§34欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用

表示为循环小数，其中不循环的位数是 max, .返回
证 我们只证明 的情形，至于 的情形，可类
似证明.若 ，则 .故
10 a 10 a 2 a .
b
b b1
因a,b 1,b1 b,故a,b1 1.又b1,10 1,故b1,2 1, b1,2
1.因此b1不整除2 a.由带余除法，存在整数M ,a1使得
数，设
a b
0.a&1a2L
a&t ,
返回
则
10t a b
10t1a1 10t2 a2 L
at 0.a&1a2 L
a&t
q
a b
,
q
0.
故
a
b
q
10t
,a 1
10t 1
bq.
但a,b 1，故
b 10t 1,10t 1modb,10,b 10t ,b 1,b 1.
注：也可根据b 10t 1及反证法证明b,10 1. （ⅱ）若b,10 1，则由欧拉定理，10b 1modb.令
故ar1,ar2,L ,arm也是模的一个简化剩余系.于是
ar1 ar2 L arm r1r2L rm mod m,
amr1r2 L rm r1r2 L rm mod m ,
am 1mod m.
返回
推论（费马定理）若p是质数，则对任意整数a，总有
a p amod p. 证 因p为质数，故a, p 1或p a.若a, p 1,则由
q 10t，这与q 10t 1矛盾.故qt 0, q 10t1a1 10t2 a2 L
10at1 at ,从而
a b
0.a1a2 L
at
1 10t
a. b
反复应用上式，即得
a b
0.a&1a2 L
a&t .
b1,1定0 理 13,b若1 ba1是,有, 理都数为，非其负中整0数，a 但 b不,全a,b为 零 1，,b则 2ba可5以b1,
a b
0.m1L
m c&1 L
c&t .
下证不循环的位数不能小于.假设 a 还可以表示为
则由定理2，
a b
0.m1L
mvc&1L
b
c&s ,v ,
10v
a b
10v
a b
0.c&1L
c&s
a1 , b1
其中b1,10
1.令a
a1
b1
10v
a b
,则
10v ab1 ab.
返回
10v ab1 ab. 上式右边可被5 5 整除，而左边a及b1都与5互质，故
环小数. 如循环小数0.3214139139139L 最小的t 3，其循环节是
1,3,9. 最小的s 0，故该循环小数是纯循环小数.
定理2 有理数 a 0 a b,a,b 1可以表示为纯循环 b
小数的充分必要条件是b,10 1.
证（ⅰ）若 a 0 a b,a,b 1可以表示为纯循环小 b
0.a1a2 L as a&s1L a&st . 对于循环小数来说，满足上述性质的s,t不唯一. 如对于 循环小数0.3214139139139L ,可取s 4,t 3，则该循环小 数可简写为0.32141&39&，也可以取s 5,t 6,则该循环小数可
返回
以简写为0.321413&91391&，等等. 如t是最小的，则称as1, as2,L ,ast为循环节，而把t称为循环节的长度；若最 小的s 0，则称该循环小数为纯循环小数，否则称为混循
由带余除法，
q1 10q2 at1,0 at1 10,
q 10q1+at ,0 at 10, q2 10q3 at2 ,0 at2 10,
L
qt1 10qt a1,0 a1 10,
返回
则 q 10t qt 10t1a1 10t2 a2 L 10at1 at .
易知q为正整数，故q1, q2,L , qt都为非负整数.若qt 1，则
因此
2 a b1M a1,0 a1 b1.
10 a M a1 .
b
b1
易知0 M 10 ,a1,b1 2 a Mb1,b1 2 a,b1 1.
由定理2，可以把 a1 表示为循环小数：
b1
返回
a1 b1
0.c&1L
c&t .
பைடு நூலகம்
设M m1101 L m 0 m 9 ,则
故
a bq r b r ,0 r 1.
bb
bb
故以下只讨论开区间0,1中的分数与小数互化.
若对无限小数0.a1a2L an L （, ai是0,1,L ,9中的一个数码，
i 1,2,L ,并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整
返回
数s及正整数t使得，对任意正整数n s 1，都有an ant， 则该无限小数可以写为
0.a1a2 L asas a 1 s2 L astas1as2 L ast L .
定义 若对无限小数0.a1a2L an L （, ai是0,1,L ,9中的一个 数码，i 1,2,L ,并且从任何一位以后不全是0）来说，存在
非负整数s及正整数t使得，对任意正整数n s 1，都有an
ant，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写 为
5 10v,5 5v .这与 v矛盾.
§4 欧拉定理·费马定理及其对 循环小数的应用
欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它
们在数论中的应用非常广泛.本节应用简化剩余系的理论，
推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理.最后还要把
欧拉定理应用于循环小数.
定理（1 欧拉定理）设m 1,a,m 1，则
am 1mod m.
证 设r1,r2,L ,rm是模m的一个简化剩余系，因a,m 1，
t b,则t为正整数，且b 10t 1.从而存在正整数q使得
10t 1 bq,10t a bqa a.
返回
令q qa，则
10t a qb a,
0 q
10t 1
a b
10t
a b
10t
b 1 b
10t
1
1 b
10t
1,
10t
a b
q
a,a bb
q 10t
1 10t
a. b
p p 1及欧拉定理得
返回
a p1 1mod p,a p amod p.
若p a，则显然有a p amod p.
以上两个定理对数论的应用是非常多的.下面仅说明欧拉
定理对无限循环小数的应用. 任何一个有理数都可以表示为 a ，这里a,b都为整数，且 b
a 0.由带余除法，存在整数q,r 0 r b使得b aq r，