静定超静定判断及计算
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
理论力学-张敏居-2.3、静定与超静定
研究对象:整体(图示), 均布载荷的合力 Q2 Q1 10( KN ) F F cos 60 F sin 30 0 FAX 32.9( KN ) Fix 0 AX c
Fiy 0 FAY Q2 Q1 Fc sin 60 F cos30 0 FAY 2.2( KN ) mA (Fi ) 0
（一矩式）
m A ( Fi ) 0 m B ( Fi ) 0 F 0 ix
(1) ( 2) (3)
m A ( Fi ) 0 m B ( Fi ) 0 m ( F ) 0 C i
两矩式（其中A、B两点 的连线与x轴不垂直）
mA m Q2 1.5a Q1 2.5a Fc sin 60 3a F cos30 4a 0
mA 10.3( KN m)
10
例2.3-4、编号为1、2、3、4的四根杆组成了一个平面 构架（图示），B、D为光滑接触，E为中点；各杆自 重不计，已知竖直力F；试证明1杆受到的压力恒等于 外力F，而与机构尺寸a、b、c的值无关；
C E 50KN
FNB
B A F AY FNB
D
F DY F DX
E
F DY
D
B
C
E 50KN
F DY
F DX
F DX F EY
F
F EX
FNB
F EY
F EX
E 50KN
17
FAX FCX 0 FCX 2.5( KN )
8
例2.3-3 某组合梁由AB/BD杆铰接而成(图示),杆重都不计 ;F=20KN,均布载荷的集度q=10KN/m,力偶m=20KN.m, a=1m;AB杆插入竖直墙体内；求墙体对AB杆的作用力和 支杆C对BD杆的作用力。
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
静定超静定判断及计算
目的和意义
目的
理解静定与超静定的概念，掌握判断方法，能够进行相应的计算。
意义
在实际工程中，正确判断结构和系统的静定或超静定状态对于确保结构安全、节约材料和降低成本具有重要意义。
02
静定与超静定的基本概念
静定结构的定义
静定结构
在任何外界影响下，其平衡位置都是稳定的 ，且在受到微小扰动后能自动恢复到原来的 平衡状态。
内力计算的方法
静定结构的内力计算通常采用截面法或节点法进行。截面法是通过 截取结构的一部分进行分析，节点法则是对结构的节点进行受力分 析。
内力的表示方法
内力可以用实线和虚线表示，实线表示实际受力方向，虚线表示实际 受力反方向。
静定结构的位移计算
1
位移计算的意义
在结构分析中，位移是一个重要的参数 。通过计算位移，可以了解结构的变形 情况，从而评估结构的稳定性和安全性 。
本文的研究成果已被广泛应用于建筑、机械、航空航天等工程领 域，解决了众多实际工程问题，取得了显著的经济和社会效益。
对未来研究的展望
深入研究复杂结构体系
随着科技的发展，复杂结构体系在工程中越来越常见，未 来研究可进一步探讨复杂结构体系的静定与超静定问题， 提高工程结构的稳定性和安全性。
引入先进计算技术
计算公式
自由度数 = 刚片数 - 约束数。
判断标准
若自由度数等于0，则结构为静定；若自由度数不等于0，则结 构为超静定。
几何法判断
定义
几何法判断是指通过分析结构的几何形状来判断结构是否为静定或超静定的一种方法。
判断标准
若结构的几何形状满足静定结构的条件（即所有刚片都是相互平行的），则结构为静定；否则为超静 定。
01
超静定结构内力计算
超静定结构内力计算首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。
下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。
假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。
我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。
首先，对于简支梁，力平衡方程可得：∑Fx=0=>RA+RB=0(1)∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)力矩平衡方程可得：∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。
能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。
我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。
考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。
对这一小段，外界对结构所做的虚功为：δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)其中，结构内力V由能量方法得到。
结构内力杆件AB的内工作为：dU = VAdy (5)因为外界做的虚功等于内工作，可得：-δWext = dU将式(4)和式(5)代入上式，得：VAdy = -VAdy对上式进行积分，得：∫VAdy = -∫VAdy∫VAdy = -(∫VAdy)由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：V∫Ady = -V∫Ady即：VAΔy=-VAΔy可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。
通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。
所以能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等于内工作的原理，推导出结构的内力。
总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡方程，利用能量方法计算结构内力。
超静定次数的确定及基本结构的取法
11
2l 3 3EI
1p
ql 4 8EI
x1
1p 11
3ql 16
M M 1x1 M P
l
MP
1 ql 2 2
5 ql 2 16
3 ql 16
M
.
例题： B
P C
2EI
EI
L
A L/2 L/2
x1 1
.
P x1 x2
P PL/4
MP 6 PL 80
x2 1
3
M
M1
M2
PL 80
11x1 1C 0
x1
3）、求系数和自由项。
x1 1 x1 1
11
l3 EI
1C RiCi l
x1
1C 11
3EI l2
3i l
其中： i EI ——线刚度 l
4）、 M M 1x1
结论：对于超静定结构，支座位移引起的内力几支反力与刚度成正比。 对于静定结构，支座位移不产生内力。
解：（1）
11 x1 21x1
12 x2 22 x2
1p 2p
0 0
11
L 2EI
12
21
L 6EI
22
L 3EI
1P
PL2 32 EI
2P 0
x1
6PL 80
x2
3PL 80
M M1x1 M 2 x2 M P
(2)、求剪力，轴力。
M Q
6 PL 80
QBA
QAB
QBA
x3 0
.
解法 2：
x1 x2 x3
.
11x1 12 x2 13 x3 2
x1 24
21x1 22 x2 23 x3 1
1、静定结构与超静定结构静力计算公式（总结）
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
静定和超静定
FDy 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
解：先整后零
F 0 F 0
y x
M
A
0
再研究DC杆 可将 FDy 求解出来 最后研究BC杆 可将 F 求解出来
Dx
§3-4
平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。 节点：桁架中杆件的铰链接头。
解: 取大轮，塔轮及重物C,画受力图.
M
由
B
0
Pr F R 0
Pr F 10 P t 1 R
Fr tan 200 Ft
Fr Ft tan 200 3.64 P 1
F
x
yLeabharlann 0 FBx Fr 0
0 FBy P P2 F 0
FBx 3.64P 1
M
C
0
FDB cos 45 2l FK l FEx 2l 0
0
FDB
3 2 P 8
(拉)
习题
已知: P2=2P1， P=20P1 ，r, R=2r, 20 ;
求:物C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩M； 轴承A，B处的约束力.
齿轮传动机构，大轮上固定一塔轮，大轮和塔轮共重P2,压力 角又叫啮合角，啮合力与节圆切线的夹角
静定物系的平衡问题解题步骤：
1.分析系统由几个物体组成； 2.按照便于求解的原则，适当选取整个或者 个体为研究对象进行受力分析并画出受力 图，一般先取整体，整体行不通再拆； 3.列出平衡方程并解出未知量。
选取研究对象和列平衡方程时，尽量使方 程中只含一个未知量，避免求解联立方程。
第十二章-超静定系统
解：（1）选基本静定系： C （2）变形条件：ΔC=0
（3）求力-位移关系
A 弯矩方程及偏导数
x2
x1
X
BC：M (
x1
)
X
x1
qx12 2
,M ( x1 X
)
x1
AB：M (
x2
)
X
l
ql 2 2
,M ( x2 X
)
l
30
卡氏定理求位移
C
1 EI
0l
X
x1
qx12 2
x1dx1
0l
X
3、列出正则方程
6
与原系统比较，相当系统B点的位移应为零，故有变形
协调条件：
1 1P 1X1 0
其中1P是外载在多余约束处引起的多余
约束方向的位移(图c) ，而 1X1 是多余约束反
力引起的多余约束方向的位移(图d) 。
在计算 1X1 时，可在静定基上沿多余约 束方向加一单位力，单位力引起的位移为 11
C l3
解：1）C为多余约束，建立相当系统
2）建立正则方程
( 11
1 C
)X1
1 P
0
A
B
l
RA
l
RB
D
3） 求 解
X1
11
2 EI
(1 l l 2
2 l) 3
2l 3 3EI
1P
1 EI
(1 l 2
ql 2 2
2l 3
1l 3
ql 2 2
3l ) 4
M0 l ql 2
2
7ql 4
36 36
ql
5ql 2
X1 12 X 2 72 X 3 0
超静定问题的解题步骤_概述说明以及解释
超静定问题的解题步骤概述说明以及解释1. 引言1.1 概述目前，超静定问题在工程设计和科学研究中扮演着至关重要的角色。
超静定问题是指那些具有多余约束条件的力学系统，在这种情况下，物体的运动过程不止一个可能的解。
解决超静定问题需要使用特定的数学工具和分析方法。
本文将介绍解题步骤，为读者提供一个清晰而简洁的指南。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
在引言部分，我们将概述文章内容，并简要介绍超静定问题及其重要性。
第二部分将对超静定问题进行详细讨论，包括定义、背景知识以及实际应用场景。
接下来，第三部分将总结解题步骤，并概括每个步骤所需考虑的关键点。
第四部分则会更加详细地解释每个步骤，并提供具体操作步骤和示例。
最后，在结论与总结部分，我们将总结解题步骤，并讨论可能遇到的困难与挑战，以及其他相关问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解超静定问题和解题步骤。
通过详细讲解每个步骤的要点和操作方法，读者将能够更加轻松地解决超静定问题，并理解其在实际工程和科学领域的应用。
我们希望本文能成为读者解题过程中的有价值的参考资料，提供清晰而系统化的指导。
2. 超静定问题简介:2.1 定义和背景知识:超静定问题是指在静力学中，物体受到的约束超过了必要的约束数量。
这意味着通过仅使用平衡方程无法求解未知变量的值。
超静定问题在工程、建筑和力学领域中经常出现，并需要特殊的解题方法来找到合适的解决方案。
2.2 超静定问题的重要性:理解和解决超静定问题对于设计和分析结构非常重要。
一些实际应用场景中，超静定结构可以提供更高的刚度、稳定性和可持续性。
因此，研究人员和工程师需要掌握解决超静定问题的技巧。
2.3 实际应用场景:超静定问题广泛应用于建筑、土木工程、桥梁设计以及机械工程等领域。
例如，在建筑设计中，支撑柱或梁受到多个支点约束时可能会出现超静定问题。
在机械工程中，一些连接件或装配件也可能涉及到超静定问题。
了解超静定问题的定义、背景知识以及其在实际应用中的重要性对于理解本文后续将介绍的解题步骤至关重要。
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21x Y i ye A F W M A F -=-=σ )1(22x Y i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI x M I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ)661(be h e bh Fy x ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI l n 222π EI l 22π一端自由他端固定 β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
静定结构超静定结构不同
65.补焊区及坡口四周 20mm 以内的粘砂、油、水、锈等脏物必
气或其他方法清晰管子内壁附着的杂物和浮锈。
需彻底清理。
59.装配前，全部钢管〔包括预制成型管路〕都要进行脱脂、酸
66.在补焊的全过程中，铸钢件预热区的温度不得低于 350°C。
魏
第4页共5页
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67.在条件允许的状况下，尽可能在水平位置施焊。
38.齿轮〔蜗轮〕基准端面与轴肩〔或定位套端面〕应贴合，用
去除洁净。
0.05mm 塞尺检查不入。并应保证齿轮基准端面与轴线的垂直度要求。
47.铸件有倾斜的部位、其尺寸公差带应沿倾斜面对称配置。
39.齿轮箱与盖的结合面应接触良好。
48.铸件上的型砂、芯砂、芯骨、多肉、粘沙等应铲磨平整，清
40.组装前严格检查并去除零件加工时残留的锐角、毛刺和异物。 理洁净。
36.球面轴承的轴承体与轴承座应匀称接触，用涂色法检查，其
符合图样要求。
接触不应小于 70%。
44.铸件非加工外表的粗糙度，砂型铸造 R，不大于 50μm。
37.合金轴承衬外表成黄色时不准使用，在规定的接触面内不准
45.铸件应去除浇冒口、飞刺等。非加工外表上的浇冒口残留量
有脱衬象，在接触面以外的脱衬面积不得大于非接触区总面积的 10%。 要铲平、磨光，到达外表质量要求。46.铸件上的型砂、芯砂和芯骨应
77.加工的螺纹外表不允许有黑皮、磕碰、乱扣和毛刺等缺陷。
缩孔和严重的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ折。
78、发蓝、变色的现象。</P
71.锻件应在有足够能力的锻压机上锻造成形，以保证锻件内部
充分锻透。
72.锻件不允许有肉眼可见的裂纹、折叠和其他影响使用的外观
TM.3-3物体系的平衡.静定和超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
例3-5 图3-13a所示为曲轴冲床简图，
由轮Ⅰ、连杆AB和冲头B 组成。 OA=R，AB=l。 忽略摩擦和自重， 当 OA 在水平位置、冲压力为 F 时系统处于平衡状态。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
求： （1）作用在轮Ⅰ上的力偶之矩 M的大小； （2）轴承O处的约束力； （3）连杆AB受的力； （4）冲头给导轨的侧压力。
，
(c)
，
(d)
，
(e)
M 理F 论R力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
（3）由式（c）得 由式（d）得
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
由式（e）得
负号说明，力FOx，Foy 的方向与图示 假设的方向相反。此题也可先取整个 系统为研究对象，再取冲头或轮Ⅰ为 研究对象，列平衡方程求解。
如图3-14b所示，有
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-14 b
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
(d)
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
由式 (d) 得 代入式 (a)，(b)，(c) 得
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
1．物体系的平衡
工程中，如组合构架、三铰拱等结构， 都是由几个物体组成的系统。当物体系平 衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态，因此对于每一个受平面任意力系 作用的物体，可写出三个平衡方程。如物 体系由 n 个物体组成，则共有3n个独立方 程。
轮Ⅰ上力偶的矩 M ； （2）光滑轴承 A，B 的约束力。
静定超静定判断及计算
另一种解法
按铰结计算
6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
讨论
体系W
有 几
等于多少？
个 单
可变吗？
铰？
W=0,体系
是否一定
几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
因为除去图中任意一根杆， 体系都将有一个自由度，所 以图中所有的杆都是必要的 约束。
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
每个单刚结点
能使体系减少
○ 多少个 ○ 自由度呢？
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数 减总约束数
m---刚片数（不包括地基） --单刚结点数 --单铰数
b---单链杆数（含支杆）
W = 3m(3g+2h+b)
W=2j-b
铰结链杆体系
○ 的计算自由度： ○ j--结点数 ○ b--链杆数,含
体系几何可变 体系几何不变
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
例如三铰拱
无多余几何不变
大地、AC、BC 为刚片;A、B、 C为单铰
二元体规则： 在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
平面刚体——刚片
n=3 x y B
2. 联系与约束
一根链杆 为 一个联系
n=2
联系（约束）-减少自由度的 装置。
1个单铰 = 2个联系
铰
x
α
β
单铰联后
超静定结构的概念和超静定结构次数的确定
1。 超静定结构的概念
从几何组成分析的角度来看，结构可以分为
静定结构：几何不变，无多余约束.
超静定结构：几何不变，有多余约束.
例：如图1所示,有一个多余约束：可去掉任一根支座链杆。
支座反力和内力仅由静力平衡条件无法全部唯一确定的、几何不变但有多余约束的体系,就是超静定结构
(2）要把所有多余约束全部去掉。如图8（a）所示结构，如果只去掉一根水平链杆支座得到如图8 （b）所示结构，则其中的闭合框仍具有三个多余约束，必须把闭合框再切开一个截面,如图8 (c)所示才成为静定结构,所以故原结构共有四个多余约束，是四次超静定。
图8(a）图8（b）图8（c）
这部分是后面力法的基础。大家要熟练掌握.如果给出一个超静定结构，要会判断结构的超静定数.
多余约束
多余约束的选取方案并不一定是唯一的，但是总数目是不变的。
多余未知力(多余力）
多余约束中产生的约束力是多余力,多余力的大小不能由静力平衡条件确定。
2.超静定次数的确定
多余约束的数目就是超静定次数
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法。
去掉一根支座链杆或切断一根链杆:去掉一个约束.
去掉一个铰支座或联结两钢片的单铰:去掉两个约束。如图2所示.
将固定端改成铰支座或将连续杆件上的刚性联结改成单铰联结:去掉一个约束。如
图3中的固定端改为图4中的铰支座；图5中的刚性结点改为图6中的铰结点。
去掉一个固定端或将刚性联结切断如图7所示：去掉三个约束。
在确定超静定次数时，还应注意以下两点:
（1)不要把原结构拆成一个几何可变体系。所以要特别注意非多余约束不能去掉，比如(a）中的水平链杆支座不能去掉.
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平面刚体——刚片 平面刚体——刚片
B
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x
ϕ
y
n=3
第二章 平面体系的机动分析
2. 联系与约束
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联系（约束）--减少自由度的装置。 联系（约束）--减少自由度的装置。 减少自由度的装置 一根 链杆 为 一个 联系
超静定结构
有多余 联系几何 不变。 不变。来自第二章 平面体系的机动分析
小结
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几何不变体系 可作为结构 体系
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
几何可变体系 不可作结构
瞬变
体系几何可变 体系几何不变
第二章 平面体系的机动分析
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三边在两边之和大于第三边时, 三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点. 一个三角形——基本出发点. 三刚片规则： 三刚片规则： 三个刚片用不在同 三个刚片用不在同 一直线上的三 一直线上的三 个单 铰两两相连， 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。 不变体系。
n=2
第二章 平面体系的机动分析
铰
x α
y
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β
单铰联后 n=4
每一自由刚片3个自由度 每一自由刚片 个自由度 两个自由刚片共有6个自由度 两个自由刚片共有 个自由度
1个单铰 = 2个联系 2个联系
第二章 平面体系的机动分析
两刚片用两链杆连接
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铰结链杆体系 的计算自由度： 的计算自由度：
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W=2j-b =2j
j--结点数 --结点数 b--链杆数,含 --链杆数 链杆数, 支座链杆
第二章 平面体系的机动分析 例1：计算图示体系的自由度 ：
AC CDB CE EF CF DF DG FG
每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ 自由度呢？ s=3
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第二章 平面体系的机动分析 3.体系的计算自由度： 3.体系的计算自由度： 体系的计算自由度
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
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第二章 平面体系的机动分析
例如三铰拱
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无多余几何不变 大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰 为刚片; 大地、AC、BC为刚片
第二章 平面体系的机动分析 二元体---不在一直线上的两根链杆 二元体 不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。 连结一个新结点的装置。
可变吗？ 可变吗？
W=0,体系 =0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=3 (2×
第二章 平面体系的机动分析
除去约束后， 除去约束后，体系的自由度将增 这类约束称为必要约束 必要约束。 加，这类约束称为必要约束。 因为除去图中 任意一根杆， 任意一根杆，体 系都将有一个自 由度， 由度，所以图中 所有的杆都是必 所有的杆都是必 要的约束。 要的约束。
几何可变体系
( geometrically unstable system )
机构
在一般荷载作用下， 在一般荷载作用下，几何形状及位置将发 生改变的体系。（不考虑材料的变形） 。（不考虑材料的变形 生改变的体系。（不考虑材料的变形）
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概 述
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第二章 平面体系的机动分析
瞬变体系的其它几种情况： 瞬变体系的其它几种情况：
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第二章 平面体系的机动分析
瞬
变
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体
系
常变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析示例
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第二章 平面体系的机动分析
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2
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第二章 平面体系的机动分析
每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ 自由度呢？ s=1
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第二章 平面体系的机动分析
W = 3m-(3g+2h+b) 3m (3g+2h
m---刚片数（不包括地基） ---刚片数 不包括地基） 刚片数（ g---单刚结点数 ---单刚结点数 h---单铰数 ---单铰数 b---单链杆数（含支杆） ---单链杆数 含支杆） 单链杆数（
第二章 平面体系的机动分析 铰结链杆体系--铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 ---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
第二章 平面体系的机动分析
另一种解法
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按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆 12根单链杆 W=2 ×6-12=0 W=2
第二章 平面体系的机动分析 讨论 有 几 个 单 铰 ？ 体系W 体系W 等于多少？
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§ 2 -5
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几何构造与静定性的关系
F
FAx FB
FAy
如何求支 座反力? 座反力
静定结构
无多余 联系几何 不变。 不变。
第二章 平面体系的机动分析
F FAx
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FAy
FC
FB
能否求全 部反力? 部反力
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形状可任意替换
第二章 平面体系的机动分析
1.自由度 1.自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目 自由度-体系运动时可独立改变的几何参数数目
§2-2 平面体系的计算自由 度
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n=2
第二章 平面体系的机动分析
第二章 平面体系的机动分析 二刚片规则： 二刚片规则：
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两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 于同一点的链杆 相联， 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。 变体系。
虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用， 虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 ---联结两个刚片的两根相交链杆的作用 当于在其交点处的一个单铰， 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。 虚铰（瞬铰）。
第二章 平面体系的机动分析
有二元 体吗？ 体吗？
是什么 体系？ 体系？
O是虚 是虚 铰吗？ 铰吗？
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O
II
第二章 平面体系的机动分析
试分析图示体系的几何组成。 试分析图示体系的几何组成。 是什么 体系？ 体系？ 有二元 有虚 体吗？ 体吗？ 铰吗？ 铰吗？
n=4
两相交链杆构成一虚铰 两相交链杆构成一虚铰
第二章 平面体系的机动分析
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复铰 等于多少个 单铰？
1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰 连接n个刚片的复铰 1)个单铰
第二章 平面体系的机动分析 A
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几何不变体系
几何可变体系
第二章 平面体系的机动分析 结构组成分析——判定体系是否几何可变 结构组成分析——判定体系是否几何可变， 判定体系是否几何可变， 对于结构，区分静定和超静定的组成。 对于结构，区分静定和超静定的组成。 刚片(rigid plate)——平面刚体 刚片(rigid plate)——平面刚体。 平面刚体。
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如何减二元体？ 如何减二元体？
第二章 平面体系的机动分析
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二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 和一根不通过此铰 的链杆相联， 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。 体系。
没有
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有
无多余几何不变
第二章 平面体系的机动分析
§2-4
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瞬变体系
P C B
A
不能平衡 C1 微小位移后， 微小位移后，不能继续位移 瞬变体系--原为几何可变， 瞬变体系--原为几何可变，经微小位 --原为几何可变 移后即转化为几何不变的体系。 移后即转化为几何不变的体系。
第二章 平面体系的机动分析
几何不变体系
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结构
( geometrically stable system ) 在任意荷载作用下， 在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形） 保持不变的体系。（不考虑材料的变形） 。（不考虑材料的变形
A 复刚结点 n-1个 个 连接n个杆的 复刚结点等于多 少个单刚结点？ 少个单刚结点？ 复链杆