利用数轴解决集合运算问题

第3炼 利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。

在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。

一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分 :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。

（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。

交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。

二、例题精析：例1：（2009 安徽）集合{}21213,03x A x x B x x +⎧⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭，则AB =_______思路：先解出,A B 的解集，()()11,2,,3,2A B ⎛⎫=-=-∞-+∞ ⎪⎝⎭，作出数轴，则AB 即为它们的公共部分。

11,2A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭答案：11,2AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭例2：设集合{}{}23,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+=，则a 的取值范围是____思路：可解出()(),15,S =-∞-+∞ ，而T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S 的范围，由于ST R =，而数轴上有一部分区域没有被S 包含，那说明T 集合负责补S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：185a a <-⎧⎨+>⎩ 即可，解得：31a -<<-答案：31a -<<-小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T 区间的端点（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a =-或1a =-，则端点处既不在S 里，也不在T 里，不符题意。

例3：对于任意的x R ∈，满足()()222240a x a x -+--<恒成立的所有实数a 构成集合A ，使不等式43x x a -+-<的解集是空集的所有实数a 构成集合B ，则()R AC B =______思路：先利用已知条件求出,A B ，再利用数轴画出R AC B 的范围即可解：由()()222240a x a x -+--< ① 恒成立，可得： 当20a -=即2a =时，①变为：40-<恒成立 当2a ≠时，若要①恒成立，则()()22022421620a a a a -<⎧⎪⇒-<<⎨∆=-+-<⎪⎩(]2,2A ∴=-43x x a -+-<解集为空等价于：,43x R x x a ∀∈-+-≥()min 43a x x ≤-+-设()27,4431,3472,3x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=<≤⎨⎪-≤⎩()min 1f x ∴= 1a ∴≤即(],1B =-∞ ()1,R C B ∴=+∞ (]1,2R A C B ∴=小炼有话说：本题更多考察的地方在于,A B 集合的求解。

A 集合要注意20a -=的情况，而不能默认为二次不等式，B 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。

在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。

例4：已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为思路：先解出,A B 的解集，A B ⋂≠∅意味着,A B 有公共部分，利用数轴可标注集合B 两端点的位置，进而求出m 的范围 解：113x x -++≤当1x >时，31132x x x -++≤⇒≤312x ∴<≤ 当11x -<≤时，11323x x -++≤⇒≤恒成立 当1x ≤-时，31132x x x ---≤⇒≥-312x ∴-<≤- 33,22A ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+ A B ≠∅312m ∴+>-且32m <53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭例5：已知{{}2|5,|A x x B x x ax x a =-≥=-≤-，当“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________思路：,A B 为两个不等式的解集，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集。

考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a 的范围即可解：()()25051013521x x x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥-≥⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩[]1,3A ∴=()2210x ax x a x a x a -≤-⇒-++≤ ()()10x x a ∴--≤由A 是B 的真子集可得：3a > 答案：()3,a ∈+∞小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：p 是q 的充分不必要条件⇔p 对应集合P 是q 对应集合Q 的真子集2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。

例如在本题中，若先处理B ，则解不等式面临着分类讨论的问题。

但先处理A 之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。

例6：已知函数()221,02()1,,20xx g x ax f x x x ⎧-≤≤⎪=+=⎨--≤<⎪⎩，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()12g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-()[]24,3fx ∴∈-对于()g x ，分三种情况讨论当0a >时，()[]21,21g x a a ∈-++ 2141213a a a -+≥-⎧∴⇒≤⎨+≤⎩(]0,1a ∴∈当0a =时，()1g x =，符合题意 当0a <时，()[]21,21g x a a ∈+-+ 2141213a a a +≥-⎧∴⇒-≤⎨-+≤⎩[)1,0a ∴∈-综上所述：[]1,1a ∈- 答案：[]1,1a ∈-例7：已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则ba=________ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围。

从而确定出,a b 的值，如图所示：可得1,4a b =-=，所以4ba=- 答案：4-例8：设()(){}{}{}22|210,|0,|20A x x x x B x xax b A B x x =+-+>=++≤=+>，{}|13A B x x =<≤，求,a b思路：A 集合的不等式解集为()()2,11,--+∞ ，集合B 为一元二次不等式的解集，由题意可知B ≠∅，设20x ax b ++=的两根为()1212,x x x x < ，则[]12,B x x = ，在数轴上作图并分析后两个条件：{}|20A B x x =+>说明B 将A 集合覆盖数轴的漏洞堵上了，{}|13AB x x =<≤说明B 与A 的公共部分仅有(]1,3，左侧没有公共部分，从而[]12,B x x =的位置只能如此（如图），可得：121,3x x =-=，由韦达定理可得：2,3a b =-=-例9：在R 上定义运算:2xx y y⊗⊗=-，若关于x 的不等式(1)0x x a ⊗+->的解集是{|22,}x x x R -≤≤∈的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22a -≤≤B ．12a -≤≤C ．31a -≤<-或11a -<≤D ．31a -≤≤ 思路：首先将(1)0x x a ⊗+->变为传统不等式：()()1001xx x a x a ⊗+->⇒<-+，不等式含有参数a ，考虑根据条件对a 进行分类讨论。

设解集为A ，因为[]2,2A ⊆-，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当A =∅时，则1a =-；当A ≠∅时，根据a 的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a 的范围即可 解：()()()1000211x xx x a x a x a ⊗+->⇒>⇒<-+--+设解集为A当A =∅时，则1a =- 当A ≠∅时：若101a a +>⇒>-时，()[]0,12,2A a =+⊆-12a ∴+≤ 1a ∴≤ 11a ∴-<≤若101a a +<⇒<-时，()[]1,02,2A a =+⊆-12a ∴+≥- 3a ∴≥- 31a ∴-≤<-综上所述：[]3,1a ∈- 答案：D例10：已知()(01)f x mx x n n m =--<<+，若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 36m <<B. 13m <<C. 01m <<D. 10m -<<解：所解不等式为mx x n <-，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：()()110m x n m x n -++-<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以x 的系数均大于零，即10110m m m ->⎧⇒>⎨+>⎩，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为,11n nx x m m =-=-+，因为01n m <<+，所以()0,11nx m =∈+，进而结合数轴分析可得三个整数解为{}0,1,2--，所以另一个端点的取值范围为()()3221311nm n m m -≤-<-⇒-<<--①，而01n m <<+②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的,n m ，结合数轴可得：()211m m -<+，求出()1,3m ∈ 答案：()1,3m ∈三、近年模拟题题目精选： 1、（2016四川高三第一次联考）已知集合{}{}|2,,|1,M x x x R N x x a a R =<∈=-≤∈，若N M ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. 01a ≤≤ B. 1a ≤ C. 1a < D. 01a << 2、（2014吉林九校二模，1）已知{}{}|12,|3M x x N x x =-<≤=≤ ，则()R C M N =（ ） A.[]2,3B. (]2,3C.(][],12,3-∞- D. (](],12,3-∞-3、（重庆八中半月考，1）设全集为R ，集合{}12,01A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. []2,2-B. [)2,1-C. (]1,2D. [)2,-+∞ 4、已知函数()f x =的定义域为M ，()()ln 1g x x =+的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A. (-∞B. )⎡+∞⎣C. ()+∞D. (-∞5、（2014，浙江） 已知集合{}{}2|20,|12P x x x Q x x =-≥=<≤，则()RCP Q=（ ）A. [)0,1B. (]0,2C. ()1,2D. []1,2 6、（2014，山东）设集合{}[]{}|12,|2,0,2x A x x B y y x =-<==∈，则AB =（ ）A. []0,2B. ()1,3C. ()1,4D. [)1,3 7、设集合{}{}|237,|121A x x B x m x m =-≤=+≤≤-，若A B A =，则实数m 的取值范围是_________8、已知全集U R =，集合{}{}2|340,|28x A x x x B x =-->=>，那么集合()U C A B =（ ）A. ()3,4B. ()4,+∞C. (]3,4D. []3,4 9、若关于x 的不等式22)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是_______.习题答案： 1、答案：B解析：若0a <，则N =∅符合题意，若0a =，则{}1N =符合题意，当0a >时，解得：()()2,2,1,1M N a a =-=-+，由N M ⊆可知：120112a a a -≥-⎧⇒<≤⎨+≤⎩，综上可得：1a ≤2、答案：D解析：(](),12,R C M =-∞-+∞，在数轴上标出,R C M N 的区域即可得出()R C M N3、答案：C解析：分别解出,A B 中的不等式，:22,:1A x B x -≤≤>，所以(]1,2A B =4、答案：A解析：()f x 的定义域：(220x M ->⇒=，()g x 的定义域：()101,x N +>⇒=-+∞，所以(),1R C N =-∞-，()(R MC N =-∞5、答案：C解析：解出P 中不等式：0x ≤或2x ≥，所以()0,2R C P =，则()()1,2R C P Q =6、答案：D解析：集合A 为解不等式：()122121,3x x x -<⇒-<-<⇒∈-，集合B 为函数的值域，由[]0,2x ∈可知[]1,4y ∈，所以[)1,3A B =7、答案：3m ≤解析：A 集合为[]2,5-，由AB A =可知B A ⊆；当B =∅时，可得1212m m m +>-⇒<，当B ≠∅时，结合数轴可得：12121232153m m m m m m m +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩即23m ≤≤，综上可得：m 的取值范围是3m ≤8、答案：C解析：23404x x x -->⇒>或1x <- ()(),14,A ∴=-∞-+∞[]1,4U C A =-283x x >⇒> ()3,B ∴=+∞ ()(]3,4U C A B ∴=9、答案：2549,916a ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 解析：因为不等式等价于014)4(2<+-+-x x a ，其中014)4(2=+-+-x x a 中的04>=∆a ，且有04>-a ，故40<<a ，不等式的解集为ax a-<<+2121，212141<+<a 则一定有1，2，3为所求的整数解集。