四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题 理(含解析)

四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，是z的共轭复数，则=A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】2.如果用反证法证明“数列的各项均小于”，那么应假设( )A. 数列的各项均大于B. 数列的各项均大于或等于C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项，【答案】D【解析】试题分析：各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，所以选D考点：反证法3.函数，，那么任取一点，使的概率( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，然后利用几何概型公式求出概率.【详解】,任取一点，使的概率，故本题选C.【点睛】本题考查了几何概型，正确解出不等式的解集是解决本题的关键.4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵=1，∴=f′（x0）=故选C．6.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义. 7.从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球【答案】B【解析】【分析】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确的答案.【详解】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故本题选B.【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联系与区别.互斥事件是指两个事件不能同时发生，但是可以同时不发生，而对立事件是指两事件中必有一个发生，一个不发生，也就是说互斥不一定对立，但是对立一定互斥.9.给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】A【解析】【分析】要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.10.已知某运动员每次投篮命中的概率为．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C．11.已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，同理，故选A.12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

13.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而证明_______，命题亦真．【答案】【解析】因为是正奇数，所以的下一项就是。

点睛：本题考查数学归纳法的基本格式。

第一步是证明命题的第一项成立，需要注意的是命题的第一项不一定就是的情况；第二步假设命题的第项成立，本题中因为是正奇数，则假设成立；第三步证明命题的第项成立，本题中的第项是。

14.若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，a，b为正整数，则2a+b=_______.【答案】3【解析】【分析】分别把二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)转化为十进制数，得到等式，进而求出2a+b的值.【详解】，，由题意可知故，因此.【点睛】本题考查了二进制、三进制转化为十进制，考查了运算能力.15.已知,若存在,, 使得成立,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出的最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. 考点：存在性量词与不等式的有解问题．【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.16.由一组样本数据，，，得到的回归直线方程为，那么下面说法正确的序号________.（1）直线必经过点（2）直线至少经过点，，，中的一个（3）直线的斜率为 .（4）回归直线方程最能代表样本数据中,之间的线性关系，b大于0时与正相关，b小于0时与负相关.注：相关数据：，其中【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】线性回归方程一定过样本中心点，线性回归方程可以不经过所有的样本点，根据所给的公式和一次函数的性质可以判断说法（3）（4）的正确性.【详解】（1）线性回归方程一定过样本的中心点，故本说法正确；（2）线性回归方程可以不经过所有的样本点，故本说法不正确；（3）通过最小二乘法知，本说法是正确的；（4）线性回归方程是一次函数，由一次函数的性质可以知道本说法是正确的，因此正确的说法有（1）（3）（4）.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，最小二乘法，考查了与线性回归方程有关的概念.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数（为正实数），且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把代入中，计算化简，根据题意，可以求出的值，最后确定复数；（2）运用复数除法运算公式计算，最后根据复数求模公式求出复数的模．【详解】（1） .，所以，又为正实数，所以．所以，（2），所以．【点睛】本题考查了根据复数的分类求参问题，考查了复数的除法、模的计算，考查了运算能力.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【解析】【分析】（1）对函数进行求导，把代入导函数中，求出在点处的切线的斜率，写出直线的点斜式方程，最后化为一般方程；（2）对的值，进行分类讨论，求出的单调区间．【详解】（1）当时，，所以．所以，，所以切线方程为．（2）．当时，在时，所以的单调增区间是；当时，函数与在定义域上的情况如下：所以的单调递减区间是；递增区间是．综上所述：当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨论思想.19.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260), [260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中的值.(2)求理科综合分数的众数和中位数.(3)在理科综合分数为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组学生中,用分层抽样的方法抽取11名学生,则理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取多少人?【答案】(1) (2)230，（3）5人【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x的值即可；（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．试题解析：（1）由，解得，∴直方图中值为．（2）理科综合分数的众数是，∵，∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为．（3）理科综合分数在的学生有（位），同理可求理科综合分数为，，的用户分别有15位、10位、5位，故抽取比为，∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20. （本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；最大值（万元）．【解析】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．21.已知函数．(1)当b＝4时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围．【答案】（1）极小值f(－2)＝0，极大值f(0)＝4；（2）【解析】【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而求出函数的极值；（2）在区间上单调递增，说明导函数在上大于或者等于零，求出的取值范围. 【详解】(1)当b＝4时，，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.所以b的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值.考查了已知函数的单调区间，求参数问题.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当,函数在区间上为增函数,求整数的最大值.【答案】（1）当时, 在上为增函数;当时, 在为减函数,在为增函数；（2）1【解析】【分析】（1）求导，根据取值不同进行分类讨论，求出函数的单调性；（2）求导，问题转化为在恒成立,常变量分离，在恒成立,令，求导，求出的最小值，最后求出整数的最大值.【详解】(1)定义域为,,当时,,所以在上为增函数;当时,由得,当时, ,当时,所以在为减函数,在为增函数，综上所述：当时, 在上为增函数;当时, 在为减函数,在为增函数.(2)当时,, 若在区间上为增函数,则在恒成立,即在恒成立,令.，令, 可知，又当时，,所以函数在只有一个零点, 设为,即,且; 由上可知当时,即;当时，,即, 所以,有最小值,把代入上式可得,又因为,所以,又恒成立,所以,又因为为整数,所以,所以整数的最大值为1 .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，常变量分离，构造新函数是解题的关键.。