08届高三数学二项式定理

g3.1093 二项式定理
一、知识梳理
1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.
2.二项展开式的性质是解题的关键.
3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.
二、基础训练
1.已知（1－3x ）9
=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于
A.29
B.49
C.39
D.1
2.（2004年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6
B.12
C.24
D.48
3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x 3－x
1）7的展开式中常数项是 A.14
B.－14
C.42
D.－42
4.（2004年湖北，文14）已知（x 2
3+x
3
1
-）n 的展开式中各项系数的和是128，
则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）
5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.
三、例题分析
例1. 如果在（x +421x
）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开
式中的有理项.
例2. 求式子（｜x ｜+
|
|1
x －2）3的展开式中的常数项. 思考讨论
（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x
4
－4）4的展开式中的常数项；
（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.
解：（1）原式=x
x --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为
（－1）4C 4
6－
1=14.
（2）（x +x 4－4）4=44
2)44(x x x +-=4
8)2(x
x -，展开式中的常数项为C 4
482·（－
1）4=1120.
（3）方法一：原式=1
)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 3
51)1()1(+-+.
展开式中x 3的系数为C 4
51.
方法二：原展开式中x 3的系数为
C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.
评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.
例3. 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .
（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞
→n n
n A 2.
例4 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.
四、同步练习 g3.1093 二项式定理
1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为
A.20
B.219
C.220
D.220－1 2.（2004年福建，文9）已知（x －
x
a ）8
展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是
A.28
B.38
C.1或38
D.1或28
3.（05浙江卷）在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )
(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 10
4.(05山东)如果323n
x x ⎛⎫- ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31
x 的系数是（ ）
（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-
5.(05重庆卷)8. 若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为-5，
则n 等于( )
(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。

6. (05重庆卷)在(1+2x )n 展开式中含x 3的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于( ) (A) 5； (B) 7； (C) 9； (D) 11。

7.（05全国卷Ⅰ）9)12(x
x -
的展开式中，常数项为 。

（用数字作答）
8.（2004年全国Ⅳ，13）（x －
x
1）8展开式中x 5的系数为_____________.
9.（2004年湖南，理15）若（x 3+x
x 1）n 的展开式中的常数项为84，则
n =_____________.
10.已知（x x lg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.
11.若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.
求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11； （2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.
12.在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求b
a
的范围. 13.在二项式（x +421x
）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
有理项.
14.求证：2<（1+n
1）n <3（n ≥2，n ∈N *）.
参考答案
基本训练: BCA 4. 35 5. 11
例1.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8
)
1(-n n ， 由题意得2×2
n =1+
8
)
1(-n n ，得n =8. 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r
8·r 2
1·x
4
316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，
4，8.
有理项为T 1=x 4，T 5=
8
35
x ，T 9=2
2561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定
r .
例2.解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+|
|1
x －2）（｜x ｜+
|
|1
x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取|
|1x ，一个括号取－2，得C 13C 1
2（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+
||1x －2）3=（||x －|
|1
x ）6. 设第r +1项为常数项，
则T 1+r =C r
6·（－1）r ·（
|
|1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r
6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.
∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20. 例3.解：（1）因为q ≠1， 所以a n =1+q +q 2
+…+q
1
-n =q
q n
--11. 于是A n =q q --11 C 1n +q q --112 C 2
n +…+q
q n --11C n n
=
q
-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n ）］ =
q
-11
{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =
q
-11
［2n －（1+q ）n ］. （2）n
n A 2=
q -11［1－（2
1q +）n
］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q
+ |<1. 所以lim ∞
→n n
n A 2=
q
-11. 例 4.解：（a －2b －3c ）10=（a －2b －3c ）（a －2b －3c ）…（a －2b －3c ），从10个括号中任取3个括号，从中取a ；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中
取－2b ；最后从剩余的3个括号中取－3c ，得含a 3b 4c 3的项为C 310a 3C 4
7·（－2b ）
4
C 33（－3c ）3=C 310C 47
C 4332（－3）3a 3b 4c 3.所以含a 3b 4c 3项的系数为－C 310C 47×16×27.
同步练习
1—6 DCD C C A 7.672 8. 28 9. 9 10.1
10.10
x x ==或 11. （1）-65； （2） -32.
12. 解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r
12a 12－r b r x m （12－r ）+nr 为常数项，则
有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，
①
C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.
② 由①得
2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥2
3101112⨯⨯⨯a 9b 3
，
∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即b
a ≤49
.
由②得b
a ≥58，∴58≤
b a ≤49
.
13.解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0
n
+4
1C 2n ，即n 2－9n +8=0， 解得n =8或n =1（舍去）. T 1+r =C r
8
（x ）8－r
（24
x ）－r
=C r 8
·r 2
1
·x 434r
-.
∵4－
4
3r
∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ， ∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=
8
35
x ，T 9=2561 x －2.
14.证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C n n （n
1）n =1+1+C 2n ×2
1n +C 3
n ×31n +…+C n
n
×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!
1n ×n
n n n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31
∴有
+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+2
11]
)21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n 1）
n
=1+1+C 2n ×
21n +C 3n ×31n +…+C n
n
×n n 1>2.所以2<（1+n
1）n <3.。