高中数学 第2章 平面解析几何初步 4 直线的方程(3)教学案苏教版必修2
高中数学 平面解析几何初步教案2 苏教版必修2
例2已知两点A（-1,2）B（m,3）
（1）求直线AB的斜率
（2）求直线AB的方程
（3）已知实数 ,求直线AB的倾斜角的取值范围
题型三:直线方程五种形式的灵活应用（求直线方程）
例3直线L经过点（3，-1），且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线L的方程。
例4一条直线L过点P（2，1）分别交x轴,y轴的正半轴于A，B两点，O为原点
（6） ,直线（m-1）x+(2m-1)y＝m-5必经过定点，其坐标为__________
三.例题精析：
题型一:由直线的位置关系确定方程中参数的值
例1：设直线(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1)
根据下列条件分别确定m的值，并作图
(1)直线L在x轴上的截距是-3
(2)直线L的斜率是1
（1）当PA PB=4时，求直线L的方程
（2）当PA PB取最小值时，求直线L的方程
（3）当△A0B的面积最小时，求直线L的方程
四、课堂练习
（1）如果AC＜0,且BC＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过第______象限
（2）过点P(-1,3),且倾斜角比直线 的倾斜.课前预习
（1）已知一直线经过点P(1.2).且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等
则该直线的点斜式方程为__________
（2）已知两点A(3，2),B(8,12)，则直线AB的方程为___________
_________________________________________________________.
教师、学生活动
一.知识点问题
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.2直线的方程第三课时直线的一般式方程课件苏教版必修2
(3)经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 x＋y
－2＝0.
( ×)
(4)过原点的直线的截距式方程不存在．
( √)
2．直线 x－3y－1＝0 在 y 轴上的截距是
()
A．－13
B．13
C．1D．ຫໍສະໝຸດ 1答案：A3．直线 x－ky－m＝0 (k>0，m<0)一定不经过第______象限． 答案：四
(4)在 x，y 轴上的截距分别是 3，－1. [解] 由截距式方程可得，所求直线方程为 x3＋－y1＝1， 化成一般式方程为 x－3y－3＝0.
(1)求直线的一般式方程，通常是根据题干条件选用点斜式、 斜截式、两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．
(2)若一般式 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不全为 0)用待定系数 法求解并不简单，两个独立的条件，①若 A，B 均不为零时，求 出 A，B，C 之间的倍数关系，再化简方程即可，②若 A，B 恰 好一个为零，求出另外两个系数的倍数关系，再化简方程即可．
(3)经过定点(x0, y0)的直线的一般式方程可以设为 A(x－x0) ＋B(y－y0)＝0(A，B 不同时为 0).
[活学活用]
设直线 l 经过点(2,4)，且 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的一般
式方程．
解：法一：由题意直线 l 的斜率一定存在且不为 0，设其方程 为 y－4＝k(x－2)， 令 x＝0，则 y＝4－2k，令 y＝0，x＝2－4k， 因为 l 在两坐标轴上截距相等， 所以 2－4k＝4－2k，解得 k＝－1 或 2， 所以所求直线的方程为 y－4＝－1(x－2)或 y－4＝2(x－2)， 所求直线的一般式方程为 x＋y－6＝0 或 2x－y＝0.
高中数学 25(直线的方程3)教案 苏教版必修2 教案
第3课 直线的方程（3）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为0），理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线；（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．【课堂互动】自学评价1．直线方程的一般式0=++C By Ax 中，,A B 满足条件 不全为零 ，当0A =，0B ≠时，方程表示垂直于 y 轴 的直线，当0B =，0A ≠时，方程表示垂直于 x 轴 的直线．【精典范例】例1：已知直线过点(6,4)A -，斜率为43-，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程． 【解】经过点(6,4)A -且斜率43-的直线方程的点斜式44(6)3y x +=--，化成一般式，得：43120x y +-=，化成截距式，得：134x y+=．例2：求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．【解】直线:35150l x y +-=的方程可写成335y x =-+，∴直线l 的斜率35k =-；y 轴上的截距为3；当0y =时，5x =，∴ x 轴上的截距为5．图略．例3：设直线2:(23)l m m x --+2(21)m m y +-260m -+=(1)m ≠-根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在 x 轴上的截距为3-；（2）直线l 的斜率为1． 【解】（1）令0y =得 22623m x m m -=--，由题知，226323m m m -=---，解得35-=m ． （2）∵直线l 的斜率为222321m m k m m --=-+-，∴2223121m m m m ---=+-，解得43m =．例4: 求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 【解】设直线方程为34y x b =+，令0y =，得43x b =-，∴14|()|623bb ⋅-=，∴3b =±， 所以，所求直线方程为34120x y --=或34120x y -+=．追踪训练一1.已知直线l 的倾斜角为60，在y轴上的截距为4-，求直线l 的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程． 答案：点斜式方程：40)y x +=-斜截式方程：4y =-143y+=- 40y --=【选修延伸】 一、直线经过象限问题例5: 若直线(23)20t x y t -++=不经过第二象限，求t 的取值范围． 分析：可以从直线的斜率和直线在y 轴上的截距两方面来考虑． 【解】直线方程可化为：3()22ty t x =--，由题意得：3022t t ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得302t ≤≤．二、直线过定点问题例6：求证：不论m 取什么实数，直线(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点，并求此定点坐标．【解】法1：令12m =得3y =；令3m =-得2x =；两直线交点为(2,3)P ，将点(2,3)P 坐标代入原直线方程，得(21)2(3)3(11)0m m m -⨯-+⨯--=恒成立，因此，直线过定点(2,3)P ．法2：将方程化为(311)(21)0x y x y m +----=，当3110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩即23x y =⎧⎨=⎩时，以上方程恒成立，即定点(2,3)P 的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点(2,3)P ．例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？ 提示：直线恒过定点13(,)24P --，而P 点在第三象限．思维点拔：证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．追踪训练二1．若0,0pr qr <<，则直线0px qy r ++=不经过（ C ）()A 第一象限 ()B 第二象限 ()C 第三象限 ()D 第四象限2．若直线10mx ny +-=经过第一、二、三象限，求实数,m n 满足的条件．答案：将直线方程化为：1(0)m y x n n n =-+≠，由已知可得00100mm nn n⎧->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩；当0n =时，直线方程为10mx -=，不满足条件， ∴实数,m n 满足条件0m n <⎧⎨>⎩3．证明：不论m 取什么实数，直线(2)m x +-(21)34m y m -=-恒过定点，并求出该定点坐标．提示：仿“例6”可证得直线过定点(1,2)--．第5课 直线的方程（3）分层训练1．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是（ ） ()A 3470x y ++=()B 4370x y ++= ()C 43420x y +-=()D 44420x y +-=2．直线l 经过点(2,1)A ，且与直线40x y --=和x 轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条3．已知直线l ：0Ax By C ++=（,A B 不全为0），点00(,)P x y 在l 上，则l 的方程可化为（ ）()A 00()()0A x x B y y C ++++= ()B 00()()0A x x B y y +++= ()C 00()()0A x x B y y C -+-+= ()D 00()()0A x x B y y -+-=考试热点4．直线l 经过点(1,0)-，且通过一、二、三象限，它与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l 的方程是（ ）()A 440x y +-=()B 440x y ++= ()C 440x y --=()D 440x y -+=5．已知直线过点(2,1)A -和(1,2)B ，则直线的一般式方程为 ． 6．直线340x y m -+=在两坐标轴上截距之和为2，则实数k 等于 ． 7．已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围．8．设直线l 的方程为22(23)(21)260m m x m m y m --++--+=，根据下列条件求m 的值：（1）直线l 的斜率为1；（2）直线l 经过定点(1,1)P --．拓展延伸9．求证：不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总通过某个定点．10．若方程0x y k +-=仅表示一条直线，求实数k 的取值范围．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程教案2 苏教版必修2(2021年最新整理)
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2.1 直线与方程教学目标掌握直线方程的两点式、截距式,能根据条件熟练求出直线的方程；能正确理解直线方程一般式的含义；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式。
重点难点掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式.引入新课1．直线的两点式方程：（1）一般形式：（2）适用条件：2．直线的截距式方程：（1）一般形式：(2)适用条件:注:“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为0．3．直线的一般式方程：4．直线方程的五种形式的优缺点及相互转化:思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()00不全为，BACByAx=++的方程来表示?例题剖析例1 三角形的顶点()()()3345--，，，，，CBA，试求此三角形所在直线方程．例2 求直线01553=-+yxl：的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图．例3 设直线l的方程为0myx，根据下列条件分别确定m的值：+m+62=-(1）直线l在x轴上的截距是3-; (2)直线l的斜率是1；（3）直线l与y轴平行．例4 过点()21 ，的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于BA，两点，当AOB∆的面积最小时,求直线l的方程．巩固练习1．由下列条件，写出直线方程,并化成一般式：3,－3；（1）在x轴和y轴上的截距分别是2（2）经过两点P1（3，－2），P2(5，－4)．2．设直线l的方程为()0Ax=By+，根据下列条件，+0不全为C，BA求出C，应满足的条件:A，B（1）直线l过原点; (2）直线l垂直于x轴;（3）直线l垂直于y轴; （4）直线l与两条坐标轴都相交．课堂小结掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．课后训练一 基础题1．下列四句话中，正确的是（ )A ．经过定点()000y x P ，的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示；B ．过任意两个不同点()()222111y x P y x P ，，，的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示;C ．不经过原点的直线都可以用方程1=+b ya x表示；D ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程b kx y +=表示．2．在x 轴、y 轴上的截距分别为32 -，的直线方程是( ) A ．0632=--y x B ．0623=--y xC ．0623=+-y xD ．0632=+-y x3．如果直线12=+y x 的斜率为k ，在x 轴上的截距为a ，则k = ，a = ．4．过点()13 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ．5．直线()00126≠=--a a y ax 在x 轴上的截距是它y 轴上的截距的3倍，则a = ．6．已知点()121- -m P ，在经过()()4312 - - ，，，N M 两点的直线上,则=m ．7．已知B A ，是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PB PA =，若直线PA 的方程 为01=+-y x ，则直线PB 的方程为 ．8．已知两点()()4003 ，，，B A ，动点()y x P ，在线段AB 上运动，则xy 的 最大值是 ,最小值是 ．9．倾斜角πα32=直线l 与两坐标轴围成的三角形面积S 不大于3，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为 ．二 提高题10．分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形面积：（1)0632=--y x ； （2）253--=y x ．11．求经过()()1432- -，，，B A 的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．三 能力题12．设直线l 的方程为()()306232≠=+--+k k y k x ，根据下列条件分别确定k 的值：（1）直线l 的斜率是1-； （2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0．13．设直线l 的方程为()23+=-x k y ，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共有的特点？14．已知两条直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 都过点()21 ，A ， 求过两点()111b a P ，，()222b a P ，的直线的方程．。
(教师用书)高中数学 第二章 平面解析几何初步教案 苏教版必修2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第二章平面解析几何初步教案苏教版必修22．1直线与方程2．1.1 直线的斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念及他们间的关系．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(2)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个刻画倾斜程度的量与斜率联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的计算公式，难点之一得以解决；然后以确定直线位置的几何要素为切入点，采用数形结合思想给出直线倾斜角的概念，并分析斜率同倾斜角的关系，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：直线位置的倾斜程度如何刻画？⇒引导学生通过观察、思考，类比坡度给出斜率的计算方式．⇒通过引导学生回答所提问题理解倾斜角的概念及斜率与倾斜角的关系．⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化．⇒通过例2及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角同斜率的关系．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第38页)课标解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)直线的斜率【问题导思】如图，楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画．1．平面直角坐标系中，过点P (1,1)，Q (3,3)的直线，其倾斜程度如何刻画？ 【提示】 其倾斜程度如图所示，可用3－13－1＝1来刻画．2．对于平面直角坐标系中，过点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的倾斜程度如何刻画？【提示】 可用y 2－y 1x 2－x 1来刻画． 已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】观察下图中的三条直线l 1、l 2和l 3，回答下列问题．1．直线l 1的斜率k 1与其倾斜角α1间存在怎样的等量关系？ 【提示】 k 1＝tan α1 2．直线l 3的斜率存在吗？ 【提示】 不存在．3．直线的斜率为正时，其倾斜角范围如何？直线的斜率为负时呢？【提示】 当直线的斜率为正时，其倾斜角α的范围为(0°＜α＜90°)；当直线的斜率为负时，其倾斜角α的范围为(90°＜α＜180°)．1．从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l 的斜率k ＝tan_α. 2．从几何图形上看 直线 情形α的0°0°<α<90°90°90°<α<180°大小k 的大小k ＝tan_α不存在k ＝tan_α＝－tan(180°－α)k 的范围0 k >0 不存在k <0(见学生用书第39页)求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A (－1,0)，B (0，－2)； (2)A (－3，2)，B (2，－3)； (3)A (a ，a ＋b )，B (c ，b ＋c )； (4)A (2，－1)，B (m ，－2)． 【思路探究】 当x 1≠x 2时，利用y 1－y 2x 1－x 2求解直线的斜率，否则斜率不存在． 【自主解答】 (1)∵－1≠0， ∴斜率存在，且k ＝－2－00－－1＝－2.(2)∵－3≠2， ∴斜率存在，且k ＝2－－3－3－2＝2＋3－2－3＝－1. (3)∵a ≠c (否则A ，B 两点重合为一点)， ∴斜率存在，且k ＝a ＋b －b ＋ca －c＝1.(4)当m ＝2时，斜率不存在．当m ≠2时，斜率k ＝－2－－1m －2＝12－m.1．本题(4)因m与2的关系不定而分m＝2和m≠2两种情况求解．2．注意事项：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．【解】依题意知直线AC的斜率存在且m≠－1，由k AC＝3k BC，得－m＋3－4 m－－1＝3×m－1－42－－1，∴m＝4.倾斜角与斜率的关系已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【思路探究】画图――→斜率公式斜率k的范围――→k＝tan α倾斜角α的范围【自主解答】如图所示，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．本题在求解过程中应用了数形结合思想，求解的关键是分析边界点的斜率同其他点斜率间的关系．2．数形结合是解决数学问题的常用思想方法．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，又可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．已知直线AB 的斜率为－3，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．【解】 ∵k AB ＝－3，∴直线AB 的倾斜角是120°， ∴直线l 的倾斜角是60°，∴k l ＝tan 60°＝ 3.斜率公式的综合应用已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角α――→k ＝tan α直线l 的斜率――→三点共线kp 1p 2＝kp 2p 3――→解方程得x 2，y 1的值【自主解答】 由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.三点共线问题的求解策略 (1)从三点中任取两点，求其斜率．(2)若斜率存在且相等，则由两直线有公共点得到三点共线；若斜率都不存在，由两直线有公共点，也可得到三点共线．(2013·怀化检测)若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于________．【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k AC . ∴b －1－2－3＝11－18－3， 即b ＝－9.【答案】 －9(见学生用书第40页)因忽略斜率不存在的情况而致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在． 【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系，学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1应注意的问题： (1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.(见学生用书第40页)1．直线l 的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．【解析】 直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 【答案】 － 32．与x 轴垂直的直线，其倾斜角α＝________. 【解析】 与x 轴垂直的直线，其倾斜角α为90°. 【答案】 90°3．(2013·广州检测)若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是________． 【解析】 过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，由tan α＝33可得α＝30°.【答案】 30°4．求证：A (1,5)、B (0,2)、C (2,8)三点共线．【解】 利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率．k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝8－52－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ，∴A 、B 、C 三点共线.(见学生用书第101页)一、填空题1．(2013·中山检测)已知A (1,1)，B (2,4)，则直线AB 的斜率为________． 【解析】 由题意可知，k AB ＝4－12－1＝3.【答案】 32．(2013·无锡检测)过点P (2,3)和Q (－1,6)的直线PQ 的倾斜角为________． 【解析】 ∵k PQ ＝6－3－1－2＝－1，设直线PQ 的倾斜角为α，由tan α＝－1，可知α＝135°.【答案】 135°3．(2013·泰兴检测)已知两点A (1，－1)，B (3,3)，点C (5，a )在直线AB 上，则a ＝________.【解析】 由题意可知k AB ＝k AC ，即3－－13－1＝a －－15－1，解得a ＝7.【答案】 74．下列说法中正确的是__________． ①倾斜角为0°的直线只有一条； ②一条直线的倾斜角是－30°；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角；④直线倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． 【解析】 ①与x 轴平行或重合的直线的倾斜角都为0°，这样的直线有无数条，①错误；②直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错误；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角，③正确；④一条直线的倾斜角确定时，直线位置不能确定，直线倾斜角α集合{α|0°≤α<180°}与直线集合不能建立一一对应的关系，④错误．【答案】 ③图2－1－15．如图2－1－1，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是________．【解析】 由图可知，直线l 3比直线l 2的倾斜度大，故k 3>k 2>0，又k 1<0，所以k 3>k 2>k 1. 【答案】 k 3>k 2>k 16．过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线斜率不存在，则m 的值等于________． 【解析】 由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2. 【答案】 －27．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是________．【解析】 设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合．故l 的斜率k ＝k PQ ＝b ＋1－b a －3－a ＝－13.【答案】 －138．已知A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率为2，则B 点坐标为________． 【解析】 设B (x ，y )，则2＝y －4x －3，若x ＝0，则y ＝－2；若y ＝0，则x ＝1.故B 为(0，－2)或(1,0)．【答案】(0，－2)或(1,0)二、解答题图2－1－29．如图2－1－2所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．【解】l1的斜率：k1＝tan α1＝tan 30°＝3 3.∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.10．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(－3,5)，(0,2)；(2)(4,4)，(4,5)；(3)(10,2)，(－10,2)．【解】(1)k＝2－50－－3＝－1<0，∴倾斜角是钝角．(2)倾斜角是90°，斜率不存在．(3)k＝2－2－10－10＝0，∴倾斜角是0°.11．若直线l的斜率为函数f(a)＝a2＋4a＋3(a∈R)的最小值，求直线l的倾斜角α.【解】f(a)＝a2＋4a＋3＝(a＋2)2－1，∴f(a)的最小值为－1，∴k l＝－1＝tan α.又0°≤α<180°，∴α＝135°.(教师用书独具)过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】 画图斜率公式,倾斜角α的取值范围k ＝tan α,斜率k 的取值范围【规范解答】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－－33－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－－3－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．直线l 过点M ，斜率变化时，可以理解为直线l 绕定点M 旋转，使直线l 与线段AB 的公共点P 从端点A 运动到端点B ，直线l 的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)、B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 根据题中的条件可画出图形，如图所示： 又可得直线PA 的斜率k PA ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为[43，＋∞)；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 位置时，它的倾斜角由90°增大到PA 的倾斜角．故斜率的变化范围是(－∞，－32]，综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－32]∪[43，＋∞)．2.1.2 直线的方程第1课时点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程．(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．2．过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程．(2)学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别．3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程．难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，在帮助学生突出重点化解难点的同时，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点．(教师用书独具)●教学建议解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想．由于直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位．故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法，鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件．对于斜截式方程，明确以下三点：(1)他是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多．由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的斜率公式，找出求“过某一定点的直线方程”的方法．⇒通过引导学生回答所提问题理解直线的点斜式方程及斜截式方程的适用条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的点斜式方程的求法．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜截式方程的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第41页)课标解读 1.掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)直线的点斜式方程【问题导思】1．若直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．2．经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何表示？【提示】x＝x0.1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.直线的斜截式方程【问题导思】经过点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示】y＝kx＋b.斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距.(见学生用书第41页)直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点D(1,1)，与x轴垂直．【思路探究】(1)(2)先求斜率，再利用点斜式求解；(3)利用垂直于x轴的直线方程形式求解．【自主解答】(1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，求直线的点斜式方程，并画出直线l.【解】直线经过点P(2，－3)，且斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程可得x－y －5＝0.画图时，根据两点确定一条直线，只需再找出直线l上的另一点即可．如点Q(5,0)在该直线上，则过P，Q两点的直线即为所求．如图所示．直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.【思路探究】求直线的斜率k→求直线在y轴上的截距→得方程y＝kx＋b.【自主解答】 (1)根据题意得直线的斜截式方程是y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴直线的斜截式方程是y ＝3x ＋5. (3)∵k ＝tan 30°＝33， ∴直线的斜截式方程是y ＝33x .1．使用斜截式方程的前提是直线的斜率必须存在，在利用斜截式求解直线方程时，应对直线的斜率是否存在进行讨论．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，直线l 的斜率必存在，设l 的方程为y ＝kx －3，则l 与两坐标轴的交点分别为(3k，0)和(0，－3)．由它与两坐标轴围成的三角形的面积为6可知 2×|3k |×3＝6，解得k ＝±34.故直线l 的方程为y ＝±34x －3.(见学生用书第42页)因忽略点斜式方程的适用条件致误已知直线l 的倾斜角为α，且经过点(1，－2)，求直线l 的方程．【错解】 由直线l 的倾斜角为α，得该直线的斜率k ＝tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．【错因分析】 上述解法的错误在于忽略了倾斜角α＝90°时，tan α不存在的情形． 【防范措施】 在使用点斜式求直线方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况分别考虑，以免丢解．故本题在求解时，应分α＝90°和α≠90°两类分别求直线l 的方程．【正解】 当α≠90°时，直线l 的斜率为tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．当α＝90°时，直线的斜率不存在，故过点(1，－2)的直线方程为x ＝1. 综上，可得直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)或x ＝1.1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的直线方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．(见学生用书第42页)1．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝12．过点(0,1)，且斜率为－1的直线方程为________．【解析】由斜截式方程得，所求直线方程为y＝－x＋1.【答案】y＝－x＋13．直线方程为y＋2＝2x－2，则直线的斜率为________，在y轴上的截距为________．【解析】直线的方程可以化为y＝2x－4，故斜率为2，在y轴上的截距为－4.【答案】 2 －44．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(2,5)，斜率为4；(2)过点B(－2，2)，倾斜角为30°；(3)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【解】(1)y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.(2)由斜率k＝tan 30°＝33，得直线方程为y－2＝33(x＋2)，即33x－y＋63＋2＝0.(3)由直线y＝－3x＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k＝ 3.直线在y轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y＝3x－10，即3x－y－10＝0.(见学生用书第103页)一、填空题1．(2013·湖南师大附中检测)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为________．【解析】 由题意可知，该直线的倾斜角为45°，故其斜率k ＝tan 45°＝1.所以由斜截式得，所求方程为y ＝x ＋2.【答案】 y ＝x ＋22．(2013·广州检测)过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________． 【解析】 设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×(－2)＋b ＝0. ∴b ＝6，故y ＝3x ＋6. 【答案】 y ＝3x ＋63．(2013·郑州检测)直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________． 【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－1图2－1－34．如图2－1－3，直线y ＝ax －1a的图象如图所示，则a ＝________.【解析】 由图知，直线在y 轴上的截距为1，∴－1a＝1，∴a ＝－1.【答案】 －15．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．【解析】 ∵直线y ＝32x 的斜率为32，∴过点(－4,3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．【答案】 y －3＝32(x ＋4)6．直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，则斜率k 和在y 轴上的截距b 满足的条件为________．【解析】 直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，如图所示，故直线的斜率k <0，在y 轴上的截距b <0.【答案】 k ＜0，b ＜07．下列关于方程y ＝k (x －2)的说法正确的是________．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线 ②表示通过点(2,0)的所有直线 ③表示通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过(2,0)且除去x 轴的直线．【解析】 直线x ＝2也过(2,0)，但不能用y ＝k (x －2)表示． 【答案】 ③8．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．【解析】 因为直线的倾斜角为120°，并且(2,0)是该直线与x 轴的交点，绕着该点顺时针旋转30°后，所得直线的倾斜角为120°－30°＝90°，此时所得直线恰好与x 轴垂直，方程为x ＝2.【答案】 x －2＝0 二、解答题9．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.【解】 由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k ＝ 3.(1)直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即为3x －y ＋1＋43＝0.(2)直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝3x －10，即为3x －y －10＝0.10．(2013·临沂检测)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°，故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是23，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12·23·2＝233.11．已知△ABC 在第一象限中，A (1,1)、B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边、BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.(教师用书独具)已知直线l经过点P(－1，－2)，在y轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．【思路点拨】解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围．也可设出直线l的斜截式方程，再将点P坐标代入找到斜率与在y轴上截距的关系，从而求出斜率的范围．【规范解答】法一设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y－(－2)＝k[x－(－1)]，可化为斜截式方程是y＝kx＋k－2，。
高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程3 两条直线的平行与垂直学案 苏教版必修2
两条直线的平行与垂直二、重难点提示重点：根据直线的斜率判定两条直线平行和垂直。
难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明。
考点一：两条直线平行1. 斜截式方程中两直线平行的判定：设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2。
l 1、l 2重合⇔k 1＝k 2且b 1＝b 2。
l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2。
【重要提示】若两条直线的斜率有不存在的情况时①当一条直线斜率存在，而另一条不存在时，两条直线相交。
②当两条直线斜率都不存在时，两条直线的方程可化为12,x x x x ==，则12x x =时，两条直线重合；12x x ≠时，两条直线平行。
2. 一般式方程中两直线平行的判定：设直线l 1：1110A x B y C ++=；直线l 2：2220A x B y C ++= ① 当1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 都不为零时：当1122A B A B ≠时，l 1与l 2相交； 当111222A B CA B C =≠时，l 1∥l 2；当111222A B CA B C ==时，l 1与l 2重合。
②当1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 有为零的数时，我们要根据具体的情况来讨论。
考点二：两条直线的垂直1. 斜截式方程中两直线垂直的判定：设直线l1：y＝k1x＋b1；直线l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1。
2. 一般式方程中两直线垂直的判定：设直线l1：1110A xB y C++=；直线l2：2220A xB y C++=，则l1⊥l2⇔12120A AB B+=。
例题1（两条直线平行关系的判定）判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行。
（1）l1经过点A（－1，－2），B（2,1），l2经过点M（3,4），N（－1，－1）；（2）l1的斜率为1，l2经过点A（1,1），B（2,2）；（3）l1经过点A（0,1），B（1,0），l2经过点M（－1,3），N（2，0）；（4）l1经过点A（－3,2），B（－3,10），l2经过点M（5，－2），N（5,5）。
高中数学必修2教案苏教版
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教学重点：直线与平面的位置关系、直线与平面的夹角关系。
教学难点：直线与平面的方程。
教学准备：教材、教学课件、黑板、教具等。
教学步骤：
一、导入：通过引入一个实际生活中的问题来引起学生的兴趣，如：一个飞机在空中飞行时，飞机的飞行轨迹与地面的关系是怎样的呢？
二、讲解直线与平面的位置关系：首先，向学生介绍直线与平面的基本概念，然后讲解直线与平面的相互位置关系，即直线与平面可能相离、相切或相交。
三、讲解直线与平面的夹角关系：介绍直线与平面之间的夹角，包括直线与平面的垂直、平行和倾斜的夹角关系，并讲解相关理论知识。
四、解题演练：通过几个实例让学生进行实际问题求解，巩固所学知识，培养学生的解题能力。
五、作业布置：布置相关练习题，巩固学生所学内容，并激发他们对数学的兴趣。
六、小结：对本节课学习的重点知识进行总结，并提醒学生注意相关知识点。
教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和实际运用知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
同时，要根据学生的实际情况灵活调整教学方法，提高教学效果。
高一数学苏教版必修2教学案：第2章4直线的方程(3)
高一数学教学案(101)必修2 直线的方程（三）班级 姓名目标要求：1、明确直线方程一般式的形式特征2、会根据直线方程的一般式求斜率和截距3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式 重点难点：重点：直线方程的一般式难点：对直线方程的一般式的理解与应用 典例剖析：例1、求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并写出它的斜截式与截距式。
例2、设直线l 的方程为22(23)(21)260(1)m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是—3； （2）直线l 的斜率是1例3、一条光线从点A （3，2）发出，经x 轴反射，通过点B （—1，6），求入射光线和反射光线的方程.例4、（1）直线cos 10x y α-+=的倾斜角的范围是___________（2）直线2340mx y m ++-=（m 为实数）恒过定点____________ 变题：设直线l ：230x y m +-=，当m 取不同的实数时，这样的直线有何共性？ 学习反思1、直线的一般式方程.0=++C By Ax （A ，B 不全为零）能表示坐标平面上的一切直线：当B ＝０时，ACx -=，表示与x 轴垂直的直线； 当B 0≠时，BC x B A y --=，表示斜率为B A -，在y 轴上的截距为B C-的直线2、直线方程都可以化为一般式的形式，但要用点斜式、斜截式、两点式、截距式表示时，都需满足一定的条件 课堂练习1、若a ，b ，c 都是正数，则直线0=++c by ax 的图象是 （ ）A 、B 、C 、D 、2、已知点M 是直线0l y -=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转60°，则得到的直线方程是____________________.3、已知直线l ：222(273)(9)30a a x a y a -++-+=的倾斜角为45°，则实数a = ______4、直线210kx y k --+=恒过定点____________高一数学作业(101)班级 姓名 得分1、设全集}{(,)|,U x y x y R =∈，Ｍ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫=--123|),(x y y x ，Ｎ＝}{1|),(+≠x y y x ，则)(N M C U ⋃=______________.2、方程1x y +=所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是_____________.3、ABC ∆的顶点A （—1，3），B （2，4），C （3，—2），则BC 边上的中线所在直线方程为_____________.4、已知直线方程)0(0126≠=--a a y ax ，直线在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的3倍，则a = __________5、□ABCD 的顶点A （1，2），B （2，—1），C （3，—3），则直线BD 的方程为____________.6、根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是－21，经过点A （８，－２）； （2）经过点B （４，２），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是23、－３；（4）经过两点P １（３，－２）、P 2（５，－４）7、一条光线从点M （—3，2）发出，经y 轴反射后，通过点N （—2，—8），求入射光线和反射光线的方程8、将直线方程023=++-m y mx 化成点斜式，求该直线的斜率；并指出直线对任意m 值，都经过哪个定点？9、ABC ∆的顶点A （1，3），AB 边上的中线所在直线方程为210x y -+=，AC 边上的中线所在直线方程为10y -=，求ABC ∆各边所在直线方程10、过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线1:3100l x y -+=与2:280l x y +-=截得的线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程.高一数学教学案(133)必修 2 平面与平面的位置关系（5）班级 姓名目标要求1、进一步掌握面面垂直的判定定理及其应用；2、理解两平面垂直的性质定理；3、线面平行、垂直关系的综合应用． 重点难点重点：两平面垂直的性质定理及应用； 难点：线面平行、垂直关系的相互转化． 典例剖析例1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．例2、如图，已知平面α平面β＝l ，,αβ同垂直于平面γ．求证：l γ⊥．例3、如图，已知PA ⊥平面,ABCD ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若平面PDC 与平面ABCD 成045角，求证：平面MND ⊥平面PDC ．学习反思1、两平面垂直的性质定理是 , 其实质是 ．γβlα_ M_ E _ P_ N_ D _ C_ B _ A2、领悟转化思想：线⊥线线⊥面面⊥面．课堂练习1、已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的真命题的序号是__________________.(1) 若//a b ，则//αβ (2) 若αβ⊥，则a b ⊥ (3) 若,a b 相交，则,αβ相交 (4) 若,αβ相交，则,a b 相交 2、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． 其中正确命题的序号是__________________．3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O , 以EF 为棱将正方形折成直角二面角，则BOD ∠= ．4、如图,αβ⊥ ，l αβ=，,,,,AB AB l BC DE BC DE αββ⊂⊥⊂⊂⊥ ．求证：AC DE ⊥．高一数学作业(133)班级 姓名得分1、l 、m 、n 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题中正确的序号是________________. (1)若//,,,//l n l n αβαβ⊂⊂则 (2)若,,l l αβαβ⊥⊂⊥则 (3)若,,//l n m n l m ⊥⊥则 (4)若,//,l l αβαβ⊥⊥则2、m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥ ；αl A B ECDβ③若αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥则αβ⊥． 其中正确命题为 ．3、ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --, E 为CD 的中点， 则AED ∠的大小为________．4、三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，点P 到三个面的距离分别是3，4， 5， 则OP 的长为 ．5、,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：① m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥； ④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：． 6、在直二面角l αβ--内放置木棒AB ,,A B αβ∈∈．如果AB 与平面β成045的角，AB 在平面β内的射影与棱l 成045的角，求AB 与平面α所成的角．7、如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=,AE CD ⊥,AF DB ⊥．求证：（1）EF DC ⊥；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．BAαlβDFECBA8、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把BCD ∆折起，使C 移到1C 点，且1C 在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上． （1）求证：1AD BC ⊥；（2）求证：面1ADC ⊥面1BDC ．c 1ODCBA。
高中数学第2章平面解析几何初步第4课时直线的方程3教学案无答案苏教版必修220171031488
第4课时直线的方程（3）教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．教材分析及教材内容的定位：一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．教学难点：理解直线方程的一般式的含义．教学方法：自主探究．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？二、学生活动探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x，y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么当α≠90时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；当α＝90时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；即它们都可变形为Ax＋By＋C＝0的形式，且A，B不同时为0，从而直线的方程都是关于1x，y的二元一次方程．（2）关于x，y的二元一次方程的一般形式为Ax＋By＋C＝0，（A，B不同时为0）当B≠0时，方程y A x C，表示斜率为A，在y轴上的截距为C的直线；特别B B B B地，当A＝0时，表示垂直于y轴的直线；当B＝0时，由A≠0，方程x C，表示与x轴垂直的直线．A从而每一个二元一次方程都表示一条直线．三、建构数学一般地，方程Ax By C0(A,B不全为0）叫做直线的一般式方程．说明：（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．四、数学运用例1求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图．例2设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距是－3；（2）直线l的斜率是1．练习：1．若AC＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0必不经过的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设直线l的方程为y3k(x2),当k取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？3．设直线的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距是－3；（2）直线l的斜率是1．4．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程．五、要点归纳与方法小结2满足什么样条件的方程是直线方程，反过来，直线方程一般具有什么形式？——二元一次方程．3。
高中数学 平面解析几何初步教案1 苏教版必修2
（3）如果直线L按x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到了原来的位置，那么直线L的斜率为____________
二.例题精析：
题型一：直线的倾斜角和斜率
例1
已知直线L的斜率K=1-m2，则直线L的倾斜角的取值范围是___________
题型二：.斜率的应用
例2
（3）已知m≠0，则过（1,-1）的直线ɑx+3my+2ɑ＝0的斜率为___________
（4）若实数x.y满足等式(x-2)2+y2＝3,那么y/x的最大值为______________
教学内容及过程
教师、学生活动
一、知识回顾
1.直线倾斜角的概念：______________________.
(1)当直线与x轴ຫໍສະໝຸດ 行或重合时，规定它的倾斜角为_____.
(2)倾斜角的取值范围：___________.
2.直线的斜率
(1)一条直线的倾斜角为 ，则K=______,倾斜角是______的直线它的斜率不存在。
总课题
平面解析几何初步
课题
直线的斜率与倾斜角
教案序号
1
授课时间
教学目标
考试说明
了解确定直线位置的几何要素（两个点，一个点和方向）；理解直线的斜率与倾斜角的概念及它们之间的关系；能根据直线的倾斜角求出直线的斜率。
重点难点
1.根据直线的倾斜角求出直线的斜率。
2.理解直线的斜率和倾斜角之间的关系。
教学内容及过程
实数x,y满足3x-2y-5＝0（1≤x≤3），则y/x的最大值，最小值分别是_____,
__________
四.课堂练习：
（1）已知直线的倾斜角为2，且 =4/5,则，直线的斜率是___________
苏教版-必修二-第二章 平面解析几何初步-2.1 直线与方程(区一等奖)
《直线的方程》学案一、知识摘记1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y 的_________之间的关系．2．直线l 经过点111(,)P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为__________________；当斜率为k 时，直线方程为_________________，该方程叫做直线的点斜式方程．3．方程______________叫做直线的斜截式方程，其中____________叫做直线在___________上的截距．二、例题解析例1 已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．例2 直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．例3 （1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．例 4 在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-三、课外作业1．写出满足下列条件的直线方程：（1）过点(3,-2)，倾斜角为︒120 ___________________________________（2）过点(3,-4)，与y 轴平行 _______________________________（3）倾斜角为︒150，在y 轴上截距为-4 _______________________2．已知直线过点P （-5，-4），倾斜角的正弦为45，则直线方程________________3．若直线l 的斜率122332,(3,5),(,7),(1,)k P P x P y =-是直线l 上的三个点,则2x＝_____，y＝________________34．直线Ax+By-1=0在y轴上的截距是-1，它的倾斜角是直线3x的-y3=3倾斜角的2倍，则A=____________;B=_______________．5．（1）直线l经过点(1,2)P-，且l在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程；（2）直线l过点P(-2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．。
高中数学平面解析几何初步4直线的方程3教学案无答案苏教版必修2
江苏省泰兴中学高一数学教授课设计 (101)必修 2直线的方程（三）班级姓名目标要求：1、明确直线方程一般式的形式特色2、会依据直线方程的一般式求斜率和截距3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式要点难点：要点：直线方程的一般式难点：对直线方程的一般式的理解与应用典例解析：例 1、求直线l : 3x5y150 的斜率以及它在x 轴、 y轴上的截距，并写出它的斜截式与截距式。
例 2、设直线l 的方程为( m22m 3) x (2 m2m 1)y 2m 6 0 ( m1) ，依据下列条件分别确立m的值：（ 1）直线l在x轴上的截距是—3；（2）直线l的斜率是1例 3、一条光辉从点A（3， 2）发出，经x轴反射，经过点B（— 1， 6），求入射光辉和反射光辉的方程 .例 4、（ 1）直线x cos y 10的倾斜角的范围是 ___________（ 2）直线mx 2 y3m40（m为实数）恒过定点____________变题：设直线 l ：x 2 y3m0，当 m取不一样样的实数时，这样的直线有何共性？学习反思1、直线的一般式方程Ax By C0.（A，B不全为零）能表示坐标平面上的全部直线：C，表示与x 轴垂直的直线；当 B ＝０时，xAA x C，表示斜率为A，在 y 轴上的截距为C的直线当 B0 时， yB B B B2、直线方程都可以化为一般式的形式，但要用点斜式、斜截式、两点式、截距式表示时，都需满足必定的条件课堂练习1、若a， b， c 都是正数，则直线ax by c0 的图象是（）y y y yxx x xA、B、C、D、2、已知点是直线l :3x y30与 x 轴的交点，把直线l绕点按逆时针方向旋转M M60°，则获得的直线方程是____________________.3、已知直线l：(2 a27a3) x(a29) y3a20 的倾斜角为45°，则实数a= ______4、直线kx y 2k10 恒过定点____________江苏省泰兴中学高一数学作业 (101)班级姓名得分1、设全集U(x, y) | x, y R ，Ｍ＝ ( x, y) | y31，Ｎ＝ ( x, y) | y x 1 ，则x2C U (M N ) =______________.2、方程x y 1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是_____________.3、ABC的极点A（— 1， 3），B（ 2， 4），C（ 3，— 2），则BC边上的中线所在直线方程为_____________.4、已知直线方程ax 6y 12a 0( a 0)，直线在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的3倍，则 a = __________5、□ABCD的极点A（ 1，2），B（ 2，— 1），C（ 3，— 3），则直线BD的方程为 ____________.6、依据以下条件写出直线的方程，而且化成一般式：（1）斜率是－1，经过点A（８，－２）；（2）经过点B（４，２），平行于x轴；2（3）在x轴和y轴上的截距分别是3、－３；（4）经过两点P１（３，－２）、P2（５，－2４）7、一条光辉从点M（—3，2）发出，经 y 轴反射后，经过点N（—2，—8），求入射光辉和反射光辉的方程8、将直线方程mx y 3m 2 0 化成点斜式，求该直线的斜率；并指出直线对任意m值，都经过哪个定点？9、ABC 的极点A（1，3），AB边上的中线所在直线方程为x 2 y 1 0 ，AC边上的中线所在直线方程为y 1 0 ，求ABC 各边所在直线方程10、过点P（0，1）作直线l ，使它被两直线l1 : x 3 y 10 0 与 l 2 : 2 x y 8 0截得的线段 AB被点 P 均分，求直线l 的方程.。
近年高中数学第2章平面解析几何初步第一节直线的方程4两条直线的交点学案苏教版必修2(2021年整理)
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两条直线的交点知识点课标要求题型说明两条直线的交点1. 了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系。
2. 会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标。
3. 会利用直线系方程解决相关问题.填空题解答题体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程(由数到形）,了解用解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想。
二、重难点提示重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用.难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题.考点一：两条直线的交点直线1l：1110,A xB y C++=直线2l：222A xB y C++=方程组111222A xB y CA xB y C++=⎧⎨++=⎩的解一组无数组无解直线l1,l2的公共点个数一个无数个零个直线l1,l2的位置关系相交重合平行考点二：经过两条直线的交点的直线系过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系m（A1x＋B1y＋C1）＋n(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中m、n为参数，220m n+≠)，当1,0m n==时，方程即为l1的方程;当0,1m n==时,方程即为l2的方程。
高中数学 第二章 第4课时 直线的方程学案 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学学案
第4课 直线的方程（2）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件熟练地求出直线的方程． 【课堂互动】自学评价1．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的两点式方程为112121y y x x y y x x --=--．2. 直线的截距式方程1x ya b+=(0)ab ≠中，a 称为直线在 x 轴 上的截距，b 称为直线在 y 轴 上的截距．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x ya b+=． 点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式； （2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．【解】∵直线AB 过(5,0)A -，(3,3)B -两点，由两点式得：0(5)303(5)y x ---=----，整理得直线AB 的方程：38150x y ++=， ∵直线BC 过(0,2)C ，斜率2(3)5033k --==--， 由点斜式得：52(0)3y x -=--， 整理得直线BC 的方程：5360x y +-=， ∵直线AC 过(5,0)A -，(0,2)C 两点， 由截距式得：152x y+=-， 整理得直线AC 的方程：25100x y -+=．追踪训练一1.直线324x y -=的截距式方程为（ C ）()A 3142x y -= ()B 11132x y-=()C 1423x y+=- ()D 3142x y -=- 2．根据下列条件，求直线的方程： （1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；（2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．答案：（1）3x =；（2）123x y-=；（3）30x y +-=．3.经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ D ） ()A 10x y ++=()B 10x y +-= ()C 430x y +=()D 430x y +=或10x y ++=【选修延伸】一、已知直线的横截距和纵截距间的关系，求直线的方程例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x ya b+=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=；②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=，综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程． 分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，故可设直线方程为1x ya b+=(0,0)a b >>， 由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍）∴直线方程为14x y +=或14yx +=．思维点拔：过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式．追踪训练二1．求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．。
苏教版高中数学必修二第二章学生教案第课时直线的方程(2)
让学生学会学习 第3课 直线的方程（3）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为0）， 理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线；（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．自学评价1．直线方程的一般式0=++C By Ax 中，,A B 满足条件 ，当0A =，0B ≠时，方程表示垂直于 的直线，当0B =，0A ≠时，方程表示垂直于 的直线．【精典范例】例1：已知直线过点(6,4)A -，斜率为43-，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．【解】例2：求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．【解】例3：设直线2:(23)l m m x --+2(21)m m y +- 260m -+=(1)m ≠-根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在 x 轴上的截距为3-；（2）直线l 的斜率为1． 【解】 例4: 求斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 【解】 追踪训练一 1.已知直线l 的倾斜角为60o ，在y 轴上的截距为4-，求直线l 的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．听课随笔让学生学会学习 【选修延伸】例5: 若直线(23)20t x y t -++=不经过第二象限，求t 的取值范围．分析：可以从直线的斜率和直线在y 轴上的截距两方面来考虑．【解】例6：求证：不论m 取什么实数，直线 (21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点，并求此定点坐标．【解】例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？思维点拔：证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点． 追踪训练二1．若0,0pr qr <<，则直线0px qy r ++=不经过（ ） ()A 第一象限 ()B 第二象限 ()C 第三象限 ()D 第四象限 2．若直线10mx ny +-=经过第一、二、三象限，求实数,m n 满足的条件． 3．证明：不论m 取什么实数，直线(2)m x +- (21)34m y m -=-恒过定点，并求出该定点坐标． 学生质疑 教师释疑 听课随笔让学生学会学习。
高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学案苏教版必修2
2。
1.2 第3课时直线的一般式1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．（重点、难点）2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．（易错、易混点)3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点）［基础·初探］教材整理1 二元一次方程与直线的关系阅读教材P85练习以下的部分,完成下列问题．直线与二元一次方程的关系(1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线,都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．(2)在平面直角坐标系中,任何一个关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0)都表示一条直线．1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为________．【解析】方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不同时为0，即A2＋B2≠0。
【答案】A2＋B2≠02．过点（1,2),斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．【解析】过点（1,2），斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.【答案】y－2＝0教材整理2 直线的一般式方程阅读教材P85~P86，完成下列问题．1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时,其斜率为－错误!，在y轴上的截距为－错误!；当B＝0时，在x轴上的截距为－错误!;当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－错误!，－错误!。
3．直线一般式方程的结构特征(1）方程是关于x,y的二元一次方程．(2）方程中等号的左侧自左向右一般按x，y,常数的先后顺序排列．（3）x的系数一般不为分数和负数．(4）虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1．判断(正确的打“√",错误的打“×”）（1）在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线．（×)(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．（×)(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系．（√)（4）方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．（√）2．方程错误!－错误!＝1，化成一般式为________．【解析】由错误!－错误!＝1，得2x－3y－6＝0.【答案】2x－3y－6＝03．经过点(－2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为______________．【解析】由点斜式方程得y－3＝2（x＋2），整理得y＝2x＋7，即2x－y＋7＝0。
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江苏省泰兴中学高一数学教学案(101)
必修2 直线的方程（三）
班级 姓名
目标要求：
1、明确直线方程一般式的形式特征
2、会根据直线方程的一般式求斜率和截距
3、会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式
重点难点：
重点：直线方程的一般式
难点：对直线方程的一般式的理解与应用
典例剖析：
例1、求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并写出它的斜截式与截距式。
例2、设直线l 的方程为22
(23)(21)260(1)m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m 的值：
（1）直线l 在x 轴上的截距是—3； （2）直线l 的斜率是1
例3、一条光线从点A （3，2）发出，经x 轴反射，通过点B （—1，6），求入射光线和反射光线的方程.
例4、（1）直线cos 10x y α-+=的倾斜角的范围是___________
（2）直线2340mx y m ++-=（m 为实数）恒过定点____________
变题：设直线l ：230x y m +-=，当m 取不同的实数时，这样的直线有何共性？
学习反思
1、直线的一般式方程.0=++C By Ax （A ，B 不全为零）能表示坐标平面上的一切直线：
当B ＝０时，A
C x -=，表示与x 轴垂直的直线； 当B 0≠时，B
C x B A y --=，表示斜率为B A -，在y 轴上的截距为B C -的直线 2、直线方程都可以化为一般式的形式，但要用点斜式、斜截式、两点式、截距式表示时，都需满足一定的条件
课堂练习
1、若a ，b ，c 都是正数，则直线0=++c by ax 的图象是 （ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
2、已知点M
是直线0l y --=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋
转60°，则得到的直线方程是____________________.
3、已知直线l ：222(273)(9)30a a x a y a -++-+=的倾斜角为45°，则实数a = ______
4、直线210kx y k --+=恒过定点____________
江苏省泰兴中学高一数学作业(101)
班级 姓名 得分
1、设全集}{(,)|,U x y x y R =∈，Ｍ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫=--123|),(x y y x ，Ｎ＝}{1|),(+≠x y y x ，则)(N M C U ⋃=______________.
2、方程1x y +=所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是_____________.
3、ABC ∆的顶点A （—1，3），B （2，4），C （3，—2），则BC 边上的中线所在直线方程
为_____________.
4、已知直线方程)0(0126≠=--a a y ax ，直线在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的3
倍，则a = __________
5、□ABCD 的顶点A （1，2），B （2，—1），C （3，—3），则直线BD 的方程为____________.
6、根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是－
21，经过点A （８，－２）； （2）经过点B （４，２），平行于x 轴；
（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是
2
3、－３；（4）经过两点P １（３，－２）、P 2（５，－４）
7、一条光线从点M （—3，2）发出，经y 轴反射后，通过点N （—2，—8），求入射光线和反射光线的方程
8、将直线方程023=++-m y mx 化成点斜式，求该直线的斜率；并指出直线对任意m 值，都经过哪个定点？
9、ABC ∆的顶点A （1，3），AB 边上的中线所在直线方程为210x y -+=，AC 边上的中线所在直线方程为10y -=，求ABC ∆各边所在直线方程
10、过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线1:3100l x y -+=与2:280l x y +-=截得的线段AB 被点P 平分，求直线l 的方程.。