八年级数学下册勾股定理的应用课件人教新课标版
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勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
人教版八年级数学下册：勾股定理的应用【精品课件】
在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的 高CD=12，则△ABC的周长为( )
A.32 C.32或42
B.42 D.以上都不对
错解：A或B
正解：C
错因分析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD +BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15= 42，如图②，CD在△ABC 外部时，AB=AD-BD= 9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综上所 述，△ABC的周长为32或42.故选C.
AB=17
BC 1，AC 3 BC 2，AC 2
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面 积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，池塘边有两点A，B，点C 是与BA方向成直角的AC方向上的 一点，现测得CB=60m，AC=20m. 求A，B两点间的距离(结果取整数).
观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90° 根据勾股定理，得
BC AB2 AC2 ,BC AB2 AC2 .
又AB=A′B′, AC=A′C′， ∴BC=B′C′.∴ △ ABC≌△A′B′C′（SSS）.
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表
示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
人教版八年级下册数学17.1.2勾股定理的应用课件(共19张PPT)
梢，问小鸟至少飞行______1_0_____米．
5.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，
AC＝6，BC＝8，CD＝______3______．
图2
图3
当堂检测
6.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A，∠B，∠C的对边分别 是a，b，c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； a 5
人教版八年级下册 第十七章《勾股定理》
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
如图，在Rt△ ABC中，若∠C=90°, 那么
B
a
a2 b2 c2
C
结 c2 a2 b2 c a2 b2
论 变
a2 c2 b2 a c2 b2
形 b2 c2 a2 b c2 a2
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
提示：在直角三角形中知道一条边及另两边关系， 利用勾股定理列方程解决.
知识点2：知一求二（知道一条边及另两边关系）
变式 已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=3,
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
知识点2：知一求二
练习 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发 现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
知识点1：知二求一
练习2、已知直角三角形两边长为3、4， 则另一条边长是____5或___7_．
温馨提示：在利用勾股定理求边长时，要分清楚直 角边和斜边，若没有说明，则需分类讨论.
知识点1：知二求一
例2 一位工人师傅装修房子，需要
一块长3m、宽2.1m的薄木板，
5.如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，
AC＝6，BC＝8，CD＝______3______．
图2
图3
当堂检测
6.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A，∠B，∠C的对边分别 是a，b，c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； a 5
人教版八年级下册 第十七章《勾股定理》
知识回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
如图，在Rt△ ABC中，若∠C=90°, 那么
B
a
a2 b2 c2
C
结 c2 a2 b2 c a2 b2
论 变
a2 c2 b2 a c2 b2
形 b2 c2 a2 b c2 a2
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
提示：在直角三角形中知道一条边及另两边关系， 利用勾股定理列方程解决.
知识点2：知一求二（知道一条边及另两边关系）
变式 已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，AC=3,
求BC、AB的长.
B
2x
x
C
A
知识点2：知一求二
练习 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发 现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
知识点1：知二求一
练习2、已知直角三角形两边长为3、4， 则另一条边长是____5或___7_．
温馨提示：在利用勾股定理求边长时，要分清楚直 角边和斜边，若没有说明，则需分类讨论.
知识点1：知二求一
例2 一位工人师傅装修房子，需要
一块长3m、宽2.1m的薄木板，
新人教版：八年级数学下册第十七章勾股定理 勾股定理第2课时勾股定理的实际应用课件
图 17－1－19
解：在 Rt△ABC 中，AC＝30 m，AB＝50 m，∠C＝90° . 由勾股定理，得 BC＝ AB2－AC2＝ 502－302＝40(m)， 40 ∴小汽车的速度为 v＝ ＝20(m/s)＝72(km/h)． 2 ∵72＞70， ∴这辆小汽车超速了．
6．如图 17－1－20，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/ 时的速度向南偏东 45° 方向航行，乙轮船向南偏西 45° 方向航行．已知它们离开港 口 O2 h 后，两艘轮船相距 50 海里，则乙轮船平均每小时航行多少海里？
图 17－1－13
解：(1)根据题意，得 AC＝25 m，BC＝7 m， ∴AB＝ 252－72＝24(m)． 答：这个梯子的顶端距地面有 24 m. (2)根据题意，得 A′B＝24－4＝20(m)， ∴BC′＝ 252－202＝15(m)， ∴CC′＝15－7＝8(m)． 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 m.
图 17－1－18
【解析】 已知直角三角形的一条直角边长是 3 m，斜边长是 5 m，根据勾股 定理，得水平的直角边长是 4 m. 故购买这种地毯的长是 3＋4＝7(m)，面积是 2×7＝14(m2)，价格是 14×30＝ 420(元)．
5．据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 70 km/h.如图 17－1－ 19，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的 C 处， 过了 2 s 后， 测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 m． 这 辆小汽车超速了吗？
例 1 答图
【点悟】利用勾股定理解决实际问题的关键是构造含所求线段的直角三角形．
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 000 m 处，过 20 s 飞机距离这个男孩头顶 5 000 m，飞机每小，AB＝5 000 m，∠C＝90° . ∵BC2＝AB2－AC2＝5 0002－4 0002＝9 000 000，BC>0， ∴BC＝3 000 m.
八年级数学下册 18.1 勾股定理的应用课件 人教新课标版
a:c=5:12,a+c=34, 则b=___
A 15
B 37
26
C 15或3 7 D 以上都不对
操场上的五星红旗在迎风飘扬， 旗杆从旗顶到地面的高度为1600cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如下图.
求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.
彩旗完全展平时的尺 寸如下图的长方形 （单位：cm）.
120
90
B
120
A
90
C
1600
h
例1.操场上的
五星红旗在迎风飘 扬，旗杆从旗顶到 地面的高度为 1600cm， 在无风 的天气里，彩旗自
然下垂，如左图.
求彩旗下垂时最低 处离地面的最小高
度h.彩旗完全展平
时的尺 寸如左图的长方形
（单位：cm）.
例2.下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地
面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,
我学会了！
作业：
发下去的卷上没有 做完的题
再见
但手里只有测量长度的工具，你能帮老师想个
办法吗?请你与同伴交流设计方案?
小明发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1．5米， 当他把绳子拉开6米后，发现下端刚好接触地
面，求旗杆的高度。
A
图（1）
C 图（2）
B
练习：一根旗
杆高16米，被
风吹断，落在
离旗杆底部8
米的地方，求
断裂处到地面
A
的高度。
B
C
例3.小明有一块直角三角形的红色 彩旗,他作∠CAB的角平分线AE, 已知：AC=12cm,BC=16cm,你帮 他求出CE的长好吗？
A
12
12
D
C
B
最新人教版八年级数学下册 17.1.3 勾股定理应用 课件
C
4
5 “路”
B
3
A
几何画板演示
分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,
在Rt△AOB中，
2
2 2 2 2 AB AO 3 2 . 5 ___, 2.75 OB ____________________
A C
2.75 1.658 ___ . OB __________ __________
(2)、(3)两题结果精确到0.1
a
C
c
b
A
a b c
2 2
2
小试身手 ：
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了 ________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ：
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了 ________步路, 却踩伤了花草。 （假设4 1米为2步）
如图，池塘边有两 点A、B，点C是与BA 方向成直角的AC方向 上一点，现在测得 CB=60m，AC= 20m ， 请你求出A、B两点间 的距离。(结果保留整 数）
A B 60 C 20
《九章算术》：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在水池正中 央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果 把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的 顶端恰好到达池边的水面，请问这个水 的深度与这根芦苇的长度各是多少？
O
A C
B
D
一个3m长的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
八年级数学下册 《勾股定理》公开课课件 人教新课标版
第十四页，编辑于星期五：六点 七分。
1 假设一个直角三角形的两直角边分别为5和12，那么第三边的长为〔 〕A.13ຫໍສະໝຸດ B. 13C. 5
D.15
No
2 假设一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为9，那么另一直角
边长为〔〕
Image
3 A.8
B.40
C.50
D.36
3 在Rt△ABC中，∠C=90°，假设a︰b=3︰4，c=10，那么a= ——，b = ——。
c 方形 〔黄色〕．
第十一页，编辑于星期五：六点 七分。
赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
直角三角形
c
b a
b a
c2＝(b－a)2＋4×1 ab c
2
中黄实 b (b -a)2
b a
c
a
化简得：
c
c2 =a2+ b2
第十二页，编辑于星期五：六点 七分。
茄菲尔德的证法
S S S S ＋ ＋ ＝ 三角形1
三角形2
三角形3
梯形
1 2
ab＋
1 2
ab＋ 1
2
c2＝ 1
2
(a＋b)(a＋b)
化简得: c2=a2+ b2
a cc b
c c
a
b
第十三页，编辑于星期五：六点 七分。
归
纳
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、 b，斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
A
B
C
第三页，编辑于星期五：六点 七分。
初二数学下册《勾股定理的应用》课件1新人教版
初二数学下册《勾股定理的 应用》课件1新人教版
勾股定理的应用
• 勾股定理•(毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方
•c
•弦
•股
•b
•a2 + b2 = c2 •a2 = c2 - b2
•a•勾
•b2 = c2 - a2
练一练(数学就在我们身边)
•A
•?
•B
•120cm
•C
•90c m
探索梯 顶2子端如顶下图端滑•顶呢如,距1一?端m果地架下,那梯面长滑么的子为2它垂的1m的0直m底距的端离梯是为子否8Am也B.斜滑如靠动果在梯1 m墙子?上的,
•A
•A
•8 •10
•所以梯子的顶端下滑1m，它的底端
•C
•B •B
•不是滑动1m.
•探索3(古题鉴赏)
• “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题: •“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与 • 岸齐。问水深、葭长各几何？”
ｍ
•思考题
（05年宿迁市）如图，将一根25㎝长的细木
棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的
长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的
最短长度是
Hale Waihona Puke ㎝．•？ •10㎝•1•0？㎝ •8㎝
•6㎝
•思考题
•如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高
•分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个
•相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
•的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台 •阶面爬到B点，最短线路是多少？
•A
•5
•3
•1
•B
小结：
勾股定理的应用
• 勾股定理•(毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方
•c
•弦
•股
•b
•a2 + b2 = c2 •a2 = c2 - b2
•a•勾
•b2 = c2 - a2
练一练(数学就在我们身边)
•A
•?
•B
•120cm
•C
•90c m
探索梯 顶2子端如顶下图端滑•顶呢如,距1一?端m果地架下,那梯面长滑么的子为2它垂的1m的0直m底距的端离梯是为子否8Am也B.斜滑如靠动果在梯1 m墙子?上的,
•A
•A
•8 •10
•所以梯子的顶端下滑1m，它的底端
•C
•B •B
•不是滑动1m.
•探索3(古题鉴赏)
• “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题: •“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与 • 岸齐。问水深、葭长各几何？”
ｍ
•思考题
（05年宿迁市）如图，将一根25㎝长的细木
棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的
长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的
最短长度是
Hale Waihona Puke ㎝．•？ •10㎝•1•0？㎝ •8㎝
•6㎝
•思考题
•如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高
•分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个
•相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
•的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台 •阶面爬到B点，最短线路是多少？
•A
•5
•3
•1
•B
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4、若一个直角三角形两条边长是3和2，那么第三条边长是多少？
y探=0究1 生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ Ｂ 1m
y=0分析
所以木板能从门框内通过。 连接AC. 在Rt△ABC中，根据勾股定理,得
A C 2 A B 2 B C 2 1 2 2 2 5 。
解：
13
L
B
2
A
C
0
1
2
• •3
4Leabharlann 13试 一 试1请你在作业纸上画图，在数轴上表示
的点
2请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 的点的方法？
17 3你能在数轴上表示 的点吗？试一试！
13 13
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
2, 3, 5
用同样的方法，你能否在数轴上画
出表示
12
3 4 5 ，…
1
12 3 45
人教版八年级（下册） 第十八章勾股定理
18.1勾股定理（第2课时）
知识回顾
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是
。
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它的面积是
。
3、若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是多少？
要注意分类讨论的思想的 应用噢！
所以 AC 52.23.6Ｄ
Ｃ 因为AC大于木板的宽，
2m
Ａ Ｂ 1m
y探=0究2
A C
2
3
如图,一个三米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的 距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端 B也外移0.5m吗?
O
B
D
y=0分析 要求梯子的底端是否滑动0.5m，只需求出BD的长是否为0.5米。
❖ 用同样的方法，你能否在数轴上画 出表示
❖
，…
12
3
14 5
5
0
1
2
3
4
23 5
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点， 最短线路是多少？
所以BD=OD-OB
O
B
D
=2.24-1.66=0.58。
所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端不是滑动0.5m.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 的 点吗？
13
探究思路：把握题意——找关键字 词——连接相关知识——建立数学模
型（建模）
0
1
2
3
4
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 的 点吗？
55cm
A•
•B
解题思路：把握题意——找关键字 词——连接相关知识——建立数学模
型（建模）
A•
１０cm 6cm
48cm C
55cm
•B
课本P71习题18.1第9题、第10题。
由图可知BD=OD-OB.则需先求出OD,OB的长。
A C
解 ： 在 Rt A O B 中 ， 2
O B 2 AB2 AO2
32 2.52 2.75。
所 以 O B =2.751.66。O
3
B
D
解 ： 在 Rt CO D 中 ， A
O D 2 CD2 CO2
C
2
3
32 2.50.52 5。
所 以 OD=52.24。