4-2幂级数
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
数学分析第十四章幂级数
第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ）§1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.证∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域 .Ex[1]P 50—51 1.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n nn x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在], [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn nn R x R a x a ⎪⎭⎫⎝⎛=.∑nn R a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn xa 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑nn xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 **)与∑n nxa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .Th 7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=nn n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质: Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a . 注:当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n nx a在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a 在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a . 推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.注: 由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .例6 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x . ,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x .⎰∑⎰∑∞=∞=+++++++=+==-=-x n xn n n n n x x x n x dt t dt t x 00001211211111ln ,)1,1(-∈x Ex [1]P 50—51 4 , 5， 6 .§2 函数的幂级数展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式.Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= ,（只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x fn 存在）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项 )(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n n x .而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外,函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数. ⑵ 若幂级数∑∞=-0)(n nn x x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式.4. 可展条件: Th 1 (必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 (充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f 0)()4(==== n ff.所以,ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . Ex [1]P 58 1， 3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=n x n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P 56.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.): 当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如 取1-=m , 得 +-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得 +⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x .事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰=+=+xt dt x 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n n dt t ∑∞=++-011) 1 (n n n n x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立.例4 展开函数1431)(2+-=x x x f . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n n n x x . 例5 展开函数xe x xf )1()(+=. 解 =+=x x xe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n n n n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n n n x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n n x x n n .Ex[1]P58 2 ⑴―⑼, 3⑵(提示) .友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
高等数学§6.3.4幂级数
当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 ； 当 x 2 ， 原 级 数 化 为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ， 发 散 。
故 收 敛 域 为 ( 2 , 2 ) 。
n a n n l n 1 n ) (
∴ 收 敛 半 径 R 1 1 。
当 t 1 时 ， 新 级 数 成 为 ( 1 ) n ， n 2 l n n
∵ 1 1 ， li 1 m 0 ， ∴ ( 1 ) n 收 敛 。
ln n ln n 1 )n ( ln nn 2 ln n
n0
点 x1适x合 1x0使 幂 级 数 收 敛 ， 则 由 （ 1） 中 的 结 论 ，
幂 级 数 在 点 x0 应 收 敛 ， 这 与 所 设 矛只 要 幂 级 数 a n x n在 点 x 0 0
n 0
处 收 敛 ， 则 幂 级 数 在 以 原 点 为 中 心 ， x 0为 半 径 的
2
dt
arctan
x,。x[1,1]
例 3 ． 在 区 间 ( 1 ,1 ) 内 求 幂 级 数 x n 的 和 函 数 。
n 0 n 1
解 ： 设 S ( x ) x n ， x ( 1 , 1 ) ， 且 S ( 0 ) 1 。 n 0 n 1 x ( x ) x n 1 ， S n 0 n 1 [ x ( x ) ] ( x n S 1 ) x n 1 ， n 0 n 1 n 0 1 x x ( x ) 0 x 1 1 S t d l 1 x ) n t ， (
即 1 t 1 ， 从 而 1 x 1 1 ， 0 x 2 ，
第四节幂级数
lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
13
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
幂级数展开
w( z)dz w ( z) dz w ( z)dz
l l k 1 k k 1 l k
3、幂级数在收敛圆内可逐项求导
w ( z) w ( z)
(n) k 1 (n) k
18
4、幂级数的回路积分表示
1 1 ak ( z0 ) 2i z k 0
| ak || ( z z0 )k | | a0 | | a1 || ( z z0 ) | | a2 || ( z z0 )2 | ,
k 0
11
按比值判别法（达朗伯判别法） 若
| ak 1 || z z0 | lim k | a || z z |k k 0
k 1
2
有确定的极限，便称级数收敛，极限不存在 或 lim An ，便称级数发散 n 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 必有N存在，使得 n>N 时，
,
n p
式中 p 为任意正整数。
3
k n 1
w
k
,
3、绝对收敛级数 若 |w | u 2 v 2 收敛，则
( 2k )
( 2k 1) k
(sin z)
|z0 (1) ; (sin z)
|z0 0
z z3 z5 z 2 k 1 ( 1)k 2 k 1 sin z ( 1)k z . 1! 3! 5! (2k 1)! k 0 ( 2k 1)! 25
f1 ' ( z ) cos z , f
( 3) 1
f1 ' (0) 1, f
( 3) 1
f1 ' ' ( z ) sin z , ( z ) cos z , f1( 4 ) ( z ) sin z ,
第4章级数
(2)定理 定理: 定理 收敛,则 若 ∑ | z | 收敛 则 ∑ z 也收敛
∞
∞
k =1
n
k =1
n
绝对收敛的级数,本身一定是收敛的 注:绝对收敛的级数 本身一定是收敛的 绝对收敛的级数
4.判级数收敛方法 判级数收敛方法: 判级数收敛方法 1)用必要条件 或充要条件 用必要条件,或充要条件 用必要条件 或充要条件; 2)判绝对收敛 判绝对收敛. 判绝对收敛 判别下列级数的收敛性: 例:判别下列级数的收敛性 判别下列级数的收敛性
收敛半径: 三.收敛半径 收敛半径
1.定义 定义: 定义 ∞ Cn (z1 z0 )n 若存在一个正数R,使得幂级数 若存在一个正数 使得幂级数 ∑
n=1
在|Z-Z0|<R内处处收敛 而|Z-Z0|>R时处处发散 内处处收敛,而 时处处发散, 内处处收敛 时处处发散
Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为 的收敛半径为R. 则称 ∑
内复变函数项级数. 为D内复变函数项级数 内复变函数项级数 2.前n项和 S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ) 项和: 前 项和 3.级数收敛 若lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) 存在 则称级数在 z0 处收 级数收敛:若n→∞ 存在,则称级数在 级数收敛 ∞ 就是其和,即 敛. S ( z0 )就是其和 即 ∑ f n ( z0 ) = S ( z0 ) n =1 若级数在D内处处收敛 级数的和是D内一个函数 内处处收敛,级数的和是 内一个函数, 若级数在 内处处收敛 级数的和是 内一个函数 ∞ 即 ∑ fn ( z) = S ( z)
幂级数的讲解纲要
n1
x
n
x x x
2 3
x 1 x
内容小结 1. 函数项级数 则在收敛域上有
2.
3. (x-x0)的幂级数：
( x 1)
4. x 的幂级数：
内容小结 5. 的收敛半径为 R lim
n
an an 1
对非标准型幂级数的收敛半径: 直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求. 6. 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
0
1 1 x
dx ln (1 x )
0
故
1 S 2
§12.1 幂级数 例9 求幂级数 的和函数
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 故当 时，
n x ( x ) n 1
x
x
n 1
n
x
x 1 x
n 0
x
n
S (0) 1
S( x)
1
x
1 1- x
dx
( x 0)
lim S ( x ) 1 C 0
x 0
由和函数
的连续性知
1 ln(1 x ), x [1, 0) (0,1); S( x) x 1, x 0.
n
n1
n 0
an
x
n 1
作业
P 206 1(2,3); 3(1)
5月28日(周六)第三阶段考
考试内容：第11章
阿贝尔(1802 – 1829)
挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.
他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
十个常用的幂级数展开公式
十个常用的幂级数展开公式幂级数展开是一种将一个函数表达为无穷级数之和的方法。
在数学和物理学中，幂级数展开是非常重要的工具，可以用来解决许多问题。
下面是十个常用的幂级数展开公式：1.自然对数函数的幂级数展开：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...2.指数函数的幂级数展开：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...3.正弦函数的幂级数展开：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...4.余弦函数的幂级数展开：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...5.正切函数的幂级数展开：tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...6.双曲正弦函数的幂级数展开：sinh(x) = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + ...7.双曲余弦函数的幂级数展开：cosh(x) = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ...8.自然对数函数的反函数的幂级数展开：e^x-1=x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...9.平方根函数的幂级数展开：sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - ...10. 三角函数的复合幂级数展开（例如sin(2x)）：sin(mx) = mx - (mx)^3/3! + (mx)^5/5! - (mx)^7/7! + ...这些幂级数展开公式是数学和物理学等学科中常用的工具，可以用于近似计算、解析表达式等方面。
通过将函数用幂级数展开，我们可以将复杂的函数转化为无穷级数的形式，从而方便进行计算和分析。
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
第四讲 幂级数的运算
数学分析第十四章幂级数
幂级数的运算
第四讲
数学分析第十四章幂级数
定理14. 9
n
n n a x ∞=∑0
n
n n b x ∞
=∑0x =若幂级数与在的某邻域内有相
同的和函数,(1,2,).
n n
a b n == 这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到.根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.
幂级数的运算
则它们同次幂项的系数相等, 即
数学分析第十四章幂级数
定理14. 10
n
n n a x 与
∞
=∑0n
n n b x
∞
=∑若的收敛半径分别为R a 和R b ,00
,
||,
n n
n n a n n a x a x x R λλ∞∞
===<∑∑0
(),||,
n
n
n
n
n n n n n n a
x b x a b x x R ∞
∞
∞
===±=±<∑∑∑000
,||,n n n
n n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0
,min{,},.
n
a b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.
则
1
n
x+有相同收敛试问它们的收敛域之间有什么关系?
一个幂级数有无限多个项的系数为零, 称为缺项幂级。
923861-复变函数-4-2
23
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
定理四 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R,
n0
那末
(1) 它的和函数 f (z) cn(z a)n 是收敛圆
n0
z a R 内的解析函数 .
(2) f (z) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
级数逐项求导得到, 即 f (z) ncn(z a)n1.
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7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝
对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
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25
例5 求级数 (n 1)zn 的收敛半径与和函数.
n0
解 因为 lim cn1 lim n 2 1, n cn n n 1
利用逐项积分,得:
所以 R 1.
z
(n 1)zndz
z
(n
1) z ndz
zn1
z
.
0 n0
0 n0
n0
1 z
所以
)dz z
1
cz
dz
c1
1
z
dz
2i 0 2i.
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27
五、小结与思考
这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.
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28
思考题
幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?
幂级数
n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的 收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；
幂级数与函数
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
第二章(4-2)非线性
ic = a0 + a1vi + a v + a v + ⋅⋅⋅ + a v + ⋅⋅⋅
2 2 i 3 3 i N N i
2 3 is (t ) = a1Vim cos ω i t + a 2Vim cos 2 ω i t + a3Vim cos 3 ω i t + Λ
2 a 2Vim a3 3 a2 2 3 3 = + ( a1Vim + a3Vim ) cos ω i t + Vim cos 2ω i t + Vim cos 3ω i t + Λ 2 4 2 4
在基频附近 远离基频，可滤除
3a3V12 V22m 3a3V12 V22m m m cos(2ω2 + ω1 )t cos(2ω2 − ω1 )t + 4 4
输入
ω1 ω2
输出
2ω1 − ω2
ω1
ω2
2ω2 − ω1
1. 堵塞 （Blocking） 输入信号：有用信号
干扰信号
ω 2 是强信号。
3 3 3 + a 3V1m + a 3V1mV 22m ) cos ω 1t 4 2
{ ( p + q = N)
问题：组合频率对输出基频信号有什么影 响？
组合频率分析（仅考虑到三次项）
基波分量
i = (a1V1m +
3 3 a 3V13 + a 3V1mV 22m ) cos ω 1t + m 4 2
(a1V2 m
二次项产生的组合频率
3 3 3 + a 3V2 m + a 3V2 mV12 ) cos ω 2 t m 4 2
第4章 级数
z1 + ( z2 − z1 ) + ( z3 − z 2 ) + ... + ( zn − zn −1 ) + ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
§4-1复数项级数
如果级数 ∑ zn 收敛，那么
n→+∞
lim zn = lim (σ n − σ n+1 ) = 0
n→+∞
设 an = Re zn , bn = Im zn , sa = Re(s), sb = Im(s)
n 2 ∞ n =0
形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1, c2 ,…, a 都是复常数. 若令z = z − a ,则以上幂级数还可以写成
cn z n = c0 + c1 z + c2 z 2 + L ∑
n =0 ∞
§4-2 幂级数
2. 阿贝尔(Abel)定理
定理2 如果幂级数 ∑cn z 在 z = z0 收敛, 那么
cn = μ (μ ≠ 0 ) ，那么收敛半径
R=
1
μ
§4-2 幂级数
5. 幂级数的运算和性质
象实变幂级数一样，复变幂级数也能进行有 理运算。
∞ n =0 n f ( z ) = ∑ an z n , R = r1 , g ( z ) = ∑ bn z , R = r2 设 ∞
那么，在以原点为中心， r1 , r 2 中较小的一个 为半径的圆内，这两个幂级数的和函数分别 是 f (z )和 g (z ) 的和、差与积。
sn = z1 + z2 + ... + zn
§4-1复数项级数
如果序列 {sn } 收敛，那么级数 ∑ zn 收敛； 如果
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及
的收敛半径分别为
R1 , R2 , 令 R min R1 , R2 , 则有 :
an x
n
n
(为常数 )
n
x R1
,
an x
n 0
n
bn x
n 0
n 0
(an bn ) x
n 0
x R
an x n bn x n cn x 敛半径 .
解: 级数缺少奇次项（称缺项级数）,不能直接应用定理2, 故直接由检比法求收敛半径.
[ 2 ( n 1) ] !
2
n
lim
u n 1 ( x) u n ( x)
lim
[ ( n 1) ! ] [2n] ! [n! ]
2
x
2 ( n 1)
n
x
2n
lim
( 2 n 1)( 2 n 2) ( n 1 )
2
n
x 4x
2
2
当4 x 1 当4 x 1
2
2
时级数收敛
时级数发散
故收敛半径为 R
1 2
.
13/28
例4.
解: 令
R lim an an 1
的收敛域. 级数变为
1
n
lim 2 n
n
n
24/28
2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积分.
思考与练习
1. 已知
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为 收敛 , 处条件收敛 , 问该级数收敛
25/28
2. 在幂级数
an 1 an
1 2 ( 1)
规定: 0 ! = 1
解: (1)
R lim an an 1
n
1
lim
n
n! 1 ( n 1) !
所以收敛域为 ( , ) . (2) R lim
an an 1
n
lim
n!
(n 1) !
n
0
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
而
因此由和函数的连续性得:
1 x ln(1 x ) ,
x [1, 0) (0 ,1)
S (x)
1,
x0
21/28
例8.
解: 设 S ( x)
n2
x
2
n
n 1
,
则
1 1 1 n S ( x) x n 1 n 2 2 n 1
它们的收敛半径均为 R , 但是
1 x x x
2 n
其收敛半径只是 R 1 .
16/28
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后级数的收敛半径相同:
S ( x)
an x n nan x n 1 ,
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 则R 称为收敛半径 ， (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o
敛
发
散
x
8/28
定理2. 若
( a n 0 ) 的系数满足
n 0 n 0 n 0
x R
其中
以上结论可用部分和 的极限证明 .
15/28
说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比
原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设
( a0 1, an 0 , n 1, 2 , )
b0 1, b1 1, bn 0 , n 2 , 3 ,
第2.1节幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算性质
习题4.2 3(3)(4)，4，5，7(奇数小题)，8，9
一、 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 ,) 为定义在区间 I 上的函数, 称
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 称 x0 为其收
满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . 证毕
7/28
由Abel 定理可以看出, an x n 0 中心的区间.
n
的收敛域是以原点为
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
1 2
n 1
lim
2
n 1
( n 1)
n
2
( n 1)
n
2 n
当 t = 2 时, 级数为
当 t = – 2 时, 级数为
此级数发散;
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
即 1 x 3 .
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三、幂级数的运算性质
n 0 n 1
x ( R , R )
0
x
S ( x) d x
n 0
an x d x
0
x n
n 0
n 1
an
x
n 1
,
x ( R , R )
注: 在收敛区间内，可以像多项式一样对幂级数进行代 数运算和分析运算，从而可以求一些幂级数的和函数， 和函数展开为幂级数（下次课的）。 17/28
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x x n x (x )
n n 1 n 1
x x 1 x
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例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S ( x)
n 0
dx
ln(1 x)
故
S
1 2
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用检比法或检根法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
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在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
称为余项 则在收敛域上有
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例如, 等比级数
它的收敛域是
1 1 x
,
x 1 即是此种情形.
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定理 1.( Abel定理 )
若幂级数 an x
n 0
n
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 的一切 x , 该幂级数也发散 . 证: 设 收敛, 则必有 于是存在
常数 M > 0, 使
作幂级数
其中
易知其收敛半径为 1, 设其和为
则
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n 1 n
中,
3
2 2 ( 1)
1
2 6
, ,
n 为奇数 n 为偶数
能否确定它的收敛半径不存在 ?
答: 不能. 因为
n
lim
n
u n ( x) lim
n
n
2 ( 1)
n
x 2
当
时级数收敛 , 检比法成立
时级数发散 ,
说明: 可以证明
检根法成立
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3 求极限
解: 令
an an 1
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n
例1.求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] . 发散 .
收敛;
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例2. 求下列幂级数的收敛域 :
例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
S ( x)
x
n 1
n 1 ( n
1) !
S (x)
e x S ( x) 0
S ( x) C e
x x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
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例6.
1 1
时, 原级数收敛;
时, 原级数发散.
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因此级数的收敛半径 R
1
.
2) 若 0, 则根据比较准则可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
说明:据此定理 的收敛半径为 R lim
x 2 n2 n 1