江苏省无锡市2020年高考数学 第十四讲 三角函数篇 玩转三角函数图像和性质练习
2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质
2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质（一）高考目标考纲解读1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． 考向预测1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点． 2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点． 3．主要以选择题、填空题的形式考查．（二）课前自主预习知识梳理 1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y=sinx 在[]0,2π上的图像形状时，起关键的五点是：、 、 、 、 。
余弦函数呢？2．三角函数的图像和性质3．周期函数及最小正周期一般地对于函数f (x )，如果存在一个不为0的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0且为常数)的周期T ＝2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω.（三）基础自测1．(湖北文)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] D[解析] 本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝12，T ＝2π|ω|＝4π.2．(理)(陕西理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(，)上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.(文)(陕西文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且f (x )是奇函数． 3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1[答案] C[解析] 由－π6≤x <π3，12<cos x ≤1，∴12<m －1m ＋1≤1，∴m >3.4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 [答案] B[解析] 根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<05．(湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[答案] 23[解析] 由图可知，T 2＝π3，∴T ＝2π3，∴ω＝3，故f (x )＝A cos(3x ＋φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝－23，∴A sin φ＝－23.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝0，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，∴sin φ＝－cos φ，∴f (0)＝A cos φ＝－A sin φ＝23.6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________． [答案] sin3<sin1<sin2[解析] sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.7．求y ＝sin2x －cos x ＋2的最值．[分析] 解析式中只有sin2x ，cos x ，可以考虑转化为关于cos x 的二次函数形式． [解析]y ＝sin2x －cos x ＋2＝1－cos2x －cos x ＋2＝－cos2x －cos x ＋3＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋134， 又∵－1≤cos x ≤1，－1<－12<0，∴1≤y ≤134.故函数的最大值与最小值分别为134与1.（四）、典型例题1.命题方向：三角函数的定义域 [例1] 求下列函数的定义域：（1）y =2lg(36)x -（2）y =[分析] 先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos 2x ＋3cos x －1≥036－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x －－6<x <6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥12－6<x <6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈－6<x <6(*)取k ＝－1,0,1，可分别得到x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3或x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.即所求的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要即0<x <π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2∪[π，4]．[点评] (1)求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数和三角函数的图像，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可． (2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不等式组． 跟踪练习1求下列各函数的定义域：(1) y ＝11－cos x； (2)y ＝sin x ＋1－tan x .[解析] (1)函数y ＝11－cos x 有意义时，1－cos x ≠0，即cos x ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2) 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，1－tan x ≥0.由图知道，函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).2.命题方向：求函数的值域和最值 [例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ； (2)y ＝3cos x －3sin x ； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .[分析] (1)令t ＝cos x ，得y ＝2t 2＋2t ，t ∈[－1,1]，再配方求值域．(2)利用辅助角公式可化为y ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再求值域． (3)令t ＝sin x ＋cos x ，平方可用t 表示sin x cos x ，即可转化为t 的二次函数求解．[解析] (1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－12.当且仅当cos x ＝1时，得y max ＝4， 当且仅当cos x ＝－12时，得y min ＝－12，故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.[点评] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：1．y ＝a sin x ＋b cos x 型可引用辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x . 3．y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型可换元转化为二次函数． 4．sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型可换元转化． 5．y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋bc cos x ＋d)型，可用分离常数法或由 |sin x |≤1来解决．6．y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．跟踪练习2求y ＝sin2x －sin x cos x ＋2的值域．[解析] y ＝sin 2x －sin x cos x ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x )＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋52.3.命题方向：求三角函数的单调区间[例3] 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间． [分析] 思路一：由y ＝sin x 的单调区间来求本题的单调区间．思路二：将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 看作复合函数来求单调区间．[解析] 方法一：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间就是方法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π3－2x 复合而成的．∵u ＝π3－2x 是减函数，∴y ＝2sin u 是减函数时，复合后的函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 才是增函数．∴2k π＋π2≤u ≤3π2＋2k π，k ∈Z.∴2k π＋π2≤π3－2x ≤3π2＋2k π.∴2k π＋π6≤－2x ≤7π6＋2k π.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.[点评] 求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间时，一定要注意到函数中A 与ω的符号，一般是将ω化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误． 跟踪练习3：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R.求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．[解析] (1)∵f (x )＝1－cos2x2＋sin2x ＋＋cos2x 2=2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值时自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，因此f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).4.命题方向：三角函数的奇偶性与周期性[例4] (陕西)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3(1－2sin 2x 4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin(x 2＋π3)＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x 2＋π3)，又g (x )＝f (x ＋π3)，∴g (x )＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g (－x )＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数． 跟踪练习4(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数[答案] C[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x . (2)(辽宁文)函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D ．3[解析] 要想图像平移后与原图像重合，至少需平移1个周期 ∴(2πω)max ＝43π，∴ωmin ＝2π43π＝32.故选C.（五）、思想方法点拨1．函数y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2]，(k ∈Z )的每一个区间上都是增函数，但在k 取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y ＝cos x ，y ＝tan α都有类似特点． 如函数y ＝tan α在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？ 2．函数y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴经过图像的最高点或最低点． 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的确定：(1)当A >0，ω>0时，由于U ＝ωx ＋φ是增函数，故y ＝A sin U 单增(减)时，复合函数y ＝A sin(ωx ＋φ)单增(减)．从而解不等式2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)求出x 取值范围，即该函数的增区间，解不等式2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)可得该函数的单调减区间． (2)当A >0，ω<0时，∵U ＝ωx ＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A <0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形一般地，求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化为x 的系数为正的，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx ＋φ的一个不等式即可求得．4．函数＝A sin(ωx ＋φ)(ωx ≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z ，为偶函数的充要条件为 φ＝k π＋π2，k ∈Z.函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π＋π2，k ∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z.函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π2，k ∈Z.它不可能是偶函数．5．三角函数的周期(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝π|ω|(2)y ＝A |sin(ωx ＋φ)|、y ＝A |cos(ωx ＋φ)|、y ＝A |tan(ωx ＋φ)|的周期都为T ＝π|ω|.6．直线y ＝a 与函数y ＝tan x 的图像交点中任两点距离的最小值为周期．函数y ＝sin x (y ＝cos x )相邻两个最大(小)值点之间距离为半周期，与x 轴相邻两交点之间距离为半周期．（六）课后强化作业一、选择题1．(江西文)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2B ．－ 2C ．1D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1. 解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π8对称∴f (0)＝f (－π4)，∴a ＝－1，故选D.3．(重庆文)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式． 选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]为减函数；选项B ：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，周期为π.在[π4，π2]为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.4．已知函数f (x )＝3sin πxR 图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.5．函数y ＝2tan x －1tan x 的图像关于( )A ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0对称 B ．点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．直线x ＝－π4对称D ．直线x ＝π2对称[答案] B[解析] y ＝2tan x －1tan x＝2tan xtan 2x －1＝－tan2x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π4，k ∈Z . 函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点⎝⎛⎭⎫k π4，0对称的中心对称图形，故选B.6．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π， 所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ，∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.7．(新课标理)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )[答案] C[解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P 运动后对应的坐标．方法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝3π4时，P点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C.方法二：由题意知P ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4， ∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4， 当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C.8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z )B ．k π＋π6 (k ∈Z )C ．k π＋π3(k ∈Z )D ．k π－π3(k ∈Z )[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ. 由f (x )是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z ) ⇒θ＝k π－π3(k ∈Z )．故选D.解法2：∵函数f (x )为奇函数，定义域为R . ∴f (0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z )．二、填空题9．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. [答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5， cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5， 即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. 10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.11．(安徽理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)． ∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6.当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知．2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )． 当k ＝0时 ，－5≤t ≤1； 当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]． 三、解答题12．(深圳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos 2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f (x )＝0的解．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋a cos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]， 所以y ＝f (x )值域为[－2，2－1]．13．(北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，取最小值－73.14．(福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6， 又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )， 即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.15．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )．(1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f (x )的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f (x ＋T )＝f (x )先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sin x －cos x >0， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0， 从而得2kπ<x －π4<2kπ＋π(k ∈Z )．∴函数f (x )的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2kπ＋π4<x <2kπ＋54π，k ∈Z .∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sin x －cos x ≤2， 即有log 122≤log 12(sin x －cos x )．故函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f (x )的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )； 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )． (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴函数f (x )是非奇非偶函数．(4)∵f (x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sin x －cos x )＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sin x －cos x 化为A sin(ωx ＋φ)的形式．。
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ).[小题体验]1．(2019·徐州调研)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的最小正周期为________．答案：4π2．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的图象的对称轴是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，根据余弦函数的性质可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 图象的对称轴是x ＝k π，k ∈Z.答案：x ＝k π，k ∈Z4．(2019·苏州调研)若函数f (x )＝sin πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，56，则f (x )的值域为________． 解析：函数f (x )＝sin πx ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤13，56，∴πx ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴12≤sin πx ≤1. 即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤12，11．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤2π3，且x ≠π2的值域为________． 解析：作出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2，⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象，根据图象可以得到函数的值域为 (－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2019·常州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6，则f (x )的单调递增区间为________________．解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6， 由2k π＋π2≤4x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z考点一 三角函数的定义域 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·扬州中学检测)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________． 解析：由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.所以－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.所以函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. [谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的 要求．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·淮安联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，则f (x )的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－1,2]，故f (x )的值域是[－1,2]．答案：[－1,2]2．(2019·徐州调研)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由正弦函数的性质知， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求．[即时应用]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. 因为x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π2．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， 所以当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的图象与性质 (题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·南京调研)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－πx 的最小正周期是________． 解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－πx ＝－tan ⎝⎛⎭⎫πx －π3的最小正周期是ππ＝1. 答案：1角度二：三角函数的对称性2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________.解析：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，所以f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )．又|θ|＜π2，所以θ＝π3. 答案：π3角度三：三角函数的单调性3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π44．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：因为f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32. 答案：32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2. 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以cos φ＝0，因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ＜π. 所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通调研)已知函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2，则实数a ＝________. 解析：∵函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2πa π＝2，∴a ＝1.答案：12．(2018·南京名校联考)函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 解析：函数y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，所以值域是[0,1]． 答案：[0,1]3．(2018·南京调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：连结AB ，设AB 与x 轴的交点为C ，则由∠AOB ＝π2，得CO ＝CA ＝CB .又OA ＝CA ，所以△AOC 是高为3的正三角形，从而OC ＝2，所以该函数的最小正周期是4.答案：44．(2018·苏北四市调研)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，α.若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则α的取值范围是________．解析：若－π6≤x ≤α，则－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，π26．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②正确；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：②④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·如东中学检测)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________． 解析：由y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y ＝t 2＋t－1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.答案：⎣⎡⎦⎤－54，1 2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝________.解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：343．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：－2或24．(2018·通州期末)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，则φ＝________，ω＝________. 解析：由f (x )是R 上的偶函数，得φ＝π2＋k π，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝cos ωx . ∵函数f (x )的图象关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称， ∴3π4ω＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝23＋43k ，k ∈Z . 又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T 2≥π2，即T ≥π， ∴0＜ω≤2.故ω＝2或23.答案：π2 2或235．(2019·海安模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为________．解析：对于函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象， 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，可得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为x ＝π12. 答案：x ＝π126．(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x＋φ)，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. 答案：－457．(2019·阜宁中学检测)若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________.解析：直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交，等价于当x ＝k π2时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z ，∴k ＝m ＋14，m ∈Z. 当m ＝0时，k ＝14，满足条件．当m ＝－1时，k ＝－34，满足条件．当m ＝1时，k ＝54，不满足条件．故满足条件的k ＝14或－34.答案：14或－348．(2019·常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.解析：设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 3,0)，C (x 2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 3， ①x 2＋x 3＝2x 1， ② ①－②得－x 3＝3x 1，将x 3＝－3x 1代入②，得x 2＝5x 1，所以T ＝x 2－x 3＝8x 1，所以ω＝2πT ＝π4x 1， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 4x 1＋φ. 由图象可知f (x 1)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，令π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 得φ＝k π－π4，k ∈Z . 又0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 答案：3π4 9．(2019·宿迁中学调研)已知函数f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－2π9，π3上的最值，并求出取得最值时x 的值． 解：(1)f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x＝2⎝⎛⎭⎫12sin 3x ＋32cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3. 由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π3－5π18≤x ≤2k π3＋π18(k ∈Z )， 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－5π18，2k π3＋π18(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2π9，π3，∴3x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，4π3. 当3x ＋π3＝－π3或4π3，即x ＝－2π9或π3时，f (x )min ＝－3； 当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f (x )max ＝2.10．(2018·清江中学测试)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 又因为a ＞0，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]， 所以f (x )∈[b,3a ＋b ]．又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)知a ＝2，b ＝－5，所以f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12， 所以2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z . 当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增， 所以g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 当2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减． 所以g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；单调递减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．函数y ＝tan(sin x )的值域为________．解析：因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.又因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以tan(－1)≤y ≤tan 1，故函数的值域是[－tan 1，tan 1]．答案：[－tan 1，tan 1]2．(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x ＜π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x ＜π，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫π3，7π3，所以由f (x )＝12得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6. 答案：7π63．(2019·扬州调研)已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )． (2)由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点．由(1)知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解．∴实数m 的取值范围为(－2,1]．。
高中数学第1章三角函数13三角函数的图象和性质131三角函数的周期性课件苏教版必修4
解析：(1)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以 60° 不是正弦函数 y＝sin x 的一个周期． (2)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确． (3)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确．
2．下列函数中，最小正周期为 4π 的是( )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
1.求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝cos 2x； (3)f(x)＝3sinx2＋π3.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
解：(1)令 z＝x＋π3， 因为 sin(2π＋z)＝sin z， 所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3， 所以 T＝2π.
4．函数 y＝tsainn xx的最小正周期是________．
解析：y＝tsainn
xx＝
sin sin
xx＝cos
x，所以最小正周期为
2π.
cos x
答案：2π
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语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
根据周期函数定义求周期 已知 f(x＋1)＝－f(x)，求证：f(x)是周期函数，并求出 它的一个周期． 【解】 因为 f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，所以 f(x) 是周期函数，且 2 是它的一个周期．
(1)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图象关于 x＝a，x＝b(b＞a)都对称， 则 f(x)是周期函数且 2(b－a)是它的一个周期． (2)已知 f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，由定义可证得 f(x)为周期函数， 2a 是它的一个周期． (3)若 f(x＋a)＝－f（1x）(a＞0)，则 f(x)为周期函数，2a 是它的 一个周期．
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题02 三角函数的图象和性质(含答案)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题02 三角函数的图象与性质【主题考法】主题点考题形式为选择填空题，主要考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值、有 界性、图象的平移和伸缩变换及图像及图像应用，考查运算求解能力、转化化归思想、数形结合思想。
分值为5分，在复习时应予以关注.【主题回扣】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；学科-网 当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． 【易错提醒】1.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.3.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为||ωπ，而不是φ.【主题考向】考向一 三角函数的单调性【解决法宝】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：（1）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的函数的单调区间，基本思路是把x ωϕ+看作是一 个整体，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈求得函数的增区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈求得函数的减区间．（2）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=-+>>的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数， 得到sin()y A x ωϕ=--，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤-≤+∈得到函数的减区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤-≤+∈得到函数的增区间． （3）对于sin()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+等，函数的单调区间求法与sin()y A x ωϕ=+ 类似．例1将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）A. （）B. （）C.（） D.（）【分析】先通过变换求出的解析式，再利用整体代换求出单调递减区间.【答案】C考向二 三角函数的周期性与奇偶性【解决法宝】1．对三角函数的奇偶性的问题，首先要对函数的解析式进行恒等变换，化 为一个角的三角函数，再根据定义、诱导公式去或图像判断所求三角函数的奇偶性，对奇偶性熟记下列结论可以快速解题：①)sin(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；②)sin(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；③)cos(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；④)cos(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；2．对三角函数周期问题，先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用 下列方法求三角函数周期：①利用周期函数的定义；②利用公式：sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2||πω，tan()y x ωϕ=+的 最小正周期为||πω； ③利用图象． 例2 已知函数，下列结论中错误的是（ ）． A. 的图象关于点中线对称 B.的图象关于对称C.的最大值为D.既是奇函数，又是周期函数【分析】通过计算)2()(x f x f -+π是否为0，即可判断选项A 是否正确；通过计算即可判 定)()(x f x f =-π是否成立，即可判定B 是否正确；利用倍角公式、换元法和导数即可求出函数)(x f 的最值；利用函数奇偶性的概念与函数周期定义即可对D 作出判断.【解析】项，因为．即，故函数图象关于点成中心对称．故正确；项，，故函数图象关于直线对称，故项正确；项，，令，，令，得或，根据函数的单调性分析得有极大值，而当时，，时，，所以时，取得最大值，即的最大值为，故项错误； 项，因为，所以函数是奇函数，且图象关于对称，即，，因此，从而．即函数是以为周期的奇函数，故选．考向三 三角函数的对称性【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用正弦函数、余 弦函数、正切函数的对称性及整体思想，求解对称轴和对称中心，也可以利用对称轴过最值点解题.例3已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.【分析】根据图象求出)(x f 的解析式，再用整体代换法即可求出)(x f 对称轴. 【解析】,,,所以,右移的到,将选项代入验证可知选项正确.考向四 三角函数的值域与最值【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为形如)sin(ϕω+=x A y 的一个角的三角函 数，再根据所给自变量的范围，利用不等式性质求出ϕω+x 范围，再利用函数x y sin =图像与性质求出)sin(ϕω+=x y 的值域（最值），即可求出)sin(ϕω+=x A y 的值域（最值）.例4 已知函数()23sin cos f x x x ωω=⋅ 22cos 1(0)x ωω+->的最小正周期为2π，则当 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是（ ） A. []2,1-B. []2,2-C. []1,1-D. []1,2-【分析】先利用降幂公式对()f x 降幂，再利用辅助角公式化为一个角的三角函数，利用周期公式求出ω的值，再利用复合函数求值域的方法，即可当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域.【答案】D考向五 三角函数的图象及其应用【解决法宝】1.函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤（1）确定sin()(0,0,||)y A x k A ωϕωϕπ=++>><中的参数的方法：在由图象求解析式时， 若最大值为M ，最小值为m ，则2M mA -=，2M m k +=，ω由周期T 确定，即由2T πω=求出，ϕ由特殊点确定．（2）由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再 周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．2.已知三角函数图像求三角函数解析式：思路①，先用三角函数的最值列出关于振幅的方 程，从而解出振幅，再利用五点作图法，列出关于ϕω,的方程，解出ϕω,，即可求出解析式；思路②，先用三角函数的最值列出关于振幅的方程，从而解出振幅，利用周期求出ω，再利用特殊点（一般为为最值点）求出ϕ，即可写出解析式.3.在求三角函数在某个区间上的值域（最值）时，常常要用到三角函数图像与性质. 例5已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数 ()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin 4g x x =B. ()2sin2g x x =C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】先由()f x 的图象求出函数()f x 的解析，再通过对函数的图象变换即可求出()g x 的解析式.【解析】由图象可得2,4T A π==，故14,2T πω==，∴()12sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵点（0,1）在函数的图象上，∴()02sin 1f ϕ==，∴1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，∴6πϕ=．∴()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将函数()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14所得图象对应的解析式为12sin 42sin 2266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后再向右平移6π个单位，所得图象对应的解析式为2sin 22sin(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()2sin(2)6g x x π=-．选D ．【主题集训】 1.已知函数，则下列说法不正确的是( )A. 的一个周期为B. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称C.在上单调递减 D.的图象关于对称【答案】B2.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在 区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)32cos(2)(π-=x x g ,故该函数的单调递增区间为ππππk x k 2322≤-≤-,即)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ,由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤3263πππa a ,解之得23ππ≤≤a ,应选 A.3.将函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移56π个单位得到函数()y g x =的图象，则 712g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 3- D. 3【答案】A【解析】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，向左平移56π个单位得到函数()y g x ==22sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭，故7722sin 212123g πππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知函数，其中，，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C.在上单调递增D.在上单调递增【答案】B 【解析】函数，其中，，是奇函数,故，，根据直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为得到周期为，故得到w=4,故函数表达式为，单调减区间为故得在上单调递减，故选B.5.若函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为奇函数，且在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，则θ的一个值为（ ） A. 3π-B. 6π-C.23πD.56π 【答案】D 6.设函数 ，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A ．7.将函数()3sin cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ）A ．(,)42ππ-B ．(,)2ππC ．(,)24ππ--D ．3(,2)2ππ 【答案】C【解析】 因为()2sin()26x f x π=-，所以2()()2sin()2cos 32632x xg x f x πππ=-=--=-，则()g x 在(,)24ππ--上递减．8．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一条对称轴方程可能是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】由题得，所以它的对称轴方程是故选C.9.若将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为图象关于原点对称，将代入，∴，解得，∵，当时，，故选10.若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图得再将代入中，得，则，结合，令可得，（为常数），当时，，则：，故选C.11．已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个12.函数()()13tan cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．31+ 【答案】C【解析】()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=6sin 2sin 3cos cos tan 31πx x x x x x f ，因为63ππ<<-x ，所以366πππ<+<-x ，故()f x 的最大值为3，故选C.13.函数的部分图象如图所示，已知，，且，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，函数的周期满足：，当时，，据此可得：，令可得，则，由，，且，可得：，则，故选C .14.若函数()()()()3sin 2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．-1B ．3- C. 12- D ．32-【解析】因为()3sin(2)cos(2)2sin(2)6f x x x x θθθπ=+++=++，则由题意，知()2sin()026f θππ=π++=，又0θ<<π，所以6θ5π=，所以()2sin 2f x x =-，在[,]44ππ-上是减函数，所以函数()f x 在[,]46ππ-的最小值为()2sin 363f ππ=-=-，故选B ．15.函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A 【解析】根据函数（其中，）的图象过点，可得A=1，．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，函数f （x ）=sin （2x+）．故把f （x ）=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=sin （2x++）=cos2x 的图象，故选：A ．16.已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】函数（），若是函数的一条对称轴，则是函 数的一个极值点，，根据题意有，又，故，结合选项，点所在的直线为，故选C.17.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.18.已知函数，若，则函数恒过定点__________．【答案】【解析】由题意是图象的一条对称轴，∴，化简得，因此在中令，则，即过定点．19.设函数，给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的一个零点为；④在单调递减，其中正确结论有__________（填写所有正确结论的编号）．【答案】①②③20.将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则__________．【答案】3【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，因为，所以为一个对称中心，即=，因为在上单调递减，所以即21.设函数，已知常数且满足，，则关于的不等式的解集为________.【答案】22.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________．【答案】【解析】把函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则，因为令可得，故答案为.20.【山东省烟台市2018届自主练习】已知函数与的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数可能为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题得是一个偶函数，当由得，由得，所以函数的增区间是，减区间是，所以函数的草图如下，且.函数与的图象有两个公共点,所以，所以函数的最长周期为1-（-1）=2，所以.所以，故选A.。
高中数学三角函数函数yasin(ωxφ)的图象与性质函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x 的
图象( )
A．向左平移π8个单位
B．向右平移π8个单位
C．向左平移π4个单位
D．向右平移π4个单位
第十二页，共三十页。
解析 y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2 ＝cos2x－π4＝cos2x－π8－π4 若设 f(x)＝sin 2x＝cos 2x－π8－π4， 则 fx＋π8＝cos2x－π4，∴向左平移π8个单位．
第二十七页，共三十页。
(2)y＝sin x―周―期―变―换→y＝sin ωx―相―位―变―换→
y＝sin[ω(x＋ωφ )]＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)． 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换 后相位变换，平移|ωφ|个单位．
指出其变换步骤．
第二页，共三十页。
1 预习(yùxí)导学
实
2 课堂(kètáng)讲义
3 当堂(dānɡ tánɡ)检测
功
第三页，共三十页。
挑战自我，点点落
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成
[知识(zhī shi)链接]
1．“五点法”作图 画正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ．
第二十六页，共三十页。
课堂(kètáng)小结
1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)
的图象，其变化(biànhuà)途径有两条：
(1)y＝sin x―相―位―变―换→y＝sin(x＋φ)―周―期―变―换→ y＝sin(ωx＋φ)―振―幅―变―换→y＝Asin(ωx＋φ)．
2020届江苏省高考数学二轮复习专题三角函数的图像和性质教案
奇函数
偶函数
奇函数
2． 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．
如下表所示.
x
ωx＋φ
0
π
2π
y＝
Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3. 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：
4． 图象的对称性
函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
3.将函数y＝sin(x－ )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为
4．已知函数 ，若对任意实数 ，都存在唯一的实数 ，使得 ，则实数 的范围是▲．
5．先将函数 图像向右平移 个单位，再将得到的函数图像上的每一个点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，则所得图形对应的函数为
课题：三角函数的图象和性质
授课科目：数学
学生年级：
授课教师：
授课日期：
教学目标
1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解函数的周期性。
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间 内的单调性。
教学重难点
1.教学重点：函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象和性质；
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋ ，0) (k∈Z)
对称中心： (k∈Z)
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间
[2kπ－ ，2kπ＋ ](k∈Z)；
2020新课标高考数学讲义：三角函数的图象与性质含解析
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )、所以f (x )为偶函数、故①正确；当π2<x <π时、f (x )＝sin x ＋sinx ＝2sin x 、所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减、故②不正确；f (x )在[－π、π]的图象如图所示、由图可知函数f (x )在[－π、π]只有3个零点、故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到、所以f (x )可以取到最大值2、故④正确．综上、正确结论的编号是①④.故选C.优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )、所以f (x )为偶函数、故①正确、排除B ；当π2<x <π时、f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 、所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减、故②不正确、排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到、所以f (x )的最大值为2、故④正确．故选C.3．(20xx·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a 、a ]是减函数、则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4、且函数y ＝cos x 在区间[0、π]上单调递减、则由0≤x ＋π4≤π、得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a 、a ]上是减函数、所以⎩⎨⎧－a≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4、所以0<a ≤π4、所以a 的最大值是π4、故选A.法二：因为f (x )＝cos x －sin x 、所以f ′(x )＝－sin x －cos x 、则由题意、知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a 、a ]上恒成立、即sin x ＋cos x ≥0、即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥0在[－a 、a ]上恒成立、结合函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎨⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4、所以0<a ≤π4、所以a 的最大值是π4、故选A. 4．(20xx·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)、则下列结论错误的是( )。
教师课件：2020年高考数学一轮复习专题4.4三角函数图象与性质(讲)
第04节 三角函数图象与性质【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测三角函数的图象和性质 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2013浙江文3；2015浙江文11，理11； 2016浙江文3，理5； 2017浙江18； 2018浙江5.1.“五点法”作图； 2,.三角函数的性质；3.往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：(1) 掌握正弦、余弦、正切函数的图象； (2) 掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（1）正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数 ()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.（2）（五点法），先列表，令0,,,,222x ωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.2．三角函数的定义域与值域（1）定义域：sin y x =,cos y x =的定义域为R ,tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. （2）值域：sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R . （3）最值：sin y x =：当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．cos y x =：当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-． tan y x =：既无最大值，也无最小值3.三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，（2）复合函数的单调性设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增4 .三角函数的对称性 （1）对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭k Z ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．5.三角函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意x ，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数（2）奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； （3）()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．（5）sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，tan y x =为奇函数. 6.三角函数的周期性 （1）周期函数的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都有()()f x T f x += ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．（2）最小正周期：对于一个周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做()f x 的最小正周期．（3）sin y x =,cos y x =周期为2π,tan y x =周期为π. 【重点难点突破】考点1 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 【1-1】【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】 【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.详解：，，由题可知，或，解得,或，故有3个零点.【1-2】【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】【领悟技法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考】函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图，则φ=（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ. 详解：因为，所以因为，所以因为|φ|＜因此，选B.【变式二】【江西省赣州市2018年5月高考适应性考试】若函数在区间上有两个零点，，则（ ）A. B. C. D.【答案】C考点2三角函数的定义域与值域【 2-1】函数12lg(2sin 1)y cosx x =--的定义域是________． 【答案】522,.36xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】(1)由题意得120,210,cosx sinx -≥⎧⎨->⎩，即1,21,2cosx sinx ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，分别由三角函数线得522,33522,66k x k k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+<<+⎪⎩，522,.36k x k k Z ππππ∴+≤<+∈ 【2-2】【2018年北京卷文】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解： （Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为. 【领悟技法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【触类旁通】 【变式一】函数2cos 1y x =+的定义域是（ ）A. ()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()22,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由2cos 1x +⩾0得1cos 2x -,∴222233k x k ππππ-+，k ∈Z. 故选D.【变式二】【2017新课标2】函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．考点3三角函数的单调性【3-1】【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）A. ，ZB. ，Z C. ，Z D.，Z【答案】A 【解析】分析：由，可得关于对称，对任意，可得时，取得最小值，即可求解解析式，从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数的单调递减区间.那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为： ，,故选A.点睛：的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间. 【3-2】已知函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，则该函数的单调增区间为( )A. ()272,31836k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()252,318318k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. ()252,312312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()22,3336k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】由于函数sin (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为223ππω=，∴3ω=，令232232k x k πππππ-≤+≤+，求得252318318k k x ππππ-≤≤+，可得函数的增区间为()252,318318k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选B. 【领悟技法】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 【触类旁通】 【变式一】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得：，所以，令，解得，故单调递减区间为，故选D．【变式二】【2018届河南省南阳市第一中学第十五次考试】已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D考点4 三角函数的对称性 【4-1】【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以【4-2】若函数（）的图象关于点对称，则__________．【答案】【解析】根据题意可得 又，故 .【领悟技法】先化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【触类旁通】【变式一】下列坐标所表示的点不是函数tan()26x y π=-的图象的对称中心的是 （ ） A ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， B ．503π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．403π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】tan y x =的对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，所以tan()26x y π=-的对称中心可以表示为2623x k x k ππππ-=⇒=+，经检验C 选项不满足条件，故选C ． 【变式二】【2018届新疆乌鲁木齐地区5月训练】函数图像的一条对称轴为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逆用两角和余弦公式公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程进行求解即可．详解：y=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），由x+=kπ，得x=﹣+kπ，k∈Z，即函数的对称轴为x=﹣+kπ，k∈Z，当k=0时，对称轴为x=﹣，故选：D．考点5三角函数的奇偶性【5-1】函数是（）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数【答案】B【解析】为偶函数本题选择B选项.【5-2】【2018届辽宁省丹东市测试（二）】设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】分析：由可得，将其代入化简得到，所以函数为偶函数．【领悟技法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【触类旁通】下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A. tan y x = B. sin y x = C. cos y x = D. cos y x =【答案】B【解析】以π为周期的函数有tan y x =、 sin y x = 、 cos y x =，是偶函数的有sin y x = 、 cos y x =，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的只有sin y x =，应选答案B 考点6三角函数的周期性【6-1】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【6-2】【2017天津，文理】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【领悟技法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值. 3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D.π2【答案】C【变式二】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π【易错试题常警惕】易错典例：求函数tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间. 易错分析：解答本题易直接由：2232k x k πππππ-≤-≤+，得出错误结论，原因是忽略复合函数的单调性,再一点易忽略k Z ∈这个条件. 正确解析：把函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变为tan 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由2,232k x k k Z πππππ-<-<+∈，得52,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 即5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈,故函数tan 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间为()5,212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 温馨提醒：(1)三角函数图像与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图像与性质,并能灵活运用,解答此类问题关键是将三角函数变形为sin()y A x ωφ=+处理．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略复合函数的单调性，直接由：2232k x k πππππ-≤-≤+，得出错误结论；二是易忽略对字母k 的限止,在解答此类问题时，一定要注意对字母k 的限止.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数的部分图像如图.（Ⅰ）求函数的解析式. （Ⅱ）求函数在区间上的最值，并求出相应的值. 【答案】(1). (2)时，，时，.【解析】分析：（Ⅰ）从图像可以得到，故，再利用得出的大小.（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，可先计算当时的取值范围，再利用的性质求在相应范围上的最值.详解：（1）由图像可知，又，故.周期，又，∴.∴..（2），∴.当时，，.当时，，.所以，.。
2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第四章§4.3 三角函数的图象和性质
１．函数 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ ωｘ＋φ） 的有关概念
ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ） （ Ａ ＞ ０， ω ＞ ０ ）， ｘ ∈ ［ ０， ＋∞ ）表示一个振动 量时
振幅 周期
Ａ
Ｔ
＝
２π ω
频率
ｆ＝
１ Ｔ
＝ω ２π
相位 初相 ωｘ＋φ φ
２．用五点法画 ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ ωｘ ＋φ） （ Ａ≠０，ω≠０） 一个周期内的 简图时，要找五个关键点，如下表所示：
Ｂ，ω，φ
为常数，Ａ≠０，ω≠０）
的形式，再应用公式
Ｔ
＝
２π ｜ω｜
（
正弦、
余弦型） 或
Ｔ＝
｜
π ω｜
（
正切型） 求解．
４．三角函数的对称性 函数 ｆ（ ｘ） ＝ Ａｓｉｎ（ ωｘ＋φ） （ Ａ，ω，φ 为常数，Ａ≠０，ω≠０） 图象
的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标 一定是函数的零点，因此在判断直线 ｘ ＝ ｘ０ 或点（ ｘ０ ，０） 是不是函 数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验 ｆ（ ｘ０ ） 的值进行．
( ) ｓｉｎ
２ｘ－
π ６
．
思路分析
由题图可知，Ａ ＝ １，
３ ４
Ｔ
＝
１１π １２
－
π ６
＝
３ ４
π，从而
( )π
得 ω，由ｆ ６
＝
１，结合
｜
φ
｜
＜
π ２
可求得
φ，从而
得出
ｆ
（
ｘ）
的解析
式，再利用图象变换可得函数 ｇ（ｘ）的解析式．
( )
１－２
如图，函数 ｙ ＝ ２ｃｏｓ（ ωｘ＋φ）
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
三角函数复习教案整理
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号变化；（3）掌握三角函数的图像和几何意义；（4）学会运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）借助图像，理解三角函数的性质；（3）运用数形结合的方法，解决三角函数问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）提高学生对数学美的感知；（3）激发学生学习三角函数的兴趣。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数在各象限的符号变化（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。
3. 三角函数的图像与几何意义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数在直角坐标系中的几何意义；（3）三角函数图像的变换。
4. 三角函数的应用（1）已知三角函数值，求角度；（2）已知角度，求三角函数值；（3）运用三角函数解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的定义、性质、图像及应用。
2. 难点：三角函数在各象限的符号变化，三角函数图像的变换。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲解法、演示法、练习法、小组讨论法。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、三角板、教具。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角函数复习。
2. 知识梳理：讲解三角函数的定义、性质、图像及应用。
3. 课堂演示：利用多媒体课件，展示三角函数的图像，引导学生理解三角函数的性质。
4. 实例分析：分析实际问题，运用三角函数解决，巩固所学知识。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检查学习效果。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
2020届江苏省高考数学二轮复习专题三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质高考分析函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中基本量的计算是研究函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)性质的基础，在历年大市模拟中以及高考中均以中低档题的形式出现，要求做到熟练应用.三角函数的图象和性质在近几年的高考题中考察难度较低，主要以填空题为主，如2016年T9,2018年T7，前两个解答题中三角函数的性质也有考察，如2017年T15，在图形应用题中会出现三角函数性质的研究，如2018年T18难度为中档题．典题分析考向1 三角函数的周期性和对称性例1 (1) 若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上的所有点向右平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.π3 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象上所有点向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，由题意g (0)＝0，所以φ－π3＝kπ，即φ＝kπ＋π3.又因为0<φ<π，所以φ＝π3. 【方法归类】 对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称处理方法有两种．一、 若平移后所得函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝kπ；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝kπ＋π2.二、 利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．(2) 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．π 解析： 因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，故函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0. π3ω＋φ=k 1π 由f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，可得函数f (x )的对称轴为x ＝7π12.所以7π12ω＋φ=k 2π+π2相减，得(7π12－π3)ω=k π+π2，即ω=4k +2又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2，所以2π2ω≥π2－π6，即ω≤3，所以ω=2，即T ＝π. 点评：一般地，若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)【跟踪训练】1. 若将函数f (x )＝3cos x －sin x 的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线x ＝π6对称，则θ的最小正值为________．π3解析：f (x )＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其图象向右平移θ个单位长度后得到g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－θ.因为g (x )的图象关于x ＝π6对称，所以π6＋π6－θ＝kπ，即θ＝π3－kπ，k ∈Z .因为θ>0，故当k ＝0时，θ＝π3.2. 设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝________.π12 解析：由f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，得5ωπ8+ϕ=2k 1π+π2，11ωπ8+ϕ=k 2π，所以ω=43k －23，又f (x )的最小正周期大于2π，所以0<ω<1，所以ω＝23.由5π12＋φ＝π2＋2k 1π，k 1∈Z .又|φ|＜π2，取k 1＝0，得φ＝π12.3. 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同，则g ⎝⎛⎭⎫π3的值是________．－2 解析：由两函数的图象的对称轴完全相同知周期必须相同，所以ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6图象的一条对称轴为x ＝π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2·π3＋φ＝±1(0<φ<π)，得φ＝π3，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝－2. 4. 已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的任意两点，当|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，求f ⎝⎛⎭⎫π2的值． 解析：当|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π3，所以12·2πω＝π3，所以ω＝3.又因为角φ的终边经过点P (1，－1)，所以φ＝2kπ－π4(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4.故f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22. 考向2 三角函数的单调性和值域例2 (1) 若函数y ＝sin ωx 在区间[0,2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．⎝⎛⎦⎤0，14 解析：由题可知ω>0，因为函数y ＝sin ωx 在区间[0,2π]上单调递增，所以ωx ∈[0,2πω]⊆⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2，k ∈Z ，即2πω≤π2，解得0<ω≤14.(2) 已知函数f (x )＝a －cos x sin x在区间⎝⎛⎭⎫0，π2内是增函数，则实数a 的取值范围是________． (－∞，1] 解析：由题意得∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ′(x )＝sin 2x －(a －cos x )cos x sin 2x ＝1－a cos x sin 2x≥0， 即∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，1－a cos x ≥0，也即∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，1cos x ≥a ，又1cos x>1，故a ≤1. 点评：三角函数单调性的研究主要有三种类型：① 将所给函数化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，利用换元法以及y ＝sin x 的单调性研究； ② 用导数法；③ 用换元法转化为二次函数或分式函数后，先研究转化后的函数单调性，再结合复合函数单调性进行判断． 综上，方法①和③都涉及换元法用复合函数进行研究，方法②用导数法主要针对无法化归和换元的函数，如分式函数等，这是研究函数单调性的主要方法．例3 (1) 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________． []0，1 解析：依题意有f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝sin x cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[]0，1. (2) 函数y ＝1－sin x cos xsin x －cos x ＋1(0<x <π)的最小值是________．2－1解析：设t ＝sin x －cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝1－1－t 22t ＋1＝1＋t 22(t ＋1).又当0<x <π，t ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈(－1，2]，设u ＝t ＋1∈(0，2＋1]， 则y ＝12·1＋(u －1)2u ＝12·u 2－2u ＋2u ＝12⎝⎛⎭⎫u ＋2u －2≥22－22＝2－1，当且仅当u ＝2时取等号．点评：三角函数的值域或最值的求解方法主要有三种：① 将所给函数化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，再令t ＝ωx ＋φ，再结合y ＝sin x 的图象求解． ② 换元法：若函数解析式存在“sin x cos x ，sin x ±cos x ”可以考虑换元，转化为二次函数或分式函数；若函数解析式中存在“cos2x ，sin x (或cos x )”也可以利用换元法转化为二次函数．③ 导数法：对于如y ＝2－sin xcos x，y ＝sin x ＋x 这样的复杂函数可以求导数，研究其在给定区间上的单调性，再根据单调性求其值域．【跟踪训练】1. 函数y ＝2-sin αcos α⎝⎛⎭⎫0<α<π2的最小值为________．3 解析：y ′＝(-cos α)cos α+(2-sin α)sin αcos2α＝＝2sin α－1cos 2α⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 所以当α＝π6时，y 的最小值为 3.2. 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是________． []32，74解析：函数y ＝cos x 的单调增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，ωπ＋π4≤2kπ，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z .又由4k －52－()2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈[]32，74. 3. 已知函数f (x )＝(3cos x ＋sin x )2－23sin2x .(1) 求函数f (x )的最小值，并写出f (x )取得最小值时自变量x 的取值集合； (2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，求函数f (x )的单调递增区间． 解析：(1) 因为f (x )＝3cos 2x ＋23cos x sin x ＋sin 2x －23sin2x＝32(1＋cos2x )＋3sin2x ＋12(1－cos2x )－23sin2x ＝－3sin2x ＋cos2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＋2. 所以函数f (x )的最小值是0，此时2x ＋5π6＝2kπ＋3π2，k ∈Z ，即x 的取值集合为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3，k ∈Z . (2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，11π6， 令－π6≤2x ＋5π6≤π2或3π2≤2x ＋5π6≤11π6，得－π2≤x ≤－π6或π3≤x ≤π2.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2. 考向3 三角方程及三角函数零点例4 (1) 函数f (x )＝(x －1)sinπx －1(－8＜x ＜10)的所有零点之和为________．16 解析：原函数的零点可看作函数f (x )＝sin πx 与g (x )＝1x －1的交点的横坐标，因为函数f (x )与g (x )均关于点(1,0)对称，所以由图象可得：在区间[0,2]上没有交点，在区间[2,10]上共有8个交点，在[－8,0]上共有8个交点，且8组都关于点(1,0)对称，故所有零点之和为16.点评：由于三角函数的图象具有对称性和周期性，所以对于在多个周期的零点个数问题可以利用图象和周期性来判断零点的个数，如果需要计算零点的和，可以利用对称轴或对称中心来计算．(2) 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，其中ω>0.若函数f (x )在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________． ⎣⎡⎭⎫56，43 解析：解法1：由ωx ＋π3=k π，得x ＝－π3ω＋k πω(k ∈Z )，当x >0时的零点从小到大依次为x 1＝2π3ω，x 2＝5π3ω，x 3＝8π3ω，…所以满足⎩⎨⎧5π3ω≤2π，8π3ω>2π，解得ω∈⎣⎡⎭⎫56，43.解法2：因为x ∈[0,2π]，所以θ＝ωx ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2πω＋π3，而函数y ＝sin θ在区间⎣⎡⎦⎤π3，2πω＋π3上的2个零点只能为π，2π，故2π≤2πω＋π3<3π，解得ω∈⎣⎡⎭⎫56，43. 点评：有关于三角方程的问题如果可以直接求解，那么就直接解出，求解时要注意方程sin x ＝a (a ∈(－1,1))，其解有两组，因为sin(π－x )＝sin x ；同理，因为cos x ＝cos(－x )，所以cos x ＝a (a ∈(－1,1))．如果不能够直接解，那么可以利用数形结合思想，将方程根问题转化为函数图象交点的问题来研究，这种方法只适合研究解的个数，不能够求出解的值．本题也可变式为求方程sin3x ＝sin x 在区间(0,2π)内解的个数或者求方程sin3x ＝cos x 在区间(0,2π)内解的个数．(3) 设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y ＝3cos2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．3 解析：设点P (x 0，y 0)，则y 0＝33sin x 0，因为x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y 0∈(0,33)，令⎩⎨⎧y ＝33sin x ，y ＝3cos2x ＋2，得33sin x ＝3cos2x ＋2＝3(1－2sin 2x )＋2，即6sin 2x ＋33sin x －5＝0， 则29(33sin x 0)2＋33sin x 0－5＝0，所以29y 20＋y 0－5＝0，化简得2y 20＋9y 0－45＝0，即(y 0－3)(2y 0＋15)＝0，解得y 0＝－152(舍去)，y 0＝3，所以点P 到x 轴的距离为3.【跟踪训练】1. 设π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个零点，则函数f (x )在区间(0,2π)内所有极值点之和为________．14π3解析：函数的周期为π，极值点为函数的最值点，结合函数的图象，所有极值点之和为⎝⎛⎭⎫π6＋π4＋⎝⎛⎭⎫π6＋3π4＋⎝⎛⎭⎫π6＋5π4＋⎝⎛⎭⎫π6＋7π4＝14π3. 2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝1与函数y ＝3sin π2x (0≤x ≤10)的图象所有交点的横坐标之和为________．30 解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝3sin πx2(0≤x ≤10)及y ＝1的图象(如图)，则它们有6个交点，其中点A ，B 关于直线x ＝1对称，点C ，D 关于直线x ＝5对称，点E ，F 关于直线x ＝9对称，故所有的交点的横坐标之和为2＋10＋18＝30.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin2x 与y ＝18tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上交点的横坐标为α，则sin2α的值为________．－158 解析：sin2α＝18tan α⇒16sin αcos α＝sin αcos α⇒16sin αcos 2α＝sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α>0,16sin αcos 2α＝sin α⇒cos 2α＝116，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α<0，cos α＝－14，sin α＝154，故sin2α＝2sincos α＝2×⎝⎛⎭⎫－14×154＝－158. 点评：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时对正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．本题首先确定得到a ，b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．学情分析1. 已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 1 解析：依题意，周期2πωπ＝2，所以ω＝1.2. 将函数y ＝2sin3x 的图像向左平移π12个单位长度得到y ＝f (x )的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． －2 解析：由题意可知y ＝f (x )＝⎣⎡⎦⎤2sin3⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3×π3＋π4＝－2sin π4＝－ 2.3. 若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为________． π6 解析：由题意得，2ω＋π6＝π2＋2kπ(k ∈Z )，解得ω＝π6＋kπ(k ∈Z)，因为ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6. 4. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为________．π6 解析：由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，所以φ＝kπ－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5. 设函数f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是________．。
江苏省无锡市2015年高考数学第十四讲三角函数篇玩转三角函数图像和性质练习
2015年高考数学 三角函数篇 玩转三角函数图像和性质经典回顾1、若集合{}{}22228,20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->，则()R A C B 的元素个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】C 【解析】试题分析： 集合A 中的解集为11x -<≤，集合B 中的解集为2,0x x ><，集合A 中只能取整数，集合B 只能取实数，且需要取补集，所以为02x ≤≤，所以交集只有0,1两个元素，故选C 考点：集合 2、已知函()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()1,2B ．()2,3C ．(]2,3D ．()2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数为增函数，由题意得2012321log 1a a a a a ->⎧⎪>∴<≤⎨⎪--≤⎩考点：分段函数单调性3、若函数（）的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意，，函数是奇函数，函数最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，∴，∴． 考点：函数的最值及其几何意义．4、已知两条直线m y l =:1和)0(4:2>=m my l ，1l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点B A ,,2l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点D C ,,记线段AC 和BD 在轴上的投()2222sin tx x t xf x x t+++=+0t >t ()22222sin 2sin tx x t x x x f x t x t x t++++==+++22sin x xy x t +=+()f x 24t =2t =影长度分别为b a ,，当m 变化时，ab的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D 【解析】试题分析：设A 、B 、C 、D 各点的横坐标分别为，则，；，，∴，；，，∴，，∴，又，∴，当且仅当时取“=”号，∴． 考点：对数函数的图象和性质．5、已知函数，若,则实数的取值范围是( )A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．(-∞,-2)∪(1,+∞)C ．(-1,2)D ．(-2,1) 【答案】D 【解析】试题分析：根据函数的解析式可知，函数是定义域上的增函数，所以的等价条件是，解得，故选D ．考点：函数的单调性的判段和应用．6、已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，不等式成立， 若， ，，则的大小关系（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】试题分析：设时函数递减，函数是定义在R 上的奇函数，所以是偶函数时递增，,,,A B C D x x x x 2log A x m -=2log B x m =24log C x m -=24log D x m=2m A x -=2mB x =42mC x -=42m D x =||A C a x x =-||B D b x x =-4444|22|222|22|mmm m m m m m b a +---==⨯=-0m >4424m m m m+≥•=2m =4216ba≥=3,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩2(2)()f x f x ->x R 2(2)()f x f x ->22x x ->(2,1)x ∈-()y f x =0x <()()0f x xf x '+<0.30.33(3)a f =b (log 3)(log 3)f ππ=3311(log )(log )99c f =,,a b c a b c >>c b a >>c a b >>a c b >>()()()'()()00g x xf x f x xf x g x '=+<∴<0x ∴<()g x ()y f x =()g x 0x ∴>()g x，结合图像可知 考点：1，。
2020年高考数学(文)一轮复习专题4.4 三角函数的图象与性质(讲)(解析版)
专题4.4三角函数的图象与性质1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正－π2，知识点一三角函数的定义域和值域知识点二三角函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k π－π2，2k π＋π2为增；[2k π，2k π＋π]为减；k π－π2，k π＋π2为考点一三角函数的定义域【典例1】（陕西省渭南市2018-2019学期中）函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（）A ．|12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C ．|,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】因为2,32x k k Z πππ+≠+∈，所以,212k x k Z ππ≠+∈故函数的定义域为|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，选D 。
【方法技巧】三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．【变式1】（广东省石门中学2018-2019学年期末）函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________。
x >0，x －12≥0，x >0，x ≥12，k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，|2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈|2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈考点二三角函数的值域(最值)【典例2】(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则()A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4，故选B 。
专题14 三角函数的图象与应用(原卷版)
第四章 三角函数专题14 三角函数的图象与应用考点1 三角函数的图象与变换1. 【2020年高考全国Ⅰ卷文7】设函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫⎪⎝⎭在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π22. 【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x=+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 3. 【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．4. 【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．CD ．25. 【2018年高考天津卷文数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间[,]44ππ-上单调递增 B ．在区间[,0]4π-上单调递减 C ．在区间[,]42ππ上单调递增D ．在区间[,]2ππ上单调递减6. 【2020年高考天津卷8】已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7. 【2020年高考浙江卷4】函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．8. 【2020年高考江苏卷10】将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．9. [2016高考新课标Ⅲ文数]函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点2 求三角函数的解析式1. 【2020年高考山东卷10】右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+（ ）A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(2)6x +D ．5πcos(2)6x -2. 【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为43. 【2016高考新课标2文数】函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=4. 【2016高考新课标1文数】若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)5. 【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- .（I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值.。
2020年高考江苏版高考数学 4.2 三角函数的图象和性质
所以ω=-3k,k∈Z,
又ω>0,∴ω的最小值为3.
答案 3
=-1- 2 . 2
方法二 利用三角函数性质求参数
利用三角函数性质求参数是三角函数性质应用的主要题型.正确解答此 类问题的关键是掌握三角函数的各个性质.这种题型常见的有两类: 1.由定义域、值域、最值求参数. 2.由函数奇偶性、单调性、周期性求参数.
例2
(2017江苏苏州期中)已知函数f(x)=sin ωx
解析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.
f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3× 1 cos 2x = 5 +
22
3cos 2x ,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos 2x=1时,f(x)取最大值,为4.
2
答案 ②
方法技巧
⑤ [-1,1]
对称轴:⑥ x=kπ+ 2 (k∈Z) 对称中心:⑦ (kπ,0)(k∈Z)
;
对称轴:⑧ x=kπ(k∈Z)
对称中心:⑨
k
2
,
0
; (k∈Z)
2π
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
R
对称中心:
⑩
k 2
,
0
(k∈Z)
π
单调性 奇偶性
单调增区间:
考点清单
考点一 三角函数的图象及其变换
考向基础 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起
关键作用的五个点是①
(0,0)
、②
高三数学三角函数的图像与性质苏教版知识精讲
高三数学三角函数的图像与性质苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角函数的图像与性质二. 教学目标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin （ωx+φ）的简图，理解A 、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈ tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3. 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4. 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin （ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左（ϕ＞0）或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0），便得到y ＝sin （ωx ＋ϕ）的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0），再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右（ϕ＜0，平移ωϕ||个单位，便得到y ＝sin （ωx ＋ϕ）的图象。
江苏省无锡市高考数学 第十四讲 三角函数篇 玩转三角函数图像和性质练习 试题
2015年高考数学 三角函数篇 玩转三角函数图像和性质经典回顾1、若集合{}{}22228,20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->，则()R A C B 的元素个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】C 【解析】试题分析： 集合A 中的解集为11x -<≤，集合B 中的解集为2,0x x ><，集合A 中只能取整数，集合B 只能取实数，且需要取补集，所以为02x ≤≤，所以交集只有0,1两个元素，故选C 考点：集合2、已知函()()21,1,log , 1.aa x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()1,2B ．()2,3C ．(]2,3D ．()2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数为增函数，由题意得2012321log 1a a a a a ->⎧⎪>∴<≤⎨⎪--≤⎩考点：分段函数单调性 3、若函数()2222sin tx x t xf x x t+++=+（0t >）的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数t 的值为 ． 【答案】2【解析】试题分析：由题意，()22222sin 2sin tx x t x x x f x t x t x t ++++==+++，函数22sin x xy x t+=+是奇函数，函数()f x 最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，∴24t =，∴2t =．考点：函数的最值及其几何意义．4、已知两条直线m y l =:1和)0(4:2>=m my l ，1l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点B A ,,2l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点D C ,,记线段AC 和BD 在轴上的投影长度分别为b a ,，当m 变化时，ab的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D 【解析】试题分析：设A 、B 、C 、D 各点的横坐标分别为,,,A B C D x x x x ，则2log A x m -=，2log B x m =；24log C x m-=，24log D x m=，∴2m A x -=，2mB x =；42m C x -=，42m D x =，∴||A C a x x =-，||B D b x x =-，∴4444|22|222|22|mmm m m mm m b a +---==⨯=-，又0m >，∴44m m +≥=，当且仅当2m =时取“=”号，∴4216ba≥=． 考点：对数函数的图象和性质．5、已知函数3,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，若2(2)()f x f x ->,则实数x 的取值范围是( )A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．(-∞,-2)∪(1,+∞)C ．(-1,2)D ．(-2,1) 【答案】D 【解析】试题分析：根据函数的解析式可知，函数是定义域R 上的增函数，所以2(2)()f x f x ->的等价条件是22x x ->，解得(2,1)x ∈-，故选D ．考点：函数的单调性的判段和应用．6、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，不等式()()0f x xf x '+<成立， 若0.30.33(3)a f =，b (log 3)(log 3)f ππ= ，3311(log )(log )99c f =，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 【答案】C 【解析】试题分析：设()()()'()()00g x xf x f x xf x g x '=+<∴<0x ∴<时函数()g x 递减，函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是偶函数0x ∴>时()g x 递增，0.331log 3log 39π>>，结合图像可知c a b >>考点：1，。
2020年高考江苏版高考数学 4.2 三角函数的图象和性质
4.2 三角函数的图象和性质挖命题【考情探究】分析解读三角函数的图象与性质是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面:函数解析式、函数图象及其变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性).破考点【考点集训】考点一三角函数的图象及其变换(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案考点二三角函数的性质及其应用1.函数f(x)=sin x-cos x(-π≤x≤0)的单调增区间是.答案-2.(2017江苏徐州沛县中学质检,12)若函数y=sin x+mcos x图象的一条对称轴方程为x=,则实数m的值为.答案炼技法【方法集训】方法一三角函数的性质1.函数y=3tan的图象的对称中心是.答案-(k∈Z)2.函数y=-3sin2x+9sin x+的最大值为.答案方法二利用三角函数性质求参数1.已知ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx在-上是增函数,则ω的取值范围为.答案2.是否存在实数k,使得当x∈时,k+tan-的值总不大于零?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.解析假设存在实数k,符合题意,则k≤tan-恒成立,∴k≤tan-,而当x∈时,0≤2x-≤,0≤tan-≤,∴k≤0,所以存在符合条件的实数k,其取值范围为(-∞,0].过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是. 答案72.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(填序号).①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2. 答案④2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为.答案y=2sin-3.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标全国Ⅱ理改编,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是.答案2.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos-(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.答案3.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=sin+cos-的最大值为.答案4.(2017课标全国Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案5.(2017课标全国Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-∈的最大值是.答案 16.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.答案x=+(k∈Z)C组教师专用题组1.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin-的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点向平移个单位长度.答案右;2.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=.答案3.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间_________上单调递增.答案(k∈Z)4.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α-β)=-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos-的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ)其中.依题意知,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-,).(ii)证法一:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2-,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二:因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2-,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2-,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=--+=-1.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想.5.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=-=--=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是-(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏盐城高三年级第一学期期中)已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为4,则ω=.答案2.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin-的图象与y轴最近的对称轴方程是. 答案x=-3.(2017江苏扬州中学月考,7)关于x的方程cos2x+4sin x-a=0有解,则实数a的取值范围是.答案[-4,4]4.(2019届江苏启东中学上学期期初)函数f(x)=sin-在区间上的值域为.答案-5.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)若函数g(x)=sin ωx+cos(ω>0)的图象关于点(2π,0)对称,且在区间-上是单调函数,则ω的值为.答案或6.(2019届江苏淮安淮海中学高三上学期第二阶段测试)已知函数f(x)=sin x(x∈[0,π])和函数g(x)=tan x的图象交于A,B,C三点,则△ABC的面积为.答案π7.(2018江苏无锡高三期中,7)将函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,若所得图象过点,则φ的最小值为.答案8.(2017江苏泰州中学第一学期期中,10)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx(其中ω∈(0,1)),若f(x)的图象经过点,则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为.答案二、解答题(共30分)9.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)函数f(x)=6cos2+sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.(1)求ω的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=,且x0∈-,求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cos ωx+sin ωx=2sin,∴正三角形ABC的高为2,从而BC=4,∴函数f(x)的周期T=4×2=8,即=8,又ω>0,∴ω=.易知函数f(x)的值域为[-2,2].(2)∵f(x0)=,由(1)有f(x0)=2sin=,即sin=,由x0∈-,知x0+∈-,∴cos=-=.∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=2×=.10.(2019届江苏海安高级中学上学期第一次月考)已知a=(2cos x,1),b=(sin x+cos x,-1),函数f(x)=a·b.(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值;(3)若函数y=f(ωx)在区间上是单调递增函数,求正数ω的取值范围.解析(1)f(x)=a·b=2cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+cos 2x=2sin,因为x∈,所以≤2x+≤,所以≤sin≤1,所以f(x)max=2, f(x)min=1.(2)因为f(x0)=,所以2sin=,所以sin=,因为x0∈,所以≤2x0+≤,所以cos=--=-,所以cos 2x0=cos-=cos+sin=×-+×=-.(3)f(ωx)=sin,令2kπ-≤2ωx+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,k∈Z,因为函数f(x)在上是单调递增函数,所以存在k0∈Z,使得⊆-,-所以有即因为ω>0,所以k0>-,又因为-≤·,所以0<ω≤,所以k0≤.从而有-<k0≤,所以k0=0,所以0<ω≤.另解:由-≤·,得0<ω≤.因为x∈,所以2ωx+∈,所以+≤或+≥,解得0<ω≤或ω≥2.又0<ω≤,所以0<ω≤.思路分析(1)由题意先表示出f(x)的表达式,然后运用辅助角公式化简,求出在区间上的最值.(2)由题意得sin=,结合cos 2x0=cos2x0+-求解.(3)表示出函数的单调增区间,结合题意讨论得到ω的取值范围.。
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2020年高考数学 三角函数篇 玩转三角函数图像和性质经典回顾1、若集合{}{}22228,20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->，则()R A C B I 的元素个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】C 【解析】试题分析： 集合A 中的解集为11x -<≤，集合B 中的解集为2,0x x ><，集合A 中只能取整数，集合B 只能取实数，且需要取补集，所以为02x ≤≤，所以交集只有0,1两个元素，故选C 考点：集合 2、已知函()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()1,2B ．()2,3C ．(]2,3D ．()2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：函数为增函数，由题意得2012321log 1a a a a a ->⎧⎪>∴<≤⎨⎪--≤⎩考点：分段函数单调性3、若函数（）的最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意，，函数是奇函数，函数最大值为M ，最小值为N ，且4=+N M ，∴，∴． 考点：函数的最值及其几何意义．4、已知两条直线m y l =:1和)0(4:2>=m my l ，1l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点B A ,,2l 与函数|log |2x y =的图像由左到右相交于点D C ,,记线段AC 和BD 在轴上的投()2222sin tx x t xf x x t+++=+0t >t ()22222sin 2sin tx x t x x x f x t x t x t ++++==+++22sin x xy x t+=+()f x 24t =2t =影长度分别为b a ,，当m 变化时，ab的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】D 【解析】试题分析：设A 、B 、C 、D 各点的横坐标分别为，则，；，，∴，；，，∴，，∴，又，∴，当且仅当时取“=”号，∴． 考点：对数函数的图象和性质．5、已知函数，若,则实数的取值范围是( )A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．(-∞,-2)∪(1,+∞)C ．(-1,2)D ．(-2,1) 【答案】D 【解析】试题分析：根据函数的解析式可知，函数是定义域上的增函数，所以的等价条件是，解得，故选D ． 考点：函数的单调性的判段和应用．6、已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，不等式成立， 若， ，，则的大小关系（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】试题分析：设时函数递减，函数是定义在R 上的奇函数，所以是偶函数时递增，,,,A B C D x x x x 2log A x m -=2log B x m =24log C x m -=24log D x m=2m A x -=2mB x =42m C x -=42m D x =||A C a x x =-||B D b x x =-4444|22|222|22|mmm m m mm m b a +---==⨯=-0m >4424m m m m+≥•=2m =4216ba≥=3,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩2(2)()f x f x ->x R 2(2)()f x f x ->22x x ->(2,1)x ∈-()y f x =0x <()()0f x xf x '+<0.30.33(3)a f =b (log 3)(log 3)f ππ=3311(log )(log )99c f =,,a b c a b c >>c b a >>c a b >>a c b >>()()()'()()00g x xf x f x xf x g x '=+<∴<Q 0x ∴<()g x ()y f x =()g x 0x ∴>()g x，结合图像可知 考点：1，。
函数导数与单调性；2．函数图像；3．数形结合法 三角函数诱导公式在解题中的应用7、已知，则的值为 【答案】【解析】 试题分析：由已知得，则．考点：1、诱导公式；2、同角三角函数基本关系式8、已知x ，y 均为正数，，且满足，，则的值为 ． 【答案】【解析】试题分析：因为，所以而所以由得，因此或∵x 、y 为正数， ∴ 考点：同角三角函数关系，消参数9．已知，则的值为 ． 【答案】-11 【解析】0.331log 3log 39π>>Q c a b >>tan()2θπ-=22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+195tan()tan 2θπθ-==2222224sin sin cos cos sin sin cos 2cos 3sin cos θθθθθθθθθθ+++-+=+224tan tan 119tan 15θθθ++==+0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos x y θθ=()222222cos sin 174x y x y θθ+=+xy12sin cos x y θθ=2222sin cos ,x yθθ=，22sin cos 1,θθ+=22222222sin ,cos ,x y x y x y θθ==++()222222cos sin 174x y x y θθ+=+2222174y x xy +=224y x =2214y x =0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1,.2x y x y >=tan 3β=332sin 5cos 2cos sin cos βββββ+-试题分析：考点：弦化切 10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ 。
【答案】23。
【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。
【分析】先将求P 1P 2的长转化为求sin x 的值，再由x 满足6cos x =5tan x 可求出sin x 的值，从而得到答案：由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x =5tan x ，解得sin x =23。
∴线段P 1P 2的长为23。
函数图像变换11、若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：，可知函数图像在轴左侧距轴最近的对称轴为，所以要使得图象关于轴对称，即将轴左侧距轴最近的对称轴平移到轴位置即可，故选C ． 考点：图像的平移．12、若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 （A ）（B ） （C ） （D ） 【答案】C 【解析】试题分析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x x f ，所以将函数332sin 5cos 2cos sin cos βββββ+-32232322sin 5cos (sin cos )tan 5(tan 1)275(91)11.2cos sin cos 2tan 29ββββββββββ++++++====----()sin 2cos2f x x x =+ϕy ϕ8π4π38π34π()sin 2cos2f x x x =+2sin(2)4x π=+y y 38x π=-y y y y ()sin 2cos2f x x x =+ϕy ϕ8π4π38π34π()sin 2cos2f x x x=+的图象向右平移个单位后得到函数的图像，又因为图象关于轴对称，所以Z k k ∈=+-,42ππϕ，即Z k k∈--=,28ππϕ，所以的最小正值是. 考点：三角函数的性质.13、函数的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数f（x ）在 上的最小值为（ ）A ．B ．C ． D【答案】A 【解析】试题分析：由已知，将的图象向左平移 个单位后得到，因为其图像关于原点对称，故，则，，因为，故，则，因为，故，所以函数f （x ）在 上的最小值为．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角函数的最值. 14、设0>ϖ,函数23sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πϖx y 图像向右平移34π个单位与原图像重合，则ω最小值是（ ） A.32 B.34 C.23D.3 【答案】C 【解析】试题分析：图像向右平移34π个单位， 得到， 与图像重合，∴， ϕ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=422sin 2πϕx x f y ϕ38π()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭6π0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦312-123()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭6πsin 232y x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3k πϕπ+=3k πϕπ=-2πϕ<3πϕ=-()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22333x πππ-≤-≤0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3sin()3π-=sin()23y x πω=++44sin(())2sin()23333y x x ππωππωω=-++=-++sin()23y x πω=++42333k ωππππ-+=+∴， ∴. 考点：1.图像的平移变换；2.三角函数的图像.三角函数图像和性质15、已知的图象的一部分如图所示，若对任意都有，则12||x x -的最小值为（ ）A.2πB.πC.2πD.【答案】C 【解析】试题分析：对任意都有，所以、分别为函数的最小值、最大值，由三角函数的性质和图像得的最小值为个周期，由图知.故答案选考点：三角函数的图像和性质.16、已知0ω>，函()sin()4f x x πω=+(,)2ππ单调递减，则ω的取值范围是 ； 【答案】 【解析】试题分析：由正弦函数的单调性，可得，因为在上单调递减，故可令，且满足，即 考点：正弦函数的单调性考点：三角函数的周期32k ω=-32ω=()sin()()f x A x x R ωϕ=+∈,x R ∈12()()()f x f x f x ≤≤4π,x R ∈12()()()f x f x f x ≤≤1()f x 2()f x ()f x 12||x x -12T 4()126T πππ=+=C 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦322,242k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈()f x ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭0k =1224235424πππωωππωπω⎧⎧≤⋅+≤⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅+≤≤⎪⎪⎩⎩15,24ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦17、．已知函数)0(tan >=ωωx y 在)4,6(ππ-上单调递增，则ω的最大值为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由正切函数的性质可知，，则的最大值为2． 考点：正切函数的单调性。