均值不等式习题课复习课程
新教材高中数学第2章均值不等式及其应用第1课时均值不等式学案含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：2.2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养． 2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？1．算术平均值与几何平均值 对于正数a ，b ，常把数a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，数ab 叫做a ，b 的几何平均值．2．均值不等式 (1)当a ＞0，b ＞0时，有a ＋b2≥ab a ＝b 时，等号成立．思考1：均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？ [提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？ [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． (2)均值不等式的常见变形①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[答案] (1)× (2)× (3)√[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.2．已知a ，b ∈(0，1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b D [∵a ，b ∈(0，1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．(教材P77习题2－2A ⑧改编)已知x ＞0，则y ＝x ＋3x＋2的最小值是________．23＋2 [∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时等号成立．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对均值不等式的理解【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a ，b 都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.② [①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac ). 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q .]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ⎝⎛由a ＋b ＞（a ＋b ）24⎭⎪⎫也就是a ＋b4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∵a ，b ，c 互为相等，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8.[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＞8. ,1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2.先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．知识：应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .方法：应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋b2≥abB ．a ＋1a≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b≥2D [A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D.]2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<a b<1 C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．]3．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).] 4．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2B [∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。
均值不等式习题课
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
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建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
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练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
重
点 难 点 展 示
滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距 离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)
探 索 延 拓 创
思 之间有经验公式：
为保证安全行驶，要求在这条公 新
路 方 法 技 巧
路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离” 再加25米，现假设行驶在这条公路上的汽车的平均车身长为
名 师 辨 误 做 答
建 模 应
5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间
课
用 引
隔均是“安全距离”的时间表达式．
堂 巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
(1)试写出经过观测点A的每两辆车之间的间隔均是“安
自
主 预
全距离”的时间表达式．
习
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通
重
点 难 点 展 示
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2 ＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
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课时分层 作 业
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
《 2.2.4 均值不等式及其应用》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.2.4 均值不等式及其应用》学历案（第一课时）一、学习主题本节学习主题为高中数学课程中的《2.2.4 均值不等式及其应用》。
本节课将围绕均值不等式的定义、性质及其在数学问题中的应用展开，旨在使学生掌握均值不等式的基本概念和基本应用方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：（1）理解均值不等式的概念及表达式形式。
（2）掌握均值不等式的基本性质。
（3）能够运用均值不等式解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
（2）通过小组合作和交流，共同探讨和解决数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱。
（2）培养学生合作学习和交流的意识和能力。
（3）使学生认识到数学在日常生活和实际工作中的应用价值。
三、评价任务1. 了解学生对均值不等式概念的理解程度，能否正确表述其含义。
2. 检验学生是否掌握均值不等式的基本性质，能否正确运用这些性质解决数学问题。
3. 评价学生在小组合作和交流中的表现，是否能够积极参与讨论并发表自己的观点。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例引出均值不等式的概念，如平均数、中位数等，让学生感受均值不等式的实际应用。
2. 新课学习：（1）讲解均值不等式的概念及表达式形式，让学生理解其含义。
（2）通过具体例子，让学生感受均值不等式的基本性质。
（3）引导学生通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
3. 课堂活动：组织学生进行小组合作，共同探讨和解决数学问题，让学生相互交流、互相学习。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或随堂练习，检测学生对均值不等式概念及基本性质的理解和掌握情况。
2. 课后作业：布置相关作业题，让学生回家后独立完成，巩固所学知识。
作业应包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
1502_高中数学习题：必修一 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 课时作业
第1课时均值不等式必备知识基础练1．下列不等式中正确的是()A．a 2＋b 2≥4ab B．a ＋4a ≥4C．a 2＋2＋1a 2＋2≥4D．a 2＋4a2≥42．已知当x ＝3时，代数式4x ＋ax(x >0，a >0)取得最小值，则a ＝()A．28B．32C．36D．403．已知a >b >c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c2的大小关系是________．4．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________.5．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝4－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是()A．m >n B．m <n C．m ＝nD．不确定6．求函数y ＝（x ＋4）（x ＋9）x(x <0)的最大值．关键能力综合练7．(多选)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝4，ab 的最大值为t ，不等式x 2＋3x －t <0的解集为M ，则下列结论正确的是()A．t ＝2B．t ＝4C．M ＝{x |－4<x <1}D．M ＝{x |－1<x <4}8．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是()A．18B．16C．8D．109．(多选)下列表达式的最小值为2的有()A．当ab ＝1时，a ＋bB.当ab ＝1时，b a ＋abC．a 2－2a ＋3D．a 2＋2＋1a 2＋210．(多选)下列不等式一定成立的是()A．x 2＋14>x (x >0)B．x ＋1x ≥2(x >0)C．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D．1x 2＋1>1(x ∈R )11．已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．12．设x >－1，求（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值．核心素养升级练13．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．14．已知a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0.第1课时均值不等式必备知识基础练1．解析：A.a 2＋b 2－4ab ＝(a －b )2－2ab 不一定大于等于零，所以该选项错误；B．a ＋4a ，当a 取负数时，显然a ＋4a <0，所以a ＋4a ≥4错误，所以该选项错误；C．a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a 2＋2＋1a 2＋2>2，如a ＝0时，a 2＋2＋1a 2＋2＝52<4，所以该选项错误；D．a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时取等号，所以该选项正确．答案：D2．解析：4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，所以a2＝3，即a ＝36.答案：C3．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0.∴a －c 2＝（a －b ）＋（b －c ）2≥（a －b ）（b －c ），当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c24．解析：因为x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·(2x ＋3y 2)2＝16·(62)2＝32.x ＝3y ，x ＋3y ＝6，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.答案：325．解析：因为a >2，所以a －2>0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2（a －2）×1a －2＋2＝4.由b ≠0得b 2≠0，所以4－b 2<4，即n <4.所以m >n .答案：A 6．解析：y ＝（x ＋4）（x ＋9）x ＝x ＋36x＋13，当x <0时，－x >0，－36x >0，(－x )＋(－36x)≥2（－x ）（－36x）＝12.所以y ＝13－[(－x )＋(－36x )]≤13－12＝1.当且仅当－x ＝－36x，即x ＝－6时，等号成立，所以当x ＝－6时，y max ＝13－12＝1.关键能力综合练7．解析：由题意可得ab ≤(a ＋b 2)2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则ab 的最大值t＝4，故A 错误，B 正确；解不等式x 2＋3x －4<0得(x ＋4)·(x －1)<0，得解集是{x |－4<x <1}．答案：BC8．解析：∵x >0，y >0且8x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(8x ＋1y )＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy，即x ＝12，y ＝3时，等号成立．答案：A9．解析：对于A，当a ，b 均为负值时，a ＋b <0，故最小值不为2；对于B，因为ab ＝1，所以a ，b 同号，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅b a ＝ab，即a ＝b ＝±1时取等号，故最小值为2；对于C，a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2，当a ＝1时，取最小值2；对于D，a 2＋2＋1a 2＋2≥2a 2＋2·1a 2＋2＝2，当且仅当a 2＋2＝1a 2＋2，即a 2＋2＝1时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2.故选BC.答案：BC10．解析：对于选项A，当x ＝12时，x 2＋14＝x ，所以A 不一定成立；对于选项B，当x >0时，不等式x ＋1x≥2成立，所以B 一定成立；对于选项C，不等式x 2＋1－2|x |＝(|x |－1)2≥0，即x 2＋1≥2|x |恒成立，所以C 一定成立；对于选项D，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立．答案：BC11．解析：因为x <3，所以x －3<0，所以3－x >0，所以f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－(43－x ＋3－x )＋3，因为43－x＋3－x ≥243－x ·（3－x ）＝4，(当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号)，所以f (x )≤－4＋3＝－1，即f (x )的最大值为－1.12．解析：因为x >－1，所以x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有：（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝（t ＋4）（t ＋1）t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9.当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.所以当x ＝1时，函数取得最小值是9.核心素养升级练13．解析：因为x >0，所以xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x＋3＝15.当且仅当x ＝1时，等号成立，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15.所以a ≥15.答案：{a |a ≥15}14．证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，∴a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c ≥2(ab ＋bc ＋ac )，∴a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ac 即a ＋b ＋c －ab －bc －ac ≥0.(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)。
高中数学人教B版教案：3.2《均值不等式》习题课8
解得x＋2y¡Ý4.
类型例1例2
总结总结
8.
课
后
反思
要注意均值不等式应用的条件以及等号成立的条件，学生整体掌握良好。
目标检测
1．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()
A．6B．4 C．2 D．8
答案B
解析¡ßa＋b＝3，¡à2a＋2b¡Ý2 ＝2 ＝2 ＝4 .
2．已知x¡Ý ，则f(x)＝ 有()
A．最大值 B．最小值
检测
检测题
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果
1、小考卷上作答。
2、组间互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的下节课
自主
学习
任务
1、优化学案第71页8-15题，第72页16题
2、针对本节课学习内容，每个小组出6道（每人1道）
3
分钟
7.
板
书
习题课：均值不等式
高中高二教案
主备人：使用人：时间：
课题
均值不等式
课时
第二课时
课型
习题课
教学
重点
1、利用均值不等式解决有关最值问题。
2、利用均值不等式证明一些简单不等式
依据：数学课程标准
教学
难点
利用均值不等式解决有关最值问题
依据：教参，教材
学习
目标
1、知识目标
1.牢记均值不等式的内容及证明.
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.
2．已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？
评价总结预习情况结果
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
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1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注 条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋ b≥2 ab成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b；a2＋ b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝b.
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2．如果 0＜a＜b＜1，P＝a＋2 b，Q＝ ab，M＝ a＋b，那么 P，
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋1a≥2 a·1a＝2.( )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
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[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正 数时，不等式 a＋b≥2 ab成立．
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＝b＋a c·a＋b c·a＋c b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，
∴1a－11b－11c－1＞8.
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1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考 虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方 面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边 建立联系．
[思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”， 裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
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[证明] ∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
均值不等式复习课件
利用高维空间中向量模长的平方与点积之间的关系，通过数学推导证明该不等式。
高维空间中均值不等式的应用
在解决高维空间中的优化问题、概率统计问题以及机器学习算法中，可以利用高维空间中的均值不等式 进行求解。
06
练习与思考题
基础练习题
基础练习题1
已知$x > 0，y > 0$，求证：$frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。
04
均值不等式的应用举例
在数学解题中的应用
01Leabharlann 代数问题均值不等式可以用于解决代数问题，例如求最值、证明不等式等。通过
运用均值不等式，可以将问题转化为对基本不等式的理解和运用。
02 03
几何问题
在几何学中，均值不等式常常用于解决与面积、周长和体积等几何量相 关的问题。例如，利用均值不等式求得几何体的最大或最小面积、周长 等。
如果将不等式中的每一项 都乘以一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
可加性
如果将不等式中的每一项 都加上一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
应用场景
最大最小值问题
证明不等式
利用均值不等式可以求出函数在某个 区间上的最大值和最小值。
利用均值不等式可以证明一些数学上 的不等式。
优化问题
在生产和经济活动中，经常需要通过 调整某些参数使得某个指标达到最优 ，此时可以利用均值不等式进行求解 。
供需分析
在微观经济学中，均值不等式用于分析市场供需关系。例如，利用均值不等式分析商品价 格与需求量之间的关系，以及生产成本与供给量之间的关系。
生产效率
在生产效率分析中，均值不等式可以用于评估生产过程中的资源配置效率。例如，利用均 值不等式分析生产要素之间的最优配置，以提高生产效率。
高中数学《利用均值不等式求最值》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《利用均值不等式求最值》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：2n n G a =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x =+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x =+为了乘积消掉x ，则要将3x拆为两个2x ，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =−的最大值。
则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +−⎛⎫=−=⋅−≤=⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt
上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时，可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相 加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式，必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件．化归的方 法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些 基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字， 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)． 以上三式相加即得 ：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．
均值不等式练习题备课讲稿
均值不等式练习题均值不等式二、习题讲解：例1 ：（1）求y = x + !（x:>CI）的最小值(2)求y = x + |(x > 2)的最小值1（3）已知x 2，求y x —的最小值x 2变式训练：41•已知x 0，求y 2 x -的最大值x12. 当x 1时，求fx x——的最小值x 1-.已知a、b、c R，求证：a2 b2 c2 ab bey 2 3x -(x 0)的最大值是2 -、35. x6. y 2x 丄,x 3x 3知识点:7. y 2sinx 丄,x (0,)sin x3.已知x 5 1;，求函数y -x 2厂的最大值ae例2：("已知0 x 1，求y ^x12 2x的最大值(2)已知:a、b都是正数,且a b 1， a 1，ab E，求的最小值变式训练：1.已知0 x 1，求函数y3x 1 3x 的最大值2. 当I '亠时，求y x(8 2x)的最大值。
33. 设0 x 一，求函数y 4x(3 2x)的最大值。
24.已知0 x 1,求函数y . x(1 x)的最大值.；0 x 2，求函数y x(2 3x)5. 36. __________________________________ 若x 2y 1，则2x4y的最小值是7. 已知x,y R，且满足-3 -1，则xy的最大值为4111例 4:已知 a, b, c R ，且 a b c 1，求证：一 一 一 9 a b c变式训练： 1 41.已知a 0,b 0,a b 2，则y --的最小值是a b例3:求函数y2x 23x 3x 1的最小值变式训练： x 2 3x y1.】,(x 0)2.设x，则函数2皿1的最小值为sin 2x3.已知x2，则 fxx 2 4x 5 x 4^的最小值 2x 4y 4.-x 3二的最小值是 x 22 求5.2x区卫(x1)的值域。
x 16.求函数y7.设x, y,z 为正实数，且满足x2y 3z 2则—的最小值xz2. 正数x,y 满足x 2y 1，求1/x 1/y 的最小值— 113. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V --的最小值为（）a b1 A . 8 B . 4 C . 1 D .- 41 94. 已知x 0,y0 ,且— —1，求x y 的最小值。
高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广
均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。
高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a 、b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“＝”号） （2）定理：如果a 、b 、c 是正数，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a=b=c 时取“＝”号） 我们称2b a +（3c b a ++）为a 、b （a 、b 、c ）的算术平均数，称ab （3abc ）为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
”事实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。
用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。
例1．边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a t c b a S 111,++=++=，则S 与t 的大小关系是（ ） A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==，又∵41sin 21==C ab S ，∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号，∴S t >即t S <，故选C例2．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 （1999年全国高考题第15题）解：∵+∈R b a ,，∴ab b a 2=+，∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ，∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab （舍去）或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。
高二数学高效课堂资料课题：3.2均值不等式(第二课时)
高二数学高效课堂资料教案：课题：3.2均值不等式编写人：秦连升第二课时教学目标：熟练运用均值不等式求最值，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．教学重点难点：均值不等式求最值的方法技巧。
教学方法：启发诱导，合作探究，多媒体.教学过程一、导入新课(复习导入)1.均值不等式的内容是什么？2.怎样证明不等式若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab？二者有何区别？二、形成概念如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．深化概念均值不等式有广泛的应用，在应用时有口诀“和定积最大，积定和最小”，但在具体应用时要注意“不正、不定”怎样处理的问题，那就是要“化正、化定”的方法与技巧。
四、应用【例1】(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．【解析】：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，y max＝1.(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，y min＝a－b22.点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【例2】当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.五、随堂练习1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．1【答案】1．B解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．2．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．【答案】2.解：∵x＞0，∴x＋1x≥2·x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是 2.六、课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．七、作业习题3—2A组2、3、7；习题3—2B组3、4.学案：课题：3.2均值不等式编写人：秦连升第二课时学习目标：熟练运用均值不等式求最值，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．使用说明：先仔细阅读教材必修五P69—P71，用红色笔进行勾画；再回答导学案中预习导学设计的问题.限时完成预习案，书写规范,找出自己的疑惑准备课上讨论质疑.一、预习指导问题1.均值不等式的内容是什么？问题2.怎样证明不等式若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab？二者有何区别？问题3.均值不等式有几个变形？能用于解决什么问题？二、典型例题【例1】(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．【解析】：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，y max＝1.(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2≥2[x－a＋b－x2]2＝a－b22，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，y min＝a－b22.点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【例2】当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.三、随堂练习1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25B.12C.22D．12．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值．四、课后作业习题3—2A组2、3、7；习题3—2B组3、4.。
均值不等式优质课件
栏 目
(4)a2＋b2＋c2__≥__ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
开 关
4．当a>0，b>0且a≠b时，a＋2 b， ab，1＋2 1，
a2＋b2按从小 2
ab
2
a＋b a2＋b2
到大的顺序排列为____1a_＋__1b_<___a_b_<___2__<_______2_______．
研一研·问题探究、课堂更高效
目 开 关
∵ a2＋2 b2>a＋2 b>0，∴ a2＋2 b2>12，
∴a2＋b2>12.
()
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2
方法二 (取特殊值)
本 课 时 栏 目
取a＝14，b＝34，则2ab＝38，a2＋b2＝58， 2ab<12<a2＋b2<b，故选B.
ab＝
ab a－ a＋b
b2≥0，
本
课 时 栏 目
∴ ab≥1a＋2 1b，即1a＋2 1b≤ ab.
开
关
∵
a2＋2 b22－a＋2 b2＝a2＋2 b2－a＋4 b2
＝2a2＋b24－a＋b2＝a2＋b42－2ab＝a－4 b2≥0.
§3.2
研一研·问题探究、课堂更高效
∴
a2＋2 b2≥a＋2 b，即a＋2 b≤
§3.2
探究点一 均值不等式的证明
问题1 利用作差法证明：a∈R，b∈R，a2＋b2≥2ab.
本 课
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
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课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
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新
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课
用
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巩
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课 前 自 主 预 习
重 点 难
1．均值定理的内容：如果a、b∈R＋，那么
点
展 示
当且仅当．a＝b时，式中等号成立
探 索 延 拓 创
新
思
路 方
2．均值定理成立的条件：
法
技 巧
．一正、二定、三相等
名 师 辨 误 做 答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课
前
自
主
预
习
重点：均值不等式的熟练应用．
重 点 难 点 展 示
难点：利用均值不等式求最值时，等号成立的条件． 探
索
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不
延 拓
创
等式求最值时一定要注意其“一正，二定，三相等”的条 新
思
路 方 法 技 巧
件．实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因 式”．
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做 答
建 模 应
5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间
课
用 引
隔均是“安全距离”的时间表达式．
堂 巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
(1)试写出经过观测点A的每两辆车之间的间隔均是“安
自
主 预
全距离”的时间表达式．
习
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
[点评] 原式中没有定值条件，所以将x变为x－3＋3，
自
主 预
出现
(x－3)定值，然后使用不等式.
重
点 难 点 展 示
过的汽车数量)最大？ [分析] 阅读此题抓住关键词：刹车距离、安全距离、
探 索 延 拓 创
思 时间间隔，以及数量关系：时间间隔＝车距/车速，而车距 新
路
方 法
＝安全距离＋车身长．
技
巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课
前
自
主 预
习
[例4] 汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
课 前 自 主 预 习
重 点 难 点 展 示
思 路
lg
方
法
技
巧
建 模 应 用 引 路
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
[例1] 求2lg(x－2)－lg(x－3)的最小值．
探 索
延
[分析]
由x－3为真数，可知x>3，函数表达式可化为
拓 创
新
，可先求真数的最小值再求函数的最小值．
名
师
辨
误
做
答
课 堂 巩 固 训 练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思 路
∴2lg(x－2)－lg(x－3)≥lg4.
方
法 技
等号当且仅当x＝4时取得．
巧
故当x＝4时，2lg(x－2)－lg(x－3)的最小值为lg4.
名 师 辨 误 做 答
习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
自
主 预
的含意，抽象、归纳其中的数量关系、进而用不等式的知识
习
解决．
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课
前
自
主 预
习
某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格
课 前
[点评] 此题易犯的错误是由sinx>0，直接套用基本不
自
主 预
等式得出y≥2的结论．
习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用
堂
引
巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前 自 主 预 习
重
点 难 点 展 示
探 索 延 拓 创
新
思
重
点 难 点 展 示
(2)经过A点的车流量最大，即每两辆车之间的时间间隔 t最小，
探 索 延 拓 创
新
思
路 方 法 技 巧
名 师 辨 误 做
答
建
模
应
课
用 引
故当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
堂 巩
路
固
训
练
数第学三（章人教B不版·必等修式5）
课 前
[点评] 解不等式的应用问题，要弄懂题意中的关键词
重
点 难 点 示
滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距 离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)