三角形的认识整理与复习
三角形的认识复习与整理ppt
而判断出三角形ABC的
形状。
解答技巧：在解答此类 问题时，首先要明确题 目所给的条件和需要判 断的结论，然后结合相 关的性质定理进行推导。 在推导过程中，要注意 灵活运用所学的知识点， 并结合实际情况进行判 断。
易错知识点归纳及纠正方法
01
02
03
04
易错知识点1
对三角形的基本性质理解不透 彻，导致在解题过程中出现错
应用举例
利用全等三角形解决与边 长、角度、面积相关的问 题，如证明线段相等、角 相等或者面积相等。
03 三角形面积计算方法
海伦公式求解任意三角形面积
海伦公式定义
海伦公式是用于求解任意三角形面积的一种公式，其基本 形式为S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中a、b、c分别为三角 形的三边长，p为半周长，即p=(a+b+c)/2。
该公式适用于任何类型的三角形，只要已知三边长即可求解面积。需要
注意的是，在使用该公式时，需要先计算出半周长p。
04 三角形在生活中的应用
建筑结构中稳定性应用
三角形框架
在建筑结构中，三角形框架常被用于增强稳定性，如桥梁、 塔楼和屋顶等。由于三角形的形状特性，它能够有效地分散 和承受重力、风力和地震等外力。
在解题过程中，注意步骤的严谨性和 逻辑性，避免出现计算错误或逻辑混 乱的情况。
多做相关练习题，加强对知识点的理 解和记忆。
对于复杂的题目，可以尝试使用多种 方法进行求解，比较不同方法的优劣 性，选择最适合自己的方法进行求解。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的定义和性质
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。三角形的内角和为180度，且任意两边之和 大于第三边，任意一边都小于另外两边之和。
三角形的知识点归纳总结
三角形的知识点归纳总结三角形是平面几何中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和知识点。
下面将对三角形的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的边由三个非共线的点确定。
2. 三角形的元素：三角形有三条边和三个顶点，三角形的三个内角和为180度。
3. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等多种类型。
二、边长关系1. 三角形边长的关系：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 等边三角形：等边三角形的三边长度相等。
3. 等腰三角形：等腰三角形的两边长度相等，两个底角也相等。
4. 直角三角形：直角三角形有一个内角是90度，满足勾股定理。
5. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90度。
6. 钝角三角形：钝角三角形的一个内角大于90度。
三、角度关系1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180度。
2. 等角三角形：等角三角形的三个内角相等。
3. 外角和定理：三角形的一个内角的外角和等于180度。
4. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都是锐角，且最小的内角对应最小的边。
5. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角是钝角，且最大的内角对应最长的边。
四、重要定理1. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等，且等于中线的一半。
2. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
3. 三角形的角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
五、面积公式1. 三角形面积的计算：三角形的面积可以使用海伦公式或底边高公式进行计算。
2. 海伦公式：设三角形的边长为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 底边高公式：设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于1/2 * b * h。
三角形复习提纲
三角形复习提纲三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它涵盖了很多重要的性质和定理。
本文将对三角形的基本概念、性质和定理进行复习和总结。
一、三角形的基本概念首先，我们需要了解三角形的基本定义和几何元素。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的三个顶点分别由这三条边所连接。
在三角形中，我们有以下几个重要的几何元素：1. 顶点：三个顶点分别用大写字母A、B、C表示。
2. 边：三条边分别用小写字母a、b、c表示。
3. 内角：三角形内部的角分别用字母A、B、C表示。
4. 外角：三角形外部的角也分别用字母A、B、C表示，它们的和为360度。
二、三角形的性质在我们熟悉了三角形的基本概念后，我们来了解一些与三角形有关的重要性质。
1. 内角和定理：三角形的内角和等于180度。
即A + B + C = 180度。
2. 外角和定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。
即A' = B + C，B' = A + C，C' = A + B。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个内角等于90度，我们称其为直角三角形。
直角三角形的边与边之间也有一些重要关系，比如勾股定理。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三个边相等，我们称其为等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
三、三角形的定理除了上述的性质外，三角形还有很多重要的定理，它们可以帮助我们解决各种与三角形有关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 外角定理：一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
2. 内角平分线定理：一条角的内角平分线将这个角分成两个相等的角。
3. 垂直角定理：如果两条直线相交，形成了四个角，其中相邻的两个角互为垂直角。
4. 相似三角形的性质：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
相似三角形有很多重要的性质和比例关系，比如边长比例、面积比例等。
在解决三角形问题时，我们可以利用这些性质和定理来推导和证明结论，从而得到问题的解答。
三角形知识点复习总结
三角形复习1.三角形的定义：由不在同一亶线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点•组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内 角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ ABC,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的 角C 的小写字母C 表示，AC 叮用b 表示，BC 町用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接：（2） 三角形是一个封闭的图形：（3） A ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义•2.三角形的分类:（1）按边分类： （2）按角分类:I 等边三角形不等边三勿形直角三欽形锐角三角形钝角三角形3. 三角形的主要线段的定义:（1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法J 是厶ABC 的BC 匕的中线.-DC 巧 BC.注意：①三角形的中线是线段：② 三角形三条中线全在三角形的内部： ③ 三角形三条中线交于三角形内部一点： ④ 中线把三角形分成两个而积相等的三角形.<2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线匂它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法J 是AABC 的ZBAC 的平分线.等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形AD C注意：①三角形的角平分线是线段:② 三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点: ④ 用角器画三角形的角平分线.(3) 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的宜线作垂线，顶点和垂足之间的线段.表示法J 是A ABC 的BC 上的高线. 丄BC 于D.3. Z ADB=Z ADC=90\注意：①三角形的高是线段：② 锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外; ③ 三角形三条高所在直线交于一点•4. 三角形的主要线段的表示法: 三角形的角平分线的表示法：如图1.根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是ABC 的角平分线： ② AD 平分BAC,交BC 于D ：③ 如果人D 是ABC 的角平分线，那么DAU 丄BAC.2⑵三角形的中线表示法：根据具体情况使用以下任意一种方式表示: 人BC 的中线：人BC 中BC 边上的中线:(3) 三角线的高的表不法J如图2,根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是A8C 的高：② AM 是A8C 中BC 边上的高：③ -◎ 如果AM 是 ABC 中BC 边上高，那么AM fiC,垂足是E; ⑤如果AM 是 人BC 中BC 边上的高，那么 &M8=人MU90 .5. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1) 如图3,三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2) 如图4.三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图567,三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部， 钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部•直角三角形的三条高的交点在直角三角如图1， ①Af 是③如果处是赵的中纯那么严 AD C CB图156•三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)用成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.7.三角形的角与角之间的关系： (:L)三角形三个内角的和等于180 ;(2) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和: (3) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和；4^理宦理：三角形的内角和等于180。
解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结三角形是平面几何中重要的图形之一，研究三角形的性质可以帮助我们解决各种几何问题。
下面对常见的三角形知识点进行归纳总结。
一、三角形的定义和分类1.三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。
2.根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
3.根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、三角形的性质和关系1.三角形的内角和等于180度。
2.等边三角形的三个角都是60度。
3.等腰三角形的两个底角相等。
4.直角三角形的一个角是90度。
5.顶角相等的两个等腰三角形是全等的。
6.等腰三角形的底边上的高是它的中位线、垂直线和角平分线。
7.等边三角形的高、中位线、垂直线和角平分线是重合的。
8.三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三、三角形的重要线段和关系1.三角形的重心：三条中线的交点，也是三条中线的重心。
2.三角形的垂心：三条高线的交点，也是三条高线的垂心。
3.三角形的外心：三个顶点关于其中一直线对称的焦点，也是三个外接圆的圆心。
4.三角形的内心：三条内角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。
5.等腰三角形的高、两边中线和角平分线等于底边。
6.直角三角形的斜边是其他两边的和。
四、三角形的面积计算1.根据底和高的关系，可以计算普通三角形的面积。
2.根据两边和夹角的关系，可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式计算三角形的面积。
五、三角形的相似与全等1.两个三角形如果对应的角相等，则它们是相似的。
2.两个三角形如果对应的边和角都相等，则它们是全等的。
3.相似三角形的边长比例相等，面积比例为边长比例的平方。
六、勾股定理1.直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。
2.勾股定理可以用于证明三角形是否为直角三角形，也可以用于计算三角形的边长。
七、三角函数1.正弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的对边与斜边之比。
2.余弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的临边与斜边之比。
认识三角形和四边形 整理与复习(教案)2023-2024学年数学四年级下册
教案标题：认识三角形和四边形整理与复习教案概述：本教案旨在帮助四年级学生巩固对三角形和四边形的认识，通过复习和整理，使学生能够熟练掌握三角形和四边形的基本性质，提高学生的数学思维能力。
教学目标：1. 让学生熟练掌握三角形和四边形的定义和基本性质。
2. 培养学生的观察、分类和推理能力。
3. 提高学生对几何图形的认识和空间想象力。
教学重点：1. 三角形和四边形的定义和基本性质。
2. 观察和分类几何图形。
教学难点：1. 理解三角形和四边形的稳定性和不规则性。
2. 运用推理和分类能力解决几何问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔。
2. 学生准备笔记本、铅笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾三角形的定义和基本性质，如三角形的内角和、等边三角形、等腰三角形等。
2. 引导学生回顾四边形的定义和基本性质，如四边形的内角和、正方形、长方形、平行四边形等。
二、复习三角形（15分钟）1. 让学生列举三角形的种类，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
2. 引导学生观察三角形的稳定性和不规则性，如三角形的内角和为180度，等边三角形的三条边相等等。
3. 通过练习题，让学生运用三角形的性质解决实际问题。
三、复习四边形（15分钟）1. 让学生列举四边形的种类，如正方形、长方形、平行四边形等。
2. 引导学生观察四边形的稳定性和不规则性，如四边形的内角和为360度，正方形的四条边相等且四个角都是直角等。
3. 通过练习题，让学生运用四边形的性质解决实际问题。
四、综合练习（15分钟）1. 给学生发放综合练习题，包括三角形和四边形的性质的应用。
2. 引导学生认真审题，运用所学的知识解决问题。
3. 对学生的答案进行讲解和点评，纠正错误，巩固知识。
五、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结本节课的学习内容，回顾三角形和四边形的定义和基本性质。
2. 引导学生思考三角形和四边形在实际生活中的应用，如建筑、艺术等。
3. 提供一些拓展性的问题，让学生自主探究和思考。
三角形知识点复习经典归纳
三角形知识点复习经典归纳三角形是初中数学中的重要几何概念之一，掌握三角形的性质和相关知识，对于学生的数学学习和几何思维的培养都非常关键。
本文将回顾三角形的基本定义、性质和相关公式，帮助读者巩固三角形的知识，同时提供一些解题方法和技巧。
一、三角形的定义及基本性质1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，每条线段都是三角形的一条边，相交的点称为顶点，它们之间称为内角。
2. 三角形的内角和三角形的内角和为180度，即三个内角之和等于180度。
3. 三角形的分类根据边的长短和内角的大小，三角形可分为等腰三角形、等边三角形、直角三角形和一般三角形。
4. 等边三角形等边三角形的三条边相等，且三个内角都是60度。
5. 等腰三角形等腰三角形的两边相等，且两个对应的内角也相等。
6. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度。
7. 一般三角形一般三角形即除了等腰、等边、直角三角形以外的三角形。
二、三角形的面积计算方法1. 面积计算公式三角形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = 底边长 ×高 / 2其中，底边长为任意一条边的长度，高为从底边到对应顶点的垂直距离。
2. 海伦公式当已知三角形的三条边长时，可以使用海伦公式计算三角形的面积：面积= √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中，p为三角形的半周长，即p = (a + b + c) / 2，a、b、c为三角形的三条边长。
三、三角形的重要性质1. 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，即三角形两边之和大于第三边。
2. 三角形内角关系三角形的任意两个内角之和等于第三个内角的补角，即α+β=180°-γ。
3. 三角形的外角关系三角形的一个内角的外角等于另外两个内角的和，即α=β+γ。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等，顶角的平分线也是底边的垂直平分线。
5. 直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互为补角，且斜边是锐角的对边中最长的一边。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
三角形的认识整理与复习
三角形的认识整理与复习三角形是我们数学中的重要概念之一，它的认识对于理解几何学的基本原理和解题技巧至关重要。
在本文中，我们将对三角形的定义、分类、性质和相关定理进行整理与复习。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，它的特点是三个顶点和三条边。
我们可以通过连接三个不同的点来得到一个三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 等边三角形：三条边的边长相等。
2. 等腰三角形：至少两条边的边长相等。
3. 直角三角形：其中一个角是直角。
4. 钝角三角形：其中一个角是钝角（大于90°）。
5. 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和等于180°：三个内角的和始终等于180°。
2. 三角形的外角和等于360°：三个外角的和始终等于360°。
3. 三角形的任意两边之和大于第三边：任意两边之和大于第三边，这个性质被称为三角形的三边关系。
4. 等腰三角形的两底角相等：等腰三角形的两底角（顶点不在等腰边上的两个角）相等。
5. 等边三角形的三个角都相等：等边三角形的三个角都是60°。
四、三角形的重要定理1. 相似三角形的性质：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
相似三角形之间的边长比例也相等。
2. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边分别平方的和。
3. 正弦定理：在任意三角形ABC中，边a、边b、边c的长度与它们对应的角A、角B、角C的正弦之间有如下关系：sinA/a = sinB/b = sinC/c。
4. 余弦定理：在任意三角形ABC中，边a、边b、边c的长度与它们对应的角A、角B、角C的余弦之间有如下关系：c² = a² + b² - 2ab cosC。
5. 正弦定理的逆定理：在任意三角形ABC中，若边a、边b、边c 的长度和角A的正弦比为sinA/a，那么角A的度数为A。
八年级三角形知识点归纳总结
八年级三角形知识点归纳总结一、三角形的概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三条边、三个顶点和三个内角。
2. 表示方法。
- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中∠C = 90°，直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都是60°。
三、三角形的性质。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a。
- 三角形两边之差小于第三边，即a - b<c，a - c<b，b - c<a。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B + ∠C=180°。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，例如∠ACD = ∠A+∠B。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4. 三角形的稳定性。
- 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
例如自行车的车架做成三角形形状是利用了三角形的稳定性。
四、三角形中的重要线段。
1. 三角形的中线。
- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 性质：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
4.认识图形(一)整理和复习(教案)一年级上册数学人教版
4.认识图形（一）整理和复习（教案）一年级上册数学人教版教案：认识图形（一）整理和复习一、教学内容本节课是人教版一年级上册数学的整理和复习课，主要复习第五章《认识图形》的内容。
这部分内容包括：正方形、长方形、圆形和三角形的基本特征，以及它们之间的比较和分类。
二、教学目标1. 让学生通过复习对正方形、长方形、圆形和三角形有更深刻的认识，能够识别和描述这些图形的特点。
2. 培养学生的观察能力、比较能力和分类能力，提高他们的数学思维能力。
3. 培养学生的团队合作意识和沟通能力，提高他们的学习兴趣。
三、教学难点与重点1. 教学难点：让学生理解和掌握不同图形的特征，能够准确地识别和描述它们。
2. 教学重点：通过观察和比较，让学生能够发现不同图形之间的关系，培养他们的分类能力。
四、教具与学具准备1. 教具：正方形、长方形、圆形和三角形的模型，彩笔，黑板。
2. 学具：每个学生准备一套正方形、长方形、圆形和三角形的模型，彩笔。
五、教学过程1. 导入：通过让学生观察教室里的物品，引导他们发现不同图形的形状，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾：让学生回顾在第五章中学到的正方形、长方形、圆形和三角形的特点，通过提问的方式检查他们的掌握情况。
3. 分类游戏：将学生分成小组，每组给学生一套正方形、长方形、圆形和三角形的模型，让他们按照一定的标准进行分类，培养他们的分类能力。
4. 举例讲解：通过出示一些生活中的实例，让学生观察和比较不同图形的特征，帮助他们进一步理解和掌握这些图形的特点。
5. 随堂练习：让学生通过解决一些实际问题，运用所学的图形知识，提高他们的应用能力。
六、板书设计板书设计如下：图形特征正方形四条边相等，四个角都是直角长方形对边相等，四个角都是直角圆形大小相等，曲线三角形三条边，三个角七、作业设计1. 请学生用彩笔描绘出自己喜欢的图形，并写一写这个图形的特征。
答案：略2. 请学生在生活中找一找不同图形的例子，并拍照或者画出来，下节课分享给大家。
北师大版数学四年级下册 整理与复习(2) 认识三角形和四边形
知识回顾
图形的分类
三角形的认识
1.三角形的定义
由三条线段围成的图形叫作三角形
●●
（每相邻两条线段的端点相连）。
顶点
边
角
顶点
角
边
从三角形的一个顶 点到它的对边作一 条垂线,顶点和垂足 边 之间的线段叫三角 形的高,这条对边叫 角 作三角形的底。 顶点
三角形都有三条边、三个顶点、三个角。
四边形 四边形 梯形 平行四边形 长方形 正方形
四边形具有不稳定性。
正方形、长方形、平行四边形的特点。
对边平行 边 四条边相等
角
四个直角
对边平行 对边相等
四个直角
对边平行 对边相等
对角相等
巩固练习
1.填一填。
45°
30°30°
72°
2.在能摆成三角形的小棒下面画“√”。（单位：厘米） √ √
3. 分一分。 在直角三角形中画1条线段，把它分成两个直角三角形。
4.在格子图上画一个平行四边形和一个梯形。
（画法不唯一）
5. 数一数。
有（4 ）个三角形，有（ 2 ）个平行四边形， 有（4 ）个梯形。
6. 用1根长30cm的细铁丝围成三角形。 （1）如果围成1个等边三角形边。
3.三角形的分类
三边互不相等的三角形
按边分
等腰三角形 （含等边三角形)
三
角
形
锐角三角形 (3个锐角)
按角分 直角三角形 (1个直角、2个锐角)
钝角三角形 (1个钝角、2个锐角)
4.三角形的内角和
三角形的内角和是180°。
指的是任意一个三角形，不 分大小，内角和都是180°。
7.在直角三角形纸片上，剪下1个小直角三角形， 使得到的两个图形能拼成1个平行四边形。
解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结一、基本概念三角形：由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的元素：三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c。
二、三角形的分类按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
锐角三角形：三个内角都小于90度。
直角三角形：有一个内角等于90度。
钝角三角形：有一个内角大于90度。
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两边称为腰，另一边称为底边。
等边三角形：三边都相等的等腰三角形，也是特殊的等腰三角形。
三、三角形的性质三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。
四、解三角形的常用定理和公式正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中R是三角形的外接圆半径。
余弦定理：c² = a² + b² - 2ab·cosC（以及针对其他角的类似公式）。
面积公式：S = 1/2 * bc * sinA（以及针对其他角的类似公式），或者S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)]，其中p是半周长，即p = (a + b + c) / 2。
五、解三角形的过程解三角形通常涉及已知三角形的几个元素（如两个角和一条边，或三条边等），然后利用上述定理和公式求出其他未知元素的过程。
六、应用解三角形在实际问题中有广泛应用，如在航海、测量、地理、工程等领域中，经常需要利用三角形的性质进行角度和距离的计算。
通过学习和掌握这些知识点，可以更深入地理解三角形的性质和应用，为解决实际问题提供有力工具。
同时，解三角形也是培养逻辑思维和空间想象能力的重要途径。
四年级下册数学教案-4.3 三角形的认识整理复习 ︳西师大版
四年级下册数学教案-4.3 三角形的认识整理复习︳西师大版一、教学目标1. 让学生掌握三角形的定义、性质和分类，能熟练地识别和绘制不同类型的三角形。
2. 培养学生运用三角形知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维和空间想象力。
3. 培养学生合作学习、积极参与的精神，提高学生的口头表达和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
2. 三角形的性质：具有稳定性的特点，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3. 三角形的分类：按边分，可分为等腰三角形和不等腰三角形；按角分，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4. 三角形的周长和面积：周长等于三边之和，面积可用海伦公式或底乘高除以二计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的定义、性质和分类，以及三角形的周长和面积的计算。
2. 教学难点：三角形性质的推导和应用，以及面积公式的灵活运用。
四、教学过程1. 导入新课：通过复习已学的平面图形知识，引导学生回顾三角形的定义和性质。
2. 讲授新课：（1）三角形的定义：引导学生理解三角形是由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
（2）三角形的性质：通过实际操作，让学生体会三角形的稳定性，引导学生发现并证明三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（3）三角形的分类：让学生通过观察和比较，掌握等腰三角形、不等腰三角形、锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的特征。
（4）三角形的周长和面积：引导学生运用已学的知识，计算三角形的周长和面积。
3. 课堂练习：设计不同类型的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 课堂小结：让学生总结本节课所学的内容，提高学生的归纳总结能力。
5. 布置作业：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
五、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，如积极参与、合作学习、口头表达等方面。
2. 练习评价：检查学生在课堂练习和课后作业中的完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
三角形知识点归纳
三角形知识点归纳三角形是平面几何中的一个基本图形，具有许多重要的性质和特点。
以下是对于三角形的知识点的归纳：一、基本概念与性质1.三角形的定义：由三条线段组成，两边之和大于第三边的图形。
2.三角形的要素：三个顶点、三条边和三个内角。
3.三角形的分类：a.根据边长分类：等边三角形（三边相等）、等腰三角形（两边相等）、普通三角形（三边都不相等）。
b.根据角度分类：锐角三角形（三个内角都小于90°）、直角三角形（一个内角为90°）、钝角三角形（一个内角大于90°）。
4.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
即：∠A+∠B+∠C=180°。
5.三角形两边之和大于第三边的性质。
即：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC。
二、三角形的特殊性质与定理1.等边三角形的性质：三条边都相等，三个内角都为60°。
2.等腰三角形的性质：a.两边相等对应的两个内角也相等。
b.底边上的两个角称为底角，底角相等的等腰三角形的两边相等。
3.直角三角形的性质：a.一个内角为90°。
b.符合勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即a^2+b^2=c^24.锐角三角形的性质：a.三个内角都是锐角。
b.不存在边相等的锐角三角形。
5.钝角三角形的性质：a.一个内角大于90°。
b.一条边大于余下两边之和。
6.三角形的中位线与重心：a.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段。
b.三角形的重心是三条中线的交点，是三角形内部的一个点。
c.三角形的重心将中位线分成1:2的比例。
7.三角形的高与垂心：a.三角形的高是从一个顶点到与对边垂直的线段。
b.三角形的垂心是三条高的交点，是三角形内部的一个点。
8.三角形的外心与外接圆：a.三角形的外心是三条垂直平分线的交点，是三角形外部的一个点。
b.三角形的外接圆是以三个顶点为圆心的圆，包含三角形的三个顶点。
三角形所有知识点总结
三角形所有知识点总结三角形是几何学中的一个基本概念，它是由三条线段连接而成的图形。
本文将从不同的角度介绍三角形的知识点，包括定义、分类、性质、应用等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段都是另外两条线段的端点之间的直线段。
三角形的三个顶点可以用大写字母A、B、C表示，而三条边可以用小写字母a、b、c表示。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为以下几种类型：1. 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
2. 根据角度大小分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于180°。
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角均为60°。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条底边相等，两个底角相等。
4. 直角三角形的性质：直角三角形的一个内角为90°。
5. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角均小于90°。
6. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角大于90°。
四、三角形的应用三角形在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的测量：三角形的边长和角度可以通过测量来确定，例如在建筑设计和土木工程中常用于测量地形和角度。
2. 三角函数的应用：三角函数是三角学的重要分支，它在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
3. 三角形的相似性：相似三角形是几何学中的一个重要概念，它在计算几何和图形变换中有着重要的应用。
4. 三角形的几何关系：三角形的几何关系包括垂直、平行、相交等，它们在几何证明和几何推理中起着重要的作用。
三角形是几何学中的一个基本概念，它具有丰富的性质和广泛的应用。
通过学习和研究三角形的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理和方法。
无论是在学术研究还是实际应用中，三角形都扮演着重要的角色，它不仅是数学学科的基础，也是其他科学领域的重要工具和方法。
认识三角形知识点总结
认识三角形知识点总结三角形是几何学中的基本图形之一，以下是关于三角形的一些重要知识点总结：1. 三角形的定义：由三条边围成的平面图形。
这三条边称为三角形的边，而它们围成的角称为三角形的角。
2. 三角形的性质：三角形内角之和为180度。
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形具有稳定性，即三角形不容易变形。
3. 三角形的分类：等边三角形：三边相等，三个角都等于60度。
等腰三角形：两边相等，两个底角相等。
直角三角形：有一个角为90度的三角形。
4. 三角形的面积计算：基础公式：面积 = (底× 高) / 2。
特殊情况：等边三角形的面积= (√3 / 4) × 边长^2；等腰直角三角形的面积= (1/2) × 边长^2。
5. 三角形的相似与全等：两个三角形如果对应角相等，则它们相似。
全等三角形是相似三角形的特殊情况，即对应边和角都相等。
6. 三角函数：描述三角形边与角之间关系的比值，如正弦、余弦、正切等。
这些函数在解决实际问题中，如计算角度、高度、距离等，非常有用。
7. 三角形的内角和外角：内角：三角形内部的角。
外角：与三角形的一边形成平角的外部角。
外角等于不相邻的两个内角之和。
8. 直角坐标系中的三角形：如果给定三个点的坐标，我们可以使用向量来描述这些点和角度。
这些信息可以用来确定三角形的形状、大小和位置。
9. 三点确定一个三角形：给定三个不共线的点，可以确定一个唯一的三角形。
10. 三角形的中线、高线和角平分线：中线：连接顶点与对边中点的线段。
中线长度是基底的一半。
高线：从顶点垂直到对边的线段。
角平分线：将一个角分为两个相等部分的线段。
11. 三角形的重心、内心和外心：重心：三条中线的交点，它将中线分为2:1的比例。
内心：平分三角形所有内角的点。
它也是三角形三条高的交点（仅对直角三角形而言）。
外心：三条垂直平分线的交点。
它也是三角形的重心的位置（仅对等边三角形而言）。
北师大版四年级下册数学课件整理与复习 认识三角形和四边形
4.直角三角形一定有一个角是直角。 5.如果三角形中一个最大的内角小于90°， 那么这个三角形一定是锐角三角形。 6.任何三角形最多只能有一个直角。 7.任何三角形，最多只能有一个钝角。
8.做房屋的架子通常是三角形的，这是利用 了三角形的（ 稳定性 ）。 9.平行四边形易变形、不稳定。 10.三角形内角和是（ 180 °）。
(1) a=2 b=1 c=3
( ×)
(2) a=3 b=4 c=5
(√ )
(3) a=3 b=3 c=3
(√ )
2.如果三角形的两条边的长分别是5cm和2cm， 那么第三条边的长应在什么范围内？
3＜第三条边＜7
想一想
• 用4根4厘米，一根5厘米，一 根6厘米，一根7厘米的小棒，可以 摆成几个不同的三角形？可以摆几 个周长大于14厘米的三角形？
填空
（1）一个四边形，如果只有一组对边平 行，它就是（ 梯 ）形；如果两组对边 分别平行，它就是（ 平行四）边形。
（2）有两个内角相等的三角形是（等腰） 三角形。
（3）一个三角形中至少有（ 2 ）个锐角 ，最多只能有（1 ）个钝角。
（4）一个三角形的两个内角之和是85度 ，这个三角形是（钝角 ）三角形。
19.正方形是特殊的长方形。 20.长方形是特殊的平行四边形。 21.梯形是有且只有一组对边平行的四边形。 22.在一个三角形中，有一个角的度数是另 外两个角的度数之和，那么它一定是个直 角三角形。
180°×2=360°
180°×4=720°
三角形三边关系
1.以下列两组数据为边，能否围成三角形？
两组对边分别平行，四个角是 直角。
两组对边分别平行，四个角 是直角，四条边都相等。
平行四边形 长方形 正方形
4. 认识图形-整理与复习(教案)一年级上册数学 人教版
教案标题：4. 认识图形-整理与复习（教案）一年级上册数学人教版【教学目标】1. 让学生能够准确识别和命名平面图形，如正方形、长方形、三角形、圆形。
2. 培养学生运用图形进行观察、分类、计数等基本数学技能。
3. 培养学生的空间观念和观察能力，提高学生解决问题的能力。
【教学内容】1. 教学重点：图形的认识和分类。
2. 教学难点：图形的特征和性质的理解。
3. 教学准备：图形卡片、练习本、彩色笔。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾上一节课学习的图形知识，让学生展示他们已经认识的图形。
2. 通过提问的方式，检查学生对图形的认识和记忆情况。
二、图形的认识和分类（10分钟）1. 利用图形卡片，引导学生观察和描述各种图形的特征，如边、角、面积等。
2. 让学生根据图形的特征，将图形进行分类，如将正方形、长方形分为一类，将三角形、圆形分为一类。
3. 引导学生总结各种图形的性质，如正方形的四条边相等，四个角都是直角；长方形的对边相等，四个角都是直角等。
三、图形的计数（10分钟）1. 利用图形卡片，引导学生进行图形的计数练习，如计算有多少个正方形、长方形、三角形、圆形等。
2. 让学生尝试自己设计一些图形，并进行计数练习。
四、图形的应用（10分钟）1. 利用图形卡片，引导学生进行图形的拼接和组合，如用正方形、长方形、三角形、圆形拼接成一个大的图形。
2. 让学生尝试自己设计一些图形，并进行拼接和组合练习。
五、总结和复习（10分钟）1. 引导学生回顾本节课学习的图形知识，让学生展示他们已经认识的图形。
2. 通过提问的方式，检查学生对图形的认识和记忆情况。
3. 引导学生总结本节课的学习内容，并进行复习。
【作业布置】1. 让学生回家后，找一些生活中的图形，进行观察和描述。
2. 让学生尝试自己设计一些图形，并进行拼接和组合练习。
【教学反思】本节课通过图形的认识和分类、图形的计数、图形的应用等环节，让学生对图形有了更深入的了解和认识。
新人教版八年级上册数学[《三角形》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BA C（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵A E平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
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《三角形的认识整理与复习》教学设计作者：周建华来源：本站原创发布时间：2011年12月16日点击数：86 【字体：小大】【收藏】【打印文章】【查看评论】《三角形的认识整理与复习》教学设计教学目标：1、能够按角的特点正确给三角形进行分类，并掌握等腰三角形和等边三角形的特点，会画出三角形的高。
2、复习巩固三角形的分类、能灵活运用三角形三条边之间的关系和三角形内角和的知识解决实际问题。
教学重点和难点：复习巩固三角形的分类、能灵活运用三角形三条边之间的关系和三角形内角和的知识解决实际问题。
教学准备：多媒体课件、练习单每人一份、三角板一副、实物投影仪。
教学过程设计：一、学生自学，教师导学同学们，上节课我们一起参观了繁忙的工地，复习了角的有关知识，这节课我们将继续参观，看看还能遇到哪些问题，能不能解决这些问题。
下面我们先来一起回顾一下“三角形”的有关知识，好吗？请同学们阅读课本页到页的内容，将这部分的知识用画图或画表格的方式整理在练习单上，请看整理要求，哪位同学愿意读一下：（课件）①注意选择比较简洁明了的整理方式。
如：文字、表格或画图等方法。
②仔细地阅读教材，把所学知识罗列出来，不要有遗漏。
③学习的重点和难点有哪些，想一想知识之间的联系。
④有能力的同学可以整理一下我们获取知识的方法（想一想不用写出来）。
二、学生合作、教师参与请同学们以小组为单位，把刚才整理好的知识图标与小组同学交流一下，并以小组为单位，整理一份你们最满意的知识纲要图标。
可以先找一份整理的比较好的，然后在上面进行修改和补充，小组成员发表意见，组长负责记录。
（教师参与小组活动，挑选有代表性的准备全班交流）三、学生展示、教师点拨（教师收集学生整理的结果准备实物投影上的展示）1、下面请这几个小组来汇报一下你们整理的结果，（投影）(小组汇报，全班共同构建，随着学生的汇报，教师逐步完善板书)认识、特性:三条线段围成具有稳定性3边关系:任意两边之和大于第三边按角分锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形分类等腰三角形 :包含等边三角形按边分 (两腰相等, (三条边相等,三个两底角相等) 角相等,每个角600)不等边三角形底和高及高的画法:一条直角边对齐底,从顶点向底边画垂线段内角和:18002、随着学生对知识的整理，老师随即提问：（1）什么样的三角形是锐角三角形？直角三角形？钝角三角形？(游戏：猜三角形，教师手拿一个三角形，只露一个角，让学生猜，猜对一个贴在黑板上相应的位置)引导：你是怎么想的？为什么三角形中只能有一个钝角？（2）谁能说说当时我们是用什么方法得到三角形内角和是180度这个结论的？（3）如果用集合圈来表示三角形、等腰三角形、等边三角形的关系，你觉得应该怎样表示？（4）谁能画出这个三角形这条底边上的对应高？（抽学生在黑板上画板贴在黑板上的三角形的高）同学们在练习单的第二题上画出底边对应的高。
（抽生在黑板上画）……四、学生练习、教师点评1、从同学们整理的情况来看，大家对这一部分的知识都有了系统的认识，下面我们来看看建筑工地上有哪些关于三角形的问题。
这是一张设计图纸，你能给这些三角形分分类吗？分类的根据是什么？（课件出示）看练习单的第二题，请大家以小组为单位找出咱们学过的各种不同的三角形，比一比哪个组找到的种类多，把序号写下来。
引导：按角分？按边分？2、现在同学们看到的是太阳能安装图，太阳能支架为什么要设计成三角形的呢？工程师叔叔给同学们提出了这样一个问题：这里有4根铝条，分别是80厘米、120厘米、150厘米、200厘米，挑选哪三根能焊接成太阳能的三角支架呢？（课件出示问题：）3、现在你看到的是楼房设计平面图，房顶设计成了三角形，如果顶角设计为150度，你能算出两个底角的度数吗？练习单第4题。
五、学生达标、教师小结对这部分知识大家还有什么疑问吗？下面我们检测一下，看看大家掌握的怎么样？1、直角三角形的一个锐角是35度，另一个锐角是（）度。
2、工程师叔叔给同学们提出了这样一个问题：有4根铝条，分别是80厘米、120厘米、150厘米、200厘米，挑选哪三根能焊接成太阳能的三角支架呢？3、（1）求三角形花坛的周长。
停车场3.2厘米（2）这是小区花坛平面图，设计师想从A点到停车场修 2.3厘米A一条最近的路，你能画出来吗？教学内容：苏教版第八册《三角形的认识》单元复习。
片断一：画一个你最喜欢的三角形(设计意图：我发现同学们平时都喜欢玩一种自己发明的“大战图”游戏。
在这个游戏中，他们用不同的几何图形来表示军营、武器、行动路线等，玩得十分投入。
所以这节复习课，我就决定从“大战图”开始。
)师：你们喜欢玩“大战图”游戏吗?生：(非常激动)对!喜欢!师：老师发现你们在游戏中画了很多图形，其中就有我们刚刚学过的三角形。
你能画一个最喜欢的三角形，并说说你喜欢它的理由吗?生1：我最喜欢画的是“等边三角形”。
因为它每个角都是60度，每条边都相等。
而且沿着它的三条高分别对折后，两边都能完全重合。
说明它还是一个轴对称图形。
我在画“三国鼎立”时经常用到它。
生2：我最喜欢画的是“等腰直角三角形”。
它的两条腰相等，两个底角都是45度。
它也是一个轴对称图形。
而且我发现：沿着底边上的高剪开，可以得到两个完全一样的等腰直角三角形。
再把两个小三角形用同样的方法剪开，可以得到四个完全一样的等腰直角三角形。
而且还可以这样继续分下去。
我经常用它来表示军营。
生3：我最喜欢画的是一个底角是60度的直角三角形。
我发现：它的较短的直角边，正好是斜边的一半。
我画行军线路时经常用到它。
虽然我不知道其中的道理，但我在游戏时画了很多个这样的三角形，都发现了这个特点。
师：他的这个发现对吗?其他同学也可以画一个这样的三角形试试。
至于其中的道理，以后我们会学到。
(设计意图：借助学生感兴趣的游戏，使之成为课堂教学的鲜活元素，为学生的复习创设了趣味盎然的气氛，充分调动了学生的积极性。
同时，也可以充分发挥学生的潜力，使他们能将所学的知识，灵活运用到游戏中；同时通过游戏又学到了书本上尚未学到的知识。
让学生感受到了学习数学的快乐。
)片断二：用你喜欢的方法整理知识师：同学们的发言让老师感受到三角形的确非常有趣。
在这个单元中，你还学到了哪些有关三角形的知识呢?请你们以小组为单位，用自己喜欢的方法整理一下这个单元你所学到的内容。
生：我们是这样整理的教学目标1、经历从具体物体中抽象出角和三角形的过程，认识角和三角形，知道周角、平角及周角、平角、钝角、直角、锐角的大小关系。
通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边，三角形内角和是180°。
2、结合实例，学会用量角器量角的度数，会画指定度数、角数，并能用三角板画30°、45°、60°、90°的角，能够按角的大小对三角形进行分类，在探索三角形分类和验证三角形内角和过程中，体验解决问题的多样性。
3、在观察、操作、验证等学习活动中，学习角与三角形的认识，发展空间观念，提高初步的推设能力。
4、能够自觉运用角和三角形的有关知识解决生活中的简单问题，体验角和三角形知识与日常生活的密切联系。
教学过程一、回顾呈现谈话：同学们，我们刚学过第三单元，它一共有2个信息窗口，你都学到了什么知识？学生可能回答：角的各部分名称，三角形的特性，三角形内角和是180°，图形的拼组。
【设计意图】按照学生的学习规律，根据遗忘曲线及学生的年龄特点，教师在学生整理知识时要参与其中，给与必要的方法指导，引导学生互相学习，取长补短，找出不足查漏补缺，知识融会贯通，能力切实提高的目的。
二、查漏提升谈话：关于角，你都知道了什么？（学生可能回答：角的意义，角的各部分名称，角的分类等等）1、整理有关角的知识。
让学生任意画一个角，以此为依托，回顾整理相关知识。
回顾角的意义，根据自己画的角，同位互说角的意义。
回顾角的分数，通过复习前面的锐角、直角、钝角，引出平角、周角，并比较一下，他们的大小关系怎么样？回顾角的度量，用量角器量出自己画的角的度数，以此来回顾角的度量方法。
【设计意图】让学生动手操作，小组合作，让学生自己在操作过程中感受角，在交流中升华，培养学生动手操作能力，真正体现了学生学习方式的改善，体现了以学生发展为本的新理念。
2、整理有关三角形的知识。
谈话：三角形是我们已经学习过的图形，这里面还有很多数学知识，今天，我们一起来回顾、整理。
(1)让学生任意画一个三角形，并标出三角形的各部分名称，并找出三角形的三条边，三个角，三个顶点。
(2)同位合作，找出三角形的三条边，三个角，三个顶点。
(3)回顾三角形三条边的关系。
谈话：有关三角形三条边的关系，你都知道了什么？（学生有可能回答：三角形任意两边之和大于第三边……）通过举例子，引导学生回顾三角形三条边的关系。
课件出示：老师每天上班都要从学校先经过加油站，再从加油站到学校，有没有更近一点的路呢？为什么？（学生可能回答：把这几个地点和路线看成三角形，利用三角形任意两边之和大于第三边得出从家直接去学校近。
）判断下面的线段能不能围成三角形？（2厘米 4厘米 6厘米）（5厘米 2厘米 5厘米）（6厘米 2厘米 5厘米）（师引导学生总结窍门：只要看较短的两边之和大于第三遍，就能判断能否围成三角形）③一根14厘米长的吸管剪成三段，用线串成一个三角形能做多少个？如果每一小段剪成整厘米长，能剪几个？【设计意图】三个练习设计体现了一定的层次性，第一个练习让学生意识到数学源于生活，又用于生活。
第二个练习旨在让学生学以致用，并总结出窍门。
第三个练习有一定的难度，拓展学生的思维，使不同的学生得到不同的发展，体现了“下要保底，上不封顶”的教学思想。
3、整理角和三角形谈话：关于角和三角形，你都知道些什么？学生可能回答：知道了周角、平角；知道了三角形两边之和大于第三边；知道了三角形内角和是180°等等。
4、回顾三角形内角和。
让学生用三角板，任意画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形并用量角器分别量出每个三角形的三个内角，并计算出每个三角形三个内角之和，以此充分回顾验证三角形内角和为180°。
让学生根据所学知识解决问题：选一选：一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（）A 95° 20°B 45° 80°C 55° 60°②一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）A 100°B 40°C 50°⑵求角的度数：①∠1和∠2分别是直角三角形的两个锐角，已知∠1=32°求∠2已知等腰三角形的一个底角是50°，它的顶角是多少度？一个等腰三角形，它的一个底角的度数是顶角的2倍，它的顶角是多少度？【设计意图】三角形内角和的应用是三角形中一个重要的内容，对特殊三角形内角和的计算，学生掌握起来比较困难，通过这个板块的复习，让学生熟悉内角和，解决实际问题。