高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 计算导数 第二课时参考教案
高中数学北师大版选修2-2+2.2导数的概念与计算教案
[]；、差的导数：)()()()(2x g x f x g x f '-'='-精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：导数的创新应用
导数的创新应用有好多数学问题，利用函数导数求解，可以使得有些数学问题得到简化．下面选解几例．一、求数列的n 项和例1 已知x≠0，x≠－1，求数列1，2x ，3x 2，…，nx 1-n ，…的前n 项和．分析：根据题特点，可构造等式1 + x + x 2+ x 3+ … + x n=x x n ---111，求导即可． 解：当x≠0，x≠－1时，1 + x + x 2+ x 3+ … + x n=x x n ---111，两边都是关于x 的函数，求导得：1+ 2x + 3x 2+ …+ nx 1-n ='---)11(1x x n =21)1()1(1x nx x n n n -++--． 评注：这样的问题可以通过错位相加(减)求和，但运用导数运算更加简明．二、求组合数的和例2 求和：C 1n + 2C 2n + 3C 3n + … + nC n n ．分析：根据题特点，可构造等式(1 + x)n = 1 + C 1n x + C 2n x 2+ C 3n x 3+ … + C n n x n ，求导即可．解：由二项展开式，得：两边求导，得：n(1 + x)1-n = C 1n + 2C 2n x + 3C 3n x 2+ … + nC n n x1-n ． 令上式x = 1，得：C 1n + 2C 2n + 3C 3n + … + nC n n = n·21-n ． 评注：：利用组合数的性质或构造概率模型都可以求解，但运算量都比求导麻烦．三、证明不等式例3 证明：321sin (0)x x x x x x -++>>∈R ，．分析：构造函数，求导，再用单调性即可解决．证明：构造32()1f x x x x =-++，则2()321f x x x '=-+．该二次式的判别式4120∆=-<，()0f x '>∴，()f x ∴是R 上的增函数．0x >∵，()(0)1f x f >=∴，而sin 1x ≤，321sin x x x x -++>∴．评注：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用(0)1f =架桥铺路，使问题得解.四、方程根的问题例4求证方程xlgx ＝1在区间（2，3）有且仅有一个实根.分析：可构造函数，利用导数法解决．解：设y ＝f(x)＝xlgx －1，∴y′＝lgx ＋lge ＝lgex ，当x ∈（2，3）时，y′＞0，∴f(x)在（2，3）上为增函数，又f(2)＝2lg2－1＝lg0.4＜0，f(3)＝3lg3－1＝lg2.7＞0，∴在（2，3）内xlgx －1＝0有且仅有一个实根.评注：本题是通过构造函数f(x)＝xlgx －1，利用导数判断函数f(x)在区间(2，3)上的单调性及函数f(x)在两个端点的值的符号进行求解的.一般地，如果函数在区间(a ，b)上具有单调性，那么，当f(a)f(b)＜0时，方程f(x)＝0在区间(a ，b)有唯一解；当f(a)f(b)＞0时，方程f(x)＝0在区间(a ，b)无实数解．。
高中数学选修2-2课件：第二章 导数的计算
x0 x
5
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x)
x x x x,
f '( x) lim y lim 1
x x0
x0
1
6
(3) y=x3的导数 f '( x) ( x3 )' 3x2 .
(4)求函数y
解：因为：y
1 的导数 x
北师大版高中数学选修2-2 第二章《变化率与导数》
法门高中姚连省制1作
一、教学目标：掌握初等函数的求 导公式，并能熟练运用。 二、教学重难点：用定义推导常见 函数的导数公式． 三、教学方法：探析归纳，讲练结 合 四、教学过程
2
一、复习引入
(1)求函数f(x)=2的导数；
y
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) o
（7）若f(x)=logax,则f′ (x)=___x_ln_ a
(a>0,且a≠1);
1
（8）若f(x)=lnx,则f′ (x)=____x。
17
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
18
nxn-1 （2）若f(x)=xn(n∈R),则f ′(x)=_; （3）若f(x)=sinx,则f ′(x)=__c_o_s_x; （4）若f(x)= cosx,则f ′(x)=__-_s_in_x; （5）若f(x)=ax,则f ′(x)=___a_xl;na(a>0)
16
（6）若f(x)=ex,则f′ (x)=___e_x; 1
不需推导，但要注意符号的运算9 .
高中数学选修2-2 北师大版 3.2.1 实际问题中导数的意义教案
第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =84时，利润L （三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题 （五）、课后作业：第69页A 组中1、3 B 组题。
北师版数学高二-选修2-2教学设计2.3计算导数
2.3几个常用函数的导数 一．教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．教学重点，难点重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 三．教学过程：（一）．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y x =的导数所以00lim lim ()2x x y y x x x x x∆→∆→∆'===∆+∆+6推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= （三）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §3 计算导数
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
《学案导学设计》高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第2章 2
1
【学习要求】
1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．
本 课
2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．
时 栏
3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
目
开 【学法指导】
关
通过导数的定义体会其中蕴涵的逼近思想，利用数形结合思
想进一步直观感受这种思想．
2
填一填·知识要点、记下疑难点
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，
本 课
导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
时
栏 目
问题3
导数在实际问题中有什么意义？
开 关
答 导数可以刻画事物变化的快慢．
6
研一研·问题探究、课堂更高效
例1
蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝
120 t＋5
＋
15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单
课 时
有一个交点，和曲线只有一个交点的直线
栏
目 和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线
开
关 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
11
研一研·问题探究、课堂更高效
例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变
化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像．
根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，
的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
13
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练2 (1)根据例2的图像，描述函数h(t)在t3和t4附近增
(减)以及增(减)快慢的情况．
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章导数的四则运算法则第二课时参考教案
§4 导数的四则运算法则第二课时导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数积、商导数公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xx ∆→∆lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+（二）、探究新课 设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：感悟导数的运算法则问题
感悟导数的运算法则问题熟练掌握导数的运算是学好导数的前提，也是近年高考考查的一个方面，这部分主要考查公式的运用和运算法则以及综合应用。
一、求导公式以及导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：（1）sin y x x =（2）ln 21x x y x =-+； 分析：仔细观察和分析所给函数表达式的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数的求导公式可以迅速解决一类简单函数的求导问题。
若不直接具备求导法则条件，可先进行适当的恒等变形。
解析：（1）///(sin )y x x =+sin cos x x x =++。
（2）///21(1)ln ln ()(2)2ln 21(1)x x x x x x y x x +-=-=-++ 211ln 2ln 2(1)x x x x +-=-+。
评注：运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数的基本步骤如下：（1）分析函数()y f x =的结构和特征；（2）选择恰当的求导法则和导数公式求导；（3）整理得结果。
二、导数运算在解析几何中的应用例2 在抛物线21y x x =+-上取横坐标分别为11x =与23x =的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？分析：要求平行于所引割线的切线，则切线的斜率应与所引割线的斜率相等。
解析：将11x =与23x =代入抛物线方程，得11y =211y =，则所引割线的斜率与切线斜率均为2121y y k x x -=-11131-=-=5。
设符合题意的切点坐标为00(,)x y ，∵/21y x =+，∴0215x +=，∴02x =，代入抛物线方程得05y =， 故在抛物线上过点(2,5)处的切线平行于所引的割线。
评注：导数不仅有求斜率的功能，而且还有求点的坐标的功能。
三、导数计算的创新应用例3 求满足下列条件的函数()f x 。
（1）()f x 是三次函数，且(0)3f =，/(0)0f =，/(1)3f =-，/(2)0f =；（2）/()f x 是一次函数，2/()(21)()1x f x x f x --=。
2.3计算导数 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
§3 计算导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生探究导函数的定义，理解导数的含义；(2)会用导数定义求简单函数的导数，记住基本初等函数的求导公式．2．过程与方法通过对具体问题的求解，培养学生提出问题、发现数学规律的思维方法与能力；通过对基本初等函数导数公式的应用，培养学生独立解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过具体函数的求导，经历数学的解题过程，通过比较、辨别，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值．●重点难点重点：理解导数的概念，会用导数公式求导数．难点：导数概念的理解．教学时可借助用导数定义求具体函数的导数，在自变量以“定”到“变”的过程中，让学生发现问题、提出问题，并引入导数的概念．通过大量实例让学生归纳导数的定义，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课内容安排在学习了导数的概念及几何意义之后，是对导数概念的应用，同时也是再探究和延伸．使学生在具体问题求解f′(x0)的过程中，发现x0是可变的，进而引出导函数的概念．由于求导函数在中学阶段要求较低，故本节课以应用为主，在应用中发现问题，在问题的解决中熟练应用．●教学流程创设情境，提出问题：f′(x0)中，x0是否可变？⇒引导学生通过实例归纳导函数定义.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求f′(x)，f′(x0)的方法、步骤.⇒通过例2及变式训练，强化求导公式.⇒通过例3及变式训练，将求导与几何意义结合，增强综合运用能力.⇒归纳整理，课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能根据导数的定义求简单函数的导数．(重点)2.理解导函数的概念．(难点)3.记忆导数公式，并能用它们求简单函数的导数．(重点)导函数的概念【问题导思】1．已知函数f (x )＝－x 2，求f ′(－2)，f ′(1)，f ′(2)． 【提示】 f ′(－2)＝4，f ′(1)＝－2，f ′(2)＝－4. 2．对1中的函数f (x )，试求f ′(x 0)． 【提示】 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 －(x 0＋Δx )2－(－x 0)2Δx＝－2x 0. 3．对2中的x 0可以取任意实数吗？当x 0变化时，f ′(x 0)的值变化吗？【提示】 可以；变化． 导数的概念一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．用基本初等函数的求导公式求导数 【问题导思】1．已知函数f (x )＝x 5，求导数f ′(x )．【提示】 f ′(x )＝5·x 5－1＝5x 4.2．对于1中的函数，求f ′(－1)，f ′(2)．【提示】 f ′(－1)＝5·(－1)4＝5，f ′(2)＝5·(2)4＝20. 导数公式表函数 导函数 y ＝c (c 是常数) y ′＝0y ＝x α(α为实数) y ′＝αx α－1 y ＝a x (a >0，a ≠1) y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e xy ＝log a x (a >0，a ≠1) y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos x y ＝cos x y ′＝－sin_xy ＝tan x y ′＝1cos 2 xy ＝cot x y ′＝－1sin 2x利用定义求函数的导数求y ＝f (x )＝2x－x 的导函数f ′(x )，并利用导函数f ′(x )求导数值：f ′(－1)，f ′(2),f ′(4)．【思路探究】 用定义求导函数f ′(x )→求增量Δy →求ΔyΔx→当Δx →0时取极限→令x ＝－1，2，4求函数值【自主解答】 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －(x ＋Δx )－(2x －x )＝2x ＋Δx －2x －Δx ＝2[x －(x ＋Δx )](x ＋Δx )x －Δx ＝－2Δx(x ＋Δx )x －Δx ，∴Δy Δx ＝－2x 2＋x Δx－1， ∴当Δx →0时，Δy Δx →－2x 2－1，即f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (－2x 2＋x Δx －1)＝－2x 2－1. 分别将x ＝－1,2,4代入可得：f ′(－1)＝－2－1＝－3；f ′(2)＝－24－1＝－32；f ′(4)＝－216－1＝－98.求一个函数f (x )的导函数f ′(x )的步骤： (1)求函数值的变化量：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )；(2)求平均变化率：Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx；(3)取极限得导数：f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx.已知函数f (x )＝x 2－x ，求f ′(x )，并求f ′(2)，f ′(－2)． 【解】 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－(x ＋Δx )－x 2＋x＝(2x －1)Δx ＋(Δx )2. ∴ΔyΔx＝2x －1＋Δx . ∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2x －1＋Δx )＝2x －1. ∴f ′(2)＝2×2－1＝3，f ′(－2)＝2×(－2)－1＝－5.利用公式求导数求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2 x .【思路探究】 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． 【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.1．解答本题时首先要确认函数类型，如y ＝5x 3＝x 35，然后选择公式．2．对基本初等函数的求导公式要熟练、准确记忆，并能灵活运用．求下列函数的导数．(1)y ＝π＋1；(2)y ＝1x 2；(3)y ＝x x ；(4)y ＝2x ；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1.【解】 (1)y ′＝(π＋1)′＝0.(2)y ′＝(1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3.(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝(2x )′＝2x ln 2.(5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(6)∵y ＝(sin x 2＋cos x 2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2·cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求切线方程求曲线y ＝sin x 在点(π6，12)处的切线方程．【思路探究】 利用导数先求切线的斜率，再求出切线方程．【自主解答】 ∵y ′＝cos x ，∴曲线y ＝sin x 在点(π6，12)处的切线的斜率为cos π6＝32，∴曲线y ＝sin x 在点(π6，12)处的切线方程为y －12＝32(x －π6)，即y ＝32x －3π12＋12.1．本题的易错点是(sin x )′＝－cos x ．错误原因是记混了(sin x )′与(cos x )′.一定要记准、记熟公式．2．如果y ＝f (x )在点x ＝x 0处可导，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求曲线y ＝lg x 在点(1,0)处的切线方程．【解】 ∵y ′＝(lg x )′＝1x ln 10，∴曲线y ＝lg x 在点(1,0)处的切线斜率为1ln 10，∴曲线y ＝lg x 在(1,0)处的切线方程为y －0＝1ln 10(x －1) 即y ＝x ln 10－1ln 10.用错公式而致误已知函数f (x )＝e －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( ) A ．x －e y ＝0 B ．x ＋e y －2＝0 C ．x －e y －2＝0 D ．x ＋e y －2＝0【错解】 ∵f (1)＝e －1＝1e，又f ′(x )＝e －x ，∴f ′(1)＝e －1＝1e，∴切线方程为y －1e ＝1e(x －1)，即x －e y ＝0，故选A.【答案】 A【错因分析】 本题解答中忽视函数f (x )＝e －x 不是以e 为底的指数函数，从而用错公式．【防范措施】 应用基本初等函数的求导公式求导时，应先辨认函数类型，并将函数转化为基本初等函数后，再用公式求导．【正解】 ∵f (1)＝e －1＝1e ，又f (x )＝(1e)x ，∴f ′(x )＝(1e )x ·ln 1e ＝－(1e )x ，∴f ′(1)＝－1e .故切线方程为y －1e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －2＝0，选B.【答案】 B1．函数f (x )的导数有两个含义：一是函数f (x )在点x 0处的导数值，它是一个常数；二是函数f (x )的导函数f ′(x )，它是一个函数．求f ′(x 0)时，可先求f ′(x )再将x ＝x 0代入．2．应用基本初等函数的求导公式求导时，要先确定函数类型(有时要先将函数作等价变。
高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数教案(含解析)北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2
3 计算导数对于函数y ＝－x 2＋2.问题1：试求f ′(1)，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 提示：f ′(1)＝lim Δx →0－1＋Δx2＋2－－1＋2Δx＝lim Δx →0(－2－Δx )＝－2. f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝lim Δx →0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋Δx 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2Δx＝lim Δx →0(1－Δx )＝1. 问题2：求f ′(x 0)的值． 提示：f ′(x 0)＝lim Δx →0－x 0＋Δx2＋2－－x 20＋2Δx＝lim Δx →0 (－2x 0－Δx )＝－2x 0. 问题3：利用f ′(x 0)可求f ′(1)和f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12吗？提示：可以．只要令x 0＝1，x 0＝－12.问题4：若x 0是一变量x ，则f ′(x )还是常量吗？提示：因f ′(x )＝－2x ，说明f ′(x )不是常量，其值随自变量x 而改变．1．导函数若一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝sin x y ′＝cos_xy＝xα(α为实数) y′＝αxα－1y＝cos x y′＝－sin_xy＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln_a特别地(e x)′＝e x y＝tan x y′＝1cos2xy＝log a x(a>0，a≠1)y′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1xy＝cot x y′＝－1sin2x1．f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值．2．对公式y＝xα的理解：(1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．利用导函数定义求导数[例1] 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．[思路点拨] 先用导函数的定义求f′(x)，再将x＝3代入即可得f′(3)．[精解详析] f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5xΔx＝limΔx→02Δx·x＋Δx2＋5ΔxΔx＝limΔx→0(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.[一点通] 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．利用导数定义求f (x )＝1的导函数，并求f ′(2)，f ′(3)． 解：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝1－1＝0，ΔyΔx ＝0.Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于0.所以f ′(x )＝0.所以有f ′(2)＝0，f ′(3)＝0. 2．求函数y ＝x 的导函数． 解：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x ， 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x. 利用导数公式求导数[例2] (1)y ＝x 13，(2)y ＝4x ，(3)y ＝log 3x ，(4)y ＝15x2.[思路点拨] (1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式，再求解． [精解详析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 114－＝14x 34－；(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x 25－)′＝－25x 215－－＝－25x 75－.[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x4．若f (x )＝x 2－e x，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝2x －e x ，∴f ′(－1)＝－2－e －1. 答案：－2－e －1 5．求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解：(1)y ′＝(lg x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln 10′＝1x ln 10.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2.(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫log 13x ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 导数的综合应用[例3] 点P[精解详析] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即f ′(x 0)＝1. ∵y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1， 即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22. [一点通] 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．6．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N ＋)求导得y ′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.7．曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2联立得交点为(1,1)，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为：－1和2， ∴切线方程为：y －1＝－(x －1)， 及y －1＝2(x －1)．令y ＝0得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34.答案：348．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的一条切线，求k 的值． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .∴f ′(x 0)＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0， ①y 0＝ln x 0， ②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e. ∴k ＝1x 0＝1e.1．f ′(x 0)与f ′(x )的异同：区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.f ′(x )f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数2．在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x ln a 和(a x)′＝a xln a 的记忆就较难，特别要注意ln a 所在的位置．1．设函数f (x )＝cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2′＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．以上均不正确解析：选A 注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A. 2．下列各式中正确的是( ) A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x)′＝3xD ．(3x )′＝3x·ln 3解析：选D 由(log a x )′＝1x ln a，可知A ，B 均错；由(3x )′＝3xln 3可知D 正确． 3．若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f ′(x )＝a xln a ，由f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，则f ′(x )＝3xln 3，故f ′(－1)＝ln 33.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A 因为y ′＝2ax ， 所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 又由题设条件知切线的斜率为2， 即2a ＝2，即a ＝1，故选A.5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则满足f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2， 即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－136．正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________________．解析：∵y ′＝(sin x )′＝cos x ＝12，∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝π3或5π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－327．求下列函数的导数： (1)y ＝log 2x 2－log 2x ； (2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 解：(1)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2.∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
高中数学 2.3 计算导数学案 北师大选修2-2
1 5 上一点 A(2, ) ，用斜率定义求： x 2
（2）点 A 处的切线方程
（1）点 A 的切线的斜率
三 、达标训练： （学生自练 个别回答 教师点评）
' 1.如果函数 f ( x) 5 ，则 f (1) （
）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在 ）
2.曲线 y 2 x 2 1在点（0，1）的切线斜率是（ A.-4 3.曲线 y B.0 C.2 D. 不存在 ）
1 2 1 x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为（ 2 2 5 A. B. 1 C. D. 4 4 4
4.求函数 f ( x) 3x 3 2 x 3 的导数。
四、课后作业：教材 A 组 6 1.求双曲线 y
1 1 过点 (2, ) 的切线方程。 x 2
2.3
计算导数
学习目标：能ห้องสมุดไป่ตู้用导数的定义求几个常用初等函数的导数。 一、自学、思考、练习 忆一忆： 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。 二、我参与学习：教材 P81-84 （师生共同分析 学生书写 教师点评） 试一试： 1、你能推导下列函数的导数吗？ （1） f ( x) c （2） f ( x) x （3） f ( x) x2 （4） f ( x) （5） f ( x)
1 x
x
2、在同一坐标系中画出函数 y 2 x, y 3x, y 4 x 的图象，并根据导数定义求出它们的导数 （1）从图象看它们的导数分别表示什么； （2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢； （3）函数 y kx(k 0) 的导数是什么，它的增减快慢与什么有关。 3、已知曲线 y x
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：导数学习中几个易错点
导数学习中几个易错点一、定义的理解与应用例1.已知函数f （x ）=2x 3+5，求0(23)(2)limx f x f x∆→-∆-∆。
分析：本题很容易这样做： ∵()f x '=6x 2，∴0(23)(2)limx f x f x∆→-∆-∆=(2)f '=24， 或者0(23)(2)lim x f x f x ∆→-∆-∆=30(23)(2)lim 3x f x f x ∆→-∆-∆=3(2)f '=72。
这两种做法都是错误的，错误的原因皆在于对导数的定义理解不深。
解：∵()f x '=6x 2，∴0(23)(2)lim x f x f x ∆→-∆-∆=－30[2(3)](2)lim 3x f x f x∆→+-∆--∆=－3(2)f '=－72。
评注：当x ∆是x 在x 0处的增量时，－3x ∆也是x 在x 0处的增量。
本题的正确做法是视－3x ∆为增量，套用导数定义求得极限。
二、单调递增就是导数大于零例2.已知向量a=(2x ，x+1)，b= (1-x ，t)若函数)(x f =a·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
错解：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，t x x x f ++-='23)(2。
若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '>0。
∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当(1)10f t '=->，且(1)50f t '-=->时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数。
故t 的取值范围是t>5。
剖析：若)(x f '>0，则)(x f 在R 上是增函数反之不成立。
高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：计算导数例析
计算导数例析导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应熟练掌握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点掌握复合函数的求导方法.学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。
举例说明如下. 例1 求下列函数的导数（1）453223-+-=x x x y ； （2）)23)(32(2-+=x x y ；（3）)11(32x x x x y ++=； （4）y=tanx 。
解 （1）566'2+-=x x y ；（2）6946)23)(32(232-+-=-+=x x x x x y ∴9818'2+-=x x y 或利用函数的积的求导法则：9818)32(3)23(4)'23)(32()23()'32('2222+-=++-=-++-+=x x x x x x x x x y（3）111)11(232332++=++=++=-x x x x x x x x y ，∴3223'x x y -=（4）x x x y cos sin tan ==，∴x x x x x x x x x x x y 22222cos 1cos sin cos cos )'(cos sin cos )'(sin )'cos sin ('=+=-==. 例2 求下列函数的导数：.分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.解：（1）（2）点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为复杂，用商的求导法则之后，还需通分化简.（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．例3 求下列函数的导数（1）2cos 2sin x x x y -=； （2）4cos 4sin 44xx y +=； （3）x xxx y +-+-+=1111； （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4cos212sin2x x y 。
最新高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案
最新北师大版数学精品教学资料§2 导数的概念及其几何意义第二课时 导数的几何意义（一）一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为xy ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x ∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
高中数学北师大版选修2-2第2章 导数的四则运算法则
导数的四则运算法则【教学目标】知识与技术：1.能按照概念求函数的导数。
2.能按照导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数。
进程与方式：通过求导公式的推导，培育学生从具体到抽象，从特殊到一般的归纳能力。
情感态度与价值观：进展学生擅长质疑，擅长交流，擅长协作的情感。
【知识重点与难点】重点：导数公式和导数的四则运算。
难点：灵活运用导数公式和导数的四则运算进行相关运算。
【课前预习】1.大体初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)；（3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ；（5）=)'(x e ； （6）=)'(x a ；（7）=)'(ln x ； （8）=)'(log x a 。
2．导数的运算法则：（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])(['x cf = ；(3) ])()(['•x g x f = ； (4) ])()(['x g x f = 。
【典型例题】例1：求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2+=； （2）x x x h sin )(=； （3）tt t s 1)(2+=；（4）2623)(23+--=x x x x g ； （5）x x x x x f cos 1sin 2)(•+•=； （6）123)(2+--=x x x x f ； （7）)3)(2)(1()(+++=x x x x f 。
例2.已知曲线x x x f 3)(3-=，过点A(0,16)作曲线)(x f 的切线，求曲线的切线方程.互动探讨：已知在曲线x x x f 3)(3-=上的点P 处的切线平行于直线9x-y=0，求点P 的坐标.例3.已知抛物线c bx ax y ++=2通过点P(1,1)，且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c 的值.【课后作业】1. 求下列函数的导数:(1) x x y cos 2+=; (2) x y x ln 22-=; (3) 2cos 2sin x x x y •-=; (4) )23)(32(2-+=x x y ; (5) 21x y =; (6) 32+=x x y ; (7) 2sin x x y =.。
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§3 计算导数
第二课时 计算导数（二）
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。
二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆
（2）求平均变化率
x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3
问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
（二）、新课探析
1、基本初等函数的求导公式：
⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)
⑶ ()1x '= ⑷ 2()
2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x
'=-
⑺
'= 由⑶~⑹你能发现什么规律?
⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数）
⑼ ()l n (0x x a a a a a '=>≠，
⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlna
a a '==>≠，且
⑾ x x e )(e =' ⑿ x
1)(l n x =' ⒀ c o s x )(s i n x =' ⒁ s i n x )(c o s x －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
2、例题探析
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =
（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3
π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '
例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
例3、若直线y x b =-+为函数1y x
=图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1、求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点 求导数 得斜率
变式2、求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程
变式3、求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程
变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.
（三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用 导数公式表
（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =
所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
（五）、作业布置：见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：。