浙江省嘉兴一中2009届高三第一次模拟考试理科数学试卷2009.3

浙江省嘉兴一中2009届高三第一次模拟考试理科数学命题人吕峰波(嘉兴)、 王书朝(嘉善)、 王云林(平湖) 胡水林(海盐)、 顾贯石(海宁)、 张晓东(桐乡) 吴明华、张启源、徐连根、洗顺良、李富强、吴林华本测试共三大题，有试题卷和答题卷．试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷(选择题)采用机读卡答题的考生请将答案涂写在机读卡上，不采用机读卡的考生请将答案填在答题卷上．第Ⅱ卷(非选择题)答案都填写在答题卷上．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．己知全集}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}4,3{=B 则=)(B A C U （ ）(A)}3{ (B)}5{ (C)}5,4,2,1{ (D) }4,3,2,1{ 2．向量)1,5(-=x m ，),4(x n =，n m ⊥，则=x （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3．“2=m ”是“直线m x y +=与圆122=+yx 相切”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，321a ，1a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ）（A ）215- （B ）215+ （C ）251- （D ）215-或215+5．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） (A)若α//m ，α⊂n ，则n m // (B)若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m // (C)若α//m ，α//n ，则n m // (D)若m =βα ，n m ⊥，则α⊥n 6．已知函数4sinx y =，如果存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的最小值是（ ）(A)π8 (B) π4 (C) π2 (D) π 7．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a axx x f )0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f （ ）（A ）31 （B ）31-（C ）37 （D ）31-或358．下列命题错误的是（ ）(A)R ∈∃βα, ，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+(B)R k x ∈∀,，x k x sin )2sin(=⋅+π(C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈∃2,0πx ，x x sin )3sin(=+π(D)+∈∀R x ，R k ∈∃，kx x ≤sin9．P 是椭圆1422=+y x上的一点，F 为一个焦点，且POF ∆为等腰三角形(O 为原点)，则点P的个数为（ ）(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 810．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00202y y x y x ),(Z y Z x ∈∈，每一对整数),(y x 对应平面上一个点，经过其中任意两点作直线，则不同直线的条数是（ ） (A)14 (B)19 (C) 36 (D) 72第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每题4分，共28分) 11．若bi a ii +=-+2121 (a ，R b ∈，i 是虚数单位)，则=+b a ．12．若5)1(-mx 的展开式中3x 的系数是80，则实数m 的值是 ．13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布),1(2σN ．若ξ在)1,0(内取值的概率为0.4，则ξ在)2,0(内取值的概率为 ．14．若⎩⎨⎧-=,1,1)(x x f 22<≥x x ，)()(2R x x x x g ∈-=，则方程x x g f =)]([的解为 ．15．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的=s ．16．用字母A 、Y ，数字1、8、9构成一个字符不重复的五位号牌，要求字母A 、Y 不 相邻，数字8、9相邻，则可构成的号牌 个数是 (用数字作答)． 17．已知121=+nm )0,0(>>n m ，当mn 取得最小值时，直线22+-=x y 与曲线1||||=+ny y mx x 交点个数为 ．三、解答题 (本大题共5小题，共72分) 18．(本题满分14分)已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量),3(b a b c m --=，),33(c b a n +=，n m //．(1)求A cos 的值； (2)求)302sin(︒+A 的值．19．(本题满分14分)在三棱柱111C B A ABC -中，E B A AB =11 ，M C A AC =11 ，F 为11C B 的中点，其直观图和三视图如图所示，(1)求证：⊥EF 平面BC A 1； (2)求二面角C B A A --1的大小．20．(本题满分14分)如图，是一个从B A →的“闯关”游戏．规则规定：每过一关都要抛掷正四面体型骰子，正四面体型骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4点数的均匀正四面体．在过第)3,2,1(=n n 关时，需要抛掷n 次骰子，这n 次面朝下的点数之和大于n2，则算闯关成功． (1)求闯第一关成功的概率；(2)记闯关成功的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．21．(本题满分15分)已知抛物线C ：x y 42=的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点(A 在M 、B 之间)．(1)F 为抛物线C 的焦点，若||45||AF AM =，求k 的值；(2)如果抛物线C 上总存在点Q ，使得QB QA ⊥，试求k 的取值范围．22．(本题满分15分) 已知函数xa x x f ln )(-=，其中a 为实数．(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (2)是否存在实数a ，使得对任意),1()1,0(+∞∈ x ，x x f >)(恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出a 的值并加以证明．理科数学 参考答案一．选择题 (本大题共10小题，每题5分，共50分)1．C ； 2．D ； 3，A ； 4．B ； 5．B ； 6．B ； 7．B ； 8．B ； 9．D ； 10．B ； 二．填空题 (本大题共7小题，每题4分，共28分) 11．51； 12．2； 13．8.0； 14．1，12+； 15．69； 16．24； 17．2．三．解答题 (本大题共5小题，第18—20题各14分，第21、22题各15分，共72分) 18．解：(1)因为n m //，所以cb a ba b c -=+-333，得bc c b a 31222-+=…………3分又因为612cos 222=-+=bcac b A …………………………………3分（2）由61cos =A 及),0(π∈A ，得635sin =A ，…………………………………2分所以1835cos sin 22sin ==A A A ，…………………………………2分18171cos22cos 2-=-=A A ，…………………………………2分36171052cos 212sin 23)302sin(-=+=︒+A A A ………………………………2分19．如图建立空间直角坐标系，则)0,0,(a A ，)0,,0(a B ，),0,0(a C ……………………1分（1）)1,0,1(21-=a EF ，………………1分)1,0,1(1a CA =，……………………1分 )0,1,0(a CB = ……………………1分 ∴01=⋅CA EF ，0=⋅CB EF ……2分又1CA 与CB 相交，所以⊥EF 平面BC A 1……1分(2)设平面BC A 1的一个法向量为n ，因为EF n //，所以可取)1,0,1(-=n …………………………………………………2分又平面AB A 1的一个法向量为)0,1,1(=m ……………………………………………2分 ∴21,cos =>=<m n …………………………2分 ∴二面角B PC A --的大小为3π……………………………………………1分20．解：(1)抛一次骰子面朝下的点数有l 、2、3、4四种情况，而点数大于2的有2种，故闯第一关成功的概率21=P ……………………2分（2）记事件“抛掷n 次骰子，各次面朝下的点数之和大于n2”为事件n A ， 则21)(1=A P ，抛二次骰子面朝下的点数和 情况如右图所示， 故851610)(2==A P …………………………………………2分抛三次骰子面朝下的点数依次记为：x ，y ，z 考虑8>++z y x 的情况1=x 时，7>+z y 有1种，2=x 时，6>+z y 有3种 3=x 时，5>+z y 有6种，4=x 时，4>+z y 有10种故1656410631)(3=+++=A P ……………………………4分由题意知ξ可取0、1、2、3，21)()0(1===A P P ξ，………………………1分1638321)()1(21=⨯===A A P P ξ，………………………1分2565516118521)()2(321=⨯⨯===A A A P P ξ，………………………1分256251658521)()3(321=⨯⨯===A A A P P ξ，………………………1分∴ξ的分布列为：2562332562532565521631210=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………2分21．(1)法一：由已知)0,1(-M ………………………………1分 设),(11y x A ，则|1|1||12++=x kAM ，……………………………1分|1|4)1()1(||11212121+=+-=+-=x x x y x AF ，………………………1分由||5||4AF AM =得，5142=+k ，解得43±=k ………………………2分法二：记A 点到准线距离为d ，直线l 的倾斜角为α， 由抛物线的定义知d AM 45||=，………………………2分∴54||cos ±=±=AM d α，∴43tan ±==αk ………………………3分（2）设),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B由⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y 得0442=+-k y ky ，………………………1分 首先由⎩⎨⎧>-≠0161602k k 得11<<-k 且0≠k 102120101010444y y y y y y x x y y k QA +=--=--=，同理204y y k QB +=……………………2分由QB QA ⊥得1442010-=+⋅+y y y y ，…………………………2分即：16)(2121020-=+++y y y y y y ， ∴0204020=++y ky ，…………………………2分080)4(2≥-=∆k ，得5555≤≤-k 且0≠k ，由11<<-k 且0≠k 得，k 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55 …………………………3分22．（1）2=a 时，xx x f ln 2)(-=，xx x x x x f 2ln2ln )(+-='，2ln 1)2(='f ，………………………2分又0)2(=f 所以切线方程为)2(2ln 1-=x y ………………………2分（2）1°当10<<x 时，0ln <x ，则x xa x >-ln x x x a ln ->⇔令x x x x g ln )(-=，x xx x g 2ln 22)(--='，再令x x x h ln 22)(--=，0111)(<-=-='xx xxx h当10<<x 时0)(<'x h ，∴)(x h 在)1,0(上递减， ∴当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，∴02)()(>='xx h x g ，所以)(x g 在)1,0(上递增，1)1()(=<g x g ，所以1≥a ……………………5分 2°1>x 时，0ln >x ，则x xa x >-ln x x x a ln -<⇔)(x g a <⇔由1°知当1>x 时0)(>'x h ，)(x h 在),1(+∞上递增当1>x 时，0)1()(=>h x h ，02)()(>='xx h x g所以)(x g 在),1(+∞上递增，∴1)1()(=>g x g ∴1≤a ；………………………5分由1°及2°得：1=a ………………………1分。