Radon-Wigner 变换

Radon-Wigner 变换及应用主要内容：1、Radon变换2、Radon-Wigner 变换的定义3、Radon-Wigner 变换的性质4、Radon-Wigner 变换的应用一、Radon变换1、提出的原因：时变信号中，线性调频（LFM）信号特别引人关注：一方面，作为大时间-频带积的扩频信号，LFM信号广泛应用于各种信息系统，如通信、雷达、声纳和地震勘探等；另一方面，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回拨即为线性调频。

因此重点研究这种信号具有重要的意义。

前面已经提到，用Wigner-Wille分布研究单分量LFM信号是十分有利的。

但LFM信号存在多个分量时，分量之间的交叉项就会使时频平面变得模糊不清。

虽然使用核函数可对Wigner-Wille分布交叉项起到平滑抑制作用，但在对交叉项制的同时，信号项的时频聚集性也会下降。

但由于理想LFM信号的Wigner-Wille 分布为直线型冲激函数，有限长的LFM信号的Wigner-Wille分布为背鳍状，所以对其Wigner-Wille分布的时频平面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一种理想选择。

而Radon-Wigner 变换就是在此基础上提出来的。

它是对Wigner -Wille分布的时频平面作直线积分投影的Radon变换，统称对信号作Radon -Wigner 变换。

来源：Radon变换是J. Radon于1917年提出的。

在Fourier变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，Radon变换的计算几乎没有引起人们的兴趣。

现在Radon变换已经成为医学成像和许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。

1962年，P. Hough又从图形特征检测的角度提出了Hough变换。

由于以直线图形为特征的Hough变换与Radon变换相当，所以在有些文献里，也成Radon -Wigner 变换为Hough-Wigner 变换。

这里，我们只结合Wigner-Wille分布阐述Radon-Wigner 变换有关的理论、方法及应用。

2、Radon变换的定义Radon-Wigner 变换是一种直线积分的投影变换。

作为直线积分变换，我们在第六章讨论Wigner-Wille分布的性质时已经碰到过，这就是Wigner-Wille分布的边缘积分。

在时频平面（t－ω）上，沿时间t轴作积分，得到信号的功率谱，对不同t值平行于频率ω轴作积分，则此边缘积分给出信号的瞬时功率。

如图1所示，将原直角坐标选择α角得到新的直角坐标(u, υ)，这时以不同的u 值平行于υ轴积分，所得到的结果即为Radon 变换。

本质：Radon 变换实际上相当于广义的边缘积分，也是一种投影积分（对u 积分投影）。

设二维平面(t, ω)有一任意的二维函数f (t, ω)，则其Radon 变换可写成()(,)PQ P u f t d αωυ=⎰线 (1-1)利用三角运算，容易得出(t, ω)与(u, υ)两平面坐标之间的关系为将这一关系代入上式，得到()(cos sin ,sin cos )PQ P u f u u d ααυααυαυ=-+⎰线 (1-2)Radon 变换P α(u )对一定的转角α是u 的函数（相当PQ 线平移）。

对不同的α值，P α(u )的函数值是变化的，即它是u 和α的二维函数，故我们用符合P f (u, α)表示f (t, ω)的Radon 变换。

进一步地，如果用Ｒ表示Radon 变换算子，则式(1-2)可换写为(1-3) 最后一个等式中积分的坐标以(u′, υ′)表示，并以u′=u 为PQ 线在该坐标系的表示式。

3、 Hough 变换Hough 变换是一种特征检测方法，它可以将平面里符合某种特征的图形（这里只讨论直线图形）映射为另一个二维平面上的一个点。

仍采用讨论Radon 变换用的符合，如图2(a)所示，(t, ω)平面的直线方程可用参数u （原点垂直距离）和α（倾角）表示，既有(1-4)该直线上的各点映射到(u, α)平面上有一共同的点A ，见图2(b)。

图2 Hough 变换的映射关系[(,)](,)(cos sin ,sin cos )f PQ R f t P t f u u d ωωαυααυαυ==-+=⎰线(cos sin ,sin cos )()f u u u u du d αυααυαδυ∞∞-∞-∞'''''''-+-⎰⎰cos sin sin cos t u u αυαωαυα=-=+cos sin u t αωα=+图2(a)和(b)两者之间的映射关系还须作一些说明。

如式(1-4)，对于图(b)中的一点（如A 点），u 和α为某常数，因此在图(a)的坐标里对应为虚直线。

将式(1-4)稍加变化，有(1-5)对于图(a)中虚直线上的一点，t 和ω是某常数，从上式知图(b)的对应结果为一正弦波。

图2 (b)中的三条正弦曲线对应于图(a)中直线上的1，2，3三个点。

可以想象到，当图2(a)中除所示的虚直线外，还存在随机散步的点状噪声时，图(a)中的每一点均在图(b)中对应一条正弦曲线，而虚直线上各点所对应的正弦曲线均穿过A 点。

若图(a)至图(b)的映射保持原有强度，且在交会点线性相加（相当于积分），则在该点积累而形成尖峰，同时也存在低噪声。

这一映射的概念，正是研究Radon-Wigner 变换的基础。

二、 Radon-Wigner 变换经过前一节的讨论，如果将变换对象由一般的二维函数f (t, ω)以信号z (t )的Wigner-Wille 分布W z (t, ω)则所得Radon 变换即是信号z (t )的Radon-Wigner 变换(RWT)，用符合D z (u, α)表示之。

由式(1-3)容易得到(2-1)下面介绍Radon-Wigner 变换对于LFM 信号的特殊意义。

在Wigner-Wille 分布的时频平面里，现用ω轴的截距ω0和斜率m 为参数来表示直线。

因此，当需要沿ω=ω0+mt 作积分时，可将图1中的积分路径（直线PQ ）的参数(u, α)替换成(m, ω0)，且两对参数之间的关系为(2-2)由式(1-3)求信号z (t)的Radon-Wigner 变换，并以参数(m, ω0)表示积分路径，则有(2-3)上式表明，若z (t)是参数为ω0和m 的LFM 信号，则积分值最大；而当参数偏离ω0与/或m 时，积分值迅速减小，即对一定的LFM 信号，其Radon-Wigner 变换会在对应的参数(m, ω0)处呈现尖峰。

若将积分路径的直线参数改用t 轴的截距t 0和相对于ω轴的斜率p 表述，写成t=t 0+p ω0的形式，则arctan )t u αω+(,)[()][((,)]zW z D u R z t R W t αω===(cos sin ,sin cos )z PQ W u u d αυααυαυ-+=⎰线(cos sin ,sin cos )()z W u u u u du d αυααυαδυ∞∞-∞-∞'''''''-+-⎰⎰0sin u ωα=cot ,m α=-(,)(,)(,)()z z z PQ D u W t d W t u u du d αωυωδυ∞∞-∞-∞''''==-=⎰⎰⎰线0(,)[sin ()]z W t mt d dt ωδαωωω∞∞-∞-∞--=⎰⎰01(,)[()]sin z W t mt d dt ωδωωωα∞∞-∞-∞-+=⎰⎰00cot /sin 1(,)sin z m u W t mt d αωαωωα∞=--∞=+⎰类似的，z (t )的Radon-Wigner 变换可写为:(2-4)此外，还可以用z (t )的模糊函数A z (τ, ω) 表示，即上式可以等价解释为信号z (t )的模糊函数通过平面原点的“切片”的Fourier 变换。

三、Radon-Wigner 变换的性质令f (t )和g (t )为任意信号，F (ω)和G (ω)分别是它们的Fourier 变换，D f (u, α)和D g (u, α)分别是f (t )和g (t )的Radon-Wigner 变换，而R [·]和W[·]则分别代表Radon 算子和Wigner-Wille 分布算子。

⑴ 线性特性式中D fg (u, α)=R [W fg (t, ω)]成为信号f 和g 的互Radon-Wigner 变换。

可见，虽然Radon 变换是线性的，但是Radon-Wigner 变换是双线性的。

类似于Wigner-Wille 分布，信号之和的Radon-Wigner 变换也包含了信号项（自分量）和交叉项（互分量）。

⑵ 时移和频移特性由于Radon 变换以u 和α为变量，所以对于时频平面内任何t 和ω平移，我们均可以通过改变u 的值使其积分不变，即有式中t 1和ω1分别代表积分路径的水平移动和垂直移动。

于是，有也就是说，信号的时移和频移只是在Wigner 时频平面里作Radon-Wigner 变换时使积分路径u 发生平移，而不改变α的值。

⑶ 投影特性如果W f (t, ω)，A f (τ,θ)和 D f (u, α)分别是信号的Wigner-Wille 分布，模糊函数和Radon-Wigner 变换，则()1()()sin 22j mt z t z t e d dt ωττττα∞∞-+*-∞-∞+-=⎰⎰00cot /sin 1(,)sin j z m u A m e d ωταωατττα∞∞-=--∞-∞=⎰⎰[()()][([()()]]D af t bg t R W af t bg t +=+=22[(,)(,)(,)(,)]f g fg gf R a W t b W t ab W t ba W t ωωωω**+++=22(,)(,)(,)(,)]f g fg gf a D t b D t ab D t ba D t ωωωω**+++0000[()]{[()]}{(,)}(cos ,)W f f R f t t R W f t t R W t t D u t ωαα-=-=-=-0000[()]{[()]}{(,)}(cos ,)j t j t W f f R f t e R W f t e R W t D u ωωωωωαα==-=-tan ,p α=-0cos t u α=00tan /cos 1(,)(,)cos z z p t u D u W p t d αααωωωα∞=--∞==+⎰01(,)()()[()]sin 22j z D u z t z t e mt d d dt ωττταδωωτωα∞∞∞*--∞-∞-∞=+--+=⎰⎰⎰11(,)(cos cos ,)f f D u D u t ααωαα=++sin ;cos (,)(,)(,)ju p f f f D u e du A A λτλαθλαατθλα∞-==-∞==⎰式中，p f A 是A f 的极坐标表示。