高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法课堂精练 苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.22.2.2 向量的减法练习 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法A 级 基础巩固1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |，C 不正确． 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d . 所以A 、C 、D 正确，B 不正确． 答案：B3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：作出菱形ABCD (如图所示)，则AC ⊥BD ，BC →＝AD →，故|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝2|BO →|＝2×32＝ 3.答案：D4.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →. 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立； BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立； AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立； BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 答案：A5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为______． 解析：AB →－AC →＝CB →，则|CB →|＝|BC →|＝2. 答案：26．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →. 答案：PQ →7．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，且|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：由平行四边形法则知，|a ＋b |，|a －b |分别表示对角线AC ，BD 的长，当|AC →|＝|BD →|时，平行四边形ABCD 为矩形．答案：矩形8．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b . 答案：c b9．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13]D ．(3，13)解析： 因为|BC →|＝|AC →－AB →|，又因为|AB →|－|AC →|≤|AC →－AB →|≤|AB →|＋|AC →|， 所以3≤|AC →－AB →|≤13，即3≤|BC →|≤13. 答案：C10．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝a ，则DC →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋cB 级 能力提升11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以DA →＝CB →.所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →. 所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →. 所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →. 因为DA →＝b ，所以b ＋c －a ＝b ＋OD →＝DA →＋OD →＝OA →. 12．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (2)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)由平行四边形法则，知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD . 又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (2)假设|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 是矩形．所以a ⊥b ， 所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(3)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量． 13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10. 所以|a －b |＝10.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法 苏教版必修4
[预习导引] 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 差 ，记为a－b，求两个 向量差的运算，叫做 向量的减法 .
2.向量减法的平行四边形法则 以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则对角 线的向量B→D＝b－a，D→B＝a－b. 3.向量减法的三角形法则 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a －b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
＝0.
(2)B→D＋D→C＋A→B－A→C. 解 B→D＋D→C＋A→B－A→C ＝(B→D＋D→C)＋(A→B－A→C) ＝B→C＋C→B
＝0.
要点二 用已知向量表示其他向量 例2 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； 解 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，
D→E＝d，E→A＝e，则 D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a.
(2)用 b，c 表示D→B； 解 D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)用 a，b，e 表示E→C； 解 E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)用 d，c 表示E→C. 解 E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利 用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形 或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋E→A)＋(A→B＋D→C).
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C. 方法二 如图，在平面内取点O，连结AO、 EO、DO、CO、FO、BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课时训练含解析苏教版必修4
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课时训练含解析苏教版必修4课时目标 1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA →－OB →＝__________.一、填空题1．若OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝________.2．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.3．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 4.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.5．如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a －b ＋c －d ＝________.8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________．9．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.二、解答题 11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →. 12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？ 14.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量的减法知识梳理 BA → 始点 终点 BA → 作业设计 1．b －a 2．2 3．0 4.CA →5．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC → ＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 6．2 3 解析如右图，设菱形对角线交点为O ， ∵BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →， 又∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴OB ＝1，在Rt △AOB 中， |AO →|＝|AB →|2－|OB →|2＝3， ∴|AC →|＝2 3. 7．0解析 a －b ＋c －d ＝OA →－OB →＋OC →－OD →＝BA →＋DC →＝0. 8．[3,13]解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13. 9. 3 解析如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →. 在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3. 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →， 且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连结CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连结DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →. 故OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法学案 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)[基础·初探]教材整理 向量的减法阅读教材P 66～P 67的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .图2210判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)OP →－OQ →＝PQ →.( )(2)若－b 与a 同向，则a －b 与a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( )(4)AB →＝OB →－OA →.( ) 【解析】 (1)×.OP →－OQ →＝QP →；(2)√.－b 与a 同向，则a －b ＝－b ＋a 与a 同向． (3)×.如(a －b )＋c ＝a ＋(c －b )． (4)√.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 【导学号：06460045】 【精彩点拨】 充分利用向量减法的运算律求解． 【自主解答】 (1)原式＝NQ →＋QP →－(NM →＋MP →) ＝NP →－NP →＝0.(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.运用向量减法法则运算的常用方法：可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点. 引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.[再练一题]1．化简：AC →－BD →＋CD →－AB →＝________. 【解析】 原式＝(AC →－AB →)＋DB →＋CD →＝BC →＋CB → ＝0. 【答案】 0如图2211所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：图2211(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →； (3)BF →－BD →.【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．【自主解答】 (1)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →， ∵OD →＝d ，OB →＝b ， ∴AD →－AB →＝d －b .(2)∵AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)， OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，∴AB →＋CF →＝b ＋f －a －c . (3)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →， ∵OF →＝f ，OD →＝d ， ∴BF →－BD →＝f －d .用几个基本向量表示某个些向量的技巧：首先，观察待表示向量的位置；其次，寻找或作相应的平行四边形和三角形； 再次，运用法则找关系； 最后，化简结果.[再练一题]2．如图2212，解答下列各题：图2212(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .[探究共研型]探究1 若【提示】 ①当a 与b 同向且|a |≥|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ；OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；②当a 与b 同向且|a |≤|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；③若a 与b 反向，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则B A →＝a －b .探究2 结合探究1的图示及向量的减法法则，探究|a －b |与a ，b 之间的大小关系？ 【提示】 当a 与b 不共线时，有：||a |－|b ||＜|a －b |＜|a |＋|b |； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：|a －b |＝|a |－|b |； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：|a －b |＝|b |－|a |.已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.【精彩点拨】 |a ＋b |＝|a －b |→判断a 与b 的位置关系→求|a －b |的值．【自主解答】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD .则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形． 故AD ⊥AB . 在Rt △DAB 中， |AB →|＝6，|AD →|＝8， 由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10， 所以|a －b |＝10.1．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．[再练一题]3．已知向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝3，求|a －b |. 【解】 在▱ABCD 中，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝1，所以ABCD 为菱形，且AC ⊥BD ，交点为O ，∴AO ＝32，AB ＝1，OB ＝AB 2－AO 2＝12，∴BD ＝2BO ＝1，即|a －b |＝1.[构建·体系]1．化简AB →－AC →＋BC →等于________． 【解析】 AB →－AC →＋BC →＝CB →＋BC → ＝0. 【答案】 02．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 【解析】 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1. ∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 【答案】 0 23．在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是________.【导学号：06460046】①AB →－DC →＝0； ②AD →－BA →＝AC →； ③AB →－AD →＝BD →；【解析】 ∵ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，故①正确；又AD →＝BC →，∴AD →－BA →＝BC →－BA →＝AC →， 故②正确；又AB →－AD →＝DB →≠BD →，故③错误．【答案】 ①②4．如图2213，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝________.图2213【解析】 由三角形法则可知 DC →＝AC →－AD → ＝(AB →＋BC →)－AD → ＝a ＋c －b . 【答案】 a ＋c －b5．如图2214所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .图2214(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 【解】 (1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 若a ＋b 与a －b 所在直线垂直，则AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形，即应满足|a |＝|b |. (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形，∴a⊥b ， ∴当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能，∵▱ABCD 的两条对角线不可能平行，∴a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十六) 向量的减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →的结论正确的是________． ①AB →；②BA →；③CD →；④DC →. 【解析】 ∵AC →－AD →＝DC →， 又ABCD 为平行四边形， ∴DC →＝AB →. ∴①④正确． 【答案】 ①④2．已知两向量a 和b ，如果a 的方向与b 的方向垂直，那么|a ＋b |________|a －b |.(填写“＝”“≤”或“≥”)【解析】 以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知 |a ＋b |＝|a －b |.【答案】 ＝3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS →－RT →＋ST →；②BD →＋DC →＋AB →－AC →；③AB →－AC →－CB →；④AB →＋BC →－AC →.【导学号：06460047】【解析】 ①RS →－RT →＋ST →＝0. ②BD →＋DC →＋AB →－AC →＝BC →＋CB →＝0. ③AB →－(AC →＋CB →)＝0. ④AB →＋BC →－AC →＝0. 【答案】 44．如图2215所示，在正方形ABCD 中，已知AB →＝a ，BC →＝b ，OD →＝c ，则图中能表示a －b ＋c 的向量是________．图2215【解析】 由已知得a －b ＝AB →－AD →＝DB →，c ＝OD →，∴a －b ＋c ＝DB →＋OD →＝OB →. 【答案】 OB →5．(2016·南通高一检测)如图2216，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，若用a ，b 表示向量BC →，则BC →＝________.图2216【解析】 BC →＝OC →－OB →＝AO →－OB →＝－OA →－OB → ＝－a －b . 【答案】 －a －b6．已知|a |＝7，|b |＝2，若a∥b ，则|a －b |＝________.【解析】 ∵a∥b ，当a 与b 同向时，|a －b |＝|7－2|＝5，当a 与b 反向时，|a －b |＝|7＋2|＝9.【答案】 5或97．下列四个式子，不能化简为AD →的序号是________．①(AB →＋CD →)－CB →；②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)；③OC →－OA →＋CD →；④MB →＋AD →－BM →.【解析】 ①原式＝AB →＋(CD →－CB →)＝AB →＋BD →＝AD →；②原式＝AD →＋BC →－(BM →＋MC →)＝AD →＋BC →－BC →＝AD →；③原式＝AC →＋CD →＝AD →；④原式＝MB →＋AD →＋MB →≠AD →，∴只有④不能化为AD →.【答案】 ④8．(2016·南京高一检测)如图2217，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列各式不．正确的是________．图2217①AD →＋BE →＋CF →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝0；③AD →＋CE →－CF →＝0；④BD →－BE →－FC →＝0.【解析】 ①AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝－BD →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝(BD →＋DF →)－CE →＝BF →－CE →≠0；③AD →＋CE →－CF →＝AD →＋(CE →－CF →)＝AD →＋FE →≠0；④BD →－BE →－FC →＝(BD →－BE →)－FC →＝ED →－FC →＝ED →＋CF →≠0.【答案】 ②③④二、解答题9．如图2218，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作a －b ＋a .图2218【解】 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b .如图所示：作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .10．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. [能力提升]1．如图2219，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.图2219【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA→＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点，∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 【答案】 433．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．【解析】 如图所示，|AB →－BC →|＝|AB →＋BC ′→|＝|AC ′→|，又|AB →|＝1，|BC ′→|＝1，∠ABC ′＝120°，∴在△ABC ′中，|AC ′→|＝2|AB →|cos 30°＝ 3.【答案】 34．已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求|a ＋b ||a －b |.【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴BA ＝OA ＝OB ，∴△OAB 为正三角形．设其边长为1，则|a －b |＝|BA →|＝1，|a ＋b |＝2×32＝3， ∴|a ＋b ||a －b |＝31＝ 3.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法成长训练
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法成长训练 苏教版必修4夯基达标1.化简（AB -CD ）+（BE -DE ）的结果是（ ） A.0 B.AE C.CA D.AC 解析：AB -CD +BE -DE =AB +BE -（CD +DE ）=EC AE CE AE +=-=AC . 答案：D2.若a 与b 反向，且|a |=|b |=1，则|a +b |等于( )A.0B.1C.2D.2解析：∵a 与b 方向相反，且|a |=|b |.∴a 与b 为相反向量，∴a +b =0.答案：A3.当 |a |=|b |≠0，且a 、b 不共线时，a +b 与a -b 的关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：∵a 与b 不共线且|a |=|b |，设OA =a ，OB =b ，则以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 中，a +b =OC ，a -b =BA ，又|OA |=|OB |，∴OACB 为菱形，故OC ⊥BA .答案：B4.在△A BC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则DB AF -等于（ ）A.FDB.FCC.FED.BE解析：AF -DB =AF -AD =DF =BE .答案：D点评：本题应充分利用图中的相等向量.5.某人先“向东走3 km”，位移为a ，接着再“向北走3 km”，位移为b ，则a -b 表示（） A.向东南方向走23km B.向东北方向走23kmC.向东南方向走6 kmD.向东北方向走6 km解析：作出差向量的几何图形，观察a -b 方向为东南，大小为23. 答案：A 6.化简以下各式，结合为零向量的个数是（ ） （1）AB +BC +CA （2）AB -AC +BD -CD （3）OA -OD +AD （4）MP MN QP NQ -++A.1B.2C.3D.4解析：(1) AB +BC +CA =0.(2)AB -AC +BD -CD =(AB -AC )+(BD +DC )=CB +BC =0.(3)OA -OD +AD =DA +AD =0.(4)PN NP MP MN QP NQ +=-++=0.故选D.答案:D7.已知|AB |=6，|AC |=4，则|BC |的取值范围为（ ）A.（2，8）B.［2，8］C.（2，10）D.［2，10］解析：∵BC =AC -AB ，∴2=|AB |-|AC |≤|BC |=|AC -AB |≤|AB |+|AC |=10.答案:D8.如右图，四边形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，则DC 等于（ ）A.a -b +cB.b -(a +c )C.a +b -cD.b -a +c解析：DC =AC -=+BC -=a -b +c .答案：A9.如右图所示，在正方形ABCD 中，已知=a ，=b ，=c ，则表示a -b +c 的是（ ）A.ODB.OBC.OAD.OC解析：a-b+c=AB-BC+OD=AB+OD-BC=AB+BO-BC=AO-BC=OC-BC= OC+CB=OB.答案：B10.已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD 等于（）A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析：如图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.综合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a+c-b.答案：B11.如右图，在正五边形ABCDE中，若AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EA=e，求作向量a-c+b-d-e.解：∵a-c+b-d-e=（a+b）-（c+d+e）=(+)-(++)=-=2,∴连结AC，并延长至F，使CF=AC,则=.∴=2AC即为所求作的向量a-c+b-d-e.走近高考12.(2006上海高考，13)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+CB=0在平行四边形中，显然有AB=DC，AD=BC，即AD+CB=0.故A、D正确，由向量求和的平行四边形法则得AD+AB=AC，所以B正确. AB-AD=DB，故C不正确.答案:C13.(2004全国高考Ⅱ)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，则|a+b|等于（）A.1B.2C.5D.6解析:设OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OACB,则a-b=BA.∵|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，∴OACB中，OA=1，OB=2，BA=2.由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a+b|=||=6.答案:D14.(2005四川成都二模)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB-OC|=|OB+OC- OA-OA|，则△ABC的形状是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:∵+--=-+-=+，-==-，即以AB、AC为邻边的平行四边形的对角线长相等，则此平行四边形为矩形.∴AB⊥AC.答案:B。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.AB 可以写成：①BO AO +;②BO AO -；③OB OA -;④OA OB -.其中正确的是（ ） A 。
①② B.②③ C.③④ D.①④思路解析:向量加法的三角形法首尾顺次连接，而从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。
答案：D2.下列命题中，真命题的个数为（ ）①如果a 与b 的方向相同或相反,那么与a 共线的向量的方向必与a 、b 之一的方向相同 ②△ABC 中，必有CA BC AB ++=0 ③若CA BC AB ++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点 ④若a ，b 均为非零向量，且方向相同，则｜a +b ｜与|a |+｜b |一定相等 A 。
0 B.1 C.2 D 。
3思路解析：①若与a 共线的为0,则它不一定与a 、b 方向相同；②正确;③有可能A 、B 、C 三点共线；④一般来说,｜a +b ｜≤｜a |+｜b |，但当两个向量a ，b 方向相同时，则有｜a +b ｜=｜a |+｜b ｜. 答案：C3.如图2—2-16，已知ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心，其中OA =a ,OB =b ,OC =c ,则EF 等于（ ）图2—2-16A 。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法温故知新 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法
温故知新
新知预习
1.已知向量a、b，作=a，=b，则b+=a，向量叫做_____________；记作
_______________，即有=a-b=OA-OB.
2.如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以_________________为起点，_______________为终点的向量.
3.与向量a的方向相反且等长的向量叫a的_____________，记作_______________，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的_______________.
4.规定0的相反向量是_____________，且a+（-a）=_______________.
知识回顾
1.在数的运算中，已知两数的和而求其中一个加数的运算叫减法，也就是说减法是加法的逆运算.
2.上节课我们学习了向量求和的三角形法则和平行四边形法则，三角形法则要将各向量首尾顺次相接求和；而平行四边形法则是将两向量平移到共同的起点，以两向量为邻边作平行四边形来求和.
1。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的减法教案 苏教版必修4(2021年整理)
江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2 向量的减法教学思想：通过与实数的减法，与向量的加法的类比得到向量的减法的定义及运算法则学习目标:(1）知识与技能：理解向量减法的概念,掌握向量的几何表示，掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
（2)过程与方法：在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明(3）情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算,可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化,相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的加减法的运算法则及其应用教学难点：向量减法的概念的理解教学方法：探究、讲练结合教学过程：（一）复习回顾：1，向量加法的运算法则2,向量加法运算规律3，相反向量（二）情景创设：已知两个力的合力是，其中一个力是1F则求另一个力2F（如果同样的情景运算对象是实数而不是向量，我们又是怎样解决的呢？)实数b,x,a，已知b+x=a，则x= ，x叫做求两个实数差的运算叫做尝试：类比数的减法，给出向量减法的定义（三）建构数学:定义：若a x b =+，则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法 探究一：类比实数中)(b a b a -+=-，请问向量有怎样的结论?你能用学过的知识证明吗？ 探究二:如图，已知两个不共线向量a 与b ，如何根据向量差的定义和向量加法的三角形法则，作出b a -小结： 探究三:如果非零向量a 与b 共线，怎么作出b a -？例1：已知a 与b ，求作b a - a a a a b b b b 例2：平行四边形ABCD 中，a AB =,b AD =，用b a ,表示向量DB AC , 变：已知向量=，=， 120=∠DAB ,3==b a b a b a 例3：（教材67,例2） 探究四：b a b a b a ≤≤, b a b a +b a),(为非零向量的大小关系吗？例4．已知|错误!|＝10，｜错误!|＝7,｜则｜错误!|的取值范围为（四）课堂反馈1．化简+-+2。
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课件苏教版必修4
1
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3
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答案
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→ → → → 0 2.化简AC－BD＋CD－AB的结果为________.
解析 → → → → → → → → AD－BD－AB＝AD＋DB－AB＝AB－AB＝0.
解析答案
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3.若向量 a 与 b 满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___ 7 ，|a－b|的最
解析答案
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5
10 5.已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，则|a－b|＝_____. → → 解析 设AB＝a，AD＝b，以 AB，AD 为邻边作▱ABCD(如图所示)，
→ → 则AC＝a＋b，DB＝a－b，
→ → 因为|a＋b|＝|a－b|，所以|AC|＝|DB|.
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
→
→
→
DE＝q，EA＝r，求作向量 m－p＋n－q－r.
→
→
解
如图所示，延长AC到Q，使CQ＝AC，
则m－p＋n－q－r
＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝AC－CA ＝AC＋CQ＝AQ.
→
→
→
→
→
解析答案
类型二
向量的减法法则的运用
例2 (1)化简下列式子：
→ → → → ①NQ－PQ－NM－MP；
解
→ → → → → → → 原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0.
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题型探究
类型一 向量的减法
重点难点 个个击破
例1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
【精品】高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算2.2.2向量的减法教案苏教版必修4
2．2.2 向量的减法整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a )＝a .任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a －b 的作图方法.如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .进一步，如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a －b 是表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练1．如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .2．在ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0解析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中AB →－AD →＝BD →错误，D 中AD →＋BC →＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C例2课本本节例2.变式训练1．如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .2．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析：如图5，点O 到的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，图5结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案：B3．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .图6由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.思路2例1判断题．(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则得：AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋CA →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解．知能训练课本本节练习．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业已知O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：作直径BD ，连结DA ，DC ，有OB →＝－OD →，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD 为平行四边形，∴有AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.∴结论成立．设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a 的终点，如果指向b 的终点则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．2图72．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的() A ．重心 B ．垂心C ．内心D ．外心参考答案：1．C 2.D 3.C 4.A。
江苏省射阳县高中数学第2章平面向量2.2平面向量的减法活动单苏教版必修4(new)
向量的减法【学习目标】1. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义;2. 通过向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想【重难点】学习重点： 向量减法的概念和向量减法的作图法学习难点： 减法运算时方向的确定。
【预习案】看书P66-P67，弄懂下列概念，并完成第4、5题1、能从数的减法是加法的逆运算类比向量减法的定义吗？;2、通过类比定义向量的减法:；3、尝试向量减法的作图方法.，作图区域●注（1)作两向量的差对向量的起点的要求及差向量的方向.(2)减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(画图验证）.4、平行四边形中，−→−AB =→a ，−→−AD =→b ，则(1）、AB AC -= ；（2）、AB BC -= ;5、用a 、b 表示向量−→−AC ，−→−DB ;【探究案】探究一：向量减法的图形表示如图， 已知向量, 不共线, 求作向量－。
→ a b→变式：若, 共线, 则如何作向量－？探究二：向量减法的符号表示如图, O是平行四边形ABCD的对角线的交点，化简DA+OC－AB－.变式:化简下列各式:（1）（)-=_____ (2）AB－+－=_______+()-（3） (+)+(-－MO）=______________探究三：差向量的模的相关问题已知两个非零向量a，b, 若a的方向与b的方向垂直，试说明|a+b｜与|a－b|的关系变式：已知四边形ABCD中AB=，AD=,满足AC=｜+|与BD =｜a－b|相等，试判断四边形ABCD的形状。
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高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法2同课异构
uuur 例4、如图,已知向量 AB
ar ,
uuur AD
r b，DAB
120o，
且
|
ar
||
r b
|
3，求
|
ar
r b
|
和
|
ar
r b
|
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
uuur uuur
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
= (AB+BD)+(DC+CA)
uuur uuur uv
= AD+ DA = 0
练习： uuur
1、AB AD _____D_uu_uBr___
2、BA BC ____uCu_Au_r____
3、BC BA ____A_C_____ r 4、AB AC BD CD ____0______
的终点的向量.
O
(比较：如果两个向量
a,
b首尾顺次连接，
则a
b可表示为从向量
a的始点指向向量
b的终点.)
B
ar
r b
ar
A
两向量相减=减向量的终点指向被减
向量的终点。
a
-b
O
如果a与b为共线向量，那么怎样
A
作出a
b呢？
b
a
-b
O
b
B
OA=a-b
OB=a-b
练习1:
已知：向量
r r r ur a，b，c，d,
r 5、NQ QP MN MP ____0_____
uuur 例3、如图，平行四边形ABCD中，AB
2019-2020学年高中数学必修4第2章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义课后课时精练
2.2.2 向量减法运算及其几何意义A 级：基础巩固练一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA →D.AB →－AB →＝0答案 C解析 根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.2．下列说法错误的是( )A ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →B ．若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →C ．若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM → D ．若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝OM →答案 D解析 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定量知，共OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝－OD →－OE →＝－(OD →＋OE →)＝－OM →，故D 错误．3．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |＜|a |＋|b |； ④|a |－|b |＜|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 共线，且方向相同时成立．4.AC →可以写成：①AO →＋OC →；②AO →－OC →；③OA →－OC →；④OC →－OA →，其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案 D解析 由向量的加法及减法定义可知①④符合．5．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D解析 如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连接AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3，∴|AB →－BC →|＝ 3.二、填空题6．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||. 答案 a 与b 同向解析 当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.答案 CA →解析 BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝CA →＋AD →＋DA →＝CA →.8．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB →＝b ，OC →＝c ，则EF →等于________．答案 b －c解析 EF →＝OA →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c .三、解答题9．如图，已知a ，b 不共线，求作向量a －b ，－a －b.解 如图(1)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .如图(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝－a －b .10．设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.解 由题意可知四边形OADB 为平行四边形， ∴OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，∴DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， ∴BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .B 级：能力提升练1．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0，如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________.答案 0解析 将a i 顺时针旋转30°后得a i ′，则a 1′－a 2′＋a 3′＝0.又∵b i 与a i ′同向，且|b i |＝2|a i |，∴b 1－b 2＋b 3＝0.2．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明 因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB .又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM .(1)因为CM →－CA →＝AM →，又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|， 所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。
苏教版高中数学必修4第二章平面向量单元练习().docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章平面向量单元练习（必修4）一、填空题1．若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ b a //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。
① ||||||b a b a +≥+ ② ||||||b a b a -≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。
5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。
6. ABC ∆的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ∆的重心，则G 点的坐标为__________，=++GC GB GA __________________。
7. 若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=c ___________(用a 和b 表示)。
8. 与向量)4,3(=a 平行的单位向量的坐标为 ________________。
9. 在ABC ∆中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=∙BC AB ________________。
10.设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。
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江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减
法课堂精练 苏教版必修4
1．给出下列命题：
①若OD OE OM +=，则OM OE OD -=；
②若OD OE OM +=，则OM DO OE +=；
③若OD OE OM +=，则OD EO OM -=；
④若OD OE OM +=，则DO EO MO +=.
其中所有正确命题的序号为__________．
2．若向量a 与b 共线，|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__________.
3．下列命题中，正确的个数是__________．
①在平行四边形中，BA AD BD AB CD +-=+；
②+=⇔=0a b a b ；
③a －b ＝b －a ；
④AB CB CD AD -+-的模为0.
4．向量a ，b 皆为非零向量，
下列说法不正确的序号是__________．
①向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
②向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
③向量a 与b 反向，则向量a －b 与a 的方向相同
④向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同．
5．(1)已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的形状是__________．
(2)若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的平行四边形的形状必定是__________．
6.如图，已知AB =a ，AC =b ，12AB =，5AC =，∠BAC ＝90°，则|a －b |＝__________，tan∠ACB ＝__________.
7.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，求OD.
8．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
9.已知a，b，c为不共线的三个向量，求证：|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
参考答案
1. 答案：①②③④
2. 答案：0或2
解析：若a 与b 同向，则|a －b |＝|a |－|b |＝0.
若a 与b 反向，则|a －b |＝|a |＋|b |＝2.
3. 答案：3
解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．
由(+=⇔+-=⇔-+=⇔=0)00a b a a b a a a b b 知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的．
4. 答案：②
解析：∵a 与b 反向且|a |<|b |，
∴a ＋b 与b 方向相同，与a 方向相反．∴②不正确．
5. 答案：(1)平行四边形 (2)矩形
解析：(1)∵OA OC OB OD +=+，∴OA OB OD OC -=-.
∴BA CD =，∴BA 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．
(2)设AB =a ，AD =b ，如图，
则AC AD AB =+=+a b ，
DB AB AD =-=-a b ，
∵|a ＋b |＝|a －b |，
∴AC DB =∴
． 6. 答案：13 125
解析：∵CB -=a b ，
∴13CB -====a b a ，12tan 5
ACB ∠==a b . 7. 解：∵ABCD 为平行四边形，
∴AD BC OC OB ==-=-c b .
∴OD OA AD =+=+-a c b .
8. 解：如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB =+a b ，再作OC =c ，则CB =+-a b c .
如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB OA AB =+=+a b ，再作CB =c .
∵CB OB OC =-，
∴OC OB CB =-=+-a b c 9. 证明：在平面内任取一点O ，作向量OA =a ，OB =b ，OC =c ，
则向量BA =-a b ，CB =-b c ，AC =-c a ，
(1)当A ，B ，C 不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |；
(2)当A ，B ，C 共线时，若C 在线段AB 上时，有|a －b |＝|a －c |＋|c －b |，若C 不在线段AB 上时，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |.
综上所述，总有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.。