§34欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用

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费马定理推论

费马定理推论费马定理是数学中的一个重要定理，它与整数解方程有关。

具体而言，费马定理指出对于任何大于2的整数n，不存在三个整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。

这个定理虽然是由法国数学家费马在17世纪提出的，但直到近400年后才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费马定理的证明过程非常复杂，但它的推论却可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。

我们来看费马定理的一个推论：费马小定理。

费马小定理指出，对于任何素数p和整数a，a^p mod p ≡ a mod p。

这里的“mod”表示取模运算，即求余数。

这个推论的意义在于，它可以帮助我们在计算中简化运算步骤。

例如，如果我们要计算7^100 mod 13，根据费马小定理，我们可以将7^100 mod 13简化为7^4 mod 13，然后再逐步计算得到最终结果。

这样就大大简化了计算的复杂度。

费马小定理的另一个推论是欧拉定理。

欧拉定理指出，对于任何正整数a和模数n，满足a与n互质（即最大公因数为1），则a^φ(n) mod n ≡ 1 mod n。

这里的φ(n)表示欧拉函数，表示小于n且与n 互质的正整数的个数。

欧拉定理的应用非常广泛，尤其在密码学领域中扮演着重要角色。

例如，RSA加密算法就是基于欧拉定理的原理设计的，它能够实现安全的信息传输。

另一个与费马定理相关的推论是勾股定理。

勾股定理指出，对于任何正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数存在。

这个推论可以通过费马定理进行推导。

假设存在正整数a、b、c，满足a^2 + b^2 = c^2。

我们可以将这个等式进行变形，得到a^2 = c^2 - b^2，进一步变形得到a^2 = (c + b)(c - b)。

由于c、b为正整数，所以c + b和c - b也都是正整数。

根据费马定理，我们知道a^2不可能是两个正整数的乘积，因此假设不成立。

因此，勾股定理得证。

除了以上推论，费马定理还有一些其他的推论和应用。

四大数论定理

四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。

这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。

下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。

一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。

它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。

即a^p ≡ a (mod p)。

这个定理在密码学中有广泛的应用。

费马小定理的原理是基于模运算的性质。

对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。

根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。

由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。

费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。

通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。

例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。

二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。

它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。

即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。

欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。

欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。

根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。

由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。

通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。

费马小定理及应用

费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。

要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ，同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质：（1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡，由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。

欧拉的定理

欧拉定理是数学中的一个重要定理，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。

在数论中，欧拉定理是关于同余的性质，也称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。

复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

具体来说，对于任何自然数n和实数x，有φ(n)=n(1−1/2+1/3−1/4+1/5−...+(-1)^(r)(r+1)/r)，其中φ(n)表示欧拉函数，即小于n且与n互质的正整数的个数。

这个公式可以用来计算φ(n)的值。

此外，在平面几何中，欧拉定理表述的是给定一个简单多边形的顶点数和边数时，其内部点的数目等于边数和顶点数之差加二再除以二。

这个定理可以用于计算多边形的内角和、外角和等。

此外，还有多面体欧拉定理，它表述的是在任意一个凸多面体中，顶点数、棱边数和面数之间存在一个恒定的关系，即顶点数-棱边数+面数=2。

这个定理可以用于计算多面体的各种性质，如外角和、内角和等。

在组合数学中，欧拉定理可以用于求解一些组合问题，例如计算组合数的性质和公式。

在图论中，欧拉定理可以用于求解图的边数和顶点数之间的恒定关系。

此外，欧拉定理还可以用于求解一些物理问题，例如弹性力学和流体动力学中的问题。

在经济学中，欧拉定理可以用于求解一些最优化的数学问题，例如最优价格设置和资源分配等问题。

此外，欧拉定理还有一些有趣的延申和推广。

例如，在复数域中，欧拉定理可以推广为欧拉公式，即e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中i是虚数单位。

这个公式可以用于求解一些复数问题，例如求解复数函数的积分和微分等。

另外，欧拉定理还可以推广到一些更复杂的数学结构和物理现象中，例如量子力学和相对论中的时空结构。

在这些领域中，欧拉定理的一些性质和结论可以用于描述和解释一些非常抽象和复杂的现象和规律。

总之，欧拉定理是一个非常重要的数学定理，具有广泛的应用价值，同时也有很多有趣的延申和推广。

无论是在数学还是物理等领域中，欧拉定理都是一个重要的工具，可以帮助我们求解一些复杂的问题和探索一些抽象的规律。

费马定理、欧拉定理、威尔逊定理(讲稿)

欧拉定理、费马定理、威尔逊定理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ②若p 为素数，则1()1,()(1),k k p p p p p ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ；④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()ndϕ，同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；例1、证明：φ(n )＝14n 不可能成立.不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，又即：即：为奇质数，则：设成立，则证：若不可能成立；【练习】证明：n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n n n n k k k k k kk k k k k k k k k k 41)4()1()1)(1(4)1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,2|441)4(41)4(212121112112122211212121212121212121=∴∴∴---=---=---==≥===----ϕϕαϕϕααααααααααααααααααααΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ例2、证明：数列{2n －3}中有一个无穷子数列，其中任意两项互质.}{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 122)(32,,,,}32{}32{21211)()((()(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u ki u ki u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））-+∴≤≤-≡-∴≤≤≡-=--++++ΛΛΛΛΛΛϕϕϕϕϕϕϕ例3、已知p 为质数，在1, 2, …, p α中有多少个数与p α互质？并求φ(p α). 直接用性质②例4 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项.解：1~105的所有正整数中共有(105)(3)(5)(7)48ϕϕϕϕ==个与105互素，他们从小到排列为：12345481,2,4,8,11,,104a a a a a a ======L . 对于任一的n a ，由带余除法存在唯一的q , r 使得 105,0,0105n a q r q r =+≥≤<，由(a n ，105)＝1，可得(r ，105)＝1，即1248{,,,}r a a a ∈L .反之，对于任意固定非负整数q , 1248{,,,}r a a a ∈L 有(105q ＋r ，105)＝1，于是105q ＋r 都是数列的项，从而存在正整数n ，使得105n a q r =+. 因此数列{}n a 仅由105(1,2,,48)n q a n +=L 的数由小到大排列而成的.因为2010＝48*41＋42，所以有2010424842201010541,104,89,4394a a a a a =⨯+===而由求得所以. 2、(欧拉定理) 若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ).证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 注：这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题. 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).2、(定义1) 设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： ⑴ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k )，特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )ua a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡. 用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kqra a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡，由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡⑵ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k 模m 互不同余.⑶ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. (4) 设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, a do −1对模p 两两不同余. 特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系. 定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 例5、设a 和m 都是正整数，a ＞1. 证明：).1(|-ma m ϕ证明：实上，显然1-m a a 与互素，且1-m a a 模的阶是m ，所以由模阶的性质③导出).1(|-ma m ϕ 例6：设m , a ,b 都是正整数，m ＞1，则(.1)1,1),(-=--b a bam m m证明：记).1,1(--=bam m d 由于(a , b )|a 及(a , b )|b ，易知1|1),(--a b a m m及1|1),(--b b a m m ，故d mb a |1),(-，另一方面设m 模d 的阶是k ，则由)(m od 1),(m od 1d m d m b a ≡≡推出，k |a 及k |b ，故k |(a ，b ). 因此.1|),(m od 1),(),(-≡b a b a m d d m 即综合两方面可知，.1),(-=b a md 证毕.3、(费尔马小定理) 若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 证明：设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p≡≡.若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由欧拉定理得：)(mod 1,1)()(p ap p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得.4、(威尔逊定理) p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,-Λ中，必然有一个数除以p 余1，这是因为x p x x )1(,,2,-Λ则好是p 的一个剩余系去0. 从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ΛΛ，使得)(mod 1p xy ≡；若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，这不可能. 故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y Λ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ，即1,,2,1-p Λ中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对，这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！ ∴p 为质数.5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数， α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1) ③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.(2) 判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数. (3) n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P Λ 从而可以写出n !的标准分解式.例7、证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1.1|2401|531653161|51|31),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)1)(1)(1(1,72401744442242244-∴-⋅⋅--∴==⋅⋅++-=-+-++-++-=-∴≥-≥p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：和均为偶数，且又是奇数素数证：整除；能被时，、证明当素数例ΘΘΘΘ例8、求20052003被17除所得的余数.解：()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡ 故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.变式拓展：已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字.解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数，∴a 20＝a φ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)，又∵(25, 4)＝1，∴a 20≡1(mod 100)，∴a 20的末两位数字01.例9、证明：方程325y x =+无整数解.解：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能. 故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数，令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3) 由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.例10、试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 证明：若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1，则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n －n 被p 整除例11、设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n na nb n ++，则a ＝b . 证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡- 由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),n a n p +≡也即,(mod )n n p b n bn ba p ++≡-再由费马定理，所以pb a -，矛盾. 例12、设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数.证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素).显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).例13、设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数.证明：因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡ 而()()(){1111019999111,l p l p l p ----==⨯L L 123个个因()1(,9)1,101,l p p p -=- 故(){111 1.l p p -L 个例14、证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数.证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+ 故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡LL例15、(2004第36届加拿大奥林匹克) 设p 是奇质数，试证：∑-=-+≡11212)(mod 2)1(p k p p p p k例16、(第44届IMO ) 设p 是质数，试证：存在一个质数q ，使对任意整数n ，数n p −p 不是q 的倍数.例17、已知p是给定的质数，求最大正整数m满足：⑴1≤m≤p−1；⑵∑-=≡11) (modpkm p k.例18、(2006国家集训队测试题) 求所有的正整数对(a, n)，使得n|(a＋1)n−a n课外练习题：1、①证明：f (x )＝15x 5＋13x 3＋715x 是一个整值多项式. ②求证：f (n )＝15n 5－32n 2＋1310n －1被3除余2.①则只需证=)(15x f x x x 75335++是15的倍数即可. 由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5x x ≡，)3(mod 3x x ≡，则)5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x而(3，5)＝1，故)15(mod 075335≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数, 所以)(x f 是整数. 2、证明：2730|n 13－n (n ∈N *))(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1()1)(1(),(|13),(,)(1375322730)(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：-=-=-=-=++-+++-=++-=+-=-∈-=⋅⋅⋅⋅∈-Θ3、已知有正整数b a b a ab ba b a ++++的最大公约数不超过与是整数，求证：使得11,.证明：由于a ＋1b ＋b ＋1a ＝a 2＋b 2＋a ＋b ab……①，设(a , b )＝d ，则d 2|a 2＋b 2，显然d 2|ab ，由①得，d 2|a ＋b于是a ＋b ≥d 2，a ＋b ≥d ，即 (a , b )≤a ＋b .4、求最小的正整数k ，使得存在非负整数m ，n 满足k ＝19m －5n5、将与105互素的所有正整数从大到小排列，试求出这个数列的第1000项；法一：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个.1000=48×20＋48－8， 105×20=2100. 而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186. 法二：6．设n m ,为正整数，具有性质：等式(171,)(171,)k m k n -=-对所有的正整数k 成立. 证明：17rm n =，其中r 是某个整数.。

数论费马小定理

数论费马小定理数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它是由法国数学家费马在17世纪提出的。

费马小定理给出了一种判断一个数是否为素数的方法，它为数论研究提供了一个重要的工具。

本文将详细介绍数论费马小定理的原理和应用。

1. 费马小定理的原理费马小定理是关于模运算的一个定理。

模运算是指在数学中，把一个数除以另一个数，求出余数的运算。

例如，当我们说“7除以3等于2，余1”时，2就是商，1就是余数。

费马小定理的原理是：如果p是一个素数，a是一个整数，那么a 的p次方减去a，再除以p，所得的余数一定是0。

换句话说，a的p次方与a取模p的结果是0。

2. 费马小定理的应用费马小定理在密码学领域有着广泛的应用。

其中一个重要的应用是在RSA加密算法中。

RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用了大素数的乘积来加密和解密数据。

RSA加密算法的安全性依赖于两个大素数的乘积难以分解成其素因子。

费马小定理可以用来检测一个数是否为素数，从而在RSA加密算法中选择合适的素数。

费马小定理还可以用来求解模线性方程。

模线性方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m都是整数。

费马小定理可以帮助我们在模运算中求解这类方程。

3. 费马小定理的例子为了更好地理解费马小定理，我们来看一个例子。

假设我们要判断数17是否为素数，我们可以选择一个整数a，比如2，然后计算2的17次方除以17的余数。

根据费马小定理，我们知道2的17次方与2取模17的结果应该为0。

具体计算过程如下：2^17 ≡ 2 (mod 17)上述计算结果为2，不等于0。

因此，我们可以得出结论，17不是一个素数。

4. 总结数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它可以用来判断一个数是否为素数，求解模线性方程等。

在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。

通过了解和掌握费马小定理的原理和应用，我们可以更好地理解数论的基础知识，并应用于实际问题中。

数论费马小定理的研究对于数学学科的发展具有重要的意义，它不仅为数论研究提供了有力的工具，也为密码学和模运算等相关领域的研究提供了理论基础。

费马小定理内容

费马小定理内容费马小定理是一种数学定理，它可以用于帮助我们在数论运算中解决许多问题。

它被广泛应用于密码学和其他领域，因为它可以解决一些重要的计算问题。

在本文中，我们将分步骤阐述费马小定理的内容，以便更好地理解它的应用。

1. 定理内容费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a 的p次方减去a都能被p整除，也就是说，a的p次方与a除以p的余数相等。

或者另一种表达方式：对于任意整数a，如果p不能整除a，那么a的（p-1）次方减去1都能被p整除。

这个定理可以很容易地理解，因为对于任意整数a，p都是其模数。

那么，当我们计算模数时，取余数的结果和模数相等。

因此，在这种情况下，费马小定理表述的内容非常合理。

2. 定理证明费马小定理的证明比较简单，我们只需要运用一些基本的数学原理即可。

假设a和n是两个互质的整数。

那么，我们可以将a的p次方进行分解，得到如下等式：a^p ≡ a (mod p)接着，我们将a乘以a的p-1次方，得到如下等式：a^p ≡ a^(p-1)·a (mod p)根据模运算的定义，我们可以将a的p-1次方模p，得到以下等式：a^p ≡ a^(p-1)·a mod p ≡ a^(p-2)·a^2 mod p ≡ a^(p-2)·a·a mod p这个过程可以一直继续下去，直到变成以下等式：a^p ≡ a (mod p)因此，我们可以得出结论，即在质数p的情况下，费马小定理是成立的。

3. 应用举例费马小定理的应用非常广泛，其中最重要的应用之一就是用于RSA密码算法。

RSA密码是一种公钥密码体制，它利用了费马小定理的性质。

在RSA密码算法中，我们需要生成两个大质数p和q，然后计算它们的积n。

我们还需要选择两个整数e和d，它们满足以下两个条件：- e和(p-1)·(q-1)互质- e·d ≡ 1 (mod (p-1)·(q-1))然后，我们将n和e设置为公钥，将n和d设置为私钥。

(完整版)费马定理及其应用

(完整版)费马定理及其应用费马定理是数论中的一个经典问题，由法国数学家皮埃尔·费马在17世纪前半所提出。

这个定理与勾股定理之间有着密切的联系，费马定理被认为是勾股定理的一般情况。

费马定理的表述为：对于任何大于2的整数n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

费马定理在当时提出后引起了广泛的关注和研究，但直到数学家安德鲁·怀尔斯于1994年证明该定理才告一段落。

怀尔斯的证明借助了现代数论中的一些高深理论和方法，使得这个问题得到了完全的解决。

然而，费马定理的证明非常复杂，需要高深的数学知识和技巧。

因此，费马定理的证明过程并不适合在这个文档中进行详细阐述。

而本文档的重点主要是介绍费马定理及其应用。

费马定理作为一个经典问题，其应用广泛存在于数学和计算机科学的各个领域。

其中，一个重要的应用是在密码学中。

费马定理的一个推论是费马小定理，它为密码学中的一些算法提供了重要的依据。

根据费马小定理，如果p是一个素数，a是不可被p整除的整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

这个定理在RSA加密算法中起到了关键作用。

除了密码学，费马定理还有其他一些应用。

例如，在代数几何中，费马定理的一个推论被用于解决一些几何问题。

在概率论和组合优化中，费马定理也有一些应用。

此外，费马定理及其证明还对数学史的发展产生了深远影响，推动了数学中一些重要的研究方向。

综上所述，费马定理作为一项经典的数学问题，在数学和计算机科学中具有广泛的应用。

虽然费马定理的证明非常复杂，但其应用却可以在各个领域中找到。

费马定理的研究不仅扩展了我们对数学和计算机科学的认识，也促进了相关领域的发展。

参考文献：1. Andrew Wiles. "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem." Annals of Mathematics, Vol. 141, No.3, 1995.2. George E. Andrews. "Number Theory." Dover Publications, 1994.3. Harold M. Edwards. "Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory." Springer Science & Business Media, 2012.。

欧拉定理

欧拉定理编辑讨论上传视频在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。

在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。

西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

另有欧拉公式。

中文名欧拉定理外文名Euler Theorem别称费马-欧拉定理类别定律应用学科数学目录1 莱昂哈德·欧拉2 数论定理▪内容▪证明▪应用3 几何定理▪内容▪证明4 拓扑公式5 图论定理▪内容▪证明6 经济学▪定理推导▪定理证明▪实例7 复变函数8 意义9 证明应用▪利用几何画板▪公式应用10 运用方法▪分式▪复数▪三角形▪多面体▪多边形莱昂哈德·欧拉编辑莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。

彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。

他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。

即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。

欧拉永远是我们可敬的老师。

欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

费马小定理和欧拉定理

费马小定理和欧拉定理1. 引言说到数学，很多人脑海中浮现的就是那些复杂的公式和死板的定理，仿佛要把人逼疯。

但别急，今天我们聊聊两个超级有趣的定理：费马小定理和欧拉定理。

听起来有点高深，但其实没那么难。

咱们可以把它们当成数学界的小秘密，来看看这些“秘密”背后隐藏的魅力。

1.1 费马小定理的故事首先，咱们来聊聊费马小定理。

这个定理是法国数学家费马在17世纪提出的，费马可是个传奇人物。

他不仅在数学上有很高的造诣，还爱搞一些奇怪的事情，比如留下神秘的“最后定理”，让无数数学家抓破头皮。

费马小定理的内容其实很简单：如果你有一个质数p和一个整数a，而且a不是p的倍数，那么a的p1次方减去1，能够被p 整除。

听起来是不是有点绕？简单说，就是“你和质数的关系很密切，但要有点距离”。

这就像朋友之间保持一定的神秘感，太亲密反而不好。

1.2 费马小定理的应用这定理可不止是个数学家茶余饭后的闲聊话题，它在现代密码学中可是大有用处！举个例子，很多加密算法就是靠它的原理在保护你的隐私。

你想啊，咱们每天都在用的网银、购物网站，背后可是有一套严密的数学体系在守护着我们的安全。

就像你出门上锁，不怕贼一样。

费马小定理就好比那把锁，让数据在网络中安全流动。

真是“智慧之光”啊！2. 欧拉定理的魅力接下来，让我们谈谈欧拉定理。

瑞士数学家欧拉可是一位全能型选手，不仅数学做得好，连物理、工程都涉猎广泛。

他的定理更是广为人知，内容也相对简单：如果p是一个质数，a和p互质（就是说a和p没有共同的因子），那么a的φ(p)次方减去1，能够被p整除。

这里的φ(p)代表的是小于p的正整数中，与p互质的数的数量。

简而言之，就是个数数的游戏，但可不是随便数数那么简单！2.1 欧拉定理的实际应用欧拉定理的应用也非常广泛，尤其是在数论和密码学领域。

我们前面提到的费马小定理，其实就是欧拉定理的一个特例。

只要你搞清楚了欧拉定理，费马小定理就像“开了个小头”，简单易懂。

数论中的欧拉定理和费马小定理的应用案例

数论中的欧拉定理和费马小定理的应用案例在数学领域中，欧拉定理（Euler's theorem）和费马小定理（Fermat's little theorem）是两个重要的定理。

它们有广泛的应用，在密码学、组合数学、计算机科学等领域都有重要的地位。

本文将着重介绍欧拉定理和费马小定理的应用案例，让读者更深入了解它们的意义。

一、欧拉定理的应用案例欧拉定理是欧拉在18世纪提出的定理，它表述了：如果a和n是正整数，且a与n互质，则有以下等式成立:a^φ(n) ≡ 1 mod n其中，φ(n)表示n的欧拉函数。

欧拉函数φ(n)的定义是: 小于n的正整数中与n互质的数的个数。

例如，φ(10)=4，因为小于10，与10互质的数有1、3、7、9这四个数。

欧拉定理的应用非常广泛，其中一个著名的应用是RSA算法。

RSA算法是一种非对称加密算法，利用了欧拉定理和费马小定理的原理。

它的核心思想是：找到两个大质数p和q，然后计算出n=pq，再计算出n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)，选取一个整数e，使得1 < e < φ(n)，且e与φ(n)互质，然后计算出一个整数d，满足ed ≡ 1mod φ(n)，那么d就是e的模φ(n)乘法逆元。

最后，将n和e公开，而将p、q和d保密，这样就可以进行加密和解密操作。

二、费马小定理的应用案例费马小定理是由法国数学家费马提出的定理，它表述了：如果p是一个质数，且a是不是p的倍数的整数，则有以下等式成立:a^(p-1) ≡ 1 mod p也就是说，如果a除以p余数不为0，那么a的p-1次方模p的余数为1。

这个定理非常强有力，因为它可以检验一个数是不是质数。

费马小定理在素数检验和模幂运算等方面都有广泛的应用。

素数检验是指判断一个给定的数是否是质数。

一种常见的方法是费马测试。

它的思想是：随机选择一个较小的正整数a，如果a^(n-1)mod n=1，那么n有可能是质数。

奥林匹克数学题型费马小定理与欧拉函数

奥林匹克数学题型费马小定理与欧拉函数奥林匹克数学题型：费马小定理与欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中，费马小定理和欧拉函数是两个经常出现的题型。

本文将介绍费马小定理和欧拉函数的概念、性质以及它们在竞赛中的应用。

一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费尔马在17世纪提出的，它是数论中的一条重要定理。

费马小定理表述如下：若p是一个素数，a是任意整数，那么a^p与a在互质模p的情况下相等。

根据费马小定理，我们可以得出以下推论：1. 若a是任意整数，p是一个素数，则a^p - a能够被p整除。

2. 若a是任意整数，n是一个正整数，则a^n - a能够被n整除。

费马小定理在奥林匹克数学竞赛中的应用非常广泛。

例如，当需要计算一个大数的幂模某个数时，可以利用费马小定理进行简化计算。

二、欧拉函数欧拉函数是数论中的一个重要概念，用φ(n)表示。

欧拉函数的定义如下：对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

欧拉函数具有以下性质：1. 若p是一个素数，则φ(p) = p - 1，因为小于p的正整数都与p互质。

2. 若a和b互质，则φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

3. 对于任意正整数n，都有∑[d|n]φ(d) = n，其中∑表示求和，d表示n的正因数。

欧拉函数在奥林匹克数学竞赛中的应用也非常广泛。

例如，求解一个数的模反元素时，可以利用欧拉函数的性质进行计算。

三、费马小定理与欧拉函数在竞赛中的应用1. 求解模幂问题在奥林匹克竞赛中，常常会遇到求解一个数的幂模某个数的问题。

通过利用费马小定理的推论，可以大大简化计算。

具体步骤如下：（1）根据题目给定的数和模数，确定底数和指数。

（2）利用费马小定理，对底数进行化简，得到新的底数。

（3）对新的底数进行指数运算。

（4）将运算结果对模数取余，得到最终答案。

2. 求解模反元素在奥林匹克竞赛中，经常需要求解一个数在模某个数下的逆元。

利用欧拉函数的性质，可以简化计算过程。

费马小‘定理

费马小‘定理
费马小定理是数论中的一个定理，它表明如果p是一个素数，那么对任意不被p整除的整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

费马小定理的数学表达式是：a^p ≡ a (mod p)，其中p是质数，a是任意自然数。

这个定理说明了在模p的算术中，任意自然数a的p次幂减去a本身，可以被p整除。

换句话说，a的p次幂除以p的余数等于a除以p的余数。

值得一提的是，费马小定理在密码学中有广泛的应用，特别是在RSA加密算法中起到了关键作用。

此外，费马小定理也可以被视为模运算的一个基本工具，它在解决与模p算术相关的问题时非常有用。

欧拉定理适用范围

欧拉定理适用范围
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊欧拉定理。

那欧拉定理到底是什么呢？它呀，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开很多知识的大门呢！
欧拉定理有不同的适用范围哦。

首先，在几何学中，它可是大显身手呢！比如说，在研究多面体的时候，欧拉定理就发挥了重要作用。

你可以想象一下，一个多面体，它的顶点数、棱数和面数之间存在着一种奇妙的关系，这就是欧拉定理在起作用啦。

就好像搭积木一样，通过欧拉定理，我们能更好地理解这些积木是怎么组合在一起的。

在图论中，欧拉定理也有它的一席之地。

图论就像是研究各种网络的学问，比如交通网络、人际关系网络等等。

欧拉定理可以帮助我们分析这些网络的一些特性。

比如说，一个连通的图，它的节点和边之间也有着特定的规律，这也是欧拉定理的功劳呀！这就好比是在迷宫中找到正确的路线，欧拉定理就是那个指引方向的线索。

那欧拉定理为什么这么重要呢？这就好比是一把万能钥匙，能打开很多复杂问题的大门呀！它让我们能更深入地理解数学中的各种结构和关系。

欧拉定理的适用范围可不止这些哦，在很多其他领域也都有它的影子。

比如在计算机科学中，在解决一些算法问题的时候，欧拉定理也能帮上大忙呢！它就像一个隐藏的宝藏，等待着我们去发现和利用。

总之，欧拉定理的适用范围非常广泛，从几何学、图论到计算机科学等等，它都发挥着重要的作用。

它就像是数学世界里的一颗璀璨明星，照亮着我们探索知识的道路。

难道我们不应该好好去了解和学习它吗？。

《费马小定理和欧拉定理》课件人教新课标

1
欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用
本节主要通过应用简化剩余系的性质证明数论中的两个重要定理，欧拉定理和费马定理, 并说明其在理论和解决实际问题中的应用。
一、两个基本定理
定理1Euler 设 m是正整数，(a, m) = 1，则 am) 1 (mod m).
证明：设{x1, x2, , x(m)}是模m的一个简化剩余系，则{ax1, ax2, , ax(m)}也是模m的简化剩余系，所以 ax1ax2 ax(m) x1x2 x(m) (mod m)，即 a(m)x1x2 x(m) x1x2 x(m) (mod m). 由( x1, m) ( x2 , m) ＝( x(m), m) 1 得 (x1x2 x(m), m) = 1，所以 a(m) 1 (mod m).
4. 定理5 纯循环小数 0.b1 b2 bt 可以化为分数
b1b2 bt , 其中，分母中含有t个9. 99 9
证明： 10t b1b2 bt
(10t 1) b1b2 bt
b1b2 10t
bt 1
b1b2 99
bt . 9
0. 2 3
23 99
0. 3 6
36 99
4 11
0.023 23 999
解：(7） 6，由欧拉定理得 106 （1 mod 7）.
又10 （4 mod6）,102 （4 mod6）, ，1010 （4 mod6） 1010 10102 101010 104 104 + 10（4 mod7） 34 34 3（4 mod7） 34 10(mod7) 4（3 mod7）（5 mod7）
b1
记
a1 b1
0.c1
ck c1
ck

费马小定律

费马小定律
费马小定理是数论中的一个重要定理，具有深远的意义和广泛的应用。

该定理的基本内容是：如果p是一个质数，而a是任意一个与p互质的整数（即两者的最大公约数为1），那么a的p-1次方除以p的余数恒等于1。

换句话说，如果我们有一个整数a和一个质数p，且a和p之间没有除了1以外的公约数，那么当我们把a的p-1次方除以p时，余数总是1。

这个定理的证明涉及到模运算和完全剩余系的概念。

在模p的运算中，我们可以把整数分成p个不同的剩余类，这些剩余类构成了模p的一个完全剩余系。

费马小定理的证明就是基于这样一个事实：如果我们取模p的一个完全剩余系中的每个元素a，然后将它们各自乘以a，再对p取模，得到的结果仍然是一个模p的完全剩余系。

费马小定理在数论中有着重要的应用，它是证明其他更复杂定理的基础。

例如，它是证明欧拉定理的一个特殊情况的关键步骤，欧拉定理是费马小定理的一个推广。

此外，费马小定理也在密码学中有着广泛的应用，尤其是在公钥密码体系中，如RSA算法，就利用了费马小定理的性质。

总的来说，费马小定理是数论中的一颗璀璨明珠，它的美丽和力量在于它用简洁明了的方式揭示了整数和质数之间的一种深奥关系。

这个定理不仅深化了我们对整数的理解，也为我们提供了一种强有力的工具，用于解决各种数学和实际问题。

关于欧拉定理问题及其应用

学院学术论文关于欧拉定理问题及其应用Euler theorem about application and application姓名所在学院专业班级学号指导教师日期关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。

Abstract: from the proof of the theorem of related euler, euler theorem proving mathematical way of thinking, which reflected on the basis of the application.Keywords: Euler Set Daniel, number and fixed thoughts, should use to party.在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。

为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。

一、欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法（一）定理［1］(Euler)[]1: 设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明1：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。