2021年高考数学一轮复习第十一章计数原理11.二项式定理的应用对点训练理
高考数学总复习第十一章计数原理11.3二项式定理课件理新人教A版
1
2n-5k=0,得 n=2k,∴n 的最
5
小值是 5.
关闭
C
解析 答案
-8知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
4.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54, 则n= .
关闭
������ ������ r 2 二项展开式的通项 Tr+1=C������ (3x)r=3r· C������ · x ,令 r=2,得 32· C������ =54,解得 n=4.
关闭
4
解析 答案
-9知识梳理 考点自测
1 2 3 4 5
1 2 ������ 5.1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =
.Hale Waihona Puke 关闭0 1 2 2 ������ n 1 2 ������ ∵(1+3)n=C������ + C������ · 3+C������ · 3 +…+C������ · 3 ,∴1+3C������ +9C������ +…+3nC������ =4n.
关闭
4n
解析 答案
-10考点1 考点2 考点3
考点 1
通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数) 5 例1(1)(2017吉林长春模拟) ������ 2 - 2 的展开式中的常数项为 ������3 ( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40
8 2 1 2 ������ ,x7 的系数为 (2) ������ - ������ 的展开式中 ������ 10-5r -r 2 5 (1)∵Tr+1=������ C5 (x ) - ������ 3 =(-2)rC5 x ,
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高考数学复习热点11 计数原理
热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解.【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如 此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2021·全国高三专题练习）的展开式中各项的()()()()()234511111x x x x x -----指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A ．0B ．C ．D ．5590120【答案】C【分析】()()()()()234511111x x x x x -----，151413109876521x x x x x x x x x x x =--+++---++-所以，的展开式中各项的指数之和为()()()()()234511111x x x x x -----，15141310987652190++++++++++=展开式中各项系数乘以各项指数之和为，1514131098765210--+++---++=因此，所求结果为.90090-=故选：C.2．（2021·山东高三专题练习）已知若()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）123,4b b =-=，p =A ．1B ．C ．D ．121314【答案】C【分析】展开式的通项为：，()1n px -()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-故，，解得，.()113nb C p pn =⋅-=-=-()2222142n n n b C p p -=⋅==9n =13p =故选：C.3．（2021·山东高三专题练习）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、A A B 乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B【分析】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有种不2232C A 同分配方案，当医院B 有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人1222C A 时，共有种不同分配方案；2232C A +122210C A =第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有种不同分配方案，当乙不在A 医33A 院，在B 医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时，1222C A 共有种不同分配方案；33A +122210C A =共有20种不同分配方案.故选：B4．（2021·全国高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方ABCD A 形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆()1,2,,6i i =⋅⋅⋅时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的i A所有不同走法共有（ ）A ．21种B ．22种C ．25种D ．27种【答案】D【分析】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，ABCD ①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有1,1,61,2,51,3,42,2,42,3,3种；133113333321C A A C C ++++=②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种.4,6,65,5,611336C C +=所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种.A 21627+=故选：D.5．（2021·山东高三专题练习）已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A ．240种B ．360种C ．480种D ．600种【答案】C【解析】：用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，123456①当领导丙在位置1时，不同的排法有种；55120A =②当领导丙在位置2时，不同的排法有种；143472C A =③当领导丙在位置3时，不同的排法有种；2323233348A A A A +=④当领导丙在位置4时，不同的排法有种；2323233348A A A A +=⑤当领导丙在位置5时，不同的排法有种；143472C A =⑥当领导丙在位置1时，不同的排法有种．55120A =由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种．故选C ．6．（2021·山东高三专题练习）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种【答案】D【详解】最前排甲，共有种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根55A 120=据加法原理可得，共有种，故选D ．7．（2020·全国高三专题练习（理））某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A ．72种B ．48种C ．36种D ．24种【答案】C【分析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，336A =再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，236A =则后六场开场诗词的排法有种，6636⨯=故选：C.8．（2020·全国高三专题练习（理））为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程､20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是（）A ．B ．C ．D ．12131416【答案】D【分析】记第名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类i 分别为事件，，，.i A i B i C 1,2,3i =由题意，事件，，，相互独立，i A i B i C 1,2,3i =则，，，，301()602i P A ==201()603i P B ==101()606i P C ==1,2,3i =故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是.331111()62366i i i P A P A B C ==⨯⨯⨯=故选：D.9．（2020·全国高三专题练习（理））在()()()()()2345111111x x x x x ++++++++++的展开式中，含项的系数是（ ）2xA ．B ．1015C ．D ．2025【答案】C【分析】解法一：中含的项为，中含的项为，中()21x +2x 222C x ()31x +2x 223C x ()41x +含的项为，中含的项为，2x 224C x ()51x +2x 225C x 则含项的系数为．2x 2222234520C C C C +++=故选：C ．解法二：由等比数列求和公式知：，()()()()()()6234511111111x x x x x x x+-++++++++++=中含的系数为，原式含项的系数为.()31x + 3x 3620C =∴2x 20故选：C .10．（2020·全国高三专题练习（理））若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝（）A ．284B ．356C ．364D ．378【答案】C【分析】令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， ①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ②①②两式左右分别相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 12)＝36＋1＝730，所以a 0＋a 2＋…＋a 12＝365，再令x ＝0，则a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝364.故选：C.11．（2020·山西高三月考（理））如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面m 积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）n 621m x nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．15B ．-15C ．D ．13541354-【答案】A【分析】：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积R R 2R ，球的体积，所以.又圆柱的表面23122V R R R ππ=⨯=3243V R π=313223423V R m V R ππ===积为，球的表面积为，所以2212226S R R R R πππ=⨯+=224S R π=，，，展开式的通项21226342S R n S R ππ===1m n =662211m x x nx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令，解得，其常数项为.()123161rr rr T C x-+=-1230r -=4r =()42426115C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A12．（2020·江西吉安市·白鹭洲中学高三期中（理））已知随机变量，且()2~1,X N σ，则的展开式中的系数为（ ）()()0P X P X a ≤=≥()43221ax x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭2x A ．40B ．120C ．240D ．280【答案】D【分析】根据正态曲线的性质可知，，解得，012a +=⨯2a =的展开式的通项公式为，，()312x +132r r r r T C x +=⋅{}0,1,2,3r ∈的展开式的通项公式为，，422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()243814422s s s s s s s s T C x c x -+--++=⋅=⋅{}0,1,2,3,4s ∈令两式展开通项之积的指数为，可得或，x 382r s -+=33r s =⎧⎨=⎩02r s =⎧⎨=⎩∴的展开式中的系数为()432212x x x ⎛+⋅⎫+ ⎪⎝⎭2x ，333300223434222225624280C C C C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=13．（2020·湖南长沙市·高三月考）某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界､南岳衡山､凤凰古城､岳阳楼旅游.要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲､乙不去衡山，则不同的选择方案共有（）A ．120种B ．180种C ．240种D ．320种【答案】C【分析】以人为对象，分类讨论：甲不值班乙值班：；甲值班乙不值班：；31343372C C A =31343372C C A =甲乙都不值班；；甲乙都值班；.21342372C C A =4424A =故不同的选择方案.72727224240N =+++=故选：C14．（2020·全国高三专题练习（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种30506090【答案】B【分析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C ⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1131030C C ⋅=所以共有种203050+=故选B15．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（理））2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（）A ．B ．C ．D ．16121813【答案】D【分析】3名医生平均分成3组，有1种分法，6名护士平均分成3组有种分法，226433156156C C A ⨯==3名医生、6名护士分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士的分配方法有（种），333315540A A ⨯⨯=医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有（种），211224532222180C C C A A A ⨯⨯⨯=则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.18015403=故选：D .16．（2020·全国高三其他模拟（理））公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范π围是：，为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就，3.141592631415927π<< ．某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1，4，1，5，9，2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位（整数部分3不变），那么得到的数字大于3.14的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15174567【答案】D【分析】由题意从小数点后的6位数字中随机选取两个数字做为小数点后的前两位，可分为以下情况：①选出两个1，共可组成1个数字；②选出一个1，共可组成个不同数字；12428C A ⋅=③没有选出1，共可组成个不同数字；2412A =所以共可组成个不同的数字；181221++=其中小于等于3.14的数字有：3.11、3.12、3.14，共3个，则大于3.14的数字个数为18，故所求概率.186217P ==故选：D.17．（2020·全国高三专题练习（理））某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.A ．444种B ．1776种C ．1440种D ．1560种【答案】B【分析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有（种）.14C 4=对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有（种）；114244192C C A =第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有（种），133C =语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有（种），14C 4=其他三科可以全排列，有（种）.()12332334252C A A +=综上，共有（种）.()41922521776⨯+=故选：B18．（2020·全国高三专题练习）函数的导函数为，则的展开261()(=-f x x x ()f x '()f x '式中含项的系数为（ ）2x A ．20B ．C ．60D ．20-60-【答案】D【分析】函数导函数为，()f x 25211()6()(2)f x x x x x '=-+则的展开式的通项公式为，251(x x -251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-令，则，此时含项为，1031r -=3r=x 335(1)10C x x -=-再令，则，此时含项为，1034r -=2r =4x 22445(1)10C x x -=所以含的项为，2x 4221(10210660x x x x x -⨯+⨯⨯=-故含项的系数为，2x 60-故选：．D 19．（2020·湖南郴州市·高三二模（理））中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.A ．408B ．120C ．156D ．240【答案】A【分析】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），66720A =当“乐”排在第一节有（种），55120A =当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），2525240A A =当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），242448A A =则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），72012024048408--+=故选：．A 20．（2020·全国高三专题练习）展开式中的常数项为（）6331x x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭A ．B ．15C ．D ．6666-15-【答案】C展开式的通项公式为，而61x ⎫-⎪⎭()363216611rrrr r rr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，故要想产生常数项，则或3323323x x x ---=-333122r r -=⇒= ，则所求常数为.33302rr -=⇒=()106621315C C ⨯⨯--⨯=-故选：C．。
高考数学一轮总复习 专题11 计数原理 11.2 二项式定理
3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+ C1n x+ C2n x2+ C3n x3 +…+ Cnn xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 C1n x+(-1)2 C2n x2+…+(-
1)n Cnn xn. 4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中,第r+1
考向突破
考Байду номын сангаас一 求指定项或指定项系数
例1
(2018浙江温州二模(3月),5)在
1 x
9
2x
的展开式中,常数项是
()
A. C39
B.- C92
C.8 C39
D.-8 C39
解析
1 x
9
2x
的展开式的通项为Tr+1= C9r
·
1 x
9r
·(-2x)r=(-2)r·C 9r
项的二项式系数是 Crn ,而第r+1项的系数为 Crn an-rbr. 5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式
的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点:
(1) Ckn an-kbk是第k+1项,而不是第k项; (2)运用通项公式Tk+1= Ckn an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求 出n、k,然后代入通项公式求解;
(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某 项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. 6.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得 C0n + C1n +…+ Cnn =2n;令a=1,b=-1,得 C0n - C1n + C2n - C3n +…=0,∴ C0n + C2n + C4n +…= C1n + C3n + C5n +…=2n-1. 7.对二项式系数性质的理解 (1)对称性:由组合数的性质“ Cmn = Cnnm ”,得从“ C0n = Cnn =1”开始,由左右 分别向中间靠拢,便有 C1n = Cnn1 , C2n = Cnn2 ,…… (2)最大值:当n为偶数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是奇数,这时展 开式的形式是
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 二项式定理
§11.3 二项式定理考纲展示►1.能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考点1 二项展开式中特定项或系数问题二项式定理二项式定理(a＋b)n＝________________二项式系数二项展开式中各项系数C k n (k＝0，1，…，n)二项式通项T k＋1＝________,它表示第________项答案：C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n（n∈N*）C k，n a n－k b k k＋1（1）[教材习题改编]（1－2x）7的展开式的第4项的系数是________．答案：－280解析：展开式中,T r＋1＝C错误!·（－2x)r＝C错误!·(－2）r x r，当r ＝3时，T4＝C错误!·（－2）3·x3＝－280x3，所以第4项的系数为－280.（2)[教材习题改编]错误!12的展开式的常数项是________．答案：495解析：展开式中，T r＋1＝C错误!x12－r·错误!r＝（－1）r C错误!x12－3r，当r＝4时,T5＝C412＝495为常数项。
[典题1] (1)在二项式错误!5的展开式中，含x4的项的系数是（)A．10 B．－10 C．－5 D．20[答案］A［解析] 由二项式定理可知，展开式的通项为C错误!（－1)r x10－3r，令10－3r＝4,得r＝2,所以含x4项的系数为C错误!（－1）2＝10，故选A.（2）[2017·吉林长春模拟]错误!5的展开式中的常数项为（)A．80 B．－80 C．40 D．－40［答案］C[解析］∵T r＋1＝C错误!(x2）5－r错误!r＝(－2)r C错误!x10－5r，由10－5r＝0，得r＝2，∴T3＝(－2）2C错误!＝40.(3)[2015·湖南卷]已知错误!5的展开式中含x错误!的项的系数为30,则a＝( )A.错误!B．－错误!C．6 D．－6［答案］D[解析] T r＋1＝C错误!（错误!)5－r·错误!r＝C错误!（－a)r x，由错误!＝错误!，解得r＝1.由C错误!（－a)＝30，得a＝－6。
第十一章第二节二项式定理 高三数学一轮复习
微思考 某项的二项式系数与某项的系数相等吗?
提示:不一定相等.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2
−1
2
(2)最大值:当n是偶数时,中间的一项C 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项C
+1
2
与C 相等,且同时取得最大值.
A.28
B.-28
C.112 D.-112
2
【解析】选A.(1-2 )8展开式的通项公式为Tk+1=C8 (-2 )k=(-2)kC8 .
要求x项的二项式系数,只需 =1,解得k=2,
2
2 8×7
所以x项的二项式系数为C8 = =28.
2×1
)
核心考点·分类突破
核心考点·分类突破
考点一通项公式的应用
对点训练
(2024·北海模拟)(1+2x)(1+x)3展开式中,x2的系数为(
A.3
B.6
C.9
)
D.12
【解析】选C.(1+2x)(1+x)3=(1+2x)(1+3x+3x2+x3),故x2的系数为3+6=9.
角度3 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式问题
[例3](x2-x+1)10的展开式中x3的系数为(
第m项为Tm=C−1 xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·C−1 xn-m+1·ym-1,
所以第m项的系数为(-1)m-1C−1 .
)
3.(2023·北京高考)(2 −
精选高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理ppt课件全省公开课一等奖
.
答案 -2
解析
T =a5-r r+1
C
5 r x 1,0令 52 r10-
r5=5,解之得r=2,所以a3
2
=C -852 0,a=-2.
15.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+ x)5的展开式中,x3的系数是
.(用数字填写答案)
答案 10 解析 Tr+1= C 5r(2x)5-r·( )xr=25-r ·C 5r ,令x 5 52r - =32r ,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
9.(2014湖北,2,5分)若二项式
2
x
的 ax展 7开式中
的系x1 3 数是84,则实数a= (
)
A.2 B. 5 4 C.1 D. 2
4
答案
C
Tr+1= C
7r·(2x)7-r·
a x
r
=27-r
aC r·7r
x.令21r 27 r-7=3,得r=5.由22· a5=C 8574得a=1,故选C.
答案
C
在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 C
m 6
,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为
C
,4n 故f(m,n)=
C ·6m
C
n 4
.从而f(3,0)=
C
36=20, f(2,1)=
C
·62 C =14 60, f(1,2)=
C·16 C=2436, f(0,3)=
=C 434 ,故选C.
4.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
2021版新高考数学一轮复习第十一章11.2排列组合与二项式定理课件新人教B版
3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下: 当n为偶数时,n!!=n·（n 2）（n 4）……6·4·2, 当n为奇数时,n!!=n·（n 2）（n 4）……5·3·1, 现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!, ②(2n)!!=2n (n!),③2018!!的个位数字是8,
2.各二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即 C0n＋C1n＋Cn2 …＋Cnn 2n. (2)(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和， 都等于2n-1，即 C0n＋Cn2＋Cn4＋…＝C1n＋C3n＋C5n +…=2n-1.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
【解析】展开式的通项为Tr+1=C7r (ax)r， 因为x5与x6系数相等，所以C57a5= C67a6，解得a=3. 答案：3
5.(选修2-3P12例6改编)由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字
的两位数的个数为_________.(用数字作答)
【解析】问题转化为求从8个不同元素中选取2个元素的排列数，
小于43 521的数共有 ( )
A.56个
B.57个
C.58个
D.60个
3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共
有________种安排办法.
4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一 共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 世纪金榜导学 号
【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有 C34A12=A433 8(种);A不参加时参赛方案
高三数学一轮 第十一章 计数原理 11.3 二项式定理
(如2)展何开求式二的项通式项中公的式参为数?
Tr+1=C6������ (3x)6-r
1 ������ 2
������ = C6������ 36-rx6-3r.
关闭
由(1)6C-3r(=20)1,得21r5=2,故常数项为 T3=34C62=1 215.
解析 答案
考点1
考点2
考点3
考向二 已知三项式求其特定项(或系数) 例2(1)在(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ( )
关闭
4
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
5.在(2x+√������)5 的展开式中,x3 的系数是
-11-
.(用数字作答)
关闭
二项式的通项公式
Tr+1=C5������
(2x)5-r·������
������ 2
=
C5������ 25-r������5-2������,
令 5-2������=3,解得 r=4,
-7-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)(a+b)n 的展开式中的第 r 项是C������������ an-rbr. ( ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.
()
(3)在(a+b)n 的展开式中,每一项的二项式系数与 a,b 无关. ( )
故 x3
10
的系数为C54
×25-4=10.
关闭
解析 答案
-12-
考点1
考点2
考点3
考点 1 通项公式及其应用(多考向)
新人教版高考数学一轮总复习第十一章计数原理11.2二项式定理课件理新人教B版
突破方法
方法1 求展开式中的特定项或特定项的系数
利用二项式定理求展开式的通项、特定项、二项式或项的系数,一般是将通项公式化简后, 令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为0;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通 项公式即可.
例1
已知
x的 展2 1开4 x式n 的前三项中的系数成等差数列.
(1)a0+a1+…+a7的值;
(2)a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值;
(3)二项式系数和.
解析 (1)令x=1,则a0+a1+…+a7=-1.
(2)令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=2 187,令x=0,则a0=1,
于是a1+a2+a3+…+a7=-2,
a1+a3+a5+a7=-1 094,
(1)求展开式中所有的有理项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解析
(1)∵
x的 展2 1开4 x式n 中的前三项系数依次为 , , C 0n ,
1 2
C
1 n
1 4
C
2 n
由这三个数成等差数列得2× 12 C 1n = C 0n+ 14 C 2n ,即n2-9n+8=0,
∴n=8或n=1(舍去).
∵二项展开式的通项Tr+1= C 8·r ( x )12 8-r·
1 2
·(r )xr= 14 ·C
r 8
· 1 ,
2
r
163r
【创新方案】高考数学一轮复习 第十一篇 计数原理 第讲 二项式定理教案 理
芯衣州星海市涌泉学校第3讲二项式定理【2021年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要纯熟掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．根底梳理1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋C bn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等间隔〞的两个二项式系数相等．即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn获得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn获得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然一样，但详细到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的开展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或者者指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进展归纳总结．双基自测1．(2021·)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．10解析Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，当r＝2时，T3＝40x2.答案B2．假设(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，那么a＋b＝()．A．45B．55C．70D．80解析(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29由条件a＝41，b＝29，那么a＋b＝70.答案C3．(A版教材习题改编)假设(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，那么a0＋a2＋a4的值是()．A．9B．8C．7D．6解析令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案B4．(2021·)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，那么n＝()．A．6B．7C．8D．9解析Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr由条件35C＝36C即C＝3C＝3整理得n＝7答案B5．(2021·)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，那么a10＋a11＝________.解析Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，∴a10＋a11＝C－C＝0.答案0考向一二项展开式中的特定项或者者特定项的系数【例1】►在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，解得n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C(－3)2＝405.(3)由题意知令＝k(k∈Z)，那么10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进展，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．【训练1】(2021·)假设6展开式的常数项为60，那么常数a的值是________．解析二项式6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据Ca＝60，解得a＝4.答案4考向二二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点]此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C＋C19＋C＋…＋C＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)＝(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can －rbr＋…＋Cbn.对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式．【训练2】(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.考向三二项式的和与积【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．[审题视点]求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．解析(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C14(－x)0，其系数为C03·C(－1)＋C·2＝－4＋6＝2.答案2对于求多个二项式的和或者者积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或者者进展因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】(2021·)x7的展开式中，x4的系数是________(用数字答题)．解析原问题等价于求7的展开式中x3的系数，7的通项Tr＋1＝Cx7－rr＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C＝84，即x7的展开式中x4的系数为84.答案84难点打破23——排列组合在二项展开式中的应用(a＋b)n展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数确实定从n个一样的a＋b中各取一个(a或者者b)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是mapbq，其中p∈N，q∈N，p＋q＝n.(2)项数确实定满足条件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)一一共n＋1组．即将(a＋b)n展开一一共2n项，合并同类项后一一共n＋1项．(3)系数确实定展开式中含apbq(p＋q＝n)项的系数为C(即p个a，q个b的排列数)因此(a＋b)n展开式中的通项是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．【例如】►假设多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，那么a9＝()．A．9B．10C．－9D．－10。
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2021年高考数学一轮复习第十一章计数原理11.2二项式定理的应用
对点训练理
1. (x 2
＋x ＋y )5
的展开式中，x 5
y 2
的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60
答案 C
解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2
，
对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 1
3＝
30，故选C.
2．已知⎝
⎛⎭
⎪⎫x －a x 5的展开式中含x
2
3 的项的系数为30，则a ＝( )
A. 3 B ．－3 C ．6 D ．－6
答案 D
解析 由二项展开式的通项可得
3．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
答案 B
解析 由(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n
，知C 2n ＝15，
∴n n －1
2
＝15，
解得n ＝6或－5(舍去)．故选B.
4.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A ．212
B ．211
C ．210
D ．29
答案 D
解析 因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n ，所
以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10
的展开式中奇数项的二项式系数和为12×2
10＝29
.
5．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10
答案 C
解析 在(1＋x )6
的展开式中，含x 2
的项为T 3＝C 2
6·x 2
＝15x 2
，故在x (1＋x )6
的展开式中，含x 3的项的系数为15.
6．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C．7 D．8答案B
解析由题意知a＝C m2m，b＝C m＋12m＋1，
∴13C m2m＝7C m＋1
2m＋1，
即13×2m！
m！m！
＝
7×2m＋1！
m＋1！m！
，
解得m＝6.
7．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
答案3
解析解法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.
解法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.
8．在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．答案－40
解析由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.
9．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
答案－20
解析(x＋y)8的通项公式为T r＋1＝C r8x8－r y r(r＝0,1，…，8，r∈Z)．
当r＝7时，T8＝C78xy7＝8xy7，当r＝6时，T7＝C68x2y6＝28x2y6，
所以(x －y )(x ＋y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7－y ·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故系数为－20.
10．若⎝
⎛
⎭
⎪⎫ax 2
＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 2
解析 ⎝
⎛⎭
⎪⎫ax 2
＋b x 6的展开式的通项为
T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x r ＝C r 6a
6－r
·b r x 12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3.
由C r 6a 6－r b r ＝C 36a 3b 3＝20，得ab ＝1.所以a 2＋b 2
≥2ab ＝2×1＝2.
11.⎝
⎛⎭⎪⎫x
y
－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)
答案 70
解析 设⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8的第r ＋1项中含有x 2y 2，则T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝
⎛⎭⎪⎫－y x r ＝C r 8·(－
1)r
·x 8－r － r 2 y r － 8- r
2
，
因此8－r －r 2＝2，r －8－r
2
＝2，即r ＝4.
故x 2y 2的系数为C 48×(－1)4
＝8×7×6×54×3×2×1
＝70.。