2018届高三数学 第3练 逻辑联结词、量词练习

第3练 逻辑联结词、量词一、选择题1．(2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 02．(2016·肇庆统测)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a·b ＝0，则a ⊥b ；命题q ： 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中假命题是( ) A ．p ∧q B ．p ∨qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∨(綈q )3．若“∃x ∈[12，2]，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为( )A ．(－∞，22]B ．[22，3]C ．[－22，3]D ．λ＝34．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则( ) A ．a ＝1或a ≤－2 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a ≥1D ．－2≤a ≤15．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①②③6．(2016·临夏期中)下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真 C ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题7．(2016·葫芦岛期中)已知命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}；命题Q ：在△ABC 中，“A >B ”是“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4”成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真8．(2016·怀仁期中)已知命题p ：∀x ∈[－1,2]，函数f (x )＝x 2－x 的值大于0.若p ∨q 是真命题，则命题q 可以是( ) A ．∃x ∈(－1,1)，使得cos x <12B ．“－3<m <0”是“函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上有零点”的必要不充分条件 C ．直线x ＝π6是曲线f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的一条对称轴D ．若x ∈(0,2)，则在曲线f (x )＝e x(x －2)上任意一点处的切线的斜率不小于－1 二、填空题9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________________． 10．给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |>x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x >sin x ； ④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x，其中正确命题的序号有________．11．(2017·石家庄质检)已知命题p ：x 2－3x －4≤0，命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．12．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a 的取值范围为__________.答案精析1．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]2．D [对于命题p ，由平面向量数量积a·b ＝0易得a ⊥b ，则命题p 为真命题；对于命题q ，∵a ，b ，c 为非零向量，则q 为真命题，故(綈p )∨(綈q )为假命题，故选D.]3．A [设命题p ：∃x ∈[12，2]，使得2x 2－λx ＋1<0，由于命题p 为假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈[12，2]，2x 2－λx ＋1≥0为真命题，即λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x 在区间[12，2]上恒成立，所以只需满足λ≤(2x ＋1x )min (x ∈[12，2])即可，2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22∈[12，2]时等号成立，所以λ≤22，故选A.]4．A [命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0真，则a ≤1. 命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0真， 则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，a ≥1或a ≤－2， 又p 且q 为真命题， 所以a ＝1或a ≤－2.故选A.] 5．A [∵52>1，∴命题p 是假命题，又∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．]6．D [命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题，故A 正确；命题p ：∀x ∈[0,1]，e x≥1，为真命题，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，为假命题，则p ∨q 为真，故B 正确；若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故C 正确；“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，而当m 2＝0时，由a <b ，得am 2＝bm 2，所以“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为假命题，故D 不正确．]7．A [由命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0，可知x (1－x )＋1>1， ∴0<x <1，即不等式的解集为{x |0<x <1}，∴命题P 为真命题． 由命题Q 知，若cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4， 即sin A >sin B ，∴A >B ；反之，在三角形中，若A >B ， 则必有sin A >sin B ，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4<cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π4成立，∴命题Q 为假命题．故选A.] 8．C [对于命题p ：函数f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴当x ＝12时，取得最小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14<0，因此命题p 是假命题．若p ∨q 是真命题，则命题q 必须是真命题．∀x ∈(－1,1)，cos x ∈(cos 1,1]，而cos 1>cos π3＝12，因此A 是假命题；函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上单调递增，若函数f (x )在此区间上有零点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋m (2＋1＋m )<0，解得－3<m <12，因此“－3<m <0”是“函数f (x )＝x ＋log 2x ＋m 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上有零点”的充分不必要条件，因此B 是假命题；f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝sin π2＝1，因此直线x ＝π6是曲线f (x )的一条对称轴，是真命题；曲线f (x )＝e x(x －2)，f ′(x )＝e x＋e x(x －2)＝e x(x －1)，当x ∈(0,2)时，f ′(x )>f ′(0)＝－1，因此D 是假命题．]9．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 10．②解析 当x ≥0时，|x |＝x ，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π2时，x <sin x ，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，(12)x >(13)x ，④错．故正确命题的序号只有②. 11．{m |m ≤－4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x 2－3x －4≤0} {x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}， ∴{x |－1≤x ≤4} {x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}． 当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意． 当－m ＋3>m ＋3，即m <0时，有{x |－1≤x ≤4} {x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，(两等号不能同时取得)解得m ≤－4.当－m ＋3<m ＋3，即m >0时，有{x |－1≤x ≤4} {x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，(两等号不能同时取得)解得m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}． 12．[1,2]解析 对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.。