新人教A版必修2高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程

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确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其 求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组， 进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标 和半径．
1．求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋ 1＝0上的圆的方程．
【解析】方法一(待定系数法)：
又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82 ＝ 5，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
分别计算点M，N，P到圆心C的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10> 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 4－32＋6－52＝ 2< 5， 所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．
4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
目标定位
重点难点
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握 重点：圆的标准方
圆的标准方程的特点．
程的求法．
2．会根据已知条件求圆的标准方程． 难点：圆的标准方
3．能准确判断点与圆的位置关系. 程的应用.
1．圆的定义及圆的标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
圆，设yx＝k，即y＝kx.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时
|2kk2－＋01|＝ 3，解得k＝± 3.
故yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
忽视标准方程的结构致错
【 示 例 】求 圆 (x ＋ 2)2 ＋ (y－ 3)2 ＝ b2(b≠0) 的 圆 心及半 径 长．
【错解】由圆的标准方程知圆心为(2，－3)，半径长为b. 【错因】在圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中，此 圆的圆心为(a，b)，半径长为r.此题错解是因为没有准确把握 圆的标准方程的结构形式.
【解析】(1)由已知，得C(3,0)，r＝|A2B|＝2， ∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4. (2)圆心C到直线x－y＋1的距离 d＝ |132－＋0＋－11|2＝2 2. ∴P到直线的最大距离为2＋2 2，最小距离为2 2－2.
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有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求
解．一般地，①形如k＝
是在圆外．
【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的 中点，得a＝4＋2 6＝5，b＝9＋2 3＝6.
又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝ 4－52＋9－62＝ 10， 故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圆心C(5,6)，分别计算点到圆心的距离： |CM|＝ 6－52＋9－62＝ 10， |CN|＝ 3－52＋3－62＝ 13＞ 10， |CQ|＝ 5－52＋3－62＝3＜ 10， 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
(2)圆的标准方程
2．点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆 内，判断点与圆的位置关系有两种方法． (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较． 若|CM|＝r，则点M在__圆__C__上__； 若|CM|>r，则点M在__圆__C_外___； 若|CM|<r，则点M在__圆__C_内___．
【解析】∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋( 3 )2＝4＝ m2，∴m＝±2.
4．已知圆C的圆心C在直线2x－y－7＝0上并与y轴交于两 点A(0，－4)，B(0，－2)，求圆C的方程．
【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则2aa2＋－b－－47－＝b02，＝r2， a2＋－2－b2＝r2，
【解析】x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
由几何意义可知距离最小值为14－ 52＋122＝1，则x2＋y2的最
小值为12＝1.
2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的
圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有a12＋－ba2＝2＋r21，－b2＝r2， 2a＋3b＋1＝0，
a＝4， 解得b＝－3，
r＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二(几何法)： 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由x2＋x＋y－3y1＋＝10＝，0， 得yx＝＝－4，3， 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝ 42＋－32＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
与圆有关的最值问题
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)， B(5,0)，
(1)求此圆的标准方程； (2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1 ＝0的距离的最大值和最小值． 【解题探究】求圆上的动点到定直线距离的最值时，过圆 心作已知直线的垂线，利用圆心到直线的距离求解．
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上) (1)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是________． (2) 圆 心 为 点 C(3,0) 且 经 过 点 P( － 1,3) 的 圆 的 标 准 方 程 是 ________． 【答案】(1)(－1,1) (2)(x－3)2＋y2＝25 3．思一思：圆的标准方程中有几个待确定的量？要求它 们需几个独立的条件？ 【解析】三个待确定的量a，b，r；要求它们需三个独立 的条件．
点与圆的位置关系
【例2】 已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径 的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，此 圆内，还是此圆外．
【解题探究】
直径两端 圆心坐标和 圆的标 将各点坐标代 点坐标 → 半径长可得 → 准方程 → 入方程判断
【解析】设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2 的中点得a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 4＝6，即圆心坐标为C(4,6)．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否 满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考 虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
1．(2019年安徽黄山校级模拟)若实数x，y满足(x＋5)2＋(y
－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2
B．1
C． 3
D． 2
【答案】B
【正解】由圆的标准方程知圆心为(－2,3)，半径长为|b|. 【警示】在求解圆的有关量的问题时，应特别注意各个量 的符号问题．
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a， b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依 据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效 率．
1．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( ) (3) 圆 (x ＋ 1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝ 4 的 圆 心 坐 标 是 (1,2) ， 半 径 是 4.( ) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
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(1)判断点与圆的位置关系的方法． ①只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可； ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号， 并作出判断． (2)灵活运用． 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不 等式或方程，求解参数范围．
2．如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还
圆的标准方程的求法
【例1】 写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C(3,4)处，半径是 5； (3)经过点P(2,5)，圆心在点C(－4，－3)处． 【解题探究】各小题全部给出了圆的圆心坐标，要求圆的 标准方程，需求出(或已知)圆的半径，再写出圆的标准方程．
【解析】(1)圆心为(0,0)，r＝3，方程为x2＋y2＝9. (2)方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5. (3)r＝ －4－22＋－3－52＝10， 方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝100.
y－b x－a
的最值问题可转化为求动直线斜
率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题转化为动直线截
距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题转化为圆上
一动点到定点(a，b)距离平方的最值问题．
3．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求
y x
的最大值和
最小值．
【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以 3 为半径的
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】B
【解析】由xx＝＋1y＝，2 得xy＝ ＝11， ， 即所求圆的圆心坐标为
(1,1)．又由该圆过点(1,0)，得其半径为 1，故圆的方程为(x－1)2
＋(y－1)2＝1.
3．若点 P(－1， 3)在圆 x2＋y2＝m2 上，则实数 m＝________. 【答案】±2
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来 确定．
点M(m，n)在__圆__C_上___⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在__圆__C_外___⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在__圆__C_内___⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.
解得a＝2，b＝－3，r2＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.