近世代数第9讲

近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。

换句话说，置换群就是有限集上的变换群。

由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。

这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。

2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。

3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。

4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。

本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。

注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。

就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。

所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。

并且也不能一下子把所有群都不得找出来。

因为问题太复杂了。

人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。

对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。

可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。

变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。

一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。

有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。

含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。

通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。

现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。

即π:1a 2a ,2a 3a , 3a 1a ,利用本教材中特定的表示方法有：21a a =π，32a a =π，13a a =π.由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证{}3 , 2 , 1　=A .故此. π:1 2,2 3,3 1.稍做修改: π：21↓ 32↓ 13↓ ⇒ π=⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321 .用π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132321 来描述A 的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛123312 ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321213 …,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.二.置换的乘积.设{}3 , 2 , 1　=A 的任二个置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=132321 π,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213321 τ,那么由于π和τ都是一一变换,于是πτ也是A 的一一变换.且有 πτ:1→1,2→2,3→3.用本教材的记法为:11=πτ,22=πτ,33=πτ.换句话说:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321321123321132321 τπ 例1. 计算下列置换的乘积: (1) πτ, (2) 2π, (3) 2πτ.解: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321321132321213321 πτ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2133213213213213212 π文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形式:()53241 =π注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换()53241 =π”②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.()()() ====324154153253241 π这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位. ③.8S 的单位(恒等置换)()()() ====3210π同上,习惯写成()10=π.定义 2. n S 中的一个将1i 变到2i ，2i 变到k i i ,,3 变回到1i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做k —循环置换（或称k —循环）,记为(k i i i i 321,,) 例3．在5S 中.()3215413254321 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 叫作3—循环置换.()543211543254321 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 叫作5—循环置换.()15432154321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 叫作1—循环置换.（2）循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1254354321 τ不可能是循环置换，但我们会发现 ()()(*)42531523415432114523543211254354321 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=τ 可见，τ虽不是循环置换，但它是循环置换之积。

定义3. 设()k i i i ,,,21 =π和()s j j j ,,,21 =τ都是循环置换. 如果π与τ不含相同的文字，那么称π与τ是不相连的. 定理2. 每一个n 元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.（循环置换分解定理）【证明】.设π是n S 中任一个n 元置换，下面对π中改变文字的个数用数学归纳法。

如果π使{}n ,,3,2,1 中每个文字都不发生改变，则π是恒等置换.即()1=π，定理2成立.假设π最多变动)(1n r r ≤-个文字时，定理成立。

现考察π变动了r 个元的情形：首先在被π变动的文字中随意取一个文字1i ，从1i 出发找到1i 在π下的象2i ,再找2i 的象3i ,… ,直到找到k i ，其中：1i i k −→−π.于是1321i i i i i k −→−−→−−→−−→−−→−πππππ因为π只变动了r r个文字，故r k ≤.如果r k =，则π本身就是一个r —循环置换:()k i i i ,,,21 =π定理证毕。

如果r k <，模仿(*)的做法。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''11321121 π ()()1211''11111211''11111111321121πk n r r k k n r k k n n r r k k n r r k k n r r k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++++++++ 由于π中只变动了r 个文字，1π∴中只能变动r k r <-个文字.由归纳假设，1π必可以写成若干个不相连的循环置换之积:m ηηηπ 211=还需特别说明:1π中的所有循环置换m ηηη,,,21 中不可能再出现k i i i ,,,21 ,否则,当 ()k p i i g p t ≤= η因为m ηηη,,,21 是互不相连,p i ⇒只在t η中出现.1π　⇒将g p i i →，但前面已有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++n r r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1''12111211 π 即1π将使p i 保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：()m k i i i ηηηπ2121 =是互不相连的循环置换之积.明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.四．循环置换的性质问题1.3S 是一个3阶群（三次对称群），所以3S 中每个元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比如：()321132321 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π,则()()()2313213212 ==π, ()()()132123123 ==πππ.∴3=π这里π是3-循环置换，恰好π的阶是3.这不是巧合,我们有：结论1. k —循环置换()k i i i 21=π的阶就是k解释：k —循环置换()k i i i 21=π的一次方则将1i 变成2i ，二次方则将1i 变成3i ，k 次方则将1i 变回到1i ，其余文字也是如此。

所以，当k m <时，()1≠m π而()1=k π. ∴k =π.问题 2.每个置换π都是双射，那么π的逆置换也必是双射⇒必也是置换，那么1-π会是什么样子呢？ 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3145254321543212351423514543211 ππ若将π表成循环置()()43521253411 -⇒=ππ说明：循环置换π的逆置换1-π就是将每个文字的变动方向反向.结论2:k —循环置换()k i i i 21=π的逆置换也是循环置换且()1211i i i i k k --=π问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.设()()τππττπ=⇒== 54,231结论3.两个不相连的k —循环置换是可以交换的。

结论4.任一个k —循环置换()()()()()()()()()k k k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1321111312121--=== π定义4.每个2—循环置换都叫做一个对换. 利用结论4,我们有:定理3.每个n 元置换都能表示成若干个对换的乘积。

例4.())71)(73)(75)(72()72)(12)(32)(52(71352 ===π结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了结论5.设()k i i i j 21∉.且()()()12121i j i i i j i i i k k = 五.置换的奇偶性.虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.(比如()()()()4321432143124321 ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛) 但对换个数的奇偶性是不会改变的。

结论6.任意一个置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.定义5.一个置换π叫做偶(奇）置换π⇔可以表成偶(奇)数个对换之积.利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性. 结论7.一个k —循环置换π是偶(奇)置换k ⇔为奇(偶)数. 考察下面的例子:24!44==S .而4S 中全部偶置换共有12个:);341();431();241();421();231();321();1{( 4)}32)(41();42)(31();43)(21();342();432(A = 那么4A 就是4S 中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法,能发现:●4A 中乘法封闭 ●4A 中乘法满足结合律 ●4A 中有单位元()1 ● 4A 中每个置换有逆元, 逆元也在4A 中(由结论2)所以4A 是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.定义 6.n 次对称群n S 中全部偶置换组成的集合n A 构成一个群.叫做n 次交错群.其中:2!21n S A n n ==. 定义7 n 次对称群n S 中两个置换,,ρσ称1ρσρ-为σ的共轭 。