组合数学(5)置换群与Pólya定理教学总结

组合数学(5)置换群与Pól y a定理精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理1 群的基本概念ba e ab b a a a e e a a b b ac b a c b a A A b a A b a A =======∈∈∀-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性（算的性质上的二元运算。

二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合上的二元运算。

是非空集合，代数系统A A 〉〈为无限群。

为有限群。

否则，称是有限集合，称如果。

，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G Ga G a eG *〉〈=*∈∈∀***〉〈-1,43212 置换群{}个不同的置换。

次置换共有例如：到自身的双射，，，次置换：集合!14234321321,321321n n s k k k kn n X n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅≠⋅=⋅⋅4312432132144321142343213214432114234321))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。

即置换的乘法无交换。

一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 3213213213213211321的逆置换为为恒等置换。

称{}，称为置换群。

乘法运算下构成一个群在置换的的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合 POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k =I仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k 。

题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。

然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。

POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k ，求P （是k 次方根吗） 2 置换的奇偶性[][][][][]151411131210873296541141510131112128965734151413121110987654321⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f f X s X 表示为例如，的一个划分。

所有的轮换构成了通分支称为一个轮换。

的置换图中，每一个连的置换集合[][][][][][][]13241321131223112321=⋅==元轮换可以省略。

如元轮换相乘时，元轮换与一个元轮换。

的轮换，称为长度为关。

如只与元素的相邻状况有轮换k k k a a a k [][][][][][]132456561324321321⋅=⋅如可交换的。

交的两个轮换的乘积是轮换是不相交的。

不相两个没有相同的文字，则称与如果两个轮换l k b b b b a a a a[][][][][][]561342875613428756241387654321⋅=⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f 例如，是唯一的。

换的乘积，且表示法成若干个互不相交的轮任何一个置换都能表示[][][][][][][][][][][][][]]25[]143[231545432154231543213215454321231425323142533215454321268754326187254361876543211⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⋅==⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==t f t f f j i t 则有，例如，个元素换了位置。

乘积，这个置换仅有两一个置换与一个对换的）。

称为一个对换（或换位）的置换（其他轮换的长度都为恰由一个二元轮换构成 换位）之积。

可表示成若干个对换（定理：任何一个轮换都积，则称为偶置换。

若分解成偶数个对换之奇置换；数个对换之积，则称为若一个置换可分解成奇[][][][][][][][]是偶置换。

是奇置换。

例如，54321543215432146372534267517654321⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t f仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4[][][][][][][][]{}[][][][][]{}132123321132123231312321213321132321231321123321312321321321)!(21!33，，故有，，，，，，，，，，，。

，记作阶的子群，称为交代群个中的所有偶置换构成一换各占一半。

个置换，其中奇、偶置共有对称群⋅⋅=⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A S A n S n S n n n [][]1312123321312321132321]123[⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=POJ 3128 Leonardo's Notebook 已知置换P ，求一个置换M ，使P=M 2刘汝佳的分析：考虑某个置换的平方。

对于其中长度为奇数的轮换，平方以后这个轮换仍然为一个轮换只是元素顺序换了。

一个长度为偶数的轮换，平方以后就变为两个大小相等的轮换了。

因此，对于给定的置换，当中所有长度为奇数的轮换，可以直接当做是它原先平方产生的。

而长度为偶数的轮换，必须一一配对，当做原先拆出来的。

满足这个条件，就是平方。

3 Pólya 波利亚定理{}{}的轮换指数。

称为多项式的不变元的个数。

的轮换的个数，称为度为中长表示的轮换的个数，如中长度为表示，设如果上任一置换群。

是中的颜色，方式染以中的对象按所有可能的是颜色的集合。

是对象的集合，，，，G x x x Gx x x G P g g g i g g G g X G C X c c c C n X Gg g ng g n i m n ∑∈=∈==)()(2)(121121211),,,;(1)()(,,,21λλλλλ 的轮换个数。

称为g g g g g g ni i n ∑==+++=121)()()()()(λλλλλ∑∈+++=Gg g g g n m G m m m G P n m X G Polya )()()(211),,,;(2λλλ 方案数为个对象，则不同的染色种颜色染上的置换群，用是定理仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5应用Polya 定理的解题思路： （1）认定对象集合X （2）找出置换群G（3）分析每个置换的轮换指数 （4）代入Polya 定理例1：正六面体6个面用红、蓝着色，有多少种方案？旋转重合算同一种方案。

解：使正六面体重合的刚体运动有5类：绕对面中心连线旋转正负90度(共3*2种)；旋转180度(共3种)；绕对棱中点连线旋转180度(共6种)；绕对角线旋转正负120度(共4*2种)；不动变换。

以1,2,3,4,5,6分别记正六面体的上,下,左,右,前,后六个面, 则 G={(1)(2)(3)(4)(5)(6),(1)(2)(3546)(类似的有6个),(1)(2)(34)(56)(类似的有3个),(12)(35)(46)(类似的有6个), (253)(164) (类似的有8个)}。

所以例2：将等边三角形的三个顶点用红、蓝、绿三种颜色进行着色,问有多少种不同的着色方案? 如果 (1) 经旋转能重合的方案认为是相同的？ (2) 经旋转和翻转能重合的方案认为是相同的？解 (1) 等边三角形的三个顶点分别标记为1,2,3. {1,2,3}上的置换群为G={e,(123),(132)}其循环指标为)2(31),,(331321x x x x x P G +=所求染色方案数为11)323(31)3,3,3(3=⋅+=G P(2) 只是将(1)中的置换群变成G={e,(123),(132),(1)(23),(2)(13),(3)(12)}其循环指标为)32(61),,(21331321x x x x x x x P G ++=所求染色方案数为：10)33323(61)3,3,3(23=⋅+⋅+=G PPOJ 2409 Let it Bead 用M 种颜色的宝石嵌套长度为N 的项链，求出本质不同的方案数。

分旋转和翻转两种情况讨论，翻转的对称轴又分1024/)282623262(][123436)()()(2421=⨯+⨯+⨯+⨯+=+++=a c a c a c m m m Gl为两种：顶点与中心的连线为轴，顶点连线的中点与中心的连线为轴。

共有2n种置换。

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