第三讲.方程综合运用
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组(学生)
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。
本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。
过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。
情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。
2．二元一次方程组的解法。
3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。
2．二元一次方程组的消元技巧。
3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。
教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。
2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。
3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。
★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。
（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。
2．整式加减的去括号的方法。
3．合并同类项的方法。
★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。
人教版高中选修4-6第三讲一次不定方程课程设计
人教版高中选修4-6第三讲一次不定方程课程设计一、课程背景不定方程是高中数学中的重要内容之一，也是选择性课程中的难点和重点。
本课程设计依据人教版高中选修4-6第三讲的教学内容，注重培养学生的解决问题的能力和灵活运用知识的能力。
通过本次课程设计，可以使学生掌握不定方程基础知识和解题方法，增强他们对数学的兴趣和信心。
二、课程目标1.掌握不定方程的定义和基础知识，了解不定方程解的存在条件。
2.掌握常见的不定方程解法，如整数解法、质因数分解法等。
3.培养学生的数学分析和问题解决的能力，让学生能够通过数学知识和方法解决实际问题。
4.激发学生的学习兴趣，提升学生的自信心。
三、教学重难点教学重点1.不定方程的定义和基础知识。
2.常见的不定方程解法。
教学难点1.针对不同类型的不定方程，选择合适的解法。
2.不定方程存在条件的分析。
四、教学过程设计活动1：导入环节（5分钟）1.物质激励：出示一句名言：“一个人的天才，往往就在于发现不确定的方程式中有确定的真理”。
2.引导学生思考：你对不定方程有什么了解？如何解决不定方程？3.向学生介绍本节课的主要内容和目的。
活动2：知识传授（20分钟）1.向学生讲解不定方程的定义，例举存在解的条件。
2.介绍常见的不定方程解法，如整数解法、质因数分解法等。
3.分类讲解不定方程的解法，让学生掌握如何针对不同类型的不定方程选择合适的解法。
4.强调不定方程的重要性和实际应用。
活动3：案例分析（25分钟）1.选择一两个常见的不定方程案例进行分析和解决，让学生参与其中，提高他们的分析和解决问题的能力。
2.引导学生通过解决问题的过程，巩固不定方程的基础知识和解题方法，并帮助他们理解和掌握不定方程的运用。
活动4：总结回顾（10分钟）1.回顾本节课的主要内容和知识点。
2.总结不定方程的应用情况和实际意义。
3.鼓励学生继续学习和探索更多的数学知识。
五、教学评估1.课堂练习：出一些典型的不定方程题目，让学生自己解决，检验他们的掌握程度。
六年级下册小升初试题- 式与方程 讲义及练习题 通用版(无答案)
第三讲式与方程第一部分知识点梳理1.用字母表示数（1）用字母表示数量关系。
如：路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系： s=vt v=s/t t=s/v总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc b=a/c c=a/b （2）用字母表示计算公式。
如：正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s 表示：c=4a s=a平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示： s=ah（3）用字母表示运算定律。
如：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)（4）求代数式的值：把给定字母的数值代入代数式，计算出所得结果叫代数式的值。
2.等式的意义、性质（1）意义：用等号连接起来的式子叫等式。
（2）性质：①等式的两边同时加上(或减去)相等的数，两边依然相等。
②等式两边同时乘（或除以）相等的不为0的数，两边依然相等。
3.方程、解方程（1）方程意义：含有未知数的等式叫做方程。
（2）等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但等式却不全是方程。
注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
（3）解方程与方程的解：解方程：求方程中求知数的过程叫解方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（4）简易方程的解法：①根据四则运算各部分之间的关系解方程。
②根据等式基本性质解方程。
第二部分精讲点拨例1 根据乘法分配律填空。
（1）5x+9x=( + )x=( )x （2）8m-5m=( - )m=( )m （3）18×（8+y)=( )+( )=( )举一反三：1. a×b-b×c=( - )×( )2. a-b-c=a-( )2.(a+b)÷31=a ÷( )+( )÷31=a ×( )+( )×3 例2 用含字母的式子表示下面各题的计算公式。
（1）一个长方形的周长是C 厘米，长是a 厘米，则宽是多少厘米？（2）一个三角形的面积是S 平方厘米，高是h 厘米，则底是多少厘米？举一反三：1.一个平行四边形的面积是S 平方厘米，高是h 厘米，则底是多少厘米？2.一个梯形的面积是S 平方厘米，上底是a 厘米，下底是b 厘米，求梯形的高s 是多少？3.用a 表示单价，b 表示单价，c 表示总价。
六年级奥数-第3讲-方程综合运用
六年级奥数-第3讲-方程综合运用教学目标1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组）。
例题精讲【例1】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【例2】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abcdefg应是．【例3】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【例4】小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有多少本书？【例5】一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：进球数人数071524…………8394101还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？第1页共5页【例6】甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量．【例7】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花120元，问这个旅游团一共有多少人？【例8】有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
中考数学专题训练第3讲一次方程与一元一次不等式(知识点梳理)
整式知识点梳理考点01 方程的有关概念一、等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。
2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果b a =，那么c b c a ±=±（c 为一个数或式子））。
（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果b a =，那么bc ac =.如果）（0≠=c b a ，那么cb c a =） 3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果b a =，那么a b =。
（2）传递性：如果b a =，c b =，那么c a =。
二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。
2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。
3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值.（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。
5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。
6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。
7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。
8.一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数.（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：),0(0是已知数、b a a b ax ≠=+。
考点02 解一元一次方程与一元一次方程的应用一、解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。
2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）.（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）.（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）.（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“b ax =”的形式（0≠a ）.（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a 得方程的解为ab x =。
第三讲 列方程解应用题
第三讲列方程解应用题班级__________姓名___________应用题：1、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成。
现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时，那么甲打字用了多少小时？2、某粮库上午运走全部存粮的又1500袋，下午又运进粮食5500袋，这时粮库中的存粮比原来少，那么原来粮库存粮多少袋？3、甲、乙两人各有钱若干元，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花去后，又花去余下的，如果这时甲给乙7元钱，甲、乙两人的钱数正好相等，求甲原来有多少钱？4、李明到商店买一盒花球、一盒白球，两盒球的数量相等。
花球原价是1元钱2个，白球原价是1元3个。
节日降价，两种球的售价都是2元钱5个，结果李明少花了4元钱。
求他共买了多少个球？5、甲、乙两人各有人民币若干元。
如果甲用去20元，余下的钱与乙相等；如果乙给甲12元，则乙余下的钱的与甲这时身上钱的相等。
求甲、乙原本有人民币各多少元?6、果品店有苹果和梨两种水果，梨占两种水果总数的。
卖了2吨苹果和1吨梨后，梨占两种水果总数的。
求水果店原来有两种水果共多少吨？7、五、六年级电脑班共有学生90人，其中男生有71人。
五年级男生占该年级电脑班学生数的，六年级男生占该年级电脑班学生数的。
求五、六年级各有多少人参加电脑班？8、茶叶店运到一级茶和二级茶各一批，其中二级茶的数是一级茶的。
一级茶的买入价是每千克24.8元，二级茶的买入价是每千克16元。
现在照买入价加价出售，当二级茶全部售完，一级茶剩下时，共盈利460元。
求运到的一级茶有多少千克？9、果品店有苹果和梨两种水果，梨占两种水果总数的。
卖了2吨苹果和2吨梨后，梨占两种水果总数的。
求水果店原来有两种水果共多少吨？10、甲、乙两人共存款2000元，后来甲又存入100元，乙取出自己存款数的，这时甲的存款数是乙的2倍。
求现在两人共存款多少元？。
小学奥数模块教程第3讲 列方程解应用题
第3讲 列方程解应用题【知识巩固】 解下列关于x 的方程：（1）6754x x -=+ （2）()()4413222x x -=-（3）()72684x -= （4）()()9232521x x --=-（5）()583x x -= （6）4.29 2.5 2.9x x -=+【思维规律】在一些数量关系比较复杂的数学题中，要列出算式来解答难较大，有时甚至要无法列出，这时我们可以考虑用列方程的方法来解答。
列方程解应用题的一般方法是：先设未知数，然后把未知数和已知数同等看待，根据题意求出方程的解。
列方程解应用题是小学数学中一个比较重要的数学思想方法。
【例题讲练】例1、小惠今年6岁，爸爸今年的年龄是她的5倍，几年后爸爸的年龄是小惠年龄的3倍？例2、甲乙两筐有苹果若干千克，甲筐重量是乙筐的3倍。
如果甲筐取出150千克，乙筐增加50千克，甲、乙两筐的重量就相等，求甲、乙两筐原重各多少千克？例3、小华看一本书，如果每天看30页，则最后一天要多看17页；如果每天看35页，则最后一天要少看18页。
这本书有多少页？计划看多少天？例4、幼儿园分四个买来一些苹果，如果每个小朋友分4个，则多4个；如果每个小朋友分5个，则又少20个，问幼儿园有几个小朋友？买了多少个苹果？（盈亏问题）例5、某车间生产甲乙两种零件，生产的甲零件比乙零件多12个，乙零件全部合格，甲零件只有45合格，两种合格的零件一共有42个，两种零件各生产了多少个？例6、甲乙两个商店共有电视机118台，甲商店卖出原有的35，乙商店卖出6台，则甲乙两家商店剩下的电视机数相同，甲乙两家商店原有各有电视机多少台？例7、甲乙两校共有22人参加数学竞赛，甲校参加人数的15比乙校参加人数的14少1人，甲乙两校各有多少人参加数学竞赛？例8、一个班的女同学比男同学的23多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男女生人数正好相等。
这个班男、女生各有多少人？例9、某工厂第一车间人数比第二车间的45多16人，如果从第二车间调40人到第一车间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？例10、生产一批零件，第一天生产了180件，第二天生产的是总数的14少30个，两天共生产了总数的13，这批零件共有多少个？【培优高手】1. 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男女生得优的一共有42人，男、女生参加数学竞赛的各有多少人？2. 六年级甲班比乙班少4人，甲班有13的人，乙班有14的人参加了课外数学组。
第3讲数学第2章《一元二次方程》
八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
2、因式分解法是解一元二次方程的最常用的方法。
3、“a ≠0”是一元二次方程的前提，是一个重要的隐含条件。
4、因式分解法将一元二次方程转化成一元一次方程来解，体现了“转化化归”的数学思想。
例题精选：例1、把方程（2x －1）（3x+2）＝x 2+2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2、已知关于x 的方程()()012112=--+++x m x m m，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？例3、用因式分解法解方程：（1）2x 2－5x ＝0 （2）x （2x －7） + （2x －7）＝0（3）4x 2－9＝0 （4）25（x+3）2－16＝0（5）（2x+1）2＝2（2x+1） （6）4x 2－4x+1＝0（7）4（y －1）2＝（3y+1）2 （8）（3x+2）2－2（3x+2）－3＝0例4（1）若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一个根是－1，则a+b＝ . （2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0（3）解方程3x（x+2）＝5（x+2）时，两边同除以x+2，得3x＝5.你认为对还是错： . （4）若x＝n是关于x的方程x2+mx+2n＝0的非零实数根，则m+n的值为 .（5）已知实数m，n满足3m2+6m－5＝0，3n2+6n－5＝0，且m≠n，则nm + mn＝ .例5、已知a，b为实数，关于x的方程x2-（a-1)x+b+3＝0的一个根为a+1，（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式b2－4a2+10b的值.例6、（1）已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2－m）（m－2m+ 1）的值. （2）已知m2+m－1＝0，求m3+2m2－2018的值.（3）已知3x2－x＝1，求9x4+12x3－2x2－7x +2018 的值学生练习：1关于x的一元二次方程（m2－m－2）x2+mx+1＝0成立的条件是（）A.m≠－1B. m≠2C. m≠－1 或 m≠2 D . m≠－1 且 m≠22、下列方程中，一元二次方程共有（）①x2－2x－1＝0；②1y+ 3y－5＝0；③－x2＝0④(x+1)2+y2＝2；⑤(x－1)(x－3)＝x2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3、若关于x的一元二次方程()1-a x2+x+a-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A.-1B. 0C. 1D.-1或14、利用平方法可以构造一个整系数方程.如：当x=12+时，移项得x-1＝2，两边平方得（x-1）2＝()22，所以得x 2－2x －1＝0.依照上述方法，当x ＝216-时，可以构造出一个整系数方程是（ ） A. 4x 2+4x+5＝0 B. 4x 2+4x －5＝0 C. x 2+x+1＝0 D. x 2+x －1＝05已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，若4a －2b+c ＝0，则它的一个根是（ ）A.－2B. －12 C. －4 D. 26若关于x 的方程x 2+(m+1)x + 12＝0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则m 的值为（ ）A.－52B. 12C.－ 52或12 D. 17、若x 0是方程ax 2+2x+c ＝0的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0+1)，则M 与N 的大小关系正确的是（ ） A .M>N B. M ＝N C. M<N D. 不确定8、若a 是方程x 2－2x －1＝0的解，则代数式2a 2－4a+2017的值为 .9、已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m x m m m是一元二次方程，则m = .10、已知m ，n 都是方程x 2+2017x －2019＝0的根，则（m 2+2017m －2018)(n 2+2017n －2020)＝－ .11、若关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1 （a ≠0),则方程a(x+m+2)2+b ＝0的解是 .12、解方程：（1）2x 2－6＝0 （2）（x －4）2＝16（3）2（3x －2）2＝34 （4）3（x+5）2＝11（5）（x －1)2－2(x －1)＝0 (6)(2x+1)2＝6x+3（7）（3x－4)(x+1)+4＝0 (8)x(x－10)+25＝02 是方程x2－4x+c＝0的一个根，求c的值.13、已知x＝514、若方程x2－6x－k－1＝0与x2－kx－7＝0仅有一个公共的实数根，试求k的值和公共的根.15、已知m是方程x2－2x－5＝0的一个根，求下列代数式的值：（1）m3－2m2－5m－9；（2）m3+m2－11m－916、设a>2,b>2，试判断关于x的方程x2－(a+b)x+ab＝0与x2－abx+(a+b)＝0有没有公共根，请说明理由.17、选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2＝（x－2）2－2；②选二次项和常数项配方：x2-4x+2＝（x－2）2+（22－4）x或原式＝（x+2）2+（22+4）x③选取一次项和一次项配方：x2-4x+2＝（2x－2）2－x2.根据以上材料，解决下列问题：（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求y x的值.八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
第三讲 谈谈与方程(组)相关的问题
第三讲 谈谈与方程（组）的解相关的问题一、蓦然回首，温故亦知新。
解下面的方程（组）：1、6531223-=++-x x x2、⎩⎨⎧=+=-13y x y x 3、⎩⎨⎧=+=-1732723y x y x 二、和蒋老师一起快乐探索吧！。
例1若及都是方程ax+by+2＝0的解，试判断是否为方程ax+by+2＝0的又一个解?例2. 已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩和2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求2a 2+3b 的值.例3. 在解方程组⎩⎨⎧bx+ay=10x-cy=14时，甲正确地解得⎩⎨⎧x=4y=-2，乙把c 写错而得到⎩⎨⎧x=2y=4，若两人的运算过程均无错误，求a 、b 、c 的值。
例4、方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解与x 与y 的值相等，求k 的值。
三、让我测测我的学习效率！1、已知方程ax+by ＝11，它的解是求a ，b 的值。
2、当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）•有相同的解，求a 的值．3、已知方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩和31ax by ax by +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求222a ab b -+的值4、若关于x 、y 的二元一次方程组3522718x y x y m +=⎧⎨+=-⎩，的解x 、y 互为相反数，求m 的值．四.作业再练，让我拓展与升华！1、解下面的方程组（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （3）⎩⎨⎧=--=--023*********y x y x2、已知方程组734521x y x y m +=⎧⎨-=-⎩的解能使等式437x y -=成立，求m 的值．3将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？五、谈谈我的收获。
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究
第三讲方程(组)
明士教育格式化备课课题:第三讲方程（组）课型：备课人：备课时间: 科目：本备课适合学生：教学目标：教学内容：考点一、一元一次方程的概念考点二、一元二次方程考点三、一元二次方程的解法考点四、一元二次方程根的判别式考点六、分式方程考点七、二元一次方程组重点难点：教学策略与方法：教学过程设计：本备课改进：第三章方程（组）考点一、一元一次方程的概念（6分）1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程=0≠ax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数+bxa为未知数，（0）项。
考点二、一元二次方程（6分）1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点三、一元二次方程的解法 （10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
寒假讲义-数学-七年级-第3讲-一元一次方程综合复习
分母小数化为整数，是为了方便去分母，即分式的分子 分母同时乘以一个数，使小数化为整数
【例题精讲】
（1） ; （2） .
【课堂练习】
1、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程 ，求m的值.
2、如果代数式 与 的值互为相反数，那么x=_______.
★等式：含有“=”
★整式方程：分母中不含有字母
【例题精讲】
例1. 下列方程： ； ； ；④ ；⑤ ；⑥ .其中，一元一次方程的个数是________.
例2. 若方程 是关于 的一元一次方程，则 =________.
【课堂练习】
1、下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2、若关于 的方程 是一元一次方程，则 =________.
5、求盈亏
[例5]某商店有两种进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【知识梳理】
方案选择问题
【例题精讲】
例1：某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听和书包的单价和452元，且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元。某天该超市打折，A超市所有商品打8折出售，B超市购物每满100元返购物券30元，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两件物品，你能说明他可以选择哪一家吗？若两家都可以选择，哪家更省钱呢？
【例题精讲】
例1. 一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50 个或做桌腿300条，现有5m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面， 多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌．
第三讲整式、分式、函数,方程和不等式讲义
第二部分 初等代数第三讲 整式、分式和函数一、整式与分式1、⎧⎨⎩单项式：若干字母与数字之积整式多项式：若干单项式之和2、乘法运算（1）单项式×单项式 2x ·32x =63x （2）单项式×多项式 x （2x-3）=22x -3x （3）多项式×多项式（2x+3）（3x-4）=62x +x-12 3、乘法公式（重点） （1）222()2a b a ab b ±=±+（2）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 2222()222a b c a b c ab bc ac --=++-+-（3）33322()33a b a b a b ab +=+++33322()33a b a b a b ab -=--+（4）22()()ab a b a b -=+-（5）3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++（6）2222221()()()2ab c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦ 4、分式：用A,B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中还有字母，式子AB就叫分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
在解分式方程的时候要注意检验是否有増根.5、有理式：整式和分式统称有理式.6、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.7、分式的约分：其目的是化简，前提是分解因式.8、分式通分：目的是化零为整，前提是找到公分母，也就是最小公倍式.9、分式的运算：加减法：a c a cb b b ±±= bdbc ad d c b a ±=±乘法：bdacd c b a =⋅除法：bcad c d b a d c b a =⋅=÷乘方：nnn ba b a =)(10、余式的定义（重点）：被除式=除式×商+余式F(x)=f （x ）g(x)+r(x)当r （x ）=0时，称为整除 11、()()()f x x a f x x a -⇔-含有（）因式能被整除. 12.因式定理（重点）：f(x)含有（ax-b ）因式⇔f(x)可以被（ax-b ）整除⇔f(ba)=0 f(x)含有（x-a ）因式⇔f(a)=0 13、余式定理（重点）： f(x ）除以ax-b 的余式为f(b a)二、因式分解常用的因式分解的方法 1、提公因式法 例 222224223)3(2)96(218122y x x y xy x x xy y x x -=+-=+-2、公式法))(()(33))(()(222333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b a b a b a b ab a +±=±±=±+±-+=-±=+±3、十字相乘因式分解，适用于2ax bx c ++.三、函数：指数和对数的性质（一）指数(,01)xa a a >≠指数函数且 1、n m n ma a a+=⋅ 2、n m n m a a a -=÷ 3、mn nm a a=)( 4、m m m b a ab =)(5、m m mb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 6、）（0.......1≠=-a a a n n 7、100=≠a a时，当（二）对数(log ,01)a x a a >≠对数函数且 1、对数恒等式 N N e N a N a ln log ==，更常用 2、N M MN a a a log log )(log += 3、N M NMa a a log log )(log -= 4、M n M a na log )(log =5、M nM a na log 1log =6、换底公式aMM b b a log log log =7、1log 01log ==a a a ，四、经典例题： 例1322()11f x x a x ax x a =++-+=能被整除，则( ).（A ）2或-1 （B ）2 （C ）-1 （D ）2± （E ）1±例2()f x 除以213x x ++余，除以余-1，则()f x 除以()()23x x ++的余式为( ).（A ）25x - （B ）25x + （C ）1x - （D ）2x + （E ）21x -例3 22223(ac )(),,b a b c a b c ++=++则的关系为 ( ).（A ）a b b c +=+ （B ）1a b c ++= （C ）a b c ==（D ）1ab bc ac === （E ）1abc =例4 2222,22,,236A x yB y zC z x A B C πππ=-+=-+=-+,,则( ).（A ）至少有一个大于0 （B ）都大于0 （C ）至少有一个小于0 （D ）都小于0 （E ）至少有两个大于0例5 已知22(2000)(1998)1999(2000)(1998)a a a a --=-+-=,则( ).（A ）4002 （B ）4012 （C ）4020 （D ）4022 （E ）4000例6 2214,28x xy y y xy x x y ++=++=+=，则( ).（A ）6或-7 （B ）6或7 （C ）-6或-7 （D ）-6或7 （E ）6例7 22213102xx x x-+=+-=，则( ). （A ）2 （B ）3 （C ）1 （D ）2 （E ）5例8(252)(472)(692)(8112)(201420172)(142)(362)(582)(7102)(201320162)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+（ ）.（A ）1002 （B ）1008 （C ）1028 （D ）988 （E ）968例9 3322015220152013201520152016-⨯-=+-（ ）.例10 已知11252000,802000x yx y==+=，则( ). （A ）12（B ）32（C ）1 （D ）2 （E ）3例11 已知0.30,log 33,,a b c a b c ππ===，,则关系为( ).（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >> （E ）c b a >>例12 已知log 2log 20,a b a b <<,则关系为( ).（A ）01a b <<< （B ）01b a <<< （C ）1a b >> （D ）1b a >> （E ）1b a >>例13 已知3342727xx x x --+=+=，则( ).（A ）64 （B ）60 （C ）52 （D ）48 （E ）36方程 不等式一、基本定义1、元：方程中未知数的个数； 次：方程中未知数的最高次方数.2、一元一次方程 ()0ax b a =≠ 得b x a=3、一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax⇔一元二次方程02=++c bx ax ，因为一元二次方程就意味着0≠a。
第3讲 一元一次方程
第三讲一元一次方程一、一元一次方程二、等式的性质1、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么2、分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
3、例题演练注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：“表示同一个量的两个不同式子相等”．分析：方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x），含字母的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？＝《一元一次方程》测试卷一、选择题（3分×12分=36分）1、下列四个式子中，是一元一次方程的是A 、2x －6B 、x －1＝0C 、2x ＋y=5D 、321+x =1 2、下列等式变形中，结果不正确．．．的是( ) A ．如果a=b, 那么a ＋2b=3b ， B ．如果a b =，那么a －m=b －mC ．如果a=b ， 那么ac 2=bc 2D ．如果3x=6y －1,那么x=2y －13、下列方程中，解为x=4的方程是( )A ．13-=-xB ．x x =-26C ．1372x +=D ．4254-=-x x 4、解方程3x －2=3－2x 时,正确且合理的移项是（ ）A 、－2+3x=－2x+3B 、－2+2x=3－3xC 、3x －2x=3－2D 、 3x+2x=3+25、在解方程21x －－332x ＋＝1时，去分母正确的是 A 、3（x －1）－2（2＋3x ）＝1 B 、3（x －1）－2（2x ＋3）＝6C 、3x －1－4x ＋3＝1D 、3x －1－4x ＋3＝66、根据下列条件可以列出一元一次方程的是（ ）A 、x 与1的差的一半B 、一个数的两倍比－2小3C 、x 的21大于x 的31D 、a 与b 的平方和7、已知a 是一个两位数，b 是一个三位数，将a 写在b 的前面组成一个五位数，则这个五位数可以表示为（ ）A 、abB 、10＋bC 、100a ＋bD 、1000a ＋b8、若a 、b 互为相反数（a ≠0），则关于x 的方程ax ＋b=0的解是（ ）A 、x=1B 、x =－1C 、x =1或x =－1D 、不能确定9、某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个苹果？设有x 个苹果，则可列方程为（ ）A 、3x ＋1=4x －2B 、4231+=-x xC 、4231-=+x xD 、4132-=+x x 10、A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行.已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）.（A ）2或2.5 （B ）2或10 （C ）10或12.5 （D ）2或12.511、甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需（ ）.（A ）9天（B ）10天 （C ）11天（D ）12天12、某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）．（A ）既不获利也不亏本 （B ）可获利1％ （C ）要亏本2％ （D ）要亏本1％二、填空题（3分×4=12分）13、．已知方程(m+1)x ∣m ∣+3=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 ．14、一列方程如下排列：1214=-+x x的解是x=2，1226=-+x x 的解是x=3, 1238=-+x x 的解是x=4,……，根据观察得到的规律，写出其中解是x=6的方程： ．15、在等式3a －5=2a ＋6的两边同时减去．．一个多项式可以得到等式a=11,则这个多项式是 ．16、某商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价20元，售价28元；乙种商品每件售价45元，利润率为50％。
第三讲(方程A3)
第三讲 方程方程基本知识：①含有未知数的等式叫做方程，②方程一定是等式，但等式不一定是方程。
③x=0是方程。
④使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，求方程的解的过程叫做解方程。
基本例：4884848484=÷=÷=⨯=-=+x x x x x类型练习题 （1）8.65.44.55.473.6103.8=÷==÷=+x x x x（2）1.45.1949.83.248821863=-=+=-=+x x x x（3）()()()942391912183392.1124.08=+÷=+=÷+=⨯+x x x x（4）543165.412546245.1865.2=--=÷=⨯-=-x x x x x x（5）()()7.426.15.4280048104.2338.065.22432=+=+=+⨯=÷+x x x x x（６）要使4x-8的值等于16，x 应是（ ）。
（７）2.5x+16中，当x=（ ）时，结果是40，当x=8时，结果是（ ）。
（８）x 除以7.2，商是0.8。
x 的8倍是16.8。
6.86比x 多0.28，求x 。
（９）一个数的5倍减去3.6的差是4.1，求这个数。
一个数的4.5倍比它的3倍多3.3，求这个数。
（10）一个数的6倍加上4乘8的积，和是85.4，求这个数。
（11）一个数的6倍减去7.5除以2.5的商，差是1.8，这个数是多少？（12）学校买了25个篮球和30个足球，共付出690元，每个足球12元，每个篮球多少元？（13）修一条路，如果每天修60米，20天完成，如果要求提前4天完成，每天修多少米？（14）学校运来10吨煤，烧了8天后还剩4吨，平均每天烧煤多少吨？（15）甲车每小时比乙车多行10千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，求乙车的速度是多少？（16）甲乙两车间共生产零配件9900个，甲车间生产的个数是乙车间的1.2倍，乙车间生产零配件多少个？（17）妈妈今年的年龄是小红年龄的4.5倍，妈妈比小红大28岁，妈妈今年多少岁？小红呢？（18）五个连续自然数的和是200，这五个自然数分别是多少？。
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为 0 7 1 5 2 4 6 x 7 5 4 5 8 6 x 16 6 x 83 ； 也等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数， 为 3 x 3 4 1 8 3 9 4 10 1 3 x 8 24 36 10 3x 46 ； 由此可得方程： 6 x 83 3x 46 ，解得 x 43 ． 故共有 43 人参加测验． 【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量， 需另付行李费，三人共付 4 元，而三人行李共重 150 千克．如果一个人带 150 千克的行李，除免 费部分外，应另付行李费 8 元．求每人可免费携带的行李重量． 【解析】 设每人可免费携带 x 千克行李．一方面，三人可免费携带 3x 千克行李，三人携带 150 千克行李超 重 150 3x 千克，超重行李共付 4 元行李费；另一方面，一人携带 150 千克行李超重 150 x 千 克，超重行李需付行李费 8 元．根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程： 150 3x 150 x ， x 30 ．所以每人可免费携带的行李重量为 30 千克． 4 8 【例 7】 某旅游点有儿童票、 成人票两种规格的门票卖， 儿童票的价格为 30 元， 成人票的价格为 40 元， 如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票， 一个由 8 个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大 人，或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各自买票少花 120 元，问这个旅游团一共有多少人？ 【解析】 设八个家庭中有 x 个是三口之家， y 是个两口之家，则 20 (21 x) 24 (21 y) 924 20x 24 y ，所以旅游团一共有 16x 18 y 924 20x 24 y 人。 【例 8】 有一队伍以 1.4 米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.6 米/秒的速度 从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10 分 50 秒。问：队伍有多长？ 【解析】 这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍 长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到 排头用了 x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了 650 x 秒，于是不难列方程。 设通讯员从末尾赶到排头用了 x 秒，依题意得， 2.6 x 1.4 x 2.6 650 x 1.4 650 x ，解得 x 500 推知 队伍长为 2.6 1.4 500 600 （米） 。 【巩固】 解放军某部快艇追及敌舰，追到 A 岛时敌舰已逃离该岛 12 分钟，敌舰每分钟行 1000 米，我军快 艇每分钟行 1360 米。如果距敌舰 600 米处可以开炮射击，解放军快艇从 A 岛出发经过多少分钟 可以开炮射击敌舰？ 【解析】 根据题意可以知道题中的等量关系是：解放军所行路程-敌舰所行路程= 600 米 设解放军快艇从 A 岛出发经过 x 分钟可以开炮射击敌舰，由题意得： 1360x (1000 12 1000x) 600 1360 x 1000 x 600 12000 x 35 所以，解放军快艇从 A 岛出发经过 35 分钟可以开炮射击敌舰。 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上， 有一行人与骑车人同时向南行进， 行人速度为 3.6 千米/时， 骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过 骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？ 【解析】 本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时= 1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时= 3 米/秒。 火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火 车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为 22 x 1 或 26 x 3 ，由此不难列出方程。 设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得 22 x 1 26 x 3 ，解得 x 14 。 所以火车的车身长为 14 1 22 286 （米） 。 【例 9】 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时；丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁? 【解析】 设丙 22 岁时，乙的年龄是 x 岁，当时甲的年龄就是 2 x 岁，甲乙的年龄差为 x 岁． 那么甲是 3l 岁时，乙是 (31 x) 岁，丙是 22 (31 2x) 53 2x 岁， 列方程得， 31 x 2(53 2x) ，解得 x 25 ， 所以乙 25 岁时，甲 50 岁，丙 22 岁．那么甲 60 岁时，丙 32 岁．
第三讲 方程综合运用
教学目标 1、会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法 2、根据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组 3、合理规划等量关系，设未知数、列方程（组） 。 例题精讲 【例 1】 用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计 32 块，缝制成一个足球，如图所示， 每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与 3 个黑色皮块及 3 个白色皮块相邻 接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？
进球数 人数
0 7
Hale Waihona Puke 1 52 4„„ „„
8 3
9 4
10 1
还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进不到 8 个球的人平均投进 3 个球．问：共有多少人参加 测验？ 【解析】 设有 x 人参加测验． 由上表看出，至少投进 3 个球的有 x 7 5 4 人，投进不到 8 个球的有 x 3 4 1 人． 投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数，
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【巩固】 甲、乙两人在 10 年前的年龄比为 2：3，现在他俩的年龄比为 3：4，那么 10 年后他俩的年龄比 为多少？ 【解析】 设 10 年前甲的年龄为 2 x 岁，则当时乙的年龄为 3x 岁，那根据现在两人的年龄比可得方程： 2x 10 : 3x 10 3: 4 ，等式两边前后项交叉相乘可得 8 x 40 9 x 30 ，解得 x 10 ，所以 10 年前甲的年龄为 20 岁，乙的年龄为 30 岁，10 年后两人分别是 40 岁、50 岁，10 年后两人的年龄 比为 4：5． 【巩固】 已知哥哥 5 年后的年龄与弟弟 3 年前的年龄和恰好是 29 岁， 而弟弟现在的年龄是两人年龄差的 4 倍，那么试问哥哥今年多少岁？ 【解析】 在这道题中，哥哥和弟弟的年龄是多少都不知道，未知的量不止一个，那么如何设未知数成了问 题的关键．按理说弟弟的年龄小，如果设弟弟的年龄未知数，那哥哥的年龄如何表示，这就要涉 及到题目中的一个条件——弟弟现在的年龄是两人年龄差的 4 倍．通过这个条件可以发现，原来 年龄差是他们两人年龄的最基本的组成元素． 设他们两人的年龄差是 x 岁，那么弟弟现在的年龄是 4 x 岁，而哥哥现在的年龄是 4 x x 5 x 岁．根据“哥 哥 A 年后的年龄与弟弟 B 年前的年龄和恰好是 B 岁”这个条件可以得出方程，两个人的年龄差是 M 岁， 于是弟弟的年龄是 A 岁，哥哥的年龄是 B 岁． 1 【例 10】 金银合金的重量是 250 克，放在水中称重时，重量减轻了 16 克，已知金在水中称重量减轻 ， 19 1 银在水中称重量减轻 ，求这块合金中金、银各含多少克？ 10 【解析】 设 250 克合金中，金有 x 克，则银有 (250 x) 克；依题意： 1 1 x (250 x) 16 ，解得 x 190 ， 19 10 所以这块合金中金有 190 克，银有 250 190 60 克． 【巩固】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重 6 千克，乙块重 4 千克，现在从甲、乙两块合金上各切 下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部 分与甲块剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则切下的重量为 ________千 克． 【解析】 设切下的部分重量为 x 千克，则甲切下的 x 千克与乙剩下的 (4－x) 千克混合．由于得到的两块新 合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合 金的含铜率相同， 而这一大块合金是由 6 千克甲块合金与 4 千克乙块合金混合而成的， 所以 9 : 7 千 克甲块合金与 7 : 5 千克乙块合金混合后的含铜率与 x 千克甲块合金与 y 千克乙块合金混合后的含 铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即 x 1 : y 9 : 7 x 28 2 ，所以： ，解得 28 21 49 ．即切下的重量为 千克． 7 y 21 x : y 1 7 : 5 【例 11】 从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们．题目是：我有金、 银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中 (7 x 70) : (3x 70) 7 : 4 的首饰送给第 一个算对这个题目的人，把银箱中 x 30 的首饰送给第二个算对这个题目的人，然后我再从金箱 中拿出 7 30 210 件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出 3 30 90 件送给第四个算对 这个题目的人．最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多 2 件，银箱中剩下的首饰与分掉的比是 x ．王子的金箱中原来有首饰________件，银箱中原来有首饰________件． x 7 y 3 x 210 【解析】 设原来金箱中有首饰 y 件，银箱中有首饰 x 70 7 件，则： y 90 ， 90 ，解得 3 ， 7 3 4 ， y 70 4 故金箱中原来有首饰 7 4 3 件，银箱中原来有首饰 [3,4] 12 件． 【例 12】 运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车比 丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，这三车苹果共 有多少个？ 【解析】 设乙车运来 x 箱，每箱装 y 个苹果，根据题意列表如下：