高考数学 4.1定积分的概念课件 北师大版选修2-2
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41定积分的概念课件2北师大选修2-296341
Oa
c
bx
bf(x ) d x c 1f(x ) d x c 2f(x ) d x bf(x ) dx
a
a
c 1
c 2
12
例 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：1 分割：在区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，
将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为
i
1 , n
i n
(i
1,
2,
, n) ，其长度为 x i i 1 1 。 nn n
2 近似代替，求和
取 i
i (i 1, 2,...n) 则 n
1 0
x3dx
Sn
n i 1
f ( i ) x n
n ( i )3 1 i1 n n
1 n4
n
i3
i 1
1 n4
1 n2 (n 1)2 4
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a b 时 ， 有 b f ( x ) d x 0 。 a
8
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积 分 a b f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
1 (1 1 )2 4n
3 取极限
1 x3dx
0
lim
n
Sn
lim
n
13
练习：利用定积分计算： 2 x 3 d x 0
例2：计算定积分 1(2x- x2) dx 0
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
4.1 定积分的概念 课件3 (北师大选修2-2)
s 3tdt 30dt (1.5t 90)dt =1350m
10 40 60 0 10 40
答:汽车汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m.
练习: 1.物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽 车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知: (0 ≤ t ≤ 10) 3t v t 30 (10 ≤ t ≤ 40) -1.5t 90(40 ≤ t ≤ 60)
∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:
h(t ) (40 10 x )dx 40t 5t
t 0 2
变式题 以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为 v 40 10t (单位: m s ),问多少秒后物体达到最 高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求: (1)在t=4 s的位置;
变式题 2: 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线 运动,求其在前 10 秒内的平均速率.
m 93
s
练习 2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时 刻的速度为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高 度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)
3.A、 两站相距 7.2km ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2( m 2 ) ，到达 C 点速度达 24 m ，从 C s s 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t 2 s 后，速度为 (24 1.2t 2 ) m ，在 B s 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
高中数学选修2-2 北师大版 4.1 定积分的概念 课件(27张)
-3-
§1 定积分的概念
1 2 3
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
1.定积分的背景——面积和路程问题 面积问题、路程问题以及做功问题是 3 个实际意义完全不同的问题, 但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计 值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值,当分割成的小区间的 长度趋于 0 时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
f(x)dx 表示的是运动物
kf(x)dx=k f(x)dx=
������ ������
������ ������
f(x)dx;
������ ������
[f(x)±g(x)]dx=
f(x)dx±
第四章 定积分
-1-
§1 定积分的概念
-2-
§1 定积分的概念
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
学习目标 思维脉络 1.了解曲边梯 形的面积求法. 2.理解“分割、 近似 代替、求和、取极 限”的数学思想. 3.掌握定积分的概 念,并会用定义求 定积分. 4.理解定积分的几 何意义和定积分 的基本性质.
-4-
§1 定积分的概念
1 2 3
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
2020届北师大版高中数学选修2-2精品课件：4.1.2 定积分
(1) 2 2
4 x2 dx =________.
(2)
2
0
(2x+1)dx=________.
2.利用定积分的几何意义计算
4
0
(3x-6)dx.
榜导学号
世纪金
【思维·引】 根据定积分的几何意义作出图形，然后求出图形面积.
【解析】
1.(1)如图所示，22 4 表x2d示x 圆x2+y2=4的上半部分的
面积， 又S半圆=2π，
所以 2 4 x2 dx 2. 2
(2)如图所示，所求的定积分为阴影部分的面积，
又因为S= 1
2
(1+5)×2=6，所以 02(2x+1)dx=6.
答案：(1)2π (2)6
2.如图所示，所求的定积分为阴影部分A与B的面积
提示：当a<b时，所求面积为ab |f(x)|dx.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)定积分一定是曲边梯形的面积. ( )
(2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，
则 b a
f(x)dx>0.
(
)
(3)若
b
a
f(x)dx<0，则由y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所
【解析】选B.由定积分的几何意义可知，定积分
1-1
1－x2 dx
表示半个单位圆的面积，即
1·π·12=
2
.
2
3.由正切曲线y=tan x，直线x=0和x= ，x轴所围成
4
的平面区域的面积用积分表示为________.
【解析】由定积分的几何意义可知应表示为
4tan 0
【高中课件】高中数学北师大版选修22第4章1定积分的概念课件ppt.ppt
4．对定积分及性质的理解： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
a
(2)一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x a
轴、函数 f(x)的图像以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代 数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．
(3)性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立．性质 4 对于 把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．
i＝1
其中 Δx 为小区间的长度．那么和式 Sn 的大小( ) A．与 f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法
无关
B．与 f(x)、区间[a，b]和分点的个数 n 有关，与 ξi 的取法 无关
a
(4)b f(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
a
c
1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[a，b]n 等分．
(2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋b－n a)＋f(a＋2bn－a)＋… ＋f(a＋nbn－a)]×1n；
在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋某于一_个__固__定__的__常__数__A_____，我
• 4．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行 计算．
• 本节重点：定积分的概念及性质． • 本节难点：以直代曲的思想.
2015-2016学年高中数学 第4章 1定积分的概念课件 北师大版选修2-2
[答案] B
[ 解析] 把区间[1,2] 等分成 n 个小区间后，每个小区间的
1 长度为n，且第 i 个小区间的左端点不小于 1.故选 B.
3．设函数 f(x)在区间[ a，b] 上连续，用分点 a＝x0<x1<„<xi
－1
<xi<„<xn＝b 把区间[ a，b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间
利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零 为整”的过程.
1.把区间[1,3] n 等分，所得 n 个小区间，每个小区间的长度 为( ) 1 A．n 3 C．n 2 B．n 1 D．2n
2 区间长度为 2，n 等分后每个小区间的长度为n.故
[答案] B
[ 解析] 选 B.
1 2．在求由函数 y＝x 的图象与直线 x＝1，x＝2，y＝0 所围 成的平面图形的面积时，把区间[1,2] 等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为( i－1 i A．[ n ，n] C．[ i －1，i ] ) n＋i－1 n＋i B．[ n ， n ] i i＋1 D．[n， n ]
a a
数)；
b f(x)dx± g(x)dx b (3) [ f ( x )± g ( x )] d x ＝ ____________________ ； a a
b
a
b c b (4) f ( x )d x ＝ f(x)dx＋ f(x)dx.
B．60米
D．30米
[ 解析 ]
由题意知 v(t) ＝ v0 ＋ at ＝ 10 － 2t. 令 v(t) ＝ 0 ，得 t ＝
5，即t＝5秒时，汽车将停车．将区间[0,5]5等分，用每个小区
间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得
4.1.1《定积分的背景--面积和路程问题》课件(北师大版选修2-2)
2
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
4.1 定积分的概念 课件(北师大版选修2-2)
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
导.学. 固. 思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经 常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面
4
1 0 1 2 1 2
(-
xdx= ×1×1+ ×1×1=1.
3 ( 3������ -1
利用几何意义计算定积分
+ 1)������������.
【解析】由直线 x=-1,x=3,y=0,以及 y=3x+1 所 围成的图形,如图所示:
3 ( 3������ -1
+ 1)������������表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及 y=3x+1 所围成 + 1)������������= ×(3+ )×(3×3+1)- (- +1)×2= - =16.
积、变速直线运动物体的位移、变力做功的问题.如何解
决这些问题呢?因为现有的知识无法解决这些问题,所以 我们需要另寻方法.
导.学. 固. 思
问题1 求曲边梯形面积的步骤是(1) 分割
;(2)
. 近似替代 ;(3Байду номын сангаас 求和 ;(4) 逼近 .
问题2 定积分的定义
一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),将 [a,b]区间分成n份,分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间
义
导.学. 固. 思
高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修22
1.2 定积分
1.准确理解定积分的概念及其几何意义;并会根据定积分的定义, 求一些简单函数的定积分.
2.理解定积分的简单性质并会应用.
1.定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示:
将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小 区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区 间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一 点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.
的面积,显然其面积为 b-a,故
������ ������
1d������ = ������ − ������, 如图①所示.
图①
2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区 间的可加性.根据性质 3 可将两个函数的和或差在区间[a,b]上的定 积分转化为两个函数在区间[a,b]上的定积分的和或差,要注意的是 f(x)和 g(x)在区间[a,b]上必须是连续的.
f(x)表示速度关于时间
x
的函数时,
������ ������
f (x)dx
表示的是
运动物体从 x=a 到 x=b 时所走过的路程.
【做一做 1】
说明
1 0
1-������2d������的意义,
并根据其意义求出该定积分的值.
1.准确理解定积分的概念及其几何意义;并会根据定积分的定义, 求一些简单函数的定积分.
2.理解定积分的简单性质并会应用.
1.定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示:
将[a,b]区间分成n份,分点为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小 区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区 间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一 点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.
的面积,显然其面积为 b-a,故
������ ������
1d������ = ������ − ������, 如图①所示.
图①
2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区 间的可加性.根据性质 3 可将两个函数的和或差在区间[a,b]上的定 积分转化为两个函数在区间[a,b]上的定积分的和或差,要注意的是 f(x)和 g(x)在区间[a,b]上必须是连续的.
f(x)表示速度关于时间
x
的函数时,
������ ������
f (x)dx
表示的是
运动物体从 x=a 到 x=b 时所走过的路程.
【做一做 1】
说明
1 0
1-������2d������的意义,
并根据其意义求出该定积分的值.
推荐高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分课件北师大版选修2_2
圆的面积,其
值为
π 4
,
所以
1 0
1-������2d������ = π4.
3.性质
定积分有如下性质:
性质 1:
������ ������
1d������ = ������ − ������;
性质 2:
������ ������
������������(������)d������ = ������
=5+
3 n2
[0
+
1
+
2
+
⋯+(n-1)]=
3 2
·nn22-n
+
5
=
13 2
−
23n.
取
ξi=
n+i n
(������
=
1,2,
…,n),
题型一 题型二 题型三
n
������
则 S= ∑ ������(������������)Δ������ = ∑ ������
i=1
������=1
n+i n
������
n 3(n + i)
1 n 3������ 5
=∑
i=1
n
+2
·n
=
∑
i=1
������2 + ������
=5+
3 ������2
(1
+
2
+
3
+
⋯+n)=
13 2
+
23������.
(3)取极限:
当 n→+∞,S→123 , 且s→123,