08集合与函数性质复习
集合与函数概念复习
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例3:已知集合A x | ax2 3x 2 0, x R,a R.
(2)若A中只含有一个元素求 a的值,并求出这个元素 ;
当a
=
0
时,方程有一解
x
2 3
;
当a ≠0 时,
即△=9－8a = 0 时,
对于式子３ f (x),应使f (x) R 对于式子[f(x)]０,应使f (x) 0
对于实际问题，应实际问题有意义如S=vt,t须大于或等于零
求值域常用的方法 1.观察法如y=2x+1 2.配方法如y=x2+2x+3 3.换元法如y=x+ 2x 1 4.分离常数法如
y x2 x 1
5.图象法如： y x2 2x 1(x [0,1])
3.元素与集合的关系： a ∈ A a A
4.数集及有关符号: 正整数集 记作 N 或 N 非负整数集（或自然数集）记作N
有理数集 记作Q 实数集 记作R 整数集 记作Z 5. 集合的表示方法: (１)列举法 (2)描述法
集合的基本关系
1.子集的定义：对于两个集合A，B 如果集合A中 任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为
(3).传递性：若A B, B C，则A C .
(4).若集合A的元素个数为n ，则它的子集有 2n.
集合的运算
1.并集的定义: A B {x | x A,或x B}
2.交集的定义: A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3.几个结论: (1).A∪A =A ,A∩A =A ; (2).A∪φ=A, A∩φ= φ; (3).若 A B,则A B B, A B A
集合与函数概念知识点总结
集合与函数概念知识点总结集合是由一些元素组成的整体，元素之间无序且互不相同。
常用的集合符号有大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A={1, 2, 3}表示有元素1、2、3的集合A。
函数是一个特殊的关系，它规定了每个输入值都对应唯一一个输出值。
函数由输入集合、输出集合和映射关系构成。
例如，函数f(x) = x^2 表示输入值x经过平方运算得到对应的输出值f(x)。
1. 集合的性质：- 互异性：集合中元素互不相同。
- 无序性：集合中元素之间没有顺序。
- 没有重复元素：集合中不会包含相同的元素。
- 元素的个数：可以用集合的基数表示，用 |A| 表示集合A的元素个数。
2. 常见的集合表示法：- 列举法：用大括号{}将元素列举出来。
- 描述法：利用一个条件式来描述集合中的元素。
- 空集：不包含任何元素的集合，用∅表示。
3. 集合的运算：- 交集：两个集合中共有的元素构成的集合，用符号∩ 表示。
- 并集：两个集合中所有的元素构成的集合，用符号∪表示。
- 差集：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素构成的集合，用符号 - 表示。
- 补集：对于某个给定的全集，该全集中不属于某个集合的元素构成的集合，用符号 ' 表示。
4. 函数的性质：- 单射：对于函数中的每一个输出值，对应的输入值是唯一的。
- 满射：对于函数中的每一个输出值，都有对应的输入值。
- 双射：既是单射又是满射的函数。
5. 函数的表示法：- 函数箭头：用箭头来表示函数的映射关系，如f: A → B 表示函数f从集合A到集合B的映射。
- 函数图像：用图形表示函数的映射关系。
- 函数表达式：使用数学表达式来表示函数的运算规则，如f(x) = x^2 表示函数f对输入值x进行平方运算。
6. 函数的运算：- 复合函数：将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值，依次进行运算。
- 反函数：将函数的输入值和输出值互换，得到新的函数。
以上是集合与函数概念的基础知识点总结。
集合与函数复习——解答题
集合与函数复习——解答题一、集合部分1、设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1∉A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒－1∈A ⇒∈A ⇒2∈A∴ A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ⇒∈A ⇒∈A⇒A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－,三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.2、（全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
解：由f（x）为二次函数知，令f（x）＝0解得其两根为由此可知（i）当时，的充要条件是，即解得（ii）当时，的充要条件是，即解得综上，使成立的a的取值范围为二、函数部分1、(江苏省启东中学高三综合测试二)解：设,则f(t)的顶点横坐标为,属于,故f(t)在上是减函数,在为增函数,所以最小值在达到,为,当时达到最小值,该函数没有最大值2、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积.（其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.）解：设CG=X，矩形CGPH面积为Y，如图∴HC=160∴当（m）即CG长为190m时，最大面积为（m2）3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
集合与函数概念知识点
集合与函数概念知识点集合与函数是高中数学中的重要概念，在数学的各个领域中起着关键的作用。
集合是数学中最基础的概念之一，它是由不同元素组成的一种事物的整体。
而函数则是集合之间的一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的映射关系。
本文将从集合和函数的定义、性质和应用等方面来探讨这两个重要的数学概念。
首先，我们先来了解集合的概念。
集合是由一些确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。
举个简单的例子，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的1、2、3就是集合的元素。
在集合中，元素的顺序是无关紧要的，而且一个元素在集合中只会出现一次。
集合可以用不同的方式来表示，比如列举法、描述法和图示法等。
集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集等，这些运算在解决实际问题时起到了重要的作用。
其次，我们来介绍函数的概念。
函数是集合之间的一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以用各种方式表示，比如用公式、图像、表格和文字描述等。
函数有很多重要的性质，比如一一对应、单调性和可逆性等。
其中，一一对应是指一个输入对应一个输出，输出不会重复；单调性则描述了函数的增减趋势；可逆性则表示函数的输入和输出之间存在着逆关系。
函数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中用来描述图形的变换、在微积分中用来描述曲线的变化、在统计学中用来表示概率分布等。
进一步探讨，集合和函数之间存在着密切的关系。
事实上，函数可以看作是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种特殊关系。
函数可以用集合来表示，其中输入的集合被称为定义域，输出的集合被称为值域。
函数的图像可以用集合的图示法来表示，其中每个点代表了函数中的一个元素对。
函数的特性可以通过集合的运算来研究，比如函数的复合、函数的反函数和函数的性质等。
通过研究函数与集合之间的关系，我们可以更好地理解函数的本质和特点。
最后，我们来谈一谈集合和函数在现实生活中的应用。
集合的应用非常广泛，比如在统计学中用来表示样本空间、在计算机科学中用来表示数据集、在金融学中用来表示投资组合等。
集合与函数概念知识点复习
《集合与函数概念》复习资料一、 知识结构：{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=∈∈=∈∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊆⊆≠⊆⊂⊆⊆⊆⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠A x U x x A C B x A x x B A B x A x x B A B A A B B A B A B A B A A A A B A U 且补集：（公共的部分）且交集：（合并的部分）或并集：集合的基本运算，则，且集合相等：若 真子集：子集：集合间的基本关系描述法列举法集合的表示法无限集有限集集合的分类无序性互异性确定性集合中元素的特征集合的含义与表示集合 .),(,,φ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧象法判定方法：定义法，图定义奇偶性象法判定方法：定义法，图定义单调性函数的基本性质图象法列表法解析法函数的表示法区间的概念值域对应法则定义域函数的三要素函数的定义函数及其表示函数知识要点填空：1． 常用的数集及其记法：非负整数集（自然数集）： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ； 实数集：2． 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作 ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作 .3． 任何一个集合是它本身的 ，即 .空集是任何集合的 ，即 .对于集合,,,C B A 如果,B A ⊆且,C B ⊆那么 .4． 若集合中有n 个元素，则这个集合的子集有 个，真子集 个，非空子集 个，非空真子集 个。
5． 并集：B A =交集：B A =补集：A C U =6.函数的定义：设B A ,是两个 ，如果按照 ，使对于集合A 中 的 元素x ，在集合B 中都有 元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。
集合与函数专题复习
集合与函数专题复习题型一：集合交、并、补与包含关系1.已知集合A ＝{x |x ＞﹣2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝ （ ）A ．{x |x ＞﹣2}B ．{x |﹣2＜x ≤1}C ．{x |x ≤﹣2}D ．{x |x ≥1}2.已知集合A ＝{x ∈Z |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2（x ﹣1）≤1}，则A ∩B ＝ （ ）A ．{0，1}B ．{2，3}C ．{3}D ．{0，1，2，3}3.设集合A ＝{﹣1，0，1，2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝ （ ）A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．（0，+∞）4.已知集A ={1,2},B ={2,2k}，若B ⊆A ，则实数k 的值为 （ ） A ．1或2 B ．C ．1D ．2 5.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ={a +b /a ∈P ，b ∈Q }，若P ={0，2，5}，Q ={1，2，6}，则P +Q 中元素的个数是（ ）6.已知A ={x /︱2x -3︱<a }，B ={x /︱x ︱≤10}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围为___________.题型二：函数的性质7.下列函数中，与函数y x= 有相同定义域的是 （ ） A .()ln f x x = B .1()f x x= C . ()||f x x = D .()x f x e = 8.函数y ＝ln （3﹣x ）+24x -的定义域是 （ ）A ．[2，3）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，3）D ．（2，3）9.已知f （x ﹣1）＝x 2+4x ﹣5，则f （x ）的表达式是 （ ）A ．x 2+2x ﹣3B ．x 2+6x ﹣10C ．x 2+6xD ．x 2+8x + 10.函数f （x ）＝31x x e -的图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ． 11.下列四个函数：①y ＝x +1；②y ＝；③y ＝2x ﹣1；④y ＝lg （1﹣x ）其中定义域与值域相同的函数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上递减的函数是 （ ）A ．y ＝（x ﹣1）2B ．y ＝C ．y ＝x •|x |D ．y ＝x ﹣313.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣2x，则f（1）+f（4）等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．14.已知定义在[1﹣a，2a﹣5]上的偶函数f（x）在[0，2a﹣5]上单调递增，则函数f（x）的解析式不可能是（）A．f（x）＝x2+a B．f（x）＝﹣a|x|C．f（x）＝x a D．f（x）＝log a（|x|+2）15.已知函数f（x）是定义在R的奇函数，且当x≤0时，1()212xf x x=--，则函数f（x）的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4 （）题型三：幂指对运算16.若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则log m＝．题型四：比较大小17.若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（）A．log a c＞log b c B．c a＜c b C．a c＞b c D．log c a＞log c b18.设131()2a=，121()3b=，3lncπ=，则下列关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 题型五：幂指对性质19.若1log22a<，则a的取值范围是（）A．（）B．（0，）C．（）D．（0，）∪（1，+∞）20.已知函数y＝4a x﹣9﹣1（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），则m+n＝．题型六：函数的零点21.函数f（x）＝log2x﹣﹣1的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）22.函数y＝|2x﹣1|与y＝a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是．23.用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解（精确度0.001）时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是次．巩固练习1.已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}2.．某班共50名同学都选择了课外兴趣小组，其中选择音乐的有25人，选择体育的有20人，音乐、体育两个小组都没有选的有18人，则这个班同时选择音乐和体育的人数为（）A．15 B．14 C．13 D．83.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，若实数a满足3f（log2a）+f（﹣log2a）≥2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（0，2] B．（﹣∞，2] C．[2，+∞）D．[1，+∞）4．已知函数f（x）为R上的偶函数，满足：对任意非负实数x1，x2，x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1）．若f（1）＝1，则满足f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2018）的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．若函数f（x）＝a|x+1|，（a＞0且a≠1）在[0，1]中的最大值比最小值大，则a等于（）A．B．C．或D．7．设函数y＝a x﹣2﹣（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在幂函数y＝x a的图象上，则该幂函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，0），（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，+∞）8．已知4a＝7，6b＝8，则log1221可以用a，b表示为（）A．323b abb-++B．23a b abb+-+C．3242b abb-+-D．242a b abb+--9．已知函数y＝f（x）的图象与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，则f（1）＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]，+∞）B．[] C．（﹣∞，3]∪[4，+∞）D．[3，4] 11．若关于x的方程x2﹣3x+a2+a＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞C．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二．填空题（共10小题）12．设函数23()(1),3x xf xf x x⎧≥=⎨+<⎩，，则f（log25）＝．13．设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁U B）＝．14．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，若f（1）＝0，f（0）＜0，则不等式xf （x﹣1）＜0的解集是．15．已知函数f（x）＝log2（2x﹣a），若f（2）＝0，则a＝．16．计算：+log2×log32﹣3＝．三．解答题17．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．已知函数为定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在定义域R上的单调性，并用函数单调性定义给予证明；（Ⅲ）若关于x的方程在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．19．计算：（1）；（2）．20．已知函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）为奇函数，a为常数．（Ⅰ）确定k的值；（Ⅱ）若3(1)2f=，且函数g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，2]上的最小值为﹣1，求实数m的值．21．今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务．（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如表所示：板房A种板材（m2）B种板材（m2）安置人数甲型108 61 12乙型156 51 10。
集合与函数综合 知识点整理
集合与函数综合 知识点整理+纠错知识点框架：一、集合的符号表示自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 复数集：C 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A（不）属于：()a A ∈∉ （真）子集：()A B ⊆Ø 相等：A B = 空集：∅ 二、命题的关系函数的表示——映射：:f A B →对于任意一个集合A 中的数x ，在集合B 中都只有唯一的一个数()f x 与之对应。
函数的定义域和值域：几个特殊函数的记忆（()0f x x =；()log a f x x =；()tan f x x =等） 函数的增减性：（常考比较函数值大小、解不等式、求最值）1、导数法证明函数增减性：对于任意的[],x a b ∈，()()'0f x f x >⇔在[],a b 上为增函数；()()'0f x f x <⇔在[],a b 上为减函数；2、作商作差（定义法证明）；定理一：关于直线对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称：()()()()f a x f b x f a b x f x ⇔+=-⇔+-=将定理一缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()()2f a x f a x f a x f x ⇔+=-⇔-=②函数()y f x =的图像关于y 轴对称（偶函数）()()f x f x ⇔=- ③函数()y f x a =+的图像是偶函数()f x ⇔关于直线x a =对称定理二：关于点对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于点(),a b 对称：()()()()222f x b f a x f a x f a x b ⇔=--⇔++-=将定理二缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于点(),0a 对称()()2f x f a x ⇔=-- ②函数()y f x =的图像关于原点对称（奇函数）()()f x f x ⇔=--③函数()y f x a =+的图像关于原点对称（奇函数）()f x ⇔关于点(),0a 对称定理三：（性质）1、若函数()y f x =的图像有两条铅直对称轴x a =和x b =（a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -2、若函数()y f x =的图像有一个对称中心(),M m n 一条铅直对称轴x a =，那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为4a m -3、若函数()y f x =的图像有两个对称中心(),A a c 和(),B b c （a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -4、若一个函数的反函数是他本身，那么它关于直线y x =对称。
集合与函数基本性质知识点分析整理
集合与函数基本性质知识点分析一、集合一）集合的有关概念1. 关于集合的元素的特征（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性： 2. 元素与集合的关系；属于a ∈A ，不属于a ∉A二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。
三）集合的基本关系：1、集合与集合之间的“包含”关系；2、集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB BA B A3、真子集的概念4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5、结论：1）、○1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ 2）、点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）一般地，含n(n ≠0)个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n2，所有真子集的个数是n2-1，非空真子集的个数为22-n四）集合的基本运算：1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集记作：A ∪B ；A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。
记作：A ∩B ；A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn图表示3. 补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A ；C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 说明：补集的概念必须要有全集的限制补集的Venn 图表示4. 集合基本运算的一些结论：交集：A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B ， A ∩A=A ， A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩AA ∪BB AA U并集：A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B ， A ∪A=A ， A ∪∅=A, A ∪B=B ∪A 补集（C U A ）∪A=U ， （C U A ）∩A=∅若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B 6．摩根反演律：（A ∩B ）∪C = （A ∪C ）∩（A ∪C ）（A ∪B ）∩C = （A ∩C ）∪（A ∩C ）二、典型例题例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。
集合与函数基本概念例题和知识点总结
集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础概念。
理解和掌握它们对于后续的数学学习至关重要。
下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，｛1, 2, 3}就是一个集合，其中 1、2、3 是这个集合的元素。
集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3}。
描述法是用元素所满足的条件来描述集合，比如{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。
图示法常用的有韦恩图，它能直观地表示集合之间的关系。
集合之间的关系有子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 是B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
下面我们通过一个例题来加深对集合概念的理解。
例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 6 ＝ 0}，判断A 和B 的关系。
首先，求解集合 B 中的方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0，即（x 2)（x 3) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 3。
所以集合 B ＝｛2, 3}。
因为集合 A 中的元素 1 不属于集合 B，而集合 B 的元素都属于集合A，所以 B 是 A 的真子集，即 B ⊂ A。
二、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系。
设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数。
函数的三要素是定义域、值域和对应法则。
集合与函数概念知识点归纳
集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。
2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。
一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。
3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。
（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。
（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。
（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。
（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。
4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。
（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。
（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。
（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。
二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。
2、术语：函数由函数表达式组成。
数学集合与函数知识点总结
数学集合与函数知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是指具有确定的特征和个数、可以确定归属关系的一组事物的总和。
集合中的元素可以是数字、字母、符号、实际事物或抽象概念等。
1.2 集合的表示方法集合可以用两种方式表示：列举法和描述法。
列举法是将集合的元素逐个列举出来，用大括号{}括起来表示；描述法是用适当的条件来表示集合的元素（x满足某个条件），一般用符号{}或者条件表达式表示。
1.3 集合的元素关系集合中的元素之间可以存在包含关系、相等关系和互不相交关系。
1.4 集合的运算常见的集合运算有并集、交集、差集、补集、直积等。
1.5 集合的基本性质集合的基本性质包括空集的唯一性、互补律、结合律、分配律、对称律等。
二、集合的性质和应用2.1 集合的性质集合的性质包括有限集合和无限集合、有穷集合和无穷集合、空集合和非空集合等。
2.2 集合的应用集合在数学和其他学科中都有很多应用，如概率论、图论、数理逻辑、离散数学等。
三、函数的基本概念3.1 函数的定义函数是一个元素集合到另一个元素集合的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
3.2 函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中的表示，常用图形表示。
3.3 函数的特性函数具有单值性、有限性、相等性等特性，其中单值性是指每个自变量在函数中对应一个确定的因变量。
3.4 函数的表示方法函数可以用解析式、图象或者映射表示。
3.5 函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式的形式来分类，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
四、函数的性质和应用4.1 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。
4.2 函数的应用函数在数学和其他学科中有很多应用，可以用来描述现实生活中的变化规律，如物理学中的运动规律、经济学中的需求函数、生物学中的生长规律等。
五、数学集合与函数的综合应用5.1 集合与函数的关系集合与函数是数学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。
集合与函数概念知识点
集合与函数概念知识点1. 集合的概念1.1 集合的定义集合是由一些明确的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
1.2 集合的表示集合通常用大写字母表示，如 A, B, C 等。
集合中的元素用小写字母表示，如 a, b, c 等。
集合可以用大括号表示，例如 A = {a, b, c}。
2. 集合的分类2.1 有限集元素数量有限的集合称为有限集。
2.2 无限集元素数量无限的集合称为无限集。
2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
3. 集合间的关系3.1 子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
3.2 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 A 和 B 不相等，则 A 是 B的真子集，记作 A ⊂ B。
3.3 并集集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集，记作A ∪ B。
3.4 交集集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记作A ∩ B。
3.5 差集集合 A 中不包含集合 B 元素的部分称为 A 和 B 的差集，记作 A - B。
4. 函数的概念4.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。
4.2 函数的表示函数通常用 f, g, h 等表示，元素 x 映射到元素 y 可以表示为y = f(x)。
5. 函数的分类5.1 一元函数定义域中只有一个变量的函数称为一元函数。
5.2 二元函数定义域中有两个变量的函数称为二元函数。
5.3 多元函数定义域中有多个变量的函数称为多元函数。
6. 函数的性质6.1 单射如果函数f: A → B 中，A 中的每个元素都有唯一的像，并且 B中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是单射。
6.2 满射如果函数f: A → B 中，B 中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是满射。
集合与函数知识点总结
集合与函数知识点总结1. 集合的概念和表示方法集合是数学中一个重要的概念，在现实生活中也有很多应用。
集合可以看作是一组互不相同的元素的集合体，元素可以是数字、字母、词语、对象等。
常见的表示方法有：•列举法：直接列举集合中的元素，用大括号括起来。
•描述法：通过描述元素的属性或满足的条件来表示集合。
•空集：不包含任何元素的集合，用符号 {} 或∅ 表示。
•全集：与讨论的问题有关的所有元素的集合，用大写字母 U 表示。
例如，表示一个包含 1、2、3 三个元素的集合可以写成 {1, 2, 3}，表示所有正整数的集合可以写成 N。
2. 集合间的运算集合间的运算包括交集、并集、差集和补集。
•交集：两个集合中共同的元素组成的集合，用符号∩ 表示。
例如，A 与 B 的交集可以表示为A ∩ B。
•并集：两个集合中所有元素组合而成的集合，用符号∪ 表示。
例如，A 和B 的并集可以表示为A ∪ B。
•差集：一个集合减去另一个集合中共有的元素后所得的新集合，用符号 - 表示。
例如，A 减去 B 可以表示为 A - B。
•补集：相对于全集中一个集合中没有的元素构成的集合，用符号’ 表示。
例如，A 的补集可以表示为A’。
3. 集合的性质和关系集合有许多重要的性质和关系可以用来描述和比较集合。
•包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合，称为包含关系。
用符号⊆ 或⊂ 表示。
例如，A ⊆ B 表示 A 是 B 的子集。
•相等关系：两个集合具有相同的元素，称为相等关系。
用符号 = 表示。
例如，A = B 表示 A 和 B 相等。
•并非关系：两个集合没有共同的元素，称为并非关系。
用符号∅ 表示。
例如，A ∩ B = ∅ 表示 A 和 B 之间没有元素共同。
•互斥关系：两个集合没有相同的元素，称为互斥关系。
用符号A ∩ B = ∅ 表示。
例如，如果 A 和 B 代表男生和女生的集合，则 A 和 B 互斥。
4. 函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
集合与函数专题复习攻略
集合与函数专题复习攻略一、要点回顾1、知识梳理（1）集合：集合的表示方法主要有列举法、描述法和图示法，在探讨与集合有关问题时要特别注意其元素是否具有确定性、互异性和无序性。
集合与集合的关系包括相等关系、子集关系、真子集关系，要注意空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。
集合的运算主要有交、并、补。
（2）函数：①函数是一种由非空数集到非空数集按一定对应关系所构成的映射。
其三要素是定义域、对应关系和值域，判断一个函数是否为同一函数就看其三要素是否一样。
②函数的表示方法有列表法、图像法和解析法，三种方法各有优缺点，列表法和图像法都比较直观，而解析法则可以简明、全面概括变量间的关系，是最常用的一种表示方法。
③函数的基本性质主要包括单调性和奇偶性。
对于单调性的判断主要根据定义和图像，也可以直接利用一些常见的函数如一次函数、二次函数及反比例函数的单调性作出判断，奇偶性的判断应先考虑定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系得出结论。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，利用这一点可以方便作出画像。
④我们学的函数主要包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数与对数函数，它们都是基本初等函数。
一次函数在R上都是递增或递减的、二次函数以对称轴为分界线两边单调性相反、幂函数当时，图像在第一象限是递增的、而指数函数与对数函数当底数时，都在定义域内递增，时在定义域内递减。
在比较大小及判断单调性时常要分两种情况讨论，而对于对数函数来说，其真数大于零是最容易忽略的地方。
⑤函数的图像与轴的交点横坐标称为函数的零点，该零点其实也就是方程的根，所以零点是一个数而不是一个点。
对于一个图像在区间上上连续的函数，如果，则在区间内至少有一零点，它只能作存在性的判断，其个数还要结合函数图像的单调性来确定。
该方法反过来是不一定正确的，即若成立，不能推出任何结论。
对于方程的近似解或零点据区间范围，我们常用二分法，即先找一零点所在区间，再每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较两端点函数值是否符号相反，不断进行下去，值到找到一个符合要求的小区间的方法，其原理在实际生活中是经常用到的。
集合与函数(知识梳理)
第1章集合与函数-@>% )一集合的含义与表示1.集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫作集合.自然数集用N表示,正整数集用N*或N+表示,整数集用Z表示,有理数集用Q表示,实数集用R表示.2.元素与集合的关系集合中的元素通常用小写拉丁字母表示,如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作aɪA;如果a 不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.3.集合的表示方法常用的集合表示方法有列举法和特征性质描述法两种.根据元素个数,集合可分为有限集和无限集两类.1.子集与真子集(1)对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,记作A⊆B,任何一个集合是它本身的子集.(2)如果集合A⊆B,但存在元素xɪB,且x∉A,就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).2.空集不含任何元素,用⌀表示.规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.3.全集如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U 表示.三集合的运算1.交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫作A与B的交集,记作AɘB,即AɘB= {x|xɪA且xɪB}.2.并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫作A与B的并集,记作AɣB,即AɣB=3.补集设U是一个集合,A是U的一个子集(即A⊆U),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁U A,即∁U A={x|xɪU且x∉A}.四函数的概念1.函数的定义一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AңB为从集合A到集合B的一个函数,记作f(x),xɪA.其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|xɪA}叫作函数的值域.2.函数的构成要素函数是由定义域㊁对应法则㊁值域这三个要素构成的3.映射一般地,设A,B是两个非空集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AңB是从集合A到集合B的一个映射.若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则可构成的映射f:AңB有n m个,映射f:BңA五函数的表示方法1.函数的表示方法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示,这个等式叫作函数的解析表达式,简称解析式.(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.(3)图像法:就是用函数图像表示两个变量之间的关系.2.区间设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:(1)满足不等式aɤxɤb的实数x的集合叫作闭区间,表示为[a,b].(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫作开区间,表示为(a,b).(3)满足不等式aɤx<b或a<xɤb的实数x的集合叫作半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].这里实数a与b都叫作相应区间的端点.六函数的单调性与最大（小）值1.函数的单调性函数的单调性:一般地,设函数y=f(x)的定义域如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,若都有f(x1)<f(x2),则y=f(x)在区间D上是增函数;若都有f(x1)> f(x2),则y=f(x)在区间D上是减函数.2.单调区间如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,区间D叫作y=f(x)的单调区间.3.最大（小）值及其几何意义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xɪI,都有f(x)ɤ(ȡ)M;(2)存在x0ɪI,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.(3)复合函数单调性的判断. 同增异减法 如下表所示.y=f(u)增增减减u=g(x)增减增减y=f[g(x)]增减减增(4)函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值,亦即函数图像的最高点或最低点,故有时可结合函数图像分析函数的最值.1.定义偶函数:一般地,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数.奇函数:一般地,如果对于函数f(x)定义域内的任意 个x,都有f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数.2.奇偶函数的图像特征(1)奇函数的图像关于原点对称;反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数.(2)偶函数的图像关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.。
初中数学集合与函数知识点大全
初中数学集合与函数知识点大全集合和函数是初中数学的重要知识点之一，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将全面介绍初中数学中集合与函数的相关知识点，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的基本概念和表示方法1. 集合：集合是由一些确定的元素构成的整体。
集合中的元素可以是数字、字母、词语等。
2. 元素：集合中的每个个体称为元素，用字母表示。
3. 集合的表示方法：常用的表示方法有列举法、描述法和等价法。
列举法是将集合的元素一一列举出来；描述法是用一种特定的条件来描述集合的元素；等价法是通过设定元素满足的某种性质来表示集合。
二、集合的运算1. 并集：集合 A 和集合 B 的并集，表示为 A∪B，是由 A 和 B 中所有元素组成的集合。
2. 交集：集合 A 和集合 B 的交集，表示为A∩B，是由 A 和 B 共有的元素组成的集合。
3. 差集：集合 A 和集合 B 的差集，表示为 A-B，是由属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合。
4. 互斥事件：A 和 B 互斥表示A∩B=∅，即 A 和 B 没有共同的元素。
三、集合的性质1. 子集：集合 A 是集合 B 的子集，表示为 A⊆B，当且仅当 A 中的每一个元素也属于 B。
2. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
3. 全集：包含所有元素的集合称为全集，用 U 表示。
4. 补集：设 U 是全集，A 是 U 的一个子集，则 A 在 U 中没有的元素组成的集合称为 A 的补集，表示为 A'。
四、函数的基本概念1. 函数：函数是一种特殊的关系，它可以将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）上。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，函数的值域是因变量的取值范围。
3. 一次函数：函数的表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 都是常数。
五、函数的性质1. 单调性：函数在定义域上的单调性分为增函数和减函数。
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三、经典题型
（2）已知函数 f ( x ), g ( x ) 分别由下表给出:
求满足 f [ g ( x )] g [ f ( x )] 的 x 的值.【 x 2 】
三、经典题型
（3）对任意 x R ，有 f ( x 2 ) 求 f ( f ( 5 )) 的值.
1 f ( x)
2
四、能力提升
x 1, x 1 （2） 已知函数 f ( x ) 2 在R上 x 2 ax 3 a , x 1 是增函数，求实数 a 的值.
四、能力提升
（3）已知集合 A {a , b , c}, B { 1, 0,1} ，映射 f : A B 满足 f ( a ) f ( b ) f ( c ) ，求这样的映射共有多少个?
（5）如图，将一块半径为 1 的半圆形钢板，切割成等腰 梯形 ABCD ， 其下底边 AB 是圆 O 的直径， 上底边 CD 的 端点在圆周上，设梯形的一条腰长为 x ，周长为 f ( x ) ， 求函数 f ( x ) 的解析式，并求出定义域和值域.
四、能力提升
（1）已知函数 f ( x ) ax 2 x 在区间[0，4]上是增函数， 1 求实数 a 的取值范围. 【 [ , ) 】 4
，已知 f (1) 5 ，
【
1 5
】
三、经典题型
（4）已知 f ( x ) 是定义在 ( 1,1) 上的奇函数，且 f ( x ) 在 区间 ( 1,1) 上是增函数，若 f ( a 1) f ( a 1) 0 ， 求实数 a 的取值范围. 【 (0,1) 】
2
三、经典题型
一、知识体系
属于关系 集合与元素 集合性质 集合表示法 集合 包含关系 集合与集合 集合运算
定义
一、知识体系
基础概念 解析法、图像法、列表法 函数 表示法 分段函数 性质 单调性与最值 奇偶性
定义 三要素 区间 函数符号 f ( x )
二、方法总结
（1）分类讨论
（2）数形结合 （3）整体代换
（4）特殊化法
三、经典题型
（1）已知集合 A x x 2 ( a 2) x 1 0 ， B x x 0 ，
【 若 A B ，求实数 a 的取值范围. ( 4, ) 】
五、课堂小结
1、复习的意义在于将过去所学整合为一个整体以全 面掌握；
2、用集合理论来定义函数，让我们能更深刻地认识 函数本质，更全面地把握函数概念；
3、各种数学思想方法是数学学习的精髓和灵魂.
六、作业布置
D12