(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)

(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)

课题：直线系与对称问题

教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求

一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法

（一） 主要知识及方法：

1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；

关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.

2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：

()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫

⎪⎝⎭

一定在直线0ax by c ++=上.

()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00

1y b a

x a b

-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭

结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022

Ax By C

D A B

++=

+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线

l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ，

曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：

①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…

4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点

(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.

5.直线系方程：

()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =

()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=

()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：

()()1

1

1

2

2

2

0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2

l ）

（二）典例分析：

问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.

问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.

问题3．根据下列条件，求直线的直线方程

()1求通过两条直线3100

-=的交点，且到原点距离为1；

x y

+-=和30

x y

()2经过点()

3,2

A，且与直线420

+-=平行；

x y

()3经过点()

B，且与直线250

3,0

+-=垂直.

x y

问题4．()1已知方程1

=+有一正根而没有负根，求实数k的范围

x kx

()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.

()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈

求证：不论

λ取何值，点P 到直线l

（三）课后作业：

1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点

.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫

⎪⎝⎭

2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是

.A 3220x y -+= .B 2370x y ++= .C 32120x y --= .D 2380x y ++=

3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是

4.(){}.A x y y a x =

=，(){},B x y y x a ==+，A B I

仅有两个元素，则实数a 的范围是

5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程

6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：

10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.