≤28.28CD ≈米 （2）由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=o o o o ， ∵3580sin123.43sin18.45AD +=o o ，∴43.61AD ≈米 ∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅o ，∴26.93CD ≈米22.证明：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。
2001年上海卷(文)
2001年上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一、 填空题（本大题满分48分） 1．设函数x x f 9log )(=，则满足21)(=x f 的x 值为 ． 2．设数列{}n a 的首项71-=a ，且满足12n n a a +=+（n ∈N ），则1217a a a +++= ．3．设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．4．设集合{}|2lg lg(815),A x x x x ==-∈R ，|cos 0,2x B x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R ，则A B 的元素个数为 个．5．抛物线0342=--y x 的焦点坐标为 ．6．设数列{}n a 是公比0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和．若lim 7n n S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围是 ．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）8．在621⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项为 ．9．设sin x α=，且5,66a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos x 的取值范围是 ． 10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 ．11．已知两个圆：221x y +=①与()2231x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两圆的0.25方案盈概率1A 利自然状况(万)元1S 2S 3S 0.300.452A 3A 4A 507020-986526528226167810-对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例．推广的命题为 ．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．下面第1个图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下面第2个图中图示为：二．选择题（本大题满分16分）13．3a =是直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行且不重合的 ( )（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 ( )（A ）1122a b c -++ （B ）1122a b c ++ （C ）1122a b c -+ （D ）1122a b c --+ 15．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是 ( ) （A ）若a b ，则αβ （B ）若αβ⊥，则a b ⊥（C ）若a 、b 相交，则α、β相交 （D ）若α、β相交，则a 、b 相交 16．用计算器验算函数lg xy x=（1x >）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 ( )（A ）lg x y x =在()1,+∞上是单调减函数 （B ）lg xy x =在()1,+∞上有最小值 （C ）lg x y x =在()1,+∞上的值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）lg lim 0n n n →∞=，（n ∈N *） 2000199019801970196019501014182226年平均土地沙化面积（百平方公里）年份200019901980197019601950250.1253.3257.5260年份土地沙化总面积（万平方公里）ABCD1A 1B 1C 1D M三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是ABC 中A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC 的面积．若4a =，5b =，S =c 的长度．18．(本题满分12分) 设1F 、2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点． 已知P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．、19．(本题满分14分)第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体''''OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：''A F C E ⊥；（2）当三棱锥'B BEF -的体积取得最大值时，求二面角'B EF B --的大小．20．(本题满分14分)第1小题满分4分，第2小题满分10分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}|,nz M z n ωω==∈N ．（1）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．A'B CO 'O 'C 'A BFE21．(本题满分16分)第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 用清水洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次．．．．后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）设规定()0f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应满足的条件和具有的性质； （3）设()211f x x =+．现有a （0a >）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．22．(本题满分18分)第1小题满分5分，第2小题满分5分． 第3小题满分8分．对任意函数()f x ，x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出()10x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出()21x f x =，并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+． （1）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）是否存在0x ，在输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0，） 6.（0，7）7.78.15 9.[0，] 10.(理)（，）11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2①(x－c)2+(y－d)2=r2②（a≠c或b≠d），由①－②，得两圆的对称轴方程.12.二、CADD三、17.或.18.2或.19.（1）利用空间直角坐标系证明；（2）arctan2.20.(理)（1）M a={(1+i)，－(1－i)，－(1+i)，(1－i)}.∴P==.（2）∵ω∈M z，∴存在m∈N，使得ω=z2m－1.于是对任意n∈N，ω2n－1=z(2m－1)(2n－1)，由于(2m－1)(2n－1)是正奇数，ω2n－1∈M z，所以MωM z .(文)(1) M z={i，－1，－i，1}, P==.(2)z=21.（1）f（0）＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样；（2）函数f（x）应满足的条件和具有的性质是：f（0）＝1，f（1）＝，在[0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1；（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=，清洗两次后残留的农药量为：f2==则由f1－f2可得：①当a＞2时，f1＞f2；②当a＝2时，f1＝f2；③当0＜a＜2时，f1＜f2.22.（1）x1=，x2=，x3=－1.（2）当x0=1时，x n=1，当x0=2时，x n=2.（3）(理)x0∈（1，2）,(文)不存在.。
(想详细解析)2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史财经类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．tan300cot 405︒+︒的值为A ．31+B ．31-C ．31--D ．31+- 【答案】B【解析】tan 300cot 405tan 60cot 451︒+︒=-︒+︒=．2．过点(1,1)(1,1)A B --,且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．()()41322=++-y x B ．()()41322=-++y xC ．()()41122=-+-y x D ．()()41122=+++y x【答案】C【解析】显然过A B ,两点的直线与已知直线平行，过A B ,两点分别作,x y 轴的垂线，与已知直线相交于点(1,1)M ，则(1,1)M 为圆心，半径为2，C 正确．3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 A ．3π B ．33πC ．6πD ．9π【答案】A【解析】由已知可得圆锥的的底面半径和母线长分别为1和2，侧面积为2rl ππ=，底面 积为2r ππ=，全面积为3π．4．若定义在区间(10)-，内的函数()2log (1)a f x x =+满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1(0,]2C ．1(,)2+∞ D ．(0,)+∞【答案】A【解析】当(10)x ∈-，，则1(0,1)x +∈，由0)(>x f ，则021a <<，则1(0,)2a ∈．5．若复数i z 62+=，则z1arg 是A ．6πB ．611πC ．3πD ．35π 【答案】D【解析】1322()22(cos sin )233z i ππ=+=+，则arg 3z π=，1arg 2arg1zπ=+- 5arg 233z πππ=-=．6．函数21(0)xy x -=+>的反函数是A ．21log ,(1,2)1y x x =∈-B ．21log ,(1,2)1y x x =-∈-C ．21log ,(1,2]1y x x =∈-D ．21log ,(1,2]1y x x =-∈-【答案】A 【解析】221(0)log (1)xy x x y -=+>⇒=--，∴反函数为2log (1)y x =--，又0x >时12y <<，则21(0)x y x -=+>的反函数是21log ,(1,2)1y x x =∈-．7．若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 【答案】C【解析】易知椭圆的中心为(2,0)，且2,1a c ==，则12c e a ==．8．若0,sin cos ,sin cos 4a b παβααββ<<<+=+=，则A ．b a <B ．b a >C ．1<abD ．2>ab 【答案】A【解析】由题设sin(),sin()44a b ππαβ=+=+，又4442ππππαβ<+<+<，所以b a <．9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为A ．60︒B ．90︒C ．105︒D ．75︒【答案】B【解析】如图，取11A B 的中点D ，连接1,BD C D ，若12AB BB =，则1111,,AB BD AB C D BD C D D ⊥⊥=，∴1AB ⊥平面1C DB ，而1C B ⊂面1C DB ，∴11AB C B ⊥，故答案为90︒．10．设()()f x g x ,都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】若)(x g 单调递减，则()g x -单调递增，所以)()(x g x f -单调递增，②正确；同理③正确．11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为123P P P ,,．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．123P P P >>B ．123P P P =>C ．123P P P >=D ．123P P P ==【答案】D【解析】本题考查平面图形在另一平面内的射影理解与有关计算，其斜面与房屋的底面所成的角都是α，又有cos S S α=底斜，故有123P P P ==．【编者注】此公式《新课标》不作要求．12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为A ．26B ．24C ．20D ． 19 【答案】D【解析】从A 到B 有四条线路，从上到下记为1234,,,l l l l ，且123412,12l l l l +≤+≤，在单位时间内可以通过的最大信息量分别为3,4,6,6，D 正确．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．101(1)2x +的二项展开式中3x 的系数为 ． 【答案】15【解析】系数为73101()152C =．14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为12F F ,，点P 在双曲线上．若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ． 【答案】516 【解析】方法一：设(,)P x y ，12(5,0)(5,0)F F -,，由12PF PF ⊥得00155y y x x --⋅=-+-，即 2225x y +=，与双曲线方程联立得225625y =，则165y =． 方法二：设12,PF m PF n ==，由抛物线定义和题设222126,100m n m n FF -=+==，可得32mn =，利用面积相等关系12121122P PF PF F F y ⋅=⋅得165y =．15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和．若{}n S 是等差数列，则=q ． 【答案】1【解析】若{}n S 是等差数列，则1322S S S +=，11231223()2()a a a a a a a a +++=+⇒=，所以1q =．16．圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 【答案】2(1)n n -【解析】由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n 个等分点，∴共有n 条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形， ∴可做22n -个直角三角形，根据分步计数原理知共有(22)2(1)n n n n -=-．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列前三项为,4,3a a ，前n 项的和为,2550n k S S =． （Ⅰ）求a 及k 的值； （Ⅱ）求)111(lim 21nn S S S +++∞→ ． 【解】（Ⅰ）设该等差数列为{}n a ，则123,4,3a a a a a ===，2550k S =． 由已知有324a a +=⨯，解得首项12a a ==，公差212d a a =-=． 2分 代入公式1(1)2k k k S ka d -=+⋅得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ， ∴225500k k +-=，解得50,51k k ==-（舍去）．∴2,50a k ==． 6分 （Ⅱ）由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得(1)n S n n =+， 121111111223(1)n S S S n n +++=+++⨯⨯+111111()()()12231n n =-+-++-+ 111+-=n ， 9分∴121111lim()lim(1)11n n n S S S n →∞→∞+++=-=+．18．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，11,2SA AB BC AD ====． （Ⅰ）求四棱锥ABCD S -的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．【解】本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．（I ）直角梯形ABCD 的面积是()110.531224M BC AD AB +=+⋅=⨯=底面， ……2分 ∴四棱推ABCD S -的体积是113113344V SA M =⨯⨯=⨯⨯=底面．……4分（II ）延长,BA CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵//,2AD BC BC AD =，∴EA AB SA ==，∴SE SB ⊥． ∵SA ⊥面ABCD ，得面AEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC EB ⊥，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS SE ⊥，所以BSC ∠是所求二面角的平面角． ……10分222,1,SB SA AB BC BC SB ∴=+==⊥．2tan 2BC BSC SB ∴∠==． 即所求二面角的正切值为22．……12分19．（本小题满分12分）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2,6,4AB BC CD DA ====．求四边形ABCD 的面积．【解】本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，11sin sin 22ABD CDB S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⋅+⋅． ∵180A C +=︒，∴sin sin A C =． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在ABD ∆中，222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯=-，在CDB ∆中，222222cos 64264cos BD CB CD CB CD C C =+-⋅=+-⨯⨯5248cos C =-， ——9分∴2016cos 5248cos A C -=-∵cos cos C A =-，∴64cos 32A =-，21cos -=A ， ∴120A =︒，∴38120sin 16=︒=S ． ——12分20．（本小题满分12分）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B ,两点． 点C 在抛物线的准线上，且//BC x 轴． 证明直线AC 经过原点O ． 证明一：因为抛物线)0(22>=p px y 的焦点为(,0)2pF ，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=， 代人抛物线方程得2220y pmy p --=，若记1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2(,)2py -， 故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． 证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则////AD FE BC ．……2分 连结AC ，与EF 相交手点N ，则||||||||||,||||||||||EN CN BF NF AF AD AC AB BC AB === ……6分根据抛物线的几何性质，||||,||||AF AD BF BC == ……8分||||||||||||||||AD BF AF BC EN NF AB AB ⋅⋅∴===，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．…12分21．（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？【解】本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．设画面高为xcm ，宽为xcm λ，则24840x λ=．设纸张面积为S ，有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++， 3分 将2210x λ=代入上式得550004410(8)S λλ=++， 6分当58λλ=，即55(1)88λ=<时，S 取得最小值．此时，高：88()x cm ==，宽：58855()8x cm λ=⨯=． 8分22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅．（Ⅰ）设(1)2f =，求)21(f 及)41(f ； （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数．【解】本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）由1212121()()(),,[0,]2f x x f x f x x x +=+∈知()()()0,[0,1]22x xf x f f x =⋅≥∈． ——2分∵211111(1)()()()[()]22222f f f f f =+=⋅=，2)1(=f ，∴121()22f =． ——5分∵2111111()()()()[()]244444f f f f f =+=⋅=，121()22f =，∴141()24f =． ——8分（Ⅱ）证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(11)f x f x =+-，即()(2),f x f x x R =-∈， ……11分 又由()f x 是偶函数知()(),f x f x x R -=∈，∴()(2),f x f x x R -=-∈， 将上式中x -以x 代换，得()(2),f x f x x R =+∈．这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……14分。
2020年全国普通高等学校招生统一考试(新课标Ⅰ卷)文科数学+答题卡+答案+全解全析(2020.6.15)
线
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
全国名校 2020 年高三 6 月大联考（新课标Ⅰ卷） 文科数学·答题卡
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的左、右焦点，若直线 x
=c
与双曲线
C
的
两条渐近线分别交于点 M，N，且 ∠MF1N = 60° ，则双曲线 C
的离心率为__________．
16．石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，
机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石 材（如图 1）雕刻制作一件工艺品（如图 2），该作品的上方
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题
无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂
贴条形码区
缺考 此栏考生禁填
标记
18．（12 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
π 12
个单位长度后所得函数的图象关于原点对称
D．函数
f
(x)
在区间
(π 3
,
5π ) 6
上单调递减
10．设各项均为正数的数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若数列{an } 满足 a1 = 2 ， anan+1 = 4Sn − 2(n ∈ N* ) ， 则
2020年高考数学上海卷附答案解析版
.
x 2 y 3≤0
a a a
答
8.已知an是公差不为零的等差数列，且 a 1 a10 a ，9 则 1
2
a10
9
.
9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三
天需要 2 人，则有
种排法.
题
10.椭圆 x2 y2 1 ，过右焦点F 作直线 l 交椭圆于P 、 Q 两点， P 在第二象限已知 43
性质 p . （1）判断数列 3，2，5，1 和 4，3，2，5，1 是否具有性质 p ，请说明理由. （2）若 a1 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 p ，求 q 的取值范围.
（3）若 an 是 1，2，…， m 的一个排列m≥4， bk ak1 k 1, 2 m 1 ，an， bn，都具有性质 p ，求所有满足条件的an .
PF1 8 ，求∠F1PF2 ；
（3）过点 S
0, 2
b2 2
且斜率为
b的直线l 2
交曲线 于 M
、N
两点，用 b
的代数式
表示OM ON，并求出OM ON的取值范围。
21.有限数列an，若满足 a1 a2 ≤ a1 a3 ≤≤ a1 an ， m 是项数，则称an满足
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
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18.【答案】（1）
1， 2
x
x∣x
3
4k或x
5
3
4k
,
k
Z；
（2）
1 2
,
0
19.【答案】（1）
x
0,
80 3
；
（2）
x
普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
数据,就业局势必定是()
计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.
(C)机械行业最紧张.
(D)营销行业比贸易行业紧张.
三.解答题(本大题满分86分)
17.(此题满分12分)
已知复数z1知足(1+i)z1=－1+5i,
若C的方程y2
=2px(p≠0)点.
P1
2
2
2
(0,0),于定的自然数n,明：
成等差数列；
(x1+p),(x2+p),
⋯,(xn+p)
(3)
若C的方程x
2
y2
1(a>b>0).点P1(a,0),于定的自然数
n,当公差d化
a
2
b2
,求Sn的最小.
符号意义
本试卷所用符号
等同于《实验教材》符号
向量坐标
a={x,y}
(2)当P抛物上位于段AB下方
(含A.B)的点,求OPQ面的最大.
21.(安分16分)第1小分4分,第2小分6分,第3小分6分
如,P-ABC是底面1的正三棱分棱上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱P-ABC的棱和相等.(棱和是指多面体中全部棱的度之和)
明：P-ABC正四周体；
1
(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的
∞)
(2)
由(x－a－1)(2a－x)>0,
得(x－a－1)(x－2a)<0.
a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥1或a≤－2,而a<1,
2001年高考.上海卷.文科数学试题及答案
2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文史类）一、填空题：1.设函数f(x)=x log 9, 则满足f(x)=21的x 值为 . 2. 设数列的首项,且满足,则a 1＋a 2……＋a 17= .3.设P 为双曲线4x 2－y 2=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为 .4.设集合A={x|2lgx=lg(8x —15)，x ∈R}B={x|cos 2x＞0，x ∈R}，则A ∩B 的元素个数为 个. 5.抛物线x 2－4y －3=0的焦点坐标为 .6.设数列是公比q ＞0的 等比数列，S n 是它的前n 项和.S n ＝7，则此数列的 首项a 1的取值范围是 .7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种 种.（结果用数值表示）8.在代数式 (x-)5的展开式中，常数项为 .9.设x=sin α，α∈［－，］，则arccosx 的取值范围为 .11.已知两个圆：x 2+y 2=1①与x 2+(y －3)2=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .12. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为 .二、选择题13.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a －1)y=a －7平行且不重合的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 14.如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝、＝、＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）A.－＋＋B.＋＋C.－＋D.－－＋15.已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是 （ ）A. 若a ∥b ，则α∥βB.若α⊥β，则a ⊥bC.若a 、b 相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a 、b 相交 16. 用计算器验算函数y=xlgx（x ＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ） A. y=x lgx 在（1，+∞）上是单调减函数 B. y=x lgx ，x ∈（1，+∞）的值域为⎥⎦⎤⎝⎛3lg3,0 C. y=x lgx ，x ∈（1，+∞）有最小值 D. n lgn lin n ∞→=0 ，n ∈N三、解答题17.已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的 面积，若a=4，b=5，S=5，求c 的长度.18.设F 1、F 2为椭圆＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|,求的值.19.在棱长为a 的正方体OABC －O'A'B'C'中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF. （1）求证：A'F ⊥C'E ；（2）当三棱锥B'－BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'－EF －B 的大小.（结果用反三角函数表示）20. 对任意一个非零复数z ，定义集合M z ={ω|ω=z n，n ∈N}. （1）设z 是方程x+x1＝0的一个根，试用列举法表示集合M a .若在M a 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（2）设集合M z 中只有3个元素,试写出满足条件的一个z 的值,并说明理由 .21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次．．．．以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数f （x ）. （1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质； （3）设f （x ）=2x 11+，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由. 解答:22. 对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f （x 0）；②x 1D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入断，再输出x 2=f （x 1），并依此规律继续下去.现定义f （x ）=.（1）若输出x 0=，则由数列发生器产生数列{x n }.请写出数列{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x 0的值；（3）是否存在 x 0,,在输入数据x 0时, 该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在,求出x 0的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、1.3 2.153 3.x 2－4y 2=1 4.1 5.（0，41） 6.（0，7） 7.7 8.15 9.[0，32π] 10.A 3 11.设圆方程(x －a)2+(y －b)2=r 2① (x －c)2+(y －d)2=r 2②（a ≠c 或b ≠d ）， 由①－②，得两圆的对称轴方程. 12.二、CADD 三、17.或. 18. 2或27. 19.（1）利用空间直角坐标系证明； （2）arctan2.20. (1) M z ={i ，－1，－i ，1}, P==.(2)z=21.（1）f （0）＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样； （2）函数f （x ）应满足的条件和具有的性质是：f （0）＝1， f （1）＝21，在[0，＋∞）上 f （x ）单调递减，且0＜f （x ）≤1； （3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f 1=2a 11，清洗两次后残留的农药量为：f 2==则由f 1－f 2可得： ①当a ＞2时，f 1＞f 2；②当a ＝2时， f 1＝f 2；③当0＜a ＜2时，f 1＜f 2.22.（1）x 1=1911，x 2=51，x 3=－1. （2）当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2.（3）不存在.2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含解析)
2020年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭-的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r, (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠== ∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA ==连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
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6
sin cos
6
sin
6
6
= cos
π π π π 1 cos sin sin cos 6 6 6 6 3 2
4.若复数 z 1 2i （ i 为虚数单位） ，则 z z z
6 2i
。
解析：考查复数基本运算 z z z (1 2i)(1 2i) 1 2i 6 2i 5.将一个总数为 A 、 B 、 C 三层，其个体数之比为 5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为 100 的样本，则应从 C 中抽取 20 个个体。 解析：考查分层抽样应从 C 中抽取 100
2 x y 3, x 2 y 3, 15.满足线性约束条件 的目标函数 z x y 的最大值是 x 0, y 0 3 （A）1. （B） . （C）2. （D）3. 2 解析：当直线 z x y 过点 B(1,1)时，z 最大值为 2
16.“ x 2k
[答]（ ）
4
k Z ”是“ tan x 1 ”成立的
（B）必要不充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
[答]（ ）
（A）充分不必要条件. （C）充分条件. 解析： tan(2k
4
) tan
4
1 ，所以充分；但反之不成立，如 tan
5 1 4
17.若 x0 是方程式 lg x x 2 的解，则 x0 属于区间 （A） （0，1）. （B） （1，1.25）.
n 1 2 3 n 2 n 1 n 1 2 3 4 n 1 12.在 n 行 m 列矩阵 3 4 5 n 1 2 中， n 1 2 n 3 n 2 n 1）
解析 重庆合川太和中学 杨建
一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空 格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1.已知集合 A 1,3, m ， B 3, 4 ， A 解析：考查并集的概念，显然 m=2 2.不等式
解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20． 20.（本大题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩 形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到 0.01 平方米）; (2)若要制作一个如图放置的， 底面半径为 0.3 米的灯笼， 请作 出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0<r<0.6)， S3(r0.4)20.48， 所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米； (2) 当 r0.3 时，l0.6，作三视图略． 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 Sn n 5a n 85 ， n N (1)证明： an 1 是等比数列； (2)求数列 Sn 的通项公式，并求出使得 Sn 1 Sn 成立的最小正整数 n .
[答]（ ）
（C） （1.25，1.75） （D） （1.75，2）
解析： 构造函数f ( x) lg x x 2,由f (1.75) f ( ) lg
7 4
7 1 0 4 4
f (2) lg 2 0 知 x0 属于区间（1.75，2）
18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5:11:13 ，则△ ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由 sin A : sin B : sin C 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cos c
(0,2) 。 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数 f ( x) log3 ( x 3) 的反函数为 y 3 3 ，另 x=0，有 y=-2
x
法二：函数 f ( x) log3 ( x 3) 图像与 x 轴交点为（-2,0） ，利用对称性 可知，函数 f ( x) log3 ( x 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点为（0，-2） 10. 从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张 均为红桃”的概率 为
3 1 4 2 4 5
3
8. 动 点 P 到 点 F ( 2, 0)的 距 离 与 它 到 直 线 x 2 0 的 距 离 相 等 ， 则 P 的 轨 迹 方 程 为 y28x 。 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知 P 的轨迹是以 F (2,0) 为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为 y28x 9. 函 数 f ( x) l o3g x ( 的 3 )反函数的图像与 y 轴的交点坐标是
5 2 112 132 0 ，所以角 C 为钝角 2 5 11
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12 分） 已知 0 x
2
，化简：
x lg(cos x tan x 1 2sin 2 ) lg[ 2 cos( x )] lg(1 sin 2 x) . 2 2
1 sin x, x (2k , 2k ) (3) f ( x) 1 | sin x |, x k ,kZ， 1 sin x, x (2k , 2k )
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T，函数 f(x)的最小值为 0， 函数 f(x)在区间 [k
5 解析： (1) 当 n1 时， a114； 当 n≥2 时， anSnSn15an5an11， 所以 an 1 (an 1 1) ， 6
*
又 a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
5 (2) 由(1)知： an 1 15 6
B 1, 2,3, 4 则 m
2
。
2 x 0 的解集是 x4
x | 4 x 2
。
解析：考查分式不等式的解法
2 x 0 等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2 x4
cos
3.行列式
6
sin cos
6
sin
6
6
的值是
0.5
。
cos
解析：考查行列式运算法则
22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。 若实数 x 、 y 、 m 满足 x m y m ，则称 x 比 y 接近 m . （1）若 x 1 比 3 接近 0，求 x 的取值范围；
2
（2）对任意两个不相等的正数 a 、 b ，证明： a 2b ab2 比 a3 b3 接近 2ab ab ； （3） 已知函数 f ( x) 的定义域 D x x k , k Z , x R .任取 x D ，f ( x) 等于 1 sin x 和 1 sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、 最小值和单调性（结论不要求证明）. 解析：(1) x(2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 a2b ab2 2ab ab ， a3 b3 2ab ab ， 因为 | a2b ab2 2ab ab | | a3 b3 2ab ab | (a b)(a b)2 0 ， 所以 | a2b ab2 2ab ab || a3 b3 2ab ab | ，即 a2bab2 比 a3b3 接近 2ab ab ；
1 y x ，又 c 5, a 2, b 1 2
双曲线方程为
x2 y 2 1 ， OP ae1 be2 = (2a 2b, a b) ， 4
(2a 2b) 2 (a b) 2 1，化简得 4ab1 4
*
14.将直线 l1 : x y 1 0 、 l2 : nx y n 0 、 l3 : x ny n 0 （ n N ， n 2 ）围 成的三角形面积记为 S n ，则 lim Sn
n
1 2
。
解析：B (
n n , ) 所以 BO⊥AC， n 1 n 1
1 n 2 n 1 Sn = 2 ( 2 ) 2 n 1 2 2(n 1)
所以 lim Sn
n
1 2
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必 须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零 分。
n 1
5 ，得 an 1 15 6
n 1
，从而
5 Sn 75 6
n 1
n 90 (nN*)；
n 1
5 由 Sn1>Sn，得 6
2 2 ， n log 5 1 14.9 ，最小正整数 n15． 5 6 25
记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i , j 1, 2 ,n )。当 n 9 时， a11 a22 a 33 a 99 45 。