数学建模之最优化的产出水平PPT(15张)
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数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模之最优化的产出水平
家厂的产量分别是
，若
两个厂生产成本不同，它们的成本函数分别是
，则
总成本函数为
总收益函数为
这里
为总产量.因此，利润函数为
解题过程
第十步： 由极值存在的必要条件
得
，即
（3）
上式说明，最优产出水平应使每个工厂 的边际成本等于总产出的边际收益.
解题过程
第一步：
求模型（1）的解
假设某厂生产两种产品，两种产品的产量分别是
和 . 若生产这两种产品的总成本为 而销售这两种产品的总收益为 商的利润函数是
，
，则厂
解题过程
第二步： 由极值存在的必要条件
有
（1）
解题过程
第三步： 现记
，称为边际收益，并记
，称为边际成本（总成本函数的
导数或偏导数称为边际成本，总收益的导数或偏导 数称为边际收益）.
解题过程
第六步： 解由
于是总收益函数
知，两种产品的价格
解题过程
第七步： 根据（2）式，由
及 有
即
解题过程
第八步：
解得
容易验证这组解满足极值存在的
充分条件，显然，当两种产品的产量分别为5和
3时，工厂获利最大.所获最大利润为
=120.
解题过程
第九步： 模型（2）的解
假设某厂商经营两个工厂生产同一种产品，并在
解题过程
第四步： 于是 （1）式即
（2）
这说明，工厂为了获得最大利润，每种产品都应达 到这样的产出水平，使得边际收益恰好等于边际成 本.
解题过程
第五步： 模型(1) 设某厂生产两种产品，总成本函数为
又两种产品的需求函数分别是
（这里
分别是两种产品的价格）.为使工厂
，若
两个厂生产成本不同，它们的成本函数分别是
，则
总成本函数为
总收益函数为
这里
为总产量.因此，利润函数为
解题过程
第十步： 由极值存在的必要条件
得
，即
（3）
上式说明，最优产出水平应使每个工厂 的边际成本等于总产出的边际收益.
解题过程
第一步：
求模型（1）的解
假设某厂生产两种产品，两种产品的产量分别是
和 . 若生产这两种产品的总成本为 而销售这两种产品的总收益为 商的利润函数是
，
，则厂
解题过程
第二步： 由极值存在的必要条件
有
（1）
解题过程
第三步： 现记
，称为边际收益，并记
，称为边际成本（总成本函数的
导数或偏导数称为边际成本，总收益的导数或偏导 数称为边际收益）.
解题过程
第六步： 解由
于是总收益函数
知，两种产品的价格
解题过程
第七步： 根据（2）式，由
及 有
即
解题过程
第八步：
解得
容易验证这组解满足极值存在的
充分条件，显然，当两种产品的产量分别为5和
3时，工厂获利最大.所获最大利润为
=120.
解题过程
第九步： 模型（2）的解
假设某厂商经营两个工厂生产同一种产品，并在
解题过程
第四步： 于是 （1）式即
（2）
这说明，工厂为了获得最大利润，每种产品都应达 到这样的产出水平，使得边际收益恰好等于边际成 本.
解题过程
第五步： 模型(1) 设某厂生产两种产品，总成本函数为
又两种产品的需求函数分别是
（这里
分别是两种产品的价格）.为使工厂
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
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S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
数学建模最优化模型课件ppt市公开课金奖市赛课一等奖课件
总收益可表示为：R 10x1 5x2 受一级黄豆数量限制：0.3x1 0.4x2 9 受二级黄豆数量限制：0.5x1 0.2x2 8
第25页
综上分析，得到该问题线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
ans = 175
ans = 10 15
第28页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。依据机床性能 和以前生产情况，得知每单位产品所需车间工作 小时数、每个车间在一个季度工作小时上限以及 单位产品利润，下列表所表示(比如，生产一个单
位A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1小时、2
其中档式（3）、（4）、（5）右边可选取（1）或（2）等 式右边.
函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目 的函数必须是连续函数，并也许只给出局部最优解.
第10页
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
最优化模型
一、最优化办法概述 二、无约束最优化问题 三、无约束最优化问题 MATLAB求解 四、有约束最优化问题
第1页
最优化办法概述
1、最优化理论和办法是近二十多年来发展十分快 速一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一个求极值办法。 3、最优化已经广泛渗入到工程、经济、电子技术
第25页
综上分析，得到该问题线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
ans = 175
ans = 10 15
第28页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。依据机床性能 和以前生产情况，得知每单位产品所需车间工作 小时数、每个车间在一个季度工作小时上限以及 单位产品利润，下列表所表示(比如，生产一个单
位A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1小时、2
其中档式（3）、（4）、（5）右边可选取（1）或（2）等 式右边.
函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目 的函数必须是连续函数，并也许只给出局部最优解.
第10页
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
最优化模型
一、最优化办法概述 二、无约束最优化问题 三、无约束最优化问题 MATLAB求解 四、有约束最优化问题
第1页
最优化办法概述
1、最优化理论和办法是近二十多年来发展十分快 速一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一个求极值办法。 3、最优化已经广泛渗入到工程、经济、电子技术
数学建模辅导 优化PPT
动态规划的基本原理
一.多阶段决策过程最优化 多阶段决策过程是指这样一类特殊的活动
过程，他们可以按时间顺序分解成若干相互 联系的阶段，在每个阶段都要做出决策，全 部过程的决策是一个决策序列，所以多阶段 决策问题也称为序贯决策问题。
图示
决策 状态 状态
1
决策 决策 2 状态 状态 n
多阶段决策问题，不论其本身是否与时间有 关，由于分为阶段依次解决，这便具有明显的时 序性，而在各阶段中所采取的决策是随阶段而变 动的，不同阶段采取不同决策，这便是动态的含 义.阶段往往可以用时段来表示，但动态规划在一 定条件下也可以解决一些与时间无关的静态最优 化问题，只要人为地引入“时段”因素，就可以 将其转化为一个多阶段决策问题。
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一 个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从 而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用动态规划方法去求解。
第三种方法是动态规划方法。动态规 划方法寻求该最短路问题的基本思想是，首 先将问题划分为4个阶段，每次的选择总是 综合后继过程的一并最优进行考虑，在各段 所有可能状态的最优后继过程都已求得的情 况下，全程的最优路线便也随之得到。
为了找出所有可能状态的最优后继过程， 动态规划方法总是从过程的最后阶段开始考 虑，然后逆着实际过程发展的顺序，逐段向 前递推计算直至始点。
二、多阶段决策问题举例
1)工厂生产过程：由于市场需求是一随着时间而 变化的因素，因此，为了取得全年最佳经济效益， 就要在全年的生产过程中，逐月或者逐季度地根 据库存和需求情况决定生产计划安排。
数学建模最优化模型 ppt课件
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
2020/4/13
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边.
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
2020/4/13
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
2020/4/13
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
minfx
s.t.
hi x0
i1,2,L,m
(P)
gj(x)0 j1,2,Lp
2020/4/13
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
fx*fx则称 x * 是最优化问题的整体最优解。
2020/4/13
整体最优解
求解 P 的基本方法（迭代算法）：
1 给定一个初始可行点 x0 D；
2 产生可行点 x1，x2，…，xk ，…，记为 xk ；
3 使得或者某个 xk 恰好是问题的一个最优
解，或者该点列xk 收敛到问题的一个最优解 x*。
2020/4/13
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0,
L
R
C
0
q 2 q 2 q 2
有
R
q1 R
C
q1 C
q 2 q 2
（1）
解题过程
第三步：
现记 M1RqR1,M2RqR2，称为边际收益，并记
M1CqC1,M2CqC2，称为边际成本（总成本函数的 导数或偏导数称为边际成本，总收益的导数或偏导 数称为边际收益）.
存在的充分条件，显然，当两种产品的产量分 别为5和3时，工厂获利最大.所获最大利润为
LRC[2 (q 1 6 4q 2 0 q 1 2 4 q 2 2) (q1 22q1q2q2 25)q ]15
q23
=120.
解题过程
第九步： 模型（2）的解 假设某厂商经营两个工厂生产同一种产品，并在 同一市场上销售.设两家厂的产量分别是 p1, p2，若 两个厂生产成本不同，它们的成本函数分别是 C1(q1)C , 2(q2) ，则
量，使得厂商获得最大的利润. 模型（2）：假设某厂商经营两个工厂，它们
都生产同一种产品且在同一市场上销售.由于两厂 的经营情况不同，生产的成本有所不同，需要确定 每个工厂的产量，使得厂商获利最大.
相关知识点
1.多元函数的极值 2.极值的必要条件和充分条件
解题方法
已知成本函数和需求函数，根据总利润与 总收益和总成本的关系，得到利润函数，再利 用多元函数极值的必要条件和充分条件求出利 润的极大值，根据问题的实际意义知此极大值 也即所求的最大值.
模型(2) 一厂商经营两家工厂，其成本函数是 C13q1 22q16和 C22q2 22q24，而价格函数为 P746Q，其中 Qq1q2.为使利润最大，试确定 每个工厂的产出水平.
解 由于
M 1 C 1 (q 1 ) 6 q 1 2， M 2 C C 2 (q 2 ) 4 q 2 2 .
•
4、世界上只有想不通的人，没有走不通的路。将帅的坚强意志，就像城市主要街道汇集点上的方尖碑一样，在军事艺术中占有十分突出的地位。
•
5、世上最美好的事是：我已经长大，父母还未老;我有能力报答，父母仍然健康。
•
6、没什么可怕的，大家都一样，在试探中不断前行。
•
7、时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。纽扣第一颗就扣错了，可你扣到最后一颗才发现。有些事一开始就是错的，可只有到最后才不得不承认。
（这里 p1, p2 分别是两种产品的价格）.为使工厂 获得最大利润，试确定两种产品的产出水平.
解题过程
第六步：
解 由 q126 p1,q210 1 4p2知，两种产品的价格
p 1 2 q 6 1 ,p 2 4 4 0 q 2 ,
于是总收益函数 Rp1q1p2q2(26q1)q1(404q2)q2 26q140q2q1 24q2 2.
又总收益为 RPQ7Q 46Q2，所以边际收益为
M R74 1Q 2.
•
1、有时候，我们活得累，并非生活过于刻薄，而是我们太容易被外界的氛围所感染，被他人的情绪所左右。
•
2、身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，唯一可以抱怨的，只是不够努力的自己。
•
3、大概是没有了当初那种毫无顾虑的勇气，才变成现在所谓成熟稳重的样子。
总成本函数为 CC 1(q1)C2(q2),
总收益函数为 RR (Q )R (q1q2),
这里 Qq1q2 为总产量.因此，利润函数为
L R C R ( Q ) C 1 ( q 1 ) C 2 ( q 2 ).
解题过程
第十步：
由极值存在的必要条件
L q1
•
8、世上的事，只要肯用心去学，没有一件是太晚的。要始终保持敬畏之心，对阳光，对美，对痛楚。
•
9、别再去抱怨身边人善变，多懂一些道理，明白一些事理，毕竟每个人都是越活越现实。
•
10、山有封顶，还有彼岸，慢慢长途，终有回转，余味苦涩，终有回甘。
•
11、人生就像是一个马尔可夫链，你的未来取决于你当下正在做的事，而无关于过去做完的事。
最优化的产出水平
模型（1）：假设某厂生产两种产品，在生产 过程中，两种产品的产量是不相关的，但两种产品
在生产技术上又是相关的，即总成本C是产出量 q 1 和 q 2的函数：C = C(q 1, q 2). 另外，在经济学中总认 为产出量与销售量是一致的，所以总收益R也是q 1 和q 2 的函数：R = R(q 1 ,q 2). 要求确定每种产品的产
解题过程
第七步：
根据（2）式，由 M1 C 2q12q2M2C 及
M 1 2 R 2 6 q 1 ,M 2 4 R 8 0 q 2有
420682qq21
2q1 2q1
2q2, 2q2,
即
q21q15qq22
13, 20,
解题过程
第八步：
解得q15,q23. 容易验证这组解满足极值
dR dQ
Q q1
dC1 d q1
0,
L
dR
Q
dC2
0
q2 dQ q2 dq2
得 R (Q ) C 1 (q 1 ) C 2 (q 2 )，即
M RM1C M2C
（3）
上式说明，最优产出水平应使每个工厂
的边际成本等于总产出的边际收益.
解题过程
第十一步：
解题过程
第四步： 于是 （1）式即
M M
R1 R2）
这说明，工厂为了获得最大利润，每种产品都应达 到这样的产出水平，使得边际收益恰好等于边际成 本.
解题过程
第五步：
模型(1) 设某厂生产两种产品，总成本函数为 Cq1 22q1q2q2 25
又两种产品的需求函数分别是 q126 p1,q210 1 4p2
解题过程
第一步：
求模型（1）的解
假设某厂生产两种产品，两种产品的产量分别是 q 1 和 q 2 . 若生产这两种产品的总成本为 CC(q1,q2)，
而销售这两种产品的总收益为 RR(q1,q2)，则厂 商的利润函数是
解题过程
第二步：
由极值存在的必要条件
L q1
R q1
C q1