2010-1234水文统计-概述和基本知识

[1] 李世才，P-III型分布Фp值通用算法的研究，水文，1992（2）
[2] 李世才，P-III型曲线新的数值算法及其应用，广西水利水电，2001（1） [3] 吴明宫，Excel在水文频率计算中的应用，水文，2001（5）
[4] 林莺，水文频率曲线简捷计算和绘图技巧，水利水电技术，2002（7）
*一般情况下，对于水文现象(n≥30)，可初略地认为：频率≈概率。
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2.3 随机变量及其概率分布（p.33-50）
随机变量 x —— 概率分布 P(X<x) ——
概率密度函数 f(x) ——
f(x) F(x)
f (x) 0
且
f ( x )dx 1
f(x)
F(x)
F(x0) x0 0 x1 x2 x
问1：甲地区年降雨量的均值为1200mm，均方差为1＝360mm；乙地区 年降雨量的均值为800mm，均方差为1＝320mm。试比较甲、乙两地区降水量 的分散程度。
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问2：一条河流上、下游断面的年平均流量的Cv值哪个大？为什么？
峰度系数 CE ——
n 4 (k i 1) CE 1 3 4 nCv
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概率分布函数F(x)或G(x) ——
x
x F( x ) P(X x ) f ( x )dx G( x ) P(X x ) f ( x )dx 1 F( x ) x
f(x)
x0 G(x)
0
G(x0)
1.0
P
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§3 数字特征与特征函数（p.108-141）
x
x
Cs＝0时，分布函数对称，随机变量大于均值与小于均值出现机会相等； Cs>0时，分布函数正偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会小； Cs<0时，分布函数负偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会大。 19/27
例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较
它们的离散程度。 答案1：σ1＝4.08和σ2＝7.35 例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差 系数并比较它们的离散程度。 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408
特别地，k＝0时，ν0≡1；k＝1时，ν1＝E(x) 中心矩 μk —— E[ x E ( x )] k , k
k 1,2,
特别地，k＝0时，μ0≡1；k＝1时，μ1＝0；
k＝2时，μ2＝D(x) 定点矩 θk ——
k E[( x d ) k ] ,
k 1,2,
f(x) б б 1<б 2<б
3 1
对于标准化随机变量，恒有
б
2
б
3
E() 0
和
D（）＝ 1
x
x
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形态特征： 变差系数 Cv —— 变差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大，分 布函数越分散，反之亦然。
Cv E( x ) X 1 n 2 (k i 1) n 1
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2
中位数 Ee(x) ——
E e (x) 1 F( x ) f ( x )dx f ( x )dx 2 E e (x)
1.0 1.0
0.5
F(x)
x 1.0
0.5 0 Ee
F(x) x
0
Ee
0.5
F(x) 0 Ee x
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离散特征：
方差 D(x)和均方差 σ —— 分布函数的绝对离散程度；均方差越大， 分布函数越分散，其值变化幅度也越大，反之亦然。
§4 抽样分布和顺序统计量（p.155-171）
4.1 总体与样本
总体(或母体) {xi} —— 样本(或个体) {xn} ——
样本空间 Ω ——
样本容量 n ——
4.2 样本分布
样本分布函数 F*n(x) —— 样本数字特征 —— *水文样本即实测资料系列，必须满足独立性、一致性和代表性。
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1.3 水文统计(学)的发展过程
非参数
变参数 物理基础 非马尔柯夫过程
马尔柯夫过程 概率与数理统计 安全因素
分布式模型
水文循环
集总模型 流域系统模拟 随机过程
游程
多重瞬时
单位过程线 极值理论 风险分析 马氏链 可靠性 非参数 对数P-III型 威克分布
1900
1910
1920
1930
1940
1950
E[ x E( x )] 4 CE 3 4
或
f(x) CE>0 CE=0 CE<0 x x
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相关特征： 相关矩或协方差 Cov(X,Y) ——
Cov(X, Y) E{[ x E( x )][ y E( y)]} E( xy ) E( x )E( y)
当Cov(X,Y)=0时，则X与Y相互独立，反之亦然。
4.3 抽样分布
统计量 U ——“多元随机变量的函数”
随机抽样 ——“独立同分布，随机等可能” 精确分布(n→∞) VS 极限分布(n>30~50)
4.4 顺序统计量
从大到小排列的样本函数 X*m＝g(x1,x2,…,xn)，m＝1,2, …,n。
顺序统计量的分布 ——
m * * P(X X m ) 1 F(X m ) n 1
四、一般而言，我国南方和北方河流的均值X和Cv值有何特点，有何理
由？同一条河流的上、下游均值X和Cv值又有何特点，有何理由？ 五、在密度函数图中，绘出б、Cv、Cs、Ce值大小的位置关系示意图，
以及正偏和负偏时均值X、E0和Ee的位置关系示意图，为什么？
1n 2 2 D( x ) E[ x i x ] E[ x i E( x )] ( x i x ) 2 n1 1n 1n 2 2 (x i x) x (k i 1) D( x ) n1 n1
离均系数 Ф ——

x E( x ) x X
的桥梁，有了他们，我们才敢相信可以用样本推断总体。
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练习：
一、试证明E(Ф)＝0 和 D(Ф)＝1
二、试证明 Cv＝√(∑ki2－n)/(n－1)
三、当实测样本为连序系列时，能否用标准方差S*2代替б2(写出表达式)，
为什么？ 反之，当实测样本为不连序系列时，有没有标准方差S2*， 又为什么？
3.1 统计参数（或数字特征）
位置特征：
均值X和数学期望 E(x) ——为随机变量系列分布的中心，表示系列的
平均情况，即总体水平的高低，能反映出河流规模的大小。 x1 x 2 , , x n 1 n X x i E( x ) n n1
xi k i 则有 若令 x
1n K ki 1 n1
相关系数ρ或 r ——

Cov(X, Y ) D( X ) D( Y )
1 ；且 1时，X与Y之间为线性函数关系；＝0时，则X与Y不相关。
*当(X,Y)为二元正态变量时，独立与不相关等价。
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k阶矩特征： 原点矩 νk ——
k E( x k ) ,
k 1,2,
《水 文ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统 计》
梁 川 C. Liang
2010年9～11月
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教材： 《水文统计学》，黄振平，河海大学出版社，2003年 (第一版) 参考文献：
1.《水文统计》，王俊德，水利电力出版社，1993年 2.《水文统计原理与方法学》，金光炎，水利电力出版社，1995年
3.《Statistical Modeling in Hydrology》, Conna, Irland, 1998.5
1960
1970
1980
1990
2000
1.4 与其他专业课的联系
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§2 水文统计（学）中的概率基本知识（p.3-29）
2.1 随机试验与事件
随机试验 —— 事件 ——
2.2 频率和概率
频率 —— 概率 ——
m n m P( A) lim n n P * ( A)
或
g的测度 P ( A) 的测度


或
(t ) E(cos tx ) iE (sin tx )
其中，t为实数，i为虚数单位。
(0) 1;
(t ) (0) ; (t ) (t )
特征函数由分布函数确定，且是一 一对应的。 特征函数与矩的关系：
(k ) (0) i k E( x k )
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[5] 杨远东等，皮尔逊III型分布三参数估计新方法，水资源研究，2007（9） [6] 李智等，Excel在水文频率计算中的应用，水利与建筑工程学报，2001（2） [7] 靳晟等，水文P-III频率曲线计算软件开发研究，南水北调与水利科技，2009（10）
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教学计划及要求
课堂讲授：40学时（3学分） 课堂练习：2～3次 半期考试：1次 期末考试：1次
特别地，d＝0时，θk=νk；d＝E(x)时，θk=μk
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数字特征与矩的关系：
1 / 2 Cv 2 1
3 Cs 3 / 2 2 4 CE 3 2 2
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3.2 特征函数 φ(t)
(t ) E (e itx ) e itx f ( x)dx
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教学大纲
§1 概述 §2 水文统计(学)中的概率基本知识 §3 数字特征与特征函数
§4 抽样分布和顺序统计量
§5 水文频率理论分布与计算 §6 P-III型分布参数估计和经验频率曲线 §7 回归分析与相关分析 §8 水文统计(学)中的几个专题简介