线弹性断裂力学

线弹性断裂力学1、概念：断裂力学：断裂力学是以变形体力学为基础，研究含缺陷（或者裂纹）材料和结构的抗断裂性能，以及在各种工作环境下裂纹的平衡、扩展、失稳及止裂规律的一门学科。

线弹性断裂力学：应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。

2、材料缺陷实际构件存在的缺陷是多种多样的，可能是冶炼中产生的夹渣、气孔，加工中引起的刀痕、刻槽，焊接时产生的裂缝、未焊透、气孔、咬边、过烧、夹杂物，铸件中的缩孔、疏松，以及结构在不同环境中使用时产生的腐蚀裂纹和疲劳裂纹。

在断裂力学中，常把这些缺陷都简化为裂纹，并统称为“裂纹”。

3、裂纹的类型（1）、按照裂纹的几何特征分类(a)穿透裂纹：厚度方向贯穿的裂纹。

(b)表面裂纹：深度和长度皆在构件的表面，常简化为半椭圆裂纹。

(c)深埋裂纹：裂纹的三维尺寸都在构件内部，常简化为椭园裂纹。

（2）按照裂纹的受力和断裂特征分类(a)张开型：（Ⅰ型，opening mode，or tensile mode）特征：外加拉应力垂直于裂纹面，也垂直于裂纹扩展的前沿线。

在外力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向扩展。

(b)滑开型：（Ⅱ型, sliding mode, or in-plane shear mode）特征：外加剪应力平行于裂纹面，但垂直于裂纹扩展的前沿线。

在外力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向成一定角度扩展。

(c)撕开型：（Ⅲ型, tearing mode, or anti-plane shear mode）特征：外加剪应力平行于裂纹面，也平行于裂纹扩展的前沿线。

使裂纹面错开。

在外力的作用下，裂纹基本上沿原裂纹开裂方向扩展。

Ⅲ型是最简单的一种受力方式，分析起来较容易，又称反平面问题。

(d)混合型：( 或复合型，mixed mode )经常是拉应力与剪应力同时存在，实际问题多半是Ⅰ＋Ⅱ，Ⅰ＋Ⅲ，Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ等，从安全的角度和方便出发，将混合型问题常做简化看成Ⅰ型处理。

（3）按裂纹形状分类根据裂纹的真实形状，一般可以分为圆型、椭圆型、表面半圆型、表面半椭圆型，以及贯穿直裂纹等。

4、裂纹对材料强度的影响具有裂纹的弹性体受力后，在裂纹尖端区域将产生应力集中现象。

受拉板，若无裂纹时，它的应力流线是均匀分布；当存在一个裂纹时，应力流线在裂纹尖端附近高度密集，但这种集中是局部性的，离开裂纹尖端稍远处，应力分布又趋于正常。

现考虑一“无限大”薄平板，承受单向均匀拉应力作用，板中存在贯穿椭圆型切口，其长轴2a，短轴2b。

根据弹性力学讨论，最大拉应力发生在椭圆长轴端点A （或A '）处，其值为())21(maxbay +=σσ该点处曲率半径a2b =ρ，得椭圆裂纹处最大应力又可以写为)21()(max y ρσσa+=由固体物理知识，固体材料的理论断裂强度值为t b E γσ=式中E ——材料弹性模量；γ——固体材料的表面能密度；0b ——固体材料的原子间距。

m σ为理论断裂强度，代表晶体在弹性状态下的最大结合力2sinm xπσσλ=式中λ——正弦曲线的波长 x ——原子偏离平衡位置的位移 如果原子位移很小，则22sin xxππλλ≈，则2mxπσσλ=由于我们研究的是弹性状态下晶体的破环，当原子偏离平衡位置的位移很小时，由胡可定律得ExE b σε==式中ε——弹性应变0b ——原子间平衡时的距离则02m Eb λσπ=晶体脆性断裂时所消耗的功用来供给形成俩个表面所需要的表面能，则mσ2002sin2mm xU dx λλσπσγλπ===⎰ 式中γ为裂纹表面上单位面积表面能 则2mπγλσ=，得m σ=按照传统强度观点，当切口端点处最大应力达到材料的理论强度时，材料断裂，即()t σσ=maxy因为1a>>ρ，故得临界应力当存在理想尖裂纹时，00c =→σρ则，说明，不管应力多大都断裂，显然与事实不符。

这一疑问的答案正是连续介质力学与弹性理论的界限，因为固体是由原子组成，因此，当固体材料中的缺陷是尖端裂纹缺陷时，就可用原子间距0b 代替裂纹尖端曲率半径ρ，得aE 4c γσ=研究表明，当表面能与裂纹长度取下面的取值时E 0b 01.0=γ 05000a 2b ≈则其断裂应力比材料的理论值降低约100倍。

这就从应力集中观点解释了固体材料的实际断裂强度远低于其理论强度。

当设计的最大应力达到断裂极限c σ时，裂纹开裂，使裂纹长度2a 增加，这样又将使断裂极限降低，则裂纹继续扩展，最后导致整个固体材料断裂，所以它是裂纹失稳扩展的条件。

5、探伤结果与裂纹尺寸的换算 由公式aE 4c γσ=可以看出，要确定出断裂极限，还需要知道裂纹扩展所需的表明能，以及已有裂纹的长度。

裂纹的长度通常需要利用无损检测的方法来确定，目前流行的无损探伤技术有超声波探伤、磁粉探伤和荧光粉探伤技术。

在测量裂纹长度时以下几点需要引起足够的重视：一、对确定的探伤设备及方法，有最小可识别缺陷的限制，设为0a 因此，应假设结构中有尺寸为0a 的初始缺陷。

二、将探伤结果与解剖后实测缺陷尺寸对比，可大致得到经验探伤结果与真是缺陷的换算比。

如超声探伤，实际缺陷面积是探伤面积的2~3倍。

三、此外还应引入安全系数。

6、Griffith 理论Griffith 研究了如图所示厚度为B 的薄平板。

上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。

由Inglis 解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为EBA EBU 4a 2222πσσπ==平面应力另一方面，Griffith 认为，裂纹扩展形成新的表面，从而表面能增加，则俩个自由表面总的表面能（即裂纹表面能）为：γA S 2=其中：γ为单位面积上的表面能，裂纹面积aB A 2=。

裂纹表面能：形成新的裂纹表面所需要的能量。

由能量守恒，薄板产生裂纹所释放的弹性应变能转化为裂纹表面能。

如果应变能释放率d d UA，等于形成新表面所需要吸收的能量率d d S A ，则裂纹达到临界状态；如果应变能释放率d d U A 小于吸收的能量率d d S A ，则裂纹稳定；如果应变能释放率d d U A 大于吸收的能量率d d S A，则裂纹不稳定。

因此可以得到如下表达式d()0d U S A -= 临界状态 d()0d U S A -< 裂纹稳定 d()0d U S A-> 裂纹不稳定 以平面应力为例，来考虑临界状态：d ()0d U S A -=，即0242)24(222=-=-γπσγπσEBA A EB A dA d ，（ 式）注意：这里的σ为设计应力，此时我们可以得到断裂强度（即临界应力）为：aE πγσ2c =同时：也可以给出裂纹的临界尺寸：22a πσγE c =这里将Griffith 理论得到的aE πγσ2c =，和前面的得到的abE ab E 4210c γρργσ≈+=做一比较，两式左边相同，所以：42ab E a E γρπγ=，得到0b 8πρ=结论：当裂纹尖端的曲率半径满足0b 80πρ≤≤时，两种结果相当近似，往往把满足该条件的裂纹成为Griffith 裂纹。

缺点：Griffith 理论研究的仅限于材料时完全脆性的情况，而绝大多数金属材料断裂前裂尖存在塑性区域，不能应用该理论。

7、Orowan 理论在Griffith 理论提出30年之后，Orowan 对金属材料裂纹扩展的研究发现，提供裂纹扩展的弹性应变能不仅用于形成新的表面，还用于引起塑性变形所需的能量，即“塑性功”。

塑性功率：裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形做“塑性功”，称为“塑性功率”，用Γ表示。

则总塑性功为Γ=ΛA 2。

据此可得：）（Γ+==γπσ222EBAU得临界应力aE πγσ)(2c Γ+=及裂纹临界尺寸2)(2a πσγΓ+=E c 。

简化：对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可忽略不计。

因此上面的式子可以写为：临界应力aE πσΓ=2c 及裂纹临界尺寸22a πσΓ=E c 。

小结： 注：这些是基于平面应力问题，对于平面应变问题，只需将E 变为21ν-E 即可。

8、能量释放率及其断裂判据从能量守恒和功能转换关系来研究裂纹扩展过程，由此可以更清楚地揭示断裂韧性的物理意义。

断裂韧性：表征材料阻止裂纹扩展的能力，是度量材料的韧性好坏的一个定量指标。

当裂纹尺寸一定时，材料的断裂韧性值愈大，其裂纹失稳扩展所需的临界应力就愈大；当给定外力时，若材料的断裂韧性值愈高，其裂纹达到失稳扩展时的临界尺寸就愈大。

设有一裂纹体，其裂纹面积A ，若其裂纹面积扩展了dA ，在这个过程中载荷所做的外力功为dW ，体系弹性应变能变化了dU ，塑性功变化了d Λ，裂纹表面能增加dS 。

如果不考虑热功间转换，则由能量守恒和转换定律，得合外力所做的功等于系统内能的改变量。

dS d dU dW +Λ+=式中d Λ与dS 表示裂纹扩展dA 时所需要的塑性功和裂纹表面能（对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，S 可以相对于Λ项略去不计），它们可以视为裂纹扩展所需要消耗的能量，也即阻止裂纹扩展的能量。

记裂纹扩展dA 时弹性系统释放（耗散）的能量（势能）为dU dW d -=∏-，则有dS d dU dW d +Λ=-=∏-裂纹扩展能量释放率：定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，用G 表示，则有AU A W A G ∂∂-∂∂=∂∏∂-=它表示系统势能的减少，假设裂纹体的厚度为B ，裂纹长为a,则dA=Bda ，上式变为：aB G ∂∏∂-=1。

裂纹扩展阻力率：定义裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，用R 或C G 表示，则AS A G R C ∂∂+∂Λ∂==，则材料一定，上述R 或C G 为常数，称为材料的断裂韧度。

可实验测得。

当G 达到C G 时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展。

所以能量释放率断裂依据为C G G=。

9、G 的表达式（一）恒位移情况弹性体受载荷P 作用，产生位移△后，固定上下两端，构成恒位移的能量封闭系统。

则d △=0，dW=0，所以∆∆∂∂=∂∂-=∂∏∂-=）（或a1-)(U B G A U A G I I系统释放的应变能用于推动裂纹扩展，因此，裂纹扩展的能量释放率就是弹性体的应变能释放率。

在线弹性情况下：∆=P U 21，又知P c =∆，式中c 为弹性体的柔度，它是裂纹长度a 的函数，即c=c(a)。

则dc P dP P P Pd dU 221c 21d 2121-==∆+∆=2acdP Pdc +=∆d因此断裂韧度可计算为：acP B A c P A U A G I ∂∂=∂∂=∂∂-=∂∏∂-=∆222121)( 10、G 表达式（二）恒载荷情况P 作用，裂纹扩展da 时，载荷不变(dP=0),位移变化为d △，故应变能的变化为dc P cdP Pdc P Pd U 221)(2121d =+=∆=外力功改变为dU dc P Pd W 2d 2==∆= 因此断裂韧度可计算为acP B A c P A U A U A W A G P I ∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-∂∂=∂∏∂-=222121)(小结： 恒位移情况恒载荷情况2a比较位移恒定与载荷恒定情况下推导的断裂韧度，发现：acP B A U A U A G P I ∂∂=∂∂=∂∂=∂∏∂-=∆221)(-）（该式表明：恒位移或恒载荷情况下，I G 可以有统一的表达式，它反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系，成为Irwin-Kies 关系。