《高考数学第一轮复习课件》第31讲 等差概念及基本运算

1.已知数列 n}， 那么 “ 对任意的 ∈N*， 已知数列{a ， 那么“ 对任意的n∈ ， 已知数列 点 P(n,an) 都 在直线 y=-x+2 上 ” 是 “ 数列 {an}为等差数列”的( 为等差数列” ) 为等差数列 B A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
n=20或21. 或 所以当n=20或21时，Sn取最小值， 所以当 或 时 取最小值， 最小值为S 最小值为 20=S21=-630.
n(n 1) 3 (方法二 n=-60n+ 方法二)S 方法二 ×3= 2 2 2 41 3 41 2 3 = (n- ) - × 2 . 2 2 2
(n2-41n)
2 1 = an +1 an
3.（2010长沙市一中）{an}为等差数列， （ 长沙市一中） 为等差数列， 长沙市一中 为等差数列 1 . 则公差d= 且a7-2a4=-1,a3=0,则公差 则公差
2
a7-2a4=-1，得a3+4d-2(a3+d)=-1， ， ， 即2d-a3=-1，又a3=0，则d=， ，
a1 + an = (4)等差数列的前 项和公式 n=④ 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 项和公式S ④ 2 n(n 1) d,可以整理成 n= d n2+(a1- d )n, 可以整理成S ⑤ na1+ 可以整理成 2 2 2
的二次式. 当d≠0时,Sn的一个常数项为 的二次式 时 的一个常数项为0的二次式
因为n∈ 所以当 所以当n=20或21时，Sn取最小 因为 ∈N*,所以当 或 时 最小值为S 值，最小值为 20=S21=-630.
3 (41n-n2)； ； 2
(2)由an=3n-63≤0 n≤21, 由 所以当n≤21时，Tn=-Sn= 时 所以当
3 2
当n>21时,Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an 时 =Sn-2S21= (n2-41n)+1260.
1 = an
+a
1
n+2
(n∈N*),则该数列的通项 ∈ 则该数列的通项
.
1
1 + (n∈N*)知，{ }为 由 ∈ 知 为 an + 2 an 1 1 1 等差数列,且首项 公差d= - =1, 等差数列 且首项 =1,公差 公差 a1 a2 a1 1 1 1 所以 = a +(n-1)d=n，所以 n= . ，所以a an 1 n
变式 数 列 {an} 满 足 a1=a,a2=-a(a>0) ， 且
{an}从第二项起是公差为 的等差数列 ， 从第二项起是公差为6的等差数列 从第二项起是公差为 的等差数列， Sn是{an}的前 项和 的前n项和 的前 项和. (1)当n≥2时，用a与n表示 n与Sn; 当 表示a 时 与 表示 (2)若在 6 与 S7 两项中至少有一项是 n 的 若在S 两项中至少有一项是S 若在 最小值，试求a的取值范围 的取值范围; 最小值，试求 的取值范围 (3)若a为正整数，在(2)的条件下，设Sn取 若 为正整数 为正整数， 的条件下， 的条件下 S6为最小值的概率是 1， Sn取S7为最小值 为最小值的概率是p 的概率是p 比较p 的大小. 的概率是 2，比较 1与p2的大小
(2)等差数列的通项为② an=a1+(n-1)d .可 等差数列的通项为② 等差数列的通项为 可 整理成a 是关于n的 整理成 n=nd+(a1-d),当 d≠0时 ， an 是关于 的 当 时 一次式， 它的图象是一条直线上n为自然数 一次式 ， 它的图象是一条直线上 为自然数 的点的集合. 的点的集合 (3)对于 是 a、 b的等差中项 ， 可以表示 对于A是 、 的等差中项 的等差中项， 对于 成③ 2A=a+b .
a17 a9 所以公差d= =3. 又a9=-36,所以公差 所以公差 17 9
a16+a17+a18=3a17=-36 a17=-12.
首项a 所以a 首项 1=a9-8d=-60,所以 n=3n-63. 所以 (1)(方法一 设前 项的和 n最小 方法一)设前 项的和S 最小, 方法一 设前n项的和 则 an≤0 an+1≥0 ,n∈N*, ∈ 即 3n-63≤0 3(n+1)-63≥0, n∈N* ∈
1 2
.
4.在数列 n}中，an=2n- 1 ， 在数列{a 中 在数列 a1+a2+a3+…+an=an2+bn，n∈N*，其中 、 ， ∈ ，其中a、 2010 b为常数，则1000a+10102b= 为常数， . 为常数
1 因为a 所以{a 是首项为 因为 n=2n- 2 ，所以 n}是首项为 3 d=2的等差数列 a 1= ， 的等差数列， 的等差数列， 2 n(n 1) 2+ 1 n=an2+bn, 所以S d=n 所以 n=na1+ 2 2 1 所以a=1，b= ,所以 所以1000a+10102b=2010. 所以 ， 所以 2
题型二 等差数列的基本运算及最值 例2 在 等 差 数 列 {an} 中 ,a16+a17+a18=a9=-36,
其前n项的和为 n. 其前 项的和为S 项的和为 (1)求Sn的最小值，并求出 n取最小值时 的 求 的最小值，并求出S 取最小值时n的 值； (2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 求
当通项为a 当通项为 n=-n+2时，可推出数列 n} 时 可推出数列{a 为等差数列，反之不成立， 为等差数列，反之不成立，故为充分不必 要条件. 要条件
2.(2010苏州模拟 在数列 n}中 ， 若 a1=1， 苏州模拟)在数列 苏州模拟 在数列{a 中 ，
1 2 a2= ， 2 an +1 为 a=1 n n
显然， ， ， 显然，a23>0，a24<0，
数列a 数列 1>a2>a3>…>a23>0>a24>…, 所以前23项和取得最大值 所以前 项和差 数 列 定 义 常数) ∈ 常数 ① an+1-an=d(常数 .(n∈N*),这是证明一 这是证明一 个数列是等差数列的依据， 个数列是等差数列的依据，要防止仅由 前若干项， 常数),就说 前若干项 ， 如 a3-a2=a2-a1=d(常数 就说 常数 {an}是等差数列这样的错误，判断一个 是等差数列这样的错误， 是等差数列这样的错误 数 列 是 否 是 等 差 数 列 ,还 可 由 an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断 来判断. 即
2
5.在数列 n}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*), 在数列{a 中 在数列 ∈ 则该数列中乘积为负值的相邻两项 项 项 前 是 第23项、第24项 ,前 23 项和取得 最大值. 最大值
2 由已知得a 由已知得 n+1-an=- ，a1=15， ， 3 所以a 所以 n=a1+(n-1)d= 47 2n , 3
典例精讲
题型一 等差数列的判定与通项公式 例1已知数列 n}满足 n=2an-1+2n-1(n≥2),且 已知数列{a 满足 满足a 且
a4=81. (1)求数列的前三项 1,a2,a3; 求数列的前三项a 求数列的前三项
an 1 (2)求证 数列 求证:数列 为等差数列,并求通项 求证 数列{ n }为等差数列 并求通项 n. 为等差数列 并求通项a 2
(1)由已知，当n≥2时， 由已知， 由已知 时 an=-a+6(n-2),即an=6n-(a+12). 即 Sn=a1+a2+…+an
(n 1)(n 2) =a＋(n-1)(-a)+ 6 ＋ 2
=3n2-(a+9)n+2a+6.
(2)(方法一 由已知 当n≥2时,{an}是等差数列 公 方法一)由已知 是等差数列,公 方法一 由已知,当 时 是等差数列 差为6,数列递增 数列递增. 差为 数列递增 的最小值,则 若S6是Sn的最小值 则 得24≤a≤30. 的最小值,则 若S7是Sn的最小值 则 得30≤a≤36. 所以当S 两项中至少有一项是S 所以当 6与S7两项中至少有一项是 n的最小值 的取值范围是［ 时，a的取值范围是［24,36］. 的取值范围是 ］ a7≤0 即 a8≥0， 36-a≥0, ， 30-a≤0 a6≤0 a7≥0， ， 即 24-a≤0 30-a≥0 ,
(1)由题意，得n=4时， 由题意， 由题意 时 a4=2a3+24-1=81，解得 3=33； ，解得a ； 同理， -1=33，解得a =13； 同理，a3=2a2+23-1=33，解得a2=13； a2=2a1+22-1=13，解得 1=5. ，解得a 所以前三项a 所以前三项 1=5,a2=13,a3=33.
(方法二 由(1),当n≥2时,Sn=3n2-(a+9)n+2a+6,且 方法二)由 当 时 且 方法二 S1=a也满足此式， 也满足此式， 也满足此式 因为在S 两项中至少有一项是Sn的最小值 的最小值, 因为在 6与S7两项中至少有一项是 的最小值 解得24≤a≤36,从而 的取值范围是 从而a的取值范围是 解得 从而 的取值范围是[24,36]. (3)由(2)知，a∈{24,25,26,…,36}. 由 知 ∈
(2)因为 n=2an-1+2n-1，即an-1=2(an-1-1)+2n, 因为a 因为 ， 两边同除以2 得 两边同除以 n,得
an 1 令 n =cn，即cn=cn-1+1， ， 2