组合数学(5)置换群与Pólya定理教学总结

组合数学(5)置换群与Pól y a定理

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ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理

1 群的基本概念

b

a e a

b b a a a e e a a b b a

c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈∀-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性

（算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合

上的二元运算。是非空集合，代数系统A A 〉〈

为无限群。为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G

a G a e

G *〉〈=*∈∈∀***〉〈-1,43212 置换群

{}个不同的置换。

次置换共有例如：到自身的双射

，，，次置换：集合!14234321321

,32132

1

n n s k k k k

n n X n n ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛== ϕ

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⋅⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅≠⋅=⋅⋅4312

4321

32144321142

3432

1321443

211423

4321

))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32

132132132132

11

321

的逆置换为为恒等置换。

称

{}，称为置换群。

乘法运算下构成一个群在置换的

的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 =

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n

次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I

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POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。

POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k ，求P （是k 次方根吗） 2 置换的奇偶性

[][][][][]

151411131210873296541141510131112128965734151413121110987654321⋅⋅⋅⋅=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=f f X s X 表示为例如，的一个划分。

所有的轮换构成了通分支称为一个轮换。的置换图中，每一个连的置换集合

[][][][][][][]13241321131223112321=⋅==元轮换可以省略。如元轮换相乘时，元轮换与一个元轮换。

的轮换，称为长度为关。如只与元素的相邻状况有轮换k k k a a a k [][][][][][]

132456561324321321⋅=⋅如

可交换的。交的两个轮换的乘积是轮换是不相交的。不相两个

没有相同的文字，则称与如果两个轮换l k b b b b a a a a

[][][][][][]561342875613428756241387654321⋅=⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f 例如，是唯一的。

换的乘积，且表示法成若干个互不相交的轮任何一个置换都能表示

[][][][][][][][][][][][][]]25[]143[231545432154231543213215454321231425323142533215454321268754326187254361876543211⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⋅==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==t f t f f j i t 则有，例如，个元素换了位置。乘积，这个置换仅有两一个置换与一个对换的）。

称为一个对换（或换位）的置换（其他轮换的长度都为恰由一个二元轮换构成 换位）之积。可表示成若干个对换（定理：任何一个轮换都

积，则称为偶置换。

若分解成偶数个对换之奇置换；

数个对换之积，则称为若一个置换可分解成奇

[][][][][][][][]是偶置换。

是奇置换。

例如，5432154321543214637253426751

7654321

⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=t f