大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解

Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
从运行结果可以发现:当 n 为素数时，2^n-1 被 n 整除所得的余数都是 1。
m=3 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 3; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
与上节介绍的方程求解的方法是类似的。假设我们可以将方程组（7）
改写成 x=Mx+f
其中 M (mij ) 是 n 阶距阵， f ( f1,, fn )T 是 n 维列向量。任意给定
初始向量 x 0 ，由迭代 xn1 Mx n f
（9）
确定向量序列 xn , n 0,1,. 如果 x n 收敛到向量 x* ，则有 x* Mx* f ,
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
2 True 2 3 True 1 4 False 4 5 True 1 6 False 2 7 True 1 8 False 4 9 False 1 10 False 2 11 True 1 12 False 4 13 True 1 14 False 2 15 False 1 16 False 4 17 True 1 18 False 2 19 True 1 20 False 4 21 False 1 22 False 2 23 True 1 24 False 4 25 False 1 26 False 2
或写成距阵的形式 Ax=b,
（6） (7)
其中 A (aij ) 是 n 阶方程， x (x1,, xn )T 及 b (b1,, bn )T 均为 n 维列 向量。熟知，当距阵 A 的行列式非零时方程（7）有唯一的解。迭代法
是求解这些问题的有效方法之一。用迭代的方法求解线性方程组的思想
55 False 1 4 56 False 1 3 57 False 3 9 58 False 1 3 59 True 1 1 60 False 3 27 61 True 1 1 62 False 1 3 63 False 3 9 64 False 1 43 65 False 1 16 66 False 3 45 67 True 1 1 68 False 1 27 69 False 3 9 70 False 1 13 71 True 1 1 72 False 3 27 73 True 1 1 74 False 1 3 75 False 3 69 76 False 1 27 77 False 1 25 78 False 3 9 79 True 1 1 80 False 1 27 81 False 3 0 82 False 1 3 83 True 1 1 84 False 3 75 85 False 1 81 86 False 1 3 87 False 3 9 88 False 1 75 89 True 1 1 90 False 3 63 91 False 1 1 92 False 1 27 93 False 3 9 94 False 1 3 95 False 1 24 96 False 3 75 97 True 1 1 98 False 1 59
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 3; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , "
", x
Do M n , n, 2, 100
2 True 1 1 3 True 3 0 4 False 1 3 5 True 1 1 6 False 3 3 7 True 1 1 8 False 1 3 9 False 3 0 10 False 1 3
实验五素数实验名称迭代一方程求解实验目的用迭代法求解方程及线性方程组实验环境mathematica40系统实验方程求根给定实数域上光滑的实值函数fx以及初值称为fx的一个迭代序列
数学实验 报告
实验五 迭代（一）——方程求解
学院：数学与信息科学学院 班级：09 级数学（4）班 姓名：*** 学号：***
0 1
0 1
4 1
0 7
4 1
4 1
4 1 0 1 16 1 4 16 4 1 16 6 4
27 False 1 7 28 False 4 8 29 True 1 1 30 False 2 4 31 True 1 1 32 False 4 0 33 False 1 16 34 False 2 4 35 False 1 11 36 False 4 16 37 True 1 1 38 False 2 4 39 False 1 16 40 False 4 24 41 True 1 1 42 False 2 16 43 True 1 1 44 False 4 20 45 False 1 16 46 False 2 4 47 True 1 1 48 False 4 16 49 False 1 29 50 False 2 44 51 False 1 16 52 False 4 12 53 True 1 1 54 False 2 34 55 False 1 36 56 False 4 32 57 False 1 16 58 False 2 4 59 True 1 1 60 False 4 4 61 True 1 1 62 False 2 4 63 False 1 16 64 False 4 0 65 False 1 61 66 False 2 34 67 True 1 1 68 False 4 64 69 False 1 16 70 False 2 64
即 x* 是方程组（7）的解。
一、方程求根
1、考察用迭代函数 f(x)=2sin(x)求解方程 g(x)=2sin(x)-x=0 的解的
实验 情况。
的内 （1）在同一直角坐标系中，画出 y=f(x)及 y=x 的图像。从图上观察，
容与 方程 x=2sin(x)有几个解？
步骤
在计算机中打开 Mathematica4.0 系统； 点击鼠标进入工作区后，输入以下语句
实验五 素数
实 验 迭代（一）——方程求解
名称
实 验 用迭代法求解方程及线性方程组
目的
实 验 Mathematica4.0 系统
环境
1、 方程求根
给定实数域上光滑的实值函数 f(x)以及初值 x0 定义数列
xn1 f (xn ), n 0,1,,
（1）
xn , n 0,1,, 称为 f（x）的一个迭代序列。
实验 的基 本理 论与 方法
给 定 迭 代 函 数 f(x) 以 及 一 个 初 值 x0 利 用 （ 1 ） 迭 代 得 到 数 列
xn , n 0,1,, 如果数列 xn 收敛于一个 x* ，则有
x* f (x*) .
（2）
即 x* 是方程 x=f(x)的解。由此启发我们用如下的方法球方程 g(x)=0
（如 3，4，5），观察 mn-1 被 n 整除的情况：观察当 n 为素数时的结果。
m=2 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x பைடு நூலகம்od k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
85 False 16 1 86 False 2 2 87 False 4 1 88 False 40 2 89 True 1 1 90 False 32 2 91 False 64 1 92 False 8 2 93 False 4 1 94 False 2 2 95 False 54 1 96 False 32 2 97 True 1 1 98 False 58 2 99 False 58 1 100 False 88 2 Null2
41 True 1 1 42 False 32 2 43 True 1 1 44 False 8 2 45 False 31 1 46 False 2 2 47 True 1 1 48 False 32 2 49 False 15 1 50 False 12 2 51 False 4 1 52 False 8 2 53 True 1 1 54 False 14 2 55 False 49 1 56 False 16 2 57 False 4 1 58 False 2 2 59 True 1 1 60 False 8 2 61 True 1 1 62 False 2 2 63 False 4 1 64 False 0 2 65 False 16 1 66 False 32 2 67 True 1 1 68 False 8 2 69 False 4 1 70 False 22 2 71 True 1 1 72 False 32 2 73 True 1 1 74 False 2 2 75 False 34 1 76 False 8 2 77 False 9 1 78 False 32 2 79 True 1 1 80 False 48 2 81 False 40 1 82 False 2 2 83 True 1 1 84 False 32 2
Plot 2 Sin x , x , x, Pi, Pi 按 Shift 和 Enter 键运行。
3 2 1
-3
-2
-1
-1
-2
-3
1
2
3
运行结果：
2. Null Second, Null2
3、素数的判别
(1)对 n=2,3,… ,100,观察 2n-1 被 n 整除所得的余数；再取其他的整数 m
11 True 1 1 12 False 3 3 13 True 1 1 14 False 1 3 15 False 3 9 16 False 1 11 17 True 1 1 18 False 3 9 19 True 1 1 20 False 1 7 21 False 3 9 22 False 1 3 23 True 1 1 24 False 3 3 25 False 1 6 26 False 1 3 27 False 3 0 28 False 1 27 29 True 1 1 30 False 3 3 31 True 1 1 32 False 1 11 33 False 3 9 34 False 1 3 35 False 1 4 36 False 3 27 37 True 1 1 38 False 1 3 39 False 3 9 40 False 1 27 41 True 1 1 42 False 3 33 43 True 1 1 44 False 1 27 45 False 3 36 46 False 1 3 47 True 1 1 48 False 3 27 49 False 1 43 50 False 1 33 51 False 3 9 52 False 1 27 53 True 1 1 54 False 3 27
的近似解。
将方程 g(x)=0 改写为等价的方程 x=f(x),
（3）
然后选取一初值利用（1）做迭代。迭代数列 xn 收敛的极限就是方 程 g(x)=0 的解。
2、 线性方程组的迭代求解
给定一个 n 元线性方程组
a11x1 a1n xn b1 an1xn ann xn bn