方腔顶盖驱动流流场数值预测

方腔顶盖驱动流流场数值预测

摘要：本文分别采用一阶迎风格式（FUD）、中心差分格式(CD)和乘方格式(PLD)计算方腔顶盖驱动流，计算结果同Ghia et al结果进行比较。由计算结果可得出，一阶迎风引起的假扩散最大，计算结果偏离基准解最远，中心差分格式和乘方格式同基准解已经非常接近。但中心差分格式不稳定，不易收敛。网格数变化也会对结果产生影响，网格划分越多，计算结果与基准解越接近，而计算的时效性越差，所以在划分网格时，我们需要综合考虑其准确性和时效性，选用合理网格数。关键字：一阶迎风格式，中心差分格式，乘方格式，网格数

The prediction of flow field in the flow in driven cavity Abstract:In this paper, the three discrete formats of the equation convection (PLD, FUD and CD) was used to calculation the flow field in the flow in driven cavity. Through the compared with Ghia et al, we found that the false diffusion is the largest caused by the FUD, and the deviation of the calculation results from the exact solution, CD is the least , PLD come next and FUD is the largest. But CD is instability, it’s difficult converg ence. The changes of grid number will have an impact on the results. By the analysis, the more grid, the closer of the calculated results with the exact solution, and the worse of the calculated timeliness, so meshing, we need consideration of it’s accurac y and timeliness, to get a reasonable number of grid.

Key words: FUD ，CD，PLD, the number of grid

引言

对流-扩散方程离散格式的稳定性与准确性一直是数值传热学中的一个重要问题，而对流-扩散方程的离散关键在于对流项的离散。对流项常见的离散格式有乘方格式（PLD），一阶迎风格式（FUD），中心差分格式（CD）,这三种格式在计算精度和计算时效上各有优缺点。

方腔顶盖驱动流是考核程序的经典算例之一，本文就以上三种格式在雷诺数分别为100、400、1000、3200的情况下对方腔顶盖驱动流流场进行数值预测，并将其计算结果与Ghia et al结果进行对比分析。

1. 控制方程

u=0

v=0l

l

u=1,v=0u=0v=0

u=0,v=0

x

y

()()()()22

2222

22uu uv p u u x y x x y uv vv p v v x

y y x y ρηρη∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂+=-++ ⎪

⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂+=-++ ⎪

⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦

()()()()2

2

2222

2211uu uv p

u

u x y x x y uv vv p

v

v x

y

y x y ηρρηρρ∂∂⎛⎫

∂∂∂+

=-++ ⎪

∂∂∂∂∂⎝⎭

∂∂⎛⎫∂∂∂+

=-++ ⎪

∂∂∂∂∂⎝⎭

Re Re ul ρρη

η

=

⇒=

，其中顶盖流速u = 1，l = 1 图1 方腔顶盖驱动流

1

G A M R e

=

2.对流项离散格式

所谓对流项离散格式，就是指控制容积界面上被求物理量的插值方式[2]， 恒取上游节点的值，即：

1,0E e e

a P D ∆=+⎡-⎤⎣⎦

而中心差分则取上、下游节点的算术平均值，即：

112

E e

e

a P D ∆=-

对于乘方格式，则有：

()

5

0,10.10,E

e

e e

a P P D ∆∆⎡⎤=-

+⎡

-⎤⎣

⎦⎢⎥⎣⎦

3. 格式对比分析

3.1 三种格式计算结果与Ghia et al 结果对比分析

图2给出了在129⨯129均匀网格下采用三种格式的计算结果[3]与Ghia et al 结果进行的对比分析。从图中可以看出，一阶迎风(FUD)引起的假扩散最大，计算结果偏离基准解最远，且Re 数越大，偏差越大；而乘方格式（PLD ）、中心差分格式(CD)的计算结果都已经逐渐靠近基准解。值得一提的是，对于中心差分格式(CD)在Re=3200，松弛因子为0.5时计算结果是发散的，图中给出的是松弛因子降为0.2时的计算结果。并由图中可知，中心差分格式(CD)与乘方格式（PLD ）

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.20.00.20.40.6

0.81.0 1.2

U (m /s )

y Re=100

Ghia FUD CD PLD

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8 1.0

-0.4

-0.20.0

0.20.40.60.81.0 1.2

Ghia FUD CD PLD

U (m /s )

y

Re=400

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.4

-0.20.00.20.40.6

0.81.0 1.2

Ghia FUD CD PLD

U (m /s )

y

Re=1000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-0.6

-0.4-0.2

0.00.20.40.60.81.01.2

Ghia

FUD CD PLD

U /(m

/s )y

Re=3200

0.00.20.40.60.8 1.0

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

Ghia FUD CD PLD

V (m /s )

x

Re=100

0.00.20.40.60.8 1.0

-0.5

-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.4

Ghia FUD CD PLD

V (m /s )

x

Re=400

0.00.20.4

0.60.8 1.0

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Ghia FUD CD PLD

V (m /s )

x

Re=1000

0.00.20.40.60.8 1.0

-0.6

-0.4

-0.20.00.20.40.6

Ghia FUD CD PLD

V (m /s )

x

Re=3200

图2三种格式与Ghia 计算结果比较