右s-unital环上的广义Morita理论
Strongart数学笔记：小结模与环上的Morita性质
小结模与环上的Morita性质我曾经在自己的交换代数讲座中提到过，理解环大概有三个层次：第一个是元素，这是最初级的讨论；第二个是理想，包括理想基本运算、链条件、根基（理想的交）等等，第三个是模，它可以看出被环操纵的一个傀儡，经常可以反馈一些信息。
可最近我意识到还有第四个层次，那就是（模）范畴，与之相关的理论被称为Morita theory.Morita theory可以从矩阵环的理论中推广出来，起初是注意到环R的很多性质往往与矩阵环Mn（R）相似，然后发现这样的现象可以在范畴的高度上进行解释，也就是说R与Mn（R）是Morita范畴等价的，相应模范畴的等价性质被称为Morita性质（Morita不变性）。
当然，推广后的结构并不仅限于矩阵环，而是构造一个形式化的Morita Context六元组（R,P,Q,S,α,β），这里我就是不再展开了。
实际上最常遇到的例子除了矩阵环之外，也就是在半本原环（semiperfect ring）R中对基本幂等元e，R与eRe之间的关系了。
如果肯定了某个性质P是Morita性质，那么关于它的一切命题都可以放心的在等价类中搬运，在代数K理论中Mn（R）与R的Ki 群同构就是典型的例子。
既然Morita性质建立在范畴等价的基础上，那么只要是范畴性质，那么它自然就是Morita不变的。
这里的范畴性质主要就是那些不依赖于具体元素确定的性质，而关于主理想（有生成元啊！）、循环模、零因子等等性质，它们就可能不是Morita性质。
但我们不能说它一定不是，因为它可能有其他范畴性的等价刻画，使用元素定义只是方便一点而已，比如下面的奇异模与非异模就是典型。
遗憾的是，假若性质P蕴含性质Q，P与Q是否属于Morita性质是毫无关联的，因此我们只能一个个进行检验，顺便也可以回顾一下相应环与模的基本性质。
在Morita性质的检验过程中，环的性质总是建立在模的基础上的，因此我们先检验的模的常见性质（为了方便，我以右侧为例）,像子模、商模、直和项等关系都是明显的，而本性子模与多余子模也可以不依赖元素定义，因此也属于Morita性质的范围内，而且可以作为判断其他性质的基础。
hellmann-广义morse势klein-gordon方程的散射态解
视角．近年来，不同势场的散射态解析解一直备受关注．Ｈｅｌｌｍａｎｎ势场是由库仑势－犪／狉 和 Ｙｕｋａｗａ势场 犫ｅ－α狉／狉 叠加而成，常被用来描述电子核心或电离子 的 相 互 作 用［１２］．Ｏｌｕｗａｄａｒｅ等 利 用 近 似 办 法 求 解 了 其 对应的克莱因戈登方程 散 射 态 解 析 解，获 得 相 移 公 式 和 本 征 值 公 式［３］．Ｗｅｉ等 对 改 良 的 Ｍｏｒｓｅ势 场 即 ＤｅｎｇＦａｎ势散射态解析进行了研究，获得了散射解析解的性质［４］．但这些研究大多针 对 单 势 场 展 开，为 了
关键词：Ｈｅｌｌｍａｎｎ广义 Ｍｏｒｓｅ势；散射态；ＫｌｅｉｎＧｏｒｄｏｎ方程 中 图 分 类 号 ：Ｏ４１３．１ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７４２３２Ｘ（２０１９）０６０６７６０５
０ 引言
在相对论量子力学中，散射态解析解提供了解原子结构、原子的 电 子 构 型、共 振 和 多 个 碰 撞 过 程 的 新
收 稿 日 期 ：２０１９０３０５ 修 回 日 期 ：２０１９０５２０ 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 （１１４０５１２８）；陕 西 省 教 育 厅 专 项 科 学 研 究 计 划 项 目 （１９ＪＫ０６３５）． 通 信 作 者 ：陈 文 利 （１９８１— ），男 ，副 教 授 ，主 要 从 事 数 值 计 算 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｐｈｙｓｗｌｃｈｅｎ＠１６３．ｃｏｍ
犎犲犾犾犿犪狀狀广义 犕狅狉狊犲势 犓犾犲犻狀犌狅狉犱狅狀方程的散射态解
陈文利，冯晶晶
（西安培华学院智能科学与信息工程学院，陕西 西安 ７１０１２５）
摘 要：对非线性离心项采用恰当的近 似 办 法，研 究 了 具 有 Ｈｅｌｌｍａｎｎ广 义 Ｍｏｒｓｅ势 的 ＫｌｅｉｎＧｏｒｄｏｎ方 程 的散射态问题，推导了归一化的散射态波函数和相应的 散 射 相 移 公 式，同 时 利 用 散 射 振 幅 解 析 性 质 获 得 了 束 缚 态 能 级 满 足 的 方 程 ．最 后 ，数 值 求 解 特 征 值 方 程 并 和 真 实 值 数 据 进 行 了 对 比 ．
带Morita对偶的偏序集环
第18卷第2期数学研究与评论V o l.18N o.2 1998年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON M ay1998带M or ita对偶的偏序集环Ξ朱 彬(北京师范大学数学系,100875) 王文举(首都经贸大学经济信息管理系,北京100026)摘 要 设R是有1的结合环,I是任意偏序集,R I是R上I的偏序集环.本文考虑了带对偶的偏序集环,得到:R I带M o rita对偶当且仅当R带M o rita对偶.推广了已有的在R是有限偏序集时的有关结果.关键词 偏序集环,离散线性紧,M o rita对偶.分类号 AM S(1991)16W50 CCL O153.3设R是有单位元1的结合环,对于局部有限偏序集S(即S是偏序集且Πx,y∈S,x≤y,集合[x,y]={z∈S x≤z≤y}是有限集),令I(S,R)={f:S×S→R ΠaΚb,f(a,b) =0},I(S,R)在下面运算之下是具有单位元的结合环:Πf,g∈I(S,R),(3) (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y), (f g)(x,y)=∑x≤z≤yf(x,z) g(z,y).称I(S,R)是R上S的Incidence环[2],[3].围绕Incidence环的同构问题,最近有一系列的研究[2],[3].为了处理一般的偏序集(不一定是局部有限的),文[1]引进了偏序集环的概念.设I 是任意偏序集,令R I={f:I×I→R 只对有限多个(a,b)∈I×I,f(a,b)≠0,且ΠaΚb,f(a, b)=0},R I关于上面(3)式所定义的运算成为一个结合环.当 I <∞时,R I与R上I的Inci2 dence环一致,有单位元;当 I =∞时,R I是无单位元的结合环.本文试图对任意的偏序集I,讨论带M o rita对偶的偏序集环R I,推广了[2],[3]的结果.根据[5],称一个结合环A(不一定有单位元)有局部单位元,如果对A的任意有限子集,均可找到A的一个形如e A e的子环(e2=e∈A),使得e A e包含此有限子集;称A是函子环[4](或带足够多的幂等元),如果A中存在正交幂等元集{e i}i∈I,使得A=i∈I e i A=i∈IA e i,此时{e i}i∈I称为A的完全幂等元集.对于带局部单位元的环A,所考虑的左模均为酉模,即A M= M.由[5],称左A2模M是离散线性紧(简记为d.l.c.),如果对A的任意幂等元e,M的子模簇{M k}k∈J,当{ex k,M k}k∈J是有限可解系时(即对J的任意有限子集F,均有x F∈M,使x F-ex k ∈M k,Πk∈F),它必为可解系(即存在x∈M,使得x-ex k∈M k,Πk∈J).称M是局部离散线性紧(l.d.l.c.),如果M的任意有限生成子模均是d.l.c.的.命题1 设A是带局部单位元的环,L≤A M,则M是d.l.c.当且仅当L,M L均是d.l.c.Ξ1995年6月10日收到.证明 (])由定义知L 是d .l .c .,下证M L 是d .l .c .,设e 2=e ∈A ,{M k L }k ∈J 是M L的任意子模簇,使得{ex θk ,M k L }k ∈J 是有限可解的,从而{ex k ,M k }k ∈J 是有限可解的,由M 是d .l .c .知有x ∈M ,使得x -ex k ∈M k ,Πk ∈J ,从而x θ-ex θk ∈M k L ,M L 是d .l.c .的.(α) 设e 2=e ∈A ,{ex k ,M k }k ∈J 是M 的一个有限可解系,对J 的任意有限子集F ,令x F ∈M ,使得x F -ex k ∈M k ,Πk ∈F ,设2={F ΑJ F 是有限的},M F =∩i ∈FM i ,则{ex k ,M k }k ∈J ∪{ex F ,M F }F ∈2是M 的一个有限可解系,由M L 是d .l .c .以及{ex θj ,(M j +L ) L }j ∈J ∪2是有限可解系可知有x +L ∈M L ,使得x -ex j ∈M j +L ,Πj ∈J ∪2,从而L ∩(ex j -x +M j )≠ ,Πj∈J ∪2,令y j =ex j -x -x ′j ∈L ∩(ex j -x +M j ),这里x ′j ∈M j ,则ey j =ex j -ex -ex ′j ∈L ∩(ex j-ex +M j ),从而L ∩(ex j -ex +M j )=ey j +(M j ∩L ),从而得到L 的一个有限可解系{ey j ,M j ∩L }j ∈J ,由L 是d .l .c .有y ∈L ,使得y -ey j ∈M j ∩L ,Πj ∈J .从而y +ex -ex j =y -ey j -ex ′j∈M j ,Πj ∈J ,故{ex j ,M j }j ∈J 是可解系,M 是d .l.c .推论2 设A M =L 1 … L n ,则A M 是d .l .c .当且仅当L i 是d .l .c .Πi .证明 利用命题1以及数学归纳法可得.以下设R 是有1的结合环,A =R I 是R 上I 的偏序集环.当x ,y ∈I ,x ≤y 时,令e x ,y 表示R I 中(x ,y )2位置为1,其它位置取值为0的元素,易见e 2x ,x =e x ,x .命题3 R I = x ∈I R Ie x ,x = x ∈Ie x ,x R I ,即R I 是函子环.{e x ,x }x ∈I 是R I 的正交幂等元完全集,且若f ∈R I 是幂等元,则Πx ∈I ,f (x ,x )均是R 的幂等元.证明 利用R I 的定义直接计算可得上结论.命题4 R I 的Jacob son 根J (R I )={f ∈R I f (x ,x )∈J (R ),Πx ∈I },这里J (R )是R 的Jacob son 2根.证明 U (R I )={f ∈R I f (a ,a )=0,Πa ∈I }是R I 的诣零理想,从而U (R I )ΑJ (R I ),令N ={f ∈R I f (x ,x )∈J (R ),Πx ∈I },N R I ,下证N 是左拟正则的.Πf ∈N ,将f 写成f =f 1+f 2,f 2∈U (R I ),f 1(x ,y )=f (x ,x ),x =y 0,x ≠y,由于f 1(x ,x )=f (x ,x )∈J (R ),Πx ∈I ,J (R )是拟正则理想,从而可找到g 1∈R I ,Πx ≠y ,g 1(x ,y )=0,且f 1(x ,x )+g 1(x ,x )+f 1(x ,x )g 1(x ,x )=f 1(x ,x )+g 1(x ,x )+g 1(x ,x )f 1(x ,x )=0,从而f 1+g 1+f 1g 1=f 1+g 1+g 1f 1=0.由于f 2+g 1f 2∈U (R I ),则有f 2+g 1f 2是拟正则元,有g 2∈R I ,使得f 2+g 1f 2+g 2+g 2(f 2+g 1f 2)=f 2+g 1f 2+g 2+(f 2+g 1f 2)g 2=0,从而(f 1+f 2)+(g 1+g 2+g 2g 1)+(g 1+g 2+g 2g 1)(f 1+f 2)=0,即说明f =f 1+f 2是左拟正则的,从而N 是左拟正则理想,N ΑJ (R I ).又Πf ∈J (R I ),将f 表成f =f 1+f 2,其中f 1∈U (R I ),f 2(x ,y )=f (x ,x ),x =y 0,x ≠y ,从而f 2∈J (R I ),则有Πa ∈I ,f 2(a ,a )是右拟正则元,令M (a ,a )={r ∈R ϖf ∈J (R I ),使得f (a ,a )=r },易知M (a ,a ) R ,且是R 的拟正则理想,故f 2(a ,a )∈M (a ,a )ΑJ (R ),故J (R I )=N .□设M 是左R 2模,x 0∈I ,令[M ]x 0={f :I ×I →M f (x 0,x 0)∈M ,其它位置取值为0},按通常加法,[M ]x 0是加群,且在下面模运算之下成为左R I 2模;Πf ∈R I ,g ∈[M ]x 0,(f ・g )(x ,y )=f (x 0,x 0)・g (x 0,x 0),当x =y =x 0,0,其它.命题5 如果M 是内射左R 2模,则[M ]x 0是内射R I 2模.证明 由命题3以及[4]中命题1.1知,只须验证Πx ∈I ,从R e x x 的任意R I 2子模到[M ]x 0的R I 2同态均能扩充为从R e x x 到[M ]x 的同态.直接验证可知对R e x ,x 的任意R I 2子模Q ,均存在R 的一组子加群{L y ,x }y ≤x ,使R ・L x ,x ΑL y ,x ,Πy ≤x ,且Q ={f ∈R Ie x ,x f (y ,x )∈L y ,x ,Πy ≤x }.设Υ:Q →[M ]x 0是任意R I 2同态.1° 如果Υ=0,则Υ可扩充为从R Ie x ,x 到[M ]x 0的同态.2° 如果Υ≠0,则必有x =x 0,否则x ≠x 0,由Υ(Q )Α[M ]x 0.从而Υ(Q )=e x 0Υ(Q )=Υ(e x 0Q )={0}矛盾.此时Πf ∈Q ,将f 写为f =f 1+f 2,f 1在(x ,x )2位置取值为f (x ,x ),其它位置取值为0,f 2=f -f 1,f 1,f 2∈Q ,且Υ(f )=e x Υ(f )=Υ(e x f )=Υ(f 1),由Υ:Q →[M ]x 0可得映射Ω:L →M ,Ω(r )=Υ(f r )(x 0,x 0),这里f r 是(x 0,x 0)2位置为r ,其它位置为0的元素,易知Ω是R 2同态,从而Ω可扩充为Ωθ:R →M ,定义Υλ:R Ie x ,x →[M ]x 0,Υλ(f )(x 0,x 0)=Ωθ(f (x 0,x 0)),易知Υλ是R I 2同态,且Υλ Q =Υ,故[M ]x 0是内射R I 2模.□命题6 若R I 是左l .d .l .c .环,则R I 的左单模具有形式[(R J )eγ]x 0,x 0是I 中某个元素,e 2=e ≠0是R 的幂等元.证明 设S 是单R I 2模,由[5]中命题3知S ≌R If J (R I )f ,f 2=f ∈R I ,由命题3,不妨设x 1,…,x n ∈I ,e i =f (x i ,x i )≠0,e 2i =e i ,从而S ≌R If J (R I )f ≌(R I J (R I ))・f θ≌ n i =1[(R J )e γi ]x i ,其中[(R J )e γi ]x i 的定义如命题5前所指,由S 是单模,故n =1,S ≌[(R J )e γ]x 0.□命题7 设M 是左R 2模,如果M 是d .l .c .则[M ]x 0是d .l .c .左R I 2模,Πx 0∈I .证明 Πx ∈I ,e x ,x [M ]x 0≌0,x ≠x 0M ,x =x 0,从而e x ,x [M ]x 0是d .l .c .左R 2模,由[5]知[M ]x 0是d .l.c .左R I 2模.□定理8 设R 是有单位元的结合环,I 是任意偏序集,若R 是线性紧的,则R I 是l .d .l .c .证明 由命题3可知R I 的任意有限生成子模N 均含在R I 的左理想N 0=R Ie x 1,x 1 …R Ie x n ,x n 中,从而要证N 是d .l .c .只须证明N 0是d .l .c .只须证Πi ,R Ie x i ,x i 是d .l .c .由于Πe x ,x ,e x ,x R Ie x i ,x i ≌0,x ≠x i R ,x =x i ,及R 是离散线性紧的,由[5]知R Ie x i ,x i 是d .l .c ,故R I 是l .d .l .c .□定理9 设R 是有单位元的结合环.I 是任意偏序集,则R I 带M o rita 对偶当且仅当R 带M o rita 对偶.证明 (])R I 带M o rita 对偶,则知e x ,x R Ie x ,x 带M o rita 对偶[5],而R ≌e x ,x R Ie x ,x ,故R 带M o rita 对偶.(α) 只须证明:R I是l.d.l.c.以及对任意单左R I2模S,S的内射包E(S)是d.l.c.[5].若R带M o rita对偶,则R R是l.c.,从而由定理8,R I是l.d.l.c.并由命题6,任意单左R I2模S均具有形式S≌[(R J)eγ]x0,e2=e∈R,(R J)eγ是有限生成半单R J2模,从而是有限多个单R2模之直和.从而(R J)eγ的内射包E R((R J)eγ)是有限多个单R2模的内射包之直和,而R是带M o rita对偶的环,故单R2模的内射包是d.l.c[6],故E R(R J eγ)是d.l.c.左R2模.由命题7,[E R(((R J)eγ)]x0是d.l.c.左R I2模,而[(R J)eγ]x0的内射包E([(R J)eγ]x0)同构于[E R ((R J)eγ)]x0的某个直和项.从而必为d.l.c.(由命题1,推论2).故R I带有M o rita对偶.□衷心感谢刘绍学教授的指导与帮助.参 考 文 献[1] 刘绍学,偏序集代数的同构问题,数学进展,18(1989),461—464.[2] K.R.Fu ller,J.K.H aack,D ua lity f or se m ig roup ring s,J.Pu re.A pp.A lg.,22(1981),113-119.[3] J.K.H aack,Iso m orp h is m s of incid ence ring s,Ill.J.of M athem atics,28:4(1984).[4] Kun i o Yam agata,O n M orita d ua lity f or ad d itive g roup va lued f unctors,Comm.in A lg.,7:4(1979),367-392.[5] P.N.A nh,C.M en in i,M orita d ua lity f or ring s w ith loca l un its,J.of A lg.,164(1994),632-641.[6] Xue W ei m in,R ing s w ith M orita d ua lity,L ectu re N o tes in M ath,1523.[7] 刘绍学,环与代数,科学出版社,1982.Poset R i ngs w ith M or ita D ualityZ hu B in(D ep t.of M ath.Beijing N o rm al U niversity,100875)W ang W enju(Cap ital U niversity of Econom ics and Business,Beijing100026)AbstractL et R be an associate ring w ith iden tity,I be a po set,R I be the po set ring of I over R. T he fo llow ing resu lt is ob tained:R I has M o rita duality iff R has M o rita duality.T h is ex2 tends the know n resu lt abou t the po set ring in the case I that is fin ite.Keywords po set ring,discret linear com p act,M o rita duality.。
朗之万经典顺磁性理论
强磁场，极低温时，kBT<<a0H， >>1
L
coth
1
e e
e e
1
1
M N a
饱和磁化，全部原子磁矩平行 于磁场方向。
1905年对原子磁矩的认识还是很初步的，量子力学出现
后，才正确地给出原子磁矩表达式，且认识到其空间取向是
量子化的：
a J gJ
J (J 1)B
z J
?
究竟哪个啊 ?
l
e
pl
和磁场方向成左旋（顺时针 方向）的电子轨道在磁场中 依然是产生右旋进动，进动 产生的附加磁矩依然和磁场 反向。
所以不管pl 的方向如何，它 们的进动方向是一致的，因 此所有轨道电子所产生的进 动附加角动量 pl具有相同 的方向，可以相加，即便是 原子的总轨道矩为零，电子 在外磁场中产生的
pl 0 也不为零，呈现
exp
EH kBT
exp
0aH cos
kBT
场中的分布应服从 Boltzman
表示磁场和原子磁矩之间的夹角
统计规律，轻微地朝 H 集中，
使 M≠0。
设原子磁矩取向和外磁场的极角， 方位角
H
a
则N个磁矩系统的状态和为：
N
Z
2
d
0
0
exp
0aH cos
kBT
sin d
二. 理论推导
每个原子内有 z 个电子，每个电子都有自己的运动轨道， 在外磁场作用下，电子轨道绕磁场 H 进动，进动频率为ωL。 称为拉莫尔进动频率。由于轨道面绕磁场 H 做进动，使右旋 的电子运动速度有一个增量变化 dv。因此带来电子轨道磁矩 的增加△μ，方向与磁场 H 相反。如果是左旋方向的电子轨道, 则进动使电子运动速度减小，从而在磁场 H 方向的磁矩减小， 所得磁化率仍是负的。总之，由于磁场作用引起电子轨道磁 矩减小，表现出抗磁性。简单说就是“感应电流的磁场与外 磁场方向相反，与这个电流相联系的磁矩是抗磁性磁矩。”
Morita Context的(I
：
那 ｃｗ （ ） 个 ｏ ｔ 环因 Ｍ—Ｍ。 就 。 此 是有 么—一 是 Ｍｉｏｘ ，为 ＮＮ： 也 是一 ， ｃ具 一 一 ｒｃｅ ｔ ｎｔ ａ ， 一因
对 零 ＮＮ Ｎ ｒ ａｃ ｎｅ ｔ ，但从 形式上 来看 ， Ｍｏｉ ｏ ｔｘ 环 ｔ 它显 然不 是三 角矩 阵． 引理 １ 设 Ｔ一 （ Ｂ， ， 是 Ｍｏ ｉ ｏ ｔｘ 环 且 一 Ａ， Ｍ Ｎ） ｒ ａｃ ｎｅ ｔ ｔ —Ｏ 如果 ＪＪ分别是 环 Ａ 和 Ｂ 的理想 ， ， ， 那
（ ｍ） ｌ ｎ 一 （ ｍ ， ）， （ ｚ １ ｎ） １ ｍ （ ｍ 一 １． ）
容 易验证
｛ ＩＡＥ， ＭＥ｝ （ ，Ｂ Ｅ，Ｎ 三 ａ ｂｍ ｎ ． Ｅ
按 照普 通 的矩 阵加 法定 义 以及 下 面 的乘 法定 义
ａ
ｂ
１
ｍ ｌ
ａｎ －ｎ １ ｑ ｂ ｌ
叶 建 芳
（ 州 师 范 大 学理 学 院 ， 杭 浙江 杭 州 ３ ０ ３ ） １ ０ ６
摘 要 ： 明 了 若 环 Ｔ是 具 有 一 对 零 同态 的 Ｍｏｉ ｏ ｔｘ 环 （ Ｂ， ， ， ） 则 有 Ｔ Ｌ 证 ｒａｃｎｅｔ Ａ， Ｍ Ｎ ， ， ｔ ／ ￣Ａ／ ① Ｂ／ ， Ｉ Ｊ
么 一Ｍ ）环Ｔ 理 ・ Ｌ （ ，是 的 想
证 显 ＬＴ 对任的。，Ｌ （ ， ，ｌ ，、＾Ｌ 明 然 ， 于意 【 Ｊ 和。 有 『 ， 又 Ｔ ， ｌ ｌ ＼ ∈ ｌ ） ｍ ∈ ｍ １ 一 ） ｍ （ ∈ ， 三 Ⅲ （ ） ｊ 成 ，且 ： ［ 】Ｌ 理 证特 地 ｃ 一 【 ∈ 立并 （ ） ∈， 得． 别 ， Ｌ ＋ 引 Ｔ
称 环 Ｔ 是 具 有 一 对 零 同态 的 Ｍｏ ｉ ｏ ｔｘ 环 ． ｒ ａｃｎ ｅ ｔ ｔ
Marotto定理和几何奇异摄动理论及其应用[打包]
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ｏ ｉ ｐｒ ｄ ｂｎ ｂｕｃｔｎ Ｏ ｔ ｏ ｅｈｎ， ｌ ｆｄ ｒ ｇ ａ ｒ ｔ ｔ ｔ ｒｔ ｅｏ ｄｕｌｇ ｒ ｉ ． ｈ ｔ ｒ ｄｗ ａｏ ａ ｎｅ ａ ｏ ｈ ｈｓ ｂ ， ｉ ｏ ｉ ｉ ａｏ ｎ ｈ ａ ｅ ｉ ｓ ａ ｔ ｃ ｒ ａ ｆ ｅ ｓ ｎ ｔ ｔ ａ
ｓ ｇｌ ｐｒ ｒａｉ ｅｕ ｔ ｎ Ｇ ｏ ｔｃ ｏｉ ａ ｄ ｔｏ ｓ ｃｎｔｂ ｔ ｔ ｔｅ ｒ ｉ ｕ ｒ ｔ ｂｔ ｎ ａｉ ． ｍｅｒ ｔｅｒ ｓ ｍｅ ｄ ａｅ ｓｒ ｕｅ ｏ ｆｕｔ ｎ ａ ｅｕ ｏ ｑ ｏ ｅ ｉｈ ｅ ｎ ｈ ｒ ｏ ｉ ｄ ｈ ｏ ｈ
ｃａｔ ． ｒ ｔｅ ｅ ｓ ｅ Ｎ Ｆｎ ｈｌ ｓｔ ｅ ｔｅ ｉ ｃ ｔ ｔ ｏ ｔｅ ｍ ｔ ｈｐｅ Ｔ ｅ ｈｏ ｍ ｇ ｎ场 ． ｉ ｅｃｎ ｉ ｔ ｈ ｍ ｎ ｅ ｓ ｈ ｇｏ ｅ ｒ ｈ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｃ ｏ ｔｕ ｓ ａ ｏ ｎ ｆ ｅ － ｎ
ｔ ｅ ｌ ｓ ｌｒ ｕ ｔ ｒ ａ Ｈｅ ｏ ａ ｔａ ｔ ｒ ｈ ｓ ｆ ｉ ａ ｓｒ ｃｕ ｅ ｅ － ｍｉ ｔ ｓ ｎ ｎ ｒ ｃｏ ． ｔ
Ｔ ｅ ｏ ｐｒｉ ｌ ｓ ｅ ｈｐｅ ． ｔｉ ｈｐｅ ｎ ｏ ｕｅ ｔｅ ｉ ｏｃｐｓ ｄ ｔ ｕｅ ｔｒ ｃａｔ ｓＴ ｅ ｒ ｃａｔ ｉ ｒｄｃｓ ｂｓ ｃｎｅｔ ｈ ｓ ｎ ａ ｎ ｄ ｈ ｅ ｒ ｈ ｈ ｄ ｒ ｅ ｃ ｃ ｔ ｈ ａ ｃ ａｄ ｔ ｉ ｓ ｓ ｇｌ ｌ ｐｒ ｒｅ ｓｓ ｍ ａｄ ｅ ｔｅ ｃ ｃｌ ｍ ｌ ｉ ｕｉ ｔｅ ｎ ｎ ａ ｏ ｏ ｉ ｕ ｒ ｅ ｕｂｄ ｔ ｓ ｇ ｓ ｐａｔ ａ ｅａ ｐ ｓ ｃ ｇ ｏ ｔ ｎ ｆ ａ ｙ ｔ ｎ ｙｅ ｎ ｉ ｈ ｒ ｉ ｘ ｅ ｎ ｎ ｈ ｖ ｄ
如， 在电 力系统的暂态稳定性问题中， 根据故障发生、 故障过程中、 故 障消除不同阶段，我们就要分阶段考虑系统的平衡态的吸引域问题一” 一 通过时间尺度分解，分别考虑慢子系统和快子系统，我们可清楚的知 道高电 压平衡点的吸引域的结构．通过这个具体的应用，几何奇异摄 动理论确实为我们在电力系统的研究中提供了一种可能的方法． 关键词： 奇异摄动系统、常微分方程、不变流形、混沌，动力系统，电
催化理论模型发展简史
催化理论模型发展简史撰文：LDY 责编：DJ之前研之成理为大家分享了一些催化简史：五十年催化简史今天再更为详细地补充一下催化理论模型的发展史，希望对大家的催化研究有所帮助。
1. Ostwald的催化定义Ostwald提出：催化现象是在催化剂作用下化学反应的加速，没有催化剂时反应速率很慢。
Catalysis is the acceleration of a chemical reaction, which proceeds slowly, by the presence of a foreign substance…. However, these processes, like all natural ones, must always occur in such a direction that the free energy of the entire system is decreased.同时他还强调了该反应过程必须是朝体系整体自由能降低的方向进行的。
在Ostwald定义了催化现象之后，他于1909年获得了诺贝尔奖。
按照今天标准的术语是：催化剂不能影响一个反应的热力学平衡，只能改变到达平衡的速率。
2. 吸附在1900年左右，人们就认识到催化过程中的吸附作用。
Langmuir着重研究了化学吸附，提出了单层化学吸附模型。
而Brunauer, Emmett和 Teller (BET)发展了利用物理吸附来测定催化剂表面积的方法，使得催化剂的活性比较进入定量时代。
Taylor 也提出“活化吸附”的概念，即从物理吸附态到化学吸附态的转变需要活化能，随后就被Lennard-Jones引入势能图解释从物理吸附到化学吸附的转变过程。
吸附的Lennard-Jones曲线进一步，Langmuir，Rideal和Hinshelwood等人研究了多种异相催化反应，提出了一套统一的原理来解释许多实验中观察到的速率—压力关系。
Morphic-环与N-环和零可换环
Ｍｏｐ ｉ ｃ ｒｈ －环与 Ｎ一环和零可换环
李 艳 午 ，储 茂 权
（ ． 湖 信 息技 术 职业 学 院 软件 工 程 系 ， 安 徽 １芜 ２ 安 徽师 范 大 学 数 学 计算 机 科学 学 院 ， 安 徽 ． 芜 湖 ２ １０ ４００ 芜 湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
维普资讯
２０ ０８年 ２月 第ｌ ４卷 第 １期
安 庆 师范 学院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｑｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉ ） Ａ ｇ ｅ ｅ ｉ ｏ
是 强正则 环 。
由 于 约 化 环 是 零 因 子 可 换 环 ， 以 关 于 ｍｏ ｐ ｉ一 环 与 正 则 环 ， 们 有 ： 所 ｒ ｈｃ 我 引 理 １ 关 于 约 化 环 Ｒ， 列 陈 述 等 价 ： １ Ｒ 是 Ｍ ｏｐ ｉ 下 （） ｒ ｈ ｃ环 ； ２ Ｒ 是 正 则 环 ； ３ Ｒ 是 强 正 则 环 。 （） （）
在 约 化条 件 下 的若 干刻 划 ； 零 可 换 环 中 的一 个 结 果 移 至 ｍｏ ｐ ｉ－环 。 将 ｒｈｃ
关键 词 ：ｍｏ ｐ ｉ－环 ； ｒｈｃ Ｎ一环 ； 可 换 环 ； 化 环 零 约
中 图 分 类 号 ：Ｏｌ ３ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ — ４ ６ （ ０ ８ Ｏ — ０ ０ — ０ ０７ ２０２０）１ ０１ ２
则 的 ， 称 环 Ｒ 为正 则环 。 则
定义 ３
环 Ｒ 中 的 元 素 ｎ 称 为 强 正 则 的 ， 指 存 在 ｂ Ｒ ， 得 ｎ— ａ ｂ 若 环 Ｒ 中 的 每 个 元 素 都 是 是 ∈ 使 。；
Morphic环与ZI-环
第３ ２卷 第 ２期
Ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ环 与 Ｚ Ｉ 一环
陈勇 胜 ， 储 茂 权
（ 安徽师范大学数学计算机科学学 院 ， 安徽芜湖 ２ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘
一
要： 研 究了 ｚ ， 一环成 为 ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｗ一环的若干条件 ； 在Ｚ Ｉ 一环条件下 ，左（ 右） Ｇ Ｐ— 一（ Ｃ Ｐ— 一） 的ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｗ
则环 ． 又 由引理 １ ． ４可得 。 Ｒ是 ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ 环．
Ｄ
都有 兰ｒ （ （ ０ ） ． 若 环 Ｒ既是左 ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ 环又是 右
“ Ｌ
ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ 环， 则 称 为 ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ 环．
定义 １ ． ２ 环 Ｒ为强 正则 环 ， 若Ｖ ０∈Ｒ， ｂ∈ 尺使 得 ｎ： ２ ｂ ． 环为 正则 环 ， 若Ｖ ０∈Ｒ， ｂ Ｅ Ｒ使
（ ４ ） （ １ ） ： Ｒ 是约 化 和 ｒ （ ６ ）＝Ｚ （ ｂ ） ，Ｖ６∈Ｒ ．
下面我们证 ６ ＋ Ｚ （ ６ ） ＝ Ｒ， Ｖ ｂ ∈ Ｒ ． 若不然 ， 则存在 ｂ ∈ Ｒ使得 瞄 ＋ ｚ （ ６ ） ≠ ． 因此存在 的极大左理想 包含 舶 ＋ ｚ （ ６ ） ． 我们知 是 的本质左理想． 由
一
都有 冬ｚ （ ） ． 环 称 为右 ｍ ｏ ｒ ｐ ｈ ｉ ｃ 环， 若 Ｖ口 ∈
１ＬＣ ＾
环， 则 存在 Ｙ∈ Ａ， 使 得 ＝ｘ ｙ ． 从 而 １一 Ｙ∈Ａ，推
出１ ∈Ａ， 矛盾 ！于是 ＋ ｒ （ ）＝ Ｒ， 则存 在 ｍ∈Ｒ， ｎ ∈ｒ （ ），使得 １＝ｒ ｒ ｌ ｏ ｃ ＋ｎ ， 从 而 ＝ 懈 ＋ ＝０， 矛盾 ！故 Ｒ是 约化 的 ，由引 理 ２ ． １可得 ， 是 强 正
Morita系统环上的一致模和Hollow模
第57卷 第4期吉林大学学报(理学版)V o l .57 N o .4 2019年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2019d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2018320M o r i t a 系统环上的一致模和H o l l o w 模张文汇,张 丽(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:利用M o r i t a 系统环上(右)模的分解,讨论其上模的本质子模和多余子模的结构.对于M o r i t a 系统环T =R M æèçöø÷N S (θ,ψ),每个右T -模都可以分解为一个四元对(P ,Q )(f ,g ),给出其上的一致模和h o l l o w 模的结构刻画,并给出(P ,Q )(f ,g )是一致(h o l l o w )模的必要条件.记L ={p ɪP g (p 췍m )=0,∀m ɪM },K ={q ɪQ f (q 췍n )=0,∀n ɪN },证明:1)若P =0,且K =Q 是一致模(或Q =0,且P =L 是一致模),则(P ,Q )(f ,g )是一致模;2)若P 和Q 是h o l l o w 模,且f (Q 췍N )=P ,g (P 췍M )ʂQ (或f (Q 췍N )ʂP ,g (P 췍M )=Q ),则(P ,Q )(f ,g )是h o l l o w 模.关键词:M o r i t a 系统环;本质(多余)子模;一致模;h o l l o w 模中图分类号:O 153.3 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2019)04-0817-07U n i f o r ma n dH o l l o w M o d u l e s o v e rR i n gs o fM o r i t aC o n t e x t s Z H A N G W e n h u i ,Z HA N GL i(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g t h ed e c o m p o s i t i o n o ft h e (r i g h t )m o d u l e so v e rr i n gso f M o r i t ac o n e x t s ,w e d i s c u s s e d t h e s t r u c t u r e s o f e s s e n t i a l s u b m o d u l e s a n ds m a l l s u b m o d u l e so fm o d u l e so v e r t h e s e r i n g s .F o r t h eM o r i t a c o n e x t s T =R M æèçöø÷N S (θ,ψ),e v e r y r i g h t T -m o d u l e c o u l db ed e c o m p o s e d i n t oa q u a d r i a d (P ,Q )(f ,g ),w e g a v e c h a r a c t e r i z a t i o n so f t h es t r u c t u r eo fu n i f o r m m o d u l e sa n dh o l l o w m o d u l e so v e r t h e s e r i n g s a n d t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r (P ,Q )(f ,g )to b e u n i f o r m (h o l l o w ).L e t L ={p ɪP g (p 췍m )=0,∀m ɪM },K ={q ɪQ f (q 췍n )=0,∀n ɪN },w e p r o v e t h a t :1)I f P =0,a n d K =Q i s u n i f o r m m o d u l e (o r Q =0,a n d P =L i su n i f o r m m o d u l e ),t h e n (P ,Q )(f ,g )i su n i f o r m m o d u l e ;2)I f P a n d Q a r eh o l l o w m o d u l e s ,f (Q 췍N )=P ,g (P 췍M )ʂQ (o r f (Q 췍N )ʂP ,g (P 췍M )=Q ),t h e n (P ,Q )(f ,g )i sh o l l o w m o d u l e .K e yw o r d s :r i n g o fM o r i t a c o n t e x t ;e s s e n t i a l (s m a l l )s u b m o d u l e ;u n i f o r m m o d u l e ;h o l l o w m o d u l e 收稿日期:2018-08-05.第一作者简介:张文汇(1977 ),女,汉族,博士研究生,副教授,从事环同调理论的研究,E -m a i l :z h a n g w h @n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11201376).M o r i t a 系统环是一类重要的非交换环,形式三角矩阵环是M o r i t a 系统环的一个特例,目前,关于形式三角矩阵环上模的同调性质的研究已有很多结果[1-5]:H a g h a n y 等利用本质子模和多余子模刻画了形式三角矩阵环上的一致模和h o l l o w 模的结构,研究了这类环上的投射模[1]和内射模[2],并给出了存在投射覆盖模结构的等价刻画[1].经典同调代数中借助本质子模和多余子模引入了模的内射包络和投射覆盖,模的覆盖包络理论是相对同调代数的基础.E n o c h s [6]对任意环上的模以交换图的形式给出了(预)覆盖和(预)包络的概念,将各种(预)覆盖和(预)包络进行了统一.易验证两种方法定义的内射包络和投射覆盖是一致的.本文讨论M o r i t a 系统环上模的本质子模和多余子模,给出M o r i t a 系统环上的一致模和h o l l o w 模的结构与性质,所得结论推广了文献[1]的相应结果.本文中环均指有单位元的结合环,模均指酉模,M o d -R 表示右R -模范畴.1 预备知识设R ,S 是两个环,M 是一个左R -右S -双模,N 是一个左S -右R -双模,双R -模同态θ:M 췍SN ңR和双S -模同态ψ:N 췍RM ңS 满足:θ(m 췍n )m ᶄ=m ψ(n 췍m ᶄ),ψ(n 췍m )n ᶄ=n θ(m 췍n ᶄ),其中:m ,m ᶄɪM ;n ,n ᶄɪN .令T =R M æèçöø÷N S (θ,ψ)=r m æèçöø÷n s r ɪR ,s ɪS ,m ɪM ,n ɪ{}N .定义T 上的加法为普通矩阵的加法,对任意r m æèçöø÷n s ,r ᶄm ᶄæèçöø÷n ᶄs ᶄɪT ,定义乘法为r m æèçöø÷n s r ᶄm ᶄæèçöø÷n ᶄs ᶄ=r r ᶄ+θ(m 췍n ᶄ)r m ᶄ+m s ᶄn r ᶄ+s n ᶄψ(n 췍mᶄ)+æèçöø÷s s ᶄ,则T 关于上述加法和乘法构成一个环.文献[7]称T 为一个M o r i t a 系统环.设Ω是一个范畴,其对象是四元组(P ,Q )(f ,g ),其中:P ɪM o d -R ,Q ɪM o d -S ;f :Q 췍SN ңP 和g :P 췍RM ңQ 分别为右R -同态和右S -同态,且满足:f 췍(g 췍S 1N )=α췍(1P 췍Rθ),g 췍(f 췍R 1M )=β췍(1Q 췍Sψ),这里α:P 췍RR ңP 和β:Q 췍SS ңQ 都是自然同构.设(P 1,Q 1)(f 1,g 1),(P 2,Q 2)(f 2,g 2)是Ω的任意两个对象,二者间的态射记为(i ,j ),其中i :P 1ңP 2是右R -模同态,j :Q 1ңQ 2是右S -模同态,且满足:f 2췍(j 췍S1N )=i 췍f 1,g 2췍(i 췍R1M )=j 췍g 1.对任意(p ,q )ɪ(P ,Q )(f ,g),r m æèçöø÷n s ɪT ,令(p ,q )r m æèçöø÷n s =(p r +f (q 췍S n ),g (p 췍R m )+q s ).则易验证(P ,Q )(f ,g )按照上述乘法做成右T-模.文献[8]证明了范畴Ω和范畴M o d -T 等价.下面除特殊说明外,总用T 表示M o r i t a 系统环R M æèçöø÷N S (θ,ψ).对于右T -模,仍用四元组的形式表示.设(P ,Q )(f ,g )ɪMo d -T ,P ᶄɤP ,Q ᶄɤQ .令i 是M o d -R 中P ᶄ到P 的包含同态,j 是M o d -S 中Q ᶄ到Q 的包含同态.记f ᶄ=f (j 췍1N ),gᶄ=g (i 췍1M ).若P ᶄ和Q ᶄ满足f ᶄ(Q ᶄ췍N )⊆P ᶄ且g ᶄ(P ᶄ췍M )⊆Q ᶄ,则由定义易验证(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是一右T -模,并且(i ,j )是(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)到(P ,Q )(f ,g )的包含同态.反之,(P ,Q )(f ,g )的任意一个子模均可通过这种方式获得.下面构造(P ,Q )(f ,g )的商模.设P ‴,Q ‴分别是P 和Q 的商模,η1:P ңP ‴和η2:Q ңQ ‴是自然同态.记P ᵡ=K e r η1,Q ᵡ=K e r η2,i ᶄ:P ᵡңP 和j ᶄ:Q ᵡңQ 分别是M o d -R 与M o d -S 中的包含同态.记f ᵡ=f (j ᶄ췍1N ),g ᵡ=g (i ᶄ췍1M ).假设f ᵡ(Q ᵡ췍N )ɤP ᵡ,且g ᵡ(P ᵡ췍M )ɤQ ᵡ,则818 吉林大学学报(理学版) 第57卷(P ᵡ,Q ᵡ)(f ᵡ,g ᵡ)ɤ(P ,Q )(f ,g ),且有下列行正合交换图:由分解引理可知,存在同态f ‴:Q ‴췍N ңP ‴使该图交换,即η1f =f ‴(η2췍1N ).同理,存在行正合交换图:使得η2g =g ‴(η1췍1M ),其中g ‴:P ‴췍M ңQ ‴.若设η=(η1,η2),则由交换图知(η1,η2)是范畴Ω中对象(P ,Q )(f ,g )到(P ‴,Q ‴)(f ‴,g ‴)的态射,且η是右T -模(P ,Q )(f ,g )到其商模(P ‴,Q ‴)(f ‴,g ‴)的自然同态,K e r η=(P ᵡ,Q ᵡ)(f ᵡ,g ᵡ).从而构造出了(P ,Q )(f ,g )的商模,并且任意一个右T-模的商模均可由这种方式得到.2 主要结果下面讨论右T -模的本质子模和多余(小)子模的结构.定义1[9] 设R 是环,M ɪM o d -R ,K ɤM .如果对M 的任意非零子模L ,均有K ɘL ʂ0,则称K 是M 的本质子模,记为K ɤe M .引理1[9] 设M ɪM o d -R ,K ɤM ,则K ɤe M 当且仅当对任意0ʂx ɪM ,存在r ɪR ,使得0ʂx r ɪK .设右T -模(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是右T -模(P ,Q )(f ,g )的一个非零子模,下面分别给出(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g )的必要条件和充分条件.为方便,引入记号:L ={p ɪP g (p 췍m )=0,∀m ɪM },K ={q ɪQ f (q 췍n )=0,∀n ɪN }.易见L R ɤP R ,K S ɤQ S .设i :L ңP 和j :K ңQ 分别是M o d -R 与M o d -S 中的包含同态.令f ᶄ=f (j 췍1N ),g ᶄ=g (i 췍1M ),则(L ,K )(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).命题1 设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ),若(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g ),则P ᶄɘL ɤe L , Q ᶄɘK ɤe K .证明:设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g ),任取0ʂp ɪL ,则(0,0)ʂ(p ,0)ɪ(P ,Q )(f ,g ).由条件和引理1知,存在r m æèçöø÷n s ɪT ,使得(0,0)ʂ(p ,0)r m æèçöø÷n s ɪ(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ).注意到(p ,0)r m æèçöø÷n s =(p r ,g (p 췍m ))=(pr ,0),故0ʂp r ɪP ᶄ.又因为p r ɪL ,所以0ʂp r ɪP ᶄɘL .因此,由元素p 的任意性和引理1可知P ᶄɘL ɤe L .同理可证Q ᶄɘK ɤe K .命题2 设0ʂ(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).若Pᶄɤe P 且Q ᶄɤe Q ,则918 第4期 张文汇,等:M o r i t a 系统环上的一致模和H o l l o w 模(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g ).证明:假设P ᶄɤe P 且Q ᶄɤe Q .任取(0,0)ʂ(p ,q )ɪ(P ,Q )(f ,g ),下面对(p ,q )分情况讨论.1)设p ʂ0.若p ∉L ,则存在m ɪM 使得0ʂg (p 췍m )ɪQ ,由Q ᶄɤe Q 可知,存在s ɪS 使得0ʂg (p 췍m )s ɪQ ᶄ.从而(p ,q )0m æèçöø÷00000æèçöø÷s =(0,g (p 췍m ))000æèçöø÷s =(0,g (p 췍m )s )是(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)中的非零元;若p ɪL ,则对任意m ɪM ,g (p 췍m )=0.由条件P ᶄɤe P 可知P ᶄɘL ɤe (P ɘL )=L ,故存在r ɪR ,使得0ʂp r ɪP ᶄɘL .从而(p ,q )r 0æèçöø÷00=(p r ,0)是(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)的非零元.2)设p =0.因为(p ,q )ʂ(0,0),所以必有q ʂ0.若q ∉K ,则存在n ɪN 使得f (q 췍n )ʂ0.由P ᶄɤe P 知,存在r ɪR 使得0ʂf (q 췍n )r ɪP ᶄ.从而(0,q )00n æèçöø÷0r 0æèçöø÷00=(f (q 췍n ),0)r 0æèçöø÷00=(f (q 췍n )r ,0)是(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)的非零元.若q ɪK ,由K 的定义知,对任意n ɪN ,f (q 췍n )=0.因为Q ᶄɤe Q ,所以Q ᶄɘK ɤe (Q ɘK ),而Q ɘK =K .故对q ɪK ,可找到s ɪS 使得0ʂq s ɪQ ᶄɘK .此时(0,q )000æèçöø÷s =(0,q s )ʂ(0,0), 且(0,q s )ɪ(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ). 综上可知,对于(P ,Q )(f ,g)中的任意一个非零元(p ,q ),均存在T 中元素r m æèçöø÷n s ,使得(p ,q )r m æèçöø÷n s 是(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)的非零元.由引理1知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的本质子模.推论1[1] 设形式三角矩阵环T =R 0æèçöø÷N S ,若与三元组(P ᶄ,Q ᶄ)f ᶄ和(P ,Q )f 对应的右T-模分别为(P ᶄ췍Q ᶄ)T 和(P 췍Q )T ,则(P ᶄ췍Q ᶄ)T ɤe (P 췍Q )T 当且仅当Pᶄɤe P 且Q ᶄɘK ɤe K ,其中K ={q ɪQ f (q 췍n )=0,∀n ɪN }.定义2[1]设R 是环,如果M 的任意一个非零子模均为M 的本质子模,则称右R -模M R 是一致模.下面分别给出右T -模是一致模的必要条件和充分条件.推论2 设0ʂ(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ),若右T -模(P ,Q )(f ,g )是一致模,则下列条件之一成立:1)L =0且Q ᶄɘK ɤe K ;2)P ᶄɘL ɤe L 且K =0;3)P ᶄɘL ɤe L 且Q ᶄɘK ɤe K .证明:1)设P ᶄ=0,由于(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)ʂ0,故Q ᶄʂ0.对该非零的右T -模由条件知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g ),又由命题1知PᶄɘL ɤe L ,Q ᶄɘK ɤe K 成立,因此L =0.2)若Q ᶄ=0,类似于1)可知结论成立.3)P ᶄʂ0且Q ᶄʂ0,由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤe (P ,Q )(f ,g )及命题1知结论成立.推论3 设(P ,Q )(f ,g )ɪM o d -T ,若下列两个条件之一成立,则(P ,Q )(f ,g )是一致模:1)P =0,右S -模K =Q 是一致模;2)Q =0,右R -模P =L 是一致模.证明:设0ʂ(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).1)若P =0,则P ᶄ=0且f (Q 췍N )=0.于是Q ⊆K ,从而Q =K .由于Q 是一致模,因此对任意0ʂQ ᶄɤQ ,均有Q ᶄɤe Q .由命题2可知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的本质子模,由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)的任意性可知(P ,Q )(f ,g )是一致模.028 吉林大学学报(理学版) 第57卷2)设Q =0,P =L 是一致模,则Q ᶄ=0且g (P 췍M )=0,表明P ⊆L ,从而P =L .因为P 是一致模,所以对任意0ʂP ᶄɤP 均有P ᶄɤe P .由命题2可知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的本质子模,故(P ,Q )(f ,g )是一致模.下面讨论右T -模(P ,Q )(f ,g )的多余(小)子模结构.定义3[9] 设R 是环,M ɪM o d -R ,K ɤM .如果对L ɤM ,由K +L =M ,可得L =M ,则称K 是M 的多余(小)子模,记作K ≪M .设η1:P ңP /f (Q 췍N )和η2:Q ңQ /g (P 췍M )是自然满同态.下面分别给出一个模是右T -模(P ,Q )(f ,g )的多余(小)子模的必要条件和充分条件.命题3 设S N ,R M 是平坦模,(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).若(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的多余(小)子模,则η1(P ᶄ)≪P /f (Q 췍N ),η2(Q ᶄ)≪Q /g (P 췍M ). 证明:设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ),E ɤP /f (Q 췍N ),F ɤQ /g (P 췍M ),且η1(P ᶄ)+E =η1(P ),(1)η2(Q ᶄ)+F =η2(Q ).(2)设C =η-11(E ),D =η-12(F )(原像),则f (Q 췍N )⊆C ,g (P 췍M )⊆D .若设i :C ңP 和j :D ңQ 分别是M o d -R 和M o d -S 上的包含同态,因为S N 和R M 是平坦模,所以f (j 췍1N )(D 췍N )⊆f (Q 췍N )⊆C ,g (i 췍1M )(C 췍M )⊆g (P 췍M )⊆D .设f 1=f (j 췍1N ),g 1=g (i 췍1M ),则由上述分析可知(C ,D )(f 1,g 1)ɤ(P ,Q )(f ,g ).由式(1)及f (Q 췍N )⊆C 可得P ᶄ+C =P .同理由式(2)及g (P 췍M )⊆D 可得Q ᶄ+D =Q .从而有(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)+(C ,D )(f 1,g 1)=(P ,Q )(f ,g ).又因为(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ),所以C =P 且D =Q ,于是E =η1(C )=η1(P ),(3)F =η2(D )=η2(Q ).(4)式(1),(3)表明η1(P ᶄ)≪η1(P )=P /f (Q 췍N ),而由式(2)和式(4)可得η2(Q ᶄ)≪η2(Q )=Q /g (P 췍M ).命题4 设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).若Q ᶄ≪Q 且η1(P ᶄ)≪η1(P ),或P ᶄ≪P 且η2(Q ᶄ)≪η2(Q ),则(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).证明:设U ɤP ,V ɤQ ,映射u :U ңP 和v :V ңQ 分别是M o d -R 和M o d -S 中的包含同态,且满足:f (v 췍1N )(V 췍N )⊆U ,g (u 췍1M )(U 췍M )⊆V .记h =f (v 췍1N ),k =g (u 췍1M ),则以上假设表明(U ,V )(h ,k )ɤ(P ,Q )(f ,g ).假设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)+(U ,V )(h ,k )=(P ,Q )(f ,g ),则P ᶄ+U =P ,(5)Q ᶄ+V =Q .(6)由式(5)可知η1(P ᶄ)+η1(U )=η1(P ).由条件η1(P ᶄ)≪η1(P )知η1(U )=η1(P ).另一方面,由式(6)及128 第4期 张文汇,等:M o r i t a 系统环上的一致模和H o l l o w 模Q ᶄ≪Q 知V =Q .从而v =1Q ,于是f (v 췍1N )(V 췍N )=f (Q 췍N )⊆U ,故U =P .因此(U ,V )(h ,k )=(P ,Q )(f ,g ),进而(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).同理可证当P ᶄ≪P ,并且η2(Q ᶄ)≪η2(Q )时,(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).推论4[1] 设形式三角矩阵环T =R 0æèçöø÷N S .若与三元组(P ᶄ,Q ᶄ)f ᶄ和(P ,Q )f 对应的右T-模分别为(P ᶄ췍Q ᶄ)T 和(P 췍Q )T ,设(P ᶄ췍Q ᶄ)T ɤ(P 췍Q )T ,且η:P ңP /f (Q 췍N )是自然同态,则(P ᶄ췍Q ᶄ)T ≪(P 췍Q )T 当且仅当Q ᶄ≪Q ,且η(P ᶄ)≪P /f (Q 췍N ).定义4[10] 如果一个非零模M 的任意真子模都是多余子模,则称M 是h o l l o w 模.类似于一致模,下面分别给出右T -模是h o l l o w 模的必要条件和充分条件.推论5 设右T -模(P ,Q )(f ,g )是h o l l o w 模,且(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的真子模,则下列条件之一成立:1)P =0且η2(Q ᶄ)≪Q /g (P 췍M );2)Q =0且η1(P ᶄ)≪P /f (Q 췍N );3)P ʂ0且Q ʂ0.证明:只证1),可类似证明2).由P =0及(P ,Q )(f ,g )是h o l l o w 模可知Q ʂ0,而(P ,Q )(f ,g )=(0,Q )(0,g )的真子模必有(0,Q ᶄ)(0,gᶄ)的形式,其中Q ᶄ是Q 的真子模,由条件必有(0,Q ᶄ)(0,g ᶄ)≪(0,Q )(0,g ),于是由命题3可知η2(Q ᶄ)≪Q /g (P 췍M ). 命题5 设(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ).若Pᶄ=P ,Q ᶄ≪Q 且f (Q 췍N )=P 或P ᶄ≪P ,Q ᶄ=Q 且g (P 췍M )=Q ,则(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).即若(P ,Q ᶄ)(f ᶄ,g )ɤ(P ,Q )(f ,g )且Q ᶄ≪Q ,则(P ,Q ᶄ)(f ᶄ,g )≪(P ,Q )(f ,g );或者当(P ᶄ,Q )(f ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g )且P ᶄ≪P 时,(P ᶄ,Q )(f ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).证明:假设(P ᶄ,Q )(f ,g ᶄ)ɤ(P ,Q )(f ,g ),且Qᶄ≪Q .设U ɤP ,V ɤQ ,u :U ңP ;v :V ңQ 分别是M o d -R 和M o d -S 中的包含同态,且满足f (v 췍1N )(V 췍N )⊆U , g (u 췍1M )(U 췍M )⊆V .再设h =f (v 췍1N ),k =g (u 췍1M ),则(U ,V )(h ,k )ɤ(P ,Q )(f ,g ),假设其满足(P ,Q ᶄ)(f ᶄ,g )+(U ,V )(h ,k )=(P ,Q )(f ,g ),则P +U =P ,Q ᶄ+V =Q .故U ⊆P ,V =Q .从而v =1Q 且P =f (Q 췍N )⊆U .因此U =P ,表明(U ,V )(h ,k )=(P ,Q )(f ,g ),即(P ,Q ᶄ)(f ᶄ,g )≪(P ,Q )(f ,g ).对于第二种情形可类似证明.推论6 设0ʂ(P ,Q )(f ,g )ɪM o d -T ,若下列两个条件之一成立,则(P ,Q )(f ,g )是h o l l o w 模:1)P R ,Q S 是h o l l o w 模且f (Q 췍N )=P ,g (P 췍M )ʂQ ;2)P R ,Q S 是h o l l o w 模且f (Q 췍N )ʂP ,g (P 췍M )=Q .证明:1)任取(P ,Q )(f ,g )的真子模(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ),需证(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的真子模可知PᶄɤP ,Q ᶄɤQ ,下面对P 分情形讨论:情形1)若P ᶄʂP ,则由P R 是h o l l o w 模可知P ᶄ≪P .假设Q ᶄ是Q 的真子模,且η2(Q ᶄ)=η2(Q ),记G =g (P 췍M ),则Q ᶄ/G =Q /G ,从而Q ᶄ+G =Q +G =Q .(7)因为Q S 是h o l l o w 模,故Q ᶄ≪Q ,所以由式(7)可得G =Q ,这与已知g (P 췍M )ʂQ 矛盾,故η2(Q ᶄ)是η2(Q )的真子模.即当Q ᶄ是Q 的真子模时,必有η2(Q ᶄ)是η2(Q )的真子模.又由Q ᶄ≪Q 知η2(Q ᶄ)≪η2(Q ),于是由命题4知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).情形2)若P ᶄ=P ,由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的真子模知Qᶄ是Q 的真子模,因为Q S 是h o l l o w 模,所以Q ᶄ≪Q ,于是由命题5知(P ,Q ᶄ)(f ᶄ,g )≪(P ,Q )(f ,g ).综上,由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)的任意性可知(P ,Q )(f ,g )是ho l l o w 模.228 吉林大学学报(理学版) 第57卷2)任取(P ,Q )(f ,g )的真子模(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,gᶄ),对Q S 分情形讨论:情形1)Q ᶄʂQ .由Q S 是h o l l o w 模知Q ᶄ≪Q .若P ᶄ是P 的真子模,则η1(P ᶄ)是η1(P )的真子模.反之不然,即当P ᶄ是P 的真子模时,η1(P ᶄ)=η1(P ).设G ᶄ=f (Q 췍N ),则假设即为P ᶄ/G ᶄ=P /G ᶄ,从而P ᶄ+G ᶄ=P +G ᶄ=P .(8)由P R 是h o l l o w 模可知P ᶄ≪P ,所以由式(8)可得P =G ᶄ=f (Q 췍N ).这与条件f (Q 췍N )ʂP 矛盾,表明当P ᶄ是P 的真子模时,必有η1(P ᶄ)是η1(P )的真子模.由于P ᶄ≪P ,因此η1(P ᶄ)≪η1(P ).于是由命题4可知(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).情形2)Q ᶄ=Q .由(P ᶄ,Q ᶄ)(f ᶄ,g ᶄ)是(P ,Q )(f ,g )的真子模知Pᶄ是P 的真子模,而P R 是h o l l o w 模,故P ᶄ≪P ;当P ᶄ≪P ,Q ᶄ=Q ,且g (P 췍M )=Q 时,由命题5知必有(P ᶄ,Q )(f ,g ᶄ)≪(P ,Q )(f ,g ).综上可知,(P ,Q )(f ,g )是ho l l o w 模.参考文献[1] HA G HA N Y A ,V A R A D A R A J A N K.S t u d y o fM o d u l e s o v e rF o r m a lT r i a n g u l a rM a t r i xR i n g s [J ].JP u r eA p p l A l ge b r a ,2000,147(1):41-58.[2] HA G HA N Y A ,V A R A D A R A J A N K.S t u d y o fF o r m a lT r i a n g u l a r M a t r i x R i n g s [J ].C o mm A l g e b r a ,1999,27(11):5507-5525.[3] E N O C H SE E ,T O R R E C I L L A S B .F l a tC o v e r so v e rF o r m a lT r i a n g u l a r M a t r i x R i n g sa n d M i n i m a l Q u i l l e n F a c t o r i z a t i o n s [J ].F o r u m M a t h ,2011,23(3):611-624.[4] E N O C H SE E ,C O R T ÉS -I Z U R D I A G A M ,T O R R E C I L L A SB .G o r e n s t e i nC o n d i t i o n so v e rT r i a n g u l a r M a t r i x R i n g s [J ].JP u r eA p p lA l g e b r a ,2014,218(8):1544-1554.[5] L U M i n g .G o r e n s t e i nD e f e c tC a t e g o r i e s o fT r i a n g u l a rM a t r i xA l g e b r a s [J ].JA l ge b r a ,2017,480:346-367.[6] E N O C H SEE .I n j e c t i v e a n dF l a tC o v e r s ,E n v e l o pe s a n dR e s o l v e n t s [J ].I s r a e l JM a t h ,1981,39(3):189-209.[7] M c C O N N E L LJC ,R O B S O NJC .N o n c o mm u t a t i v eN o e t h e r i a nR i n g s [M ].N e w Y o r k :J o h n W i l e y a n dS o n s ,1987:12-13.[8] G R E E N EL .O nt h e R e p r e s e n t a t i o n T h e o r y o fR i n g si n M a t r i x F o r m [J ].P a c if i cJ M a t h ,1982,100(1):123-138.[9] A N D E R S O NF W ,F U L L E RK R.R i ng s a n dC a t e g o r i e s o fM o d u l e s [M ].2n d e d .N e w Y o r k :S p r i n g e r -V e r l a g ,1992.[10] K E S K I N D.O nL i f t i n g M o d u l e s [J ].C o mm A l ge b r a ,2000,28(7):3427-3440.(责任编辑:李 琦,赵立芹)328 第4期 张文汇,等:M o r i t a 系统环上的一致模和H o l l o w 模。
第三章 第十节 RKKY理论
之间产生交换作用。
RKKY理论（简述）
Hˆ H0 H1
其中 H0
i
2
2m
i2
V
i
是单电子哈密顿量
H1 i j
e2 rij
是各电子间的相互作用。传导电子(Bloch)波函数
k r eikruk r
其中， uk r 为晶格周期性函数。
利用二次量子化方法，考虑传导电子间的均匀极化， 并计算传导电子波函数的一级微扰，以及Hex (交换作用哈 密顿)的一级微扰能量与二级微扰能量，最后可得：
早在1954年，茹德曼(Ruderman)与基特尔(Kittel)为解释在 核磁共振实验中所观察到的Ag的吸收线增宽现象，曾引入了 核磁自旋与传导电子自旋间的交换作用，认为这种交换作用 使传导电子的自旋发生极化，并以这种极化为媒介导致了自 旋间的相互作用。
后来，胜谷(Kasuya)与良田(Yosida)引用此机制，研究了 Mn－Cu合金的核磁共振超精细结构，认为Mn原子中的d电 子与传导电子之间的交换作用（s－d交换作用）使传导电子 的自旋发生极化，从而导致了不同Mn原子的d电子间的间接 交换作用。
RKKY交换作用定义：局域电子通过传导电子的极化而发生的 一种间接交换作用。
RKKY理论对稀土金属及合金的磁性的解释 基本思想：4f电子是完全局域的，6s电子则是游动的，并
作为传导电子。f电子可以与s电子发生交换作用，使s电子极 化，被极化后的s电子的自旋对f电子的自旋取向会发生影响， 结果形成以游动的s电子为媒介，使磁性原子（离子）中的4f 局域电子自旋与及邻近的原子（离子）中的4f局域电子自旋
J
Rm,n
3NV
16 f
j0 2
cos
2k f Rm,n
morita系统环上的有限表现模
morita系统环上的有限表现模Morita统环(MSR)一种有效的理论和实践，旨在提供一种有限表现模型，以更为有效和可发现的方式管理信息和相关活动。
Morita 日本人西尾幸政发明的，他在 20 世纪 50代作为一种解决一些技术问题的方法，并在 70代推广应用到一些技术的研究领域中。
Morita统环有助于使用户可以实现团队中信息的共享和管理，以有效地改善团队的效率和协作能力。
本文将探索 Morita统环的有限表现模型，以及如何使用它来更好地管理信息和相关活动。
二、Morita统环的构成首先，Morita统环由六个不同的组件构成：1、活动：是通过完成有效任务和达到共同目标而实施的行为。
2、任务：是活动中所要完成的目标，可以包括组织或个人的职责。
3、组织：是任务中被执行的一系列活动。
4、资源：是在该系统中必须提供的具体信息和/或物品，如数据库、人员和物资。
5、关系：代表着在系统中存在的有效协作，以及组织成员之间的相互影响。
6、环境：也称为外部环境，是指在系统的外部的一切因素，如外部竞争、技术发展和文化趋势等。
Morita统环的六个组件是一个闭合的结构，即组织成员之间存在有效的交互，有效地完成活动、实现目标、有效利用资源、适应外部环境，从而提高管理效率。
三、Morita统环的有限表现模型Morita统环的有限表现模型是指 Morita统环中各个组件之间的关系和互动，确定了系统的发展方向，以提高组织的管理效率和协同工作能力。
Morita统环的有限表现模型包括以下四个方面：1. 动实施：在这个环状结构中，活动是核心，活动的实施将直接影响各个组件之间的交互和发展方向。
2. 任务执行：在活动中实施完成有效任务，任务的执行是系统环有效发展的根本。
3. 源利用：资源的有效利用将确保组织的有效运作，提高组织的实践效率。
4. 境适应：系统环的运行依赖于外部环境的发展，系统环的有限表现模型要求组织要有效地适应外部环境的变化。
1.2原子核式模型讲解
α粒子源
金 Geiger计数器 箔
俯视图
Thomson模型大于90度角散射概率估算
电子的质量很小，对α粒子（2e)运动的影响可以忽略；
只考虑原子中均匀分布的正电荷对α粒子的影响
P
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P
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0
1 2Ze2 R
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P P0
1
4 0
2Ze2 R2
化学原子学说：
1803年 Dalton 化学反应中，原子不可分解，性质不变； 不同元素的原子不同，每种原子有确定原子量。
1811年 Avogadro 气体由分子组成，分子由原子组成。 同温同压的同体积气体含相同数目的分子。
1869年 Mendeleev 原子量大小 发现元素周期律，预 言新元素
现代原子学说：
正电部分和电子如何分布与相对运动？
原子的模型 之 Thomson原子模型：面包（枣糕）模型
汤姆逊(Thomson)发现电子之后,对于原子中正负电荷的分布他 提出了一个模型：原子中带正电荷均匀分布在整个原子空间,电 子镶嵌在其中。 同时该模型还进一步假定，电子分布在分离 的同心环上，每个环上的电子容量都不相同， 电子在各自的平衡位置附近做微振动。可以 发射电磁辐射，而且各层电子绕球心转动时 也会发光。这对于解释当时已有的实验结果、 元素的周期性以及原子的线光谱，似乎是成 功的。 Thomson模型的失败：与α粒子散射实验结果不符合。
3. 原子的大小估计：
假设某固体元素的原子是球状的，半径为r米，原子之
间是紧密地堆积在一起的。若该元素的原子量为A，那
么1mol该原子的质量为A克，若这种原子的质量密度
φ-strong Mori环及其应用的开题报告
φ-strong Mori环及其应用的开题报告1. 研究背景和意义在环论和代数几何中，Mori环、Gorenstein环和正则局部环是很重要的概念。
Mori环是一种广义正则局部环，其性质和应用非常丰富。
ω-强Mori环是一类具有重要性质的Mori环，它在环论、代数几何和代数编码理论等领域中都有广泛的应用。
2. 研究目的和内容本文将从一般Mori环到ω-强Mori环的概念和性质入手，给出它们的基本性质和联系。
通过研究它们的性质和关系，我们将探讨ω-强Mori环在代数几何、代数编码理论和环论等方面的应用。
具体内容包括：(1) Mori环的定义及其性质(2) ω-强Mori环的定义及其性质(3) ω-强Mori环与Gorenstein环的关系和联系(4) ω-强Mori环在代数几何和代数编码理论中的应用(5) ω-强Mori环在环论中的应用3. 研究方法本文的研究方法主要是基于文献资料的探讨和比较分析。
我们将收集相关文献和资料，对Mori环和ω-强Mori环的相关性质进行分析和比较，进而研究其在不同领域的应用。
4. 研究意义和预期结果本文的研究将为深入理解Mori环和ω-强Mori环的性质和应用提供一个比较系统的框架。
这对于推动环论、代数几何和代数编码理论等领域的相关研究具有重要意义。
预期结果是：(1) 完成对Mori环和ω-强Mori环的全面研究；(2) 揭示ω-强Mori环与Gorenstein环的联系和应用；(3) 描述ω-强Mori环在代数几何和代数编码理论中的应用情况；(4) 探索ω-强Mori环在环论中的应用前景。
morita系统环上的有限表现模
morita系统环上的有限表现模
20世纪80年代，日本著名数学家Morita贡献了他的一个重要成就，叫做Morita系统环上的有限表现模。
由于该理论被数学界和科学界广泛使用，它在科学史上留下了浓厚风采。
首先，让我们来看看什么是Morita系统环上的有限表现模。
简单的说，它是一种数学模型，可以用来表达系统环上的有限表现。
换句话说，该模型可以用来研究系统环上的结构与行为之间的关系。
接下来，让我们看看Morita系统环上的有限表现模的历史发展。
Morita最早在1982年提出了该模型，当时他把它作为研究系统环上的结构与行为之间关系的框架使用。
由于Morita系统环上的有限表现模的优越性，不久之后，它被广泛使用，并开发出一系列延伸例如模型的子类、设计模式等，以帮助实现更高级的系统功能。
此外，Morita系统环上的有限表现模也已经在实践中得到了应用，包括电子设备，机器人控制系统，视频处理等。
这些应用使得研究者能够利用Morita系统环上的有限表现模来分析图像、处理连续信号中的不确定元素、进行机器学习以及解决视觉问题等。
最后，在未来，Morita系统环上的有限表现模将继续发挥重要作用，促使技术发展和提高生活质量。
由于它的应用领域广泛，它将在多种领域得到更多的应用，如计算机视觉、语音处理、图像分析和机器人技术等。
因此，Morita系统环上的有限表现模有望在未来继续发挥巨大的作用，为人类带来无限的想象空间。
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morita系统环上的有限表现模
morita系统环上的有限表现模近年来，Morita系统环的概念在数学和工程领域中受到了很多关注。
Morita系统环作为一种多参数量级，具有很好的拓扑结构，它的解决方案可以很好地应用在一些计算机科学，控制论，统计学，自动控制，机器学习，图像处理等领域中，它提供了一种非常灵活有效的方法来处理复杂的环境问题。
Morita系统环十分强大，因为它可以有效地表示和管理复杂的系统环中可能出现的各种表现模式，其中最重要的一种是有限表现模式。
有限表现模式是指一种系统环中的表现模式，这种模式可以有效地表示某种特定的环境。
因此，它可以被用来模拟各种复杂的实际系统，以帮助我们更好地理解系统的行为。
Morita系统环的有限表现模式的重要性也可以通过它的一些特性来证明，这些特性可以分为两类：符号性特性和功能性特性。
符号性特性指的是有限表现模式可以有效地抽象出和表示系统环中存在的有限状态数量，这些状态数据可以被用来判断系统环中发生的变化，从而有效地解决复杂的系统环问题。
此外，这种有限状态数据也可以有效地建模分析和推理系统环中可能出现的行为，从而更好地理解和预测系统的行为。
功能性特性指的是有限表现模式可以把系统环中可能出现的行为有效地分解成一系列可视化的结构，这些结构可以被用来识别和分析不同类型的表现模式，从而更好地区分和理解系统环中出现的表现模式特征，从而有助于推断行为的发展趋势。
Morita系统环的有限表现模式的应用也正在越来越多，它可以有效地支持和模拟复杂的系统环中可能出现的表现模式，从而有助于我们更好地理解和预测复杂的系统环行为。
例如，Morita系统环的有限表现模式可以被用来模拟自动控制系统，这些系统可以有效地实现控制领域中出现的复杂过程，从而为人们提供更多的控制能力，并有助于构建智能系统。
此外，Morita系统环的有限表现模式还可以被用于机器学习和计算机视觉领域，它可以有效地帮助机器学习和计算机视觉技术更好地检测和识别感兴趣的物体。
关于广义morphic环和伪morphic环的注记
关于广义morphic环和伪morphic环的注记谢明文;宋贤梅【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)001【摘要】A ring R is called left generalized morphic if for every a∈R,there exist b,c∈R such that l（a）=Rb,l（b）=Rc.A ring R is called left pseudo-morphic if for every a∈R,there exist b,c∈R such that Ra=l（b）,Rb=l （c）,where l（a）,l（b）,l（c） denote the left annihilator of a,b,c in R.In this paper,we characterize some properties of generalized morphic rings and pseudo-morphic rings.Also we give some examples for some wrong propositions.For example,if R is a ring,n≥0,R[x]/（xn＋1） is left generalized morphic ring,then R left generalized morphic ring.But otherwise it is not established,this article gives the proof.%R称为左广义morphic环,若对每个a∈R,存在b,c∈R使得l（a）=Rb,l（b）=Rc。
R称为左伪morphic环,若对任意的a∈R,存在b,c∈R使得Ra=l（b）,Rb=l（c）,其中l （a）,l（b）,l（c）表示R中元素a,b,c的左零化子。
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２００８年 ９月 第 ３ｌ卷 第 ３期
湖南 师范大学 自然科学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖ０１．３ｌ Ｎ０．３ Ｓｅｐ．，２００８
Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｍ ｏｒｉｔａ Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ｒｉｇｈｔ ｓ－ｕｎｉｔａｌ Ｒｉｎｇｓ
．
Ｒｅｃａｌｌ ｆｒｏｍ［５］ｔｈａｔ ｔｗｏ ｒｉｎｇｓ Ｒ ａｎｄ Ｔ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ（ｒｉｇｈｔ）Ｍｏｆｉｔａ—ｌｉｋｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ Ｒ ～ ，ｉｎ ｃａｓｅ
ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｃ ａｎｄ Ｃｒ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｄｄｉｔｉｖｅ ａｎｄ Ｃ月ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ Ｃｒ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｂｏｔｈ Ｒ ａｎｄ Ｔ ａｒｅ ｒｉｇｈｔ ｓ—ｕｎｉｔａｌｓ，ｔｈｅｎ Ｒ ａｎｄ Ｔ ａｒｅ Ｍｏｒｉｔａｌｉｋｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｆ ａｎｄ ｏｌｎｙ
ｏ ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｉｎｄｕｃｅ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ Ｍｏｒｉｔａ ｃｏｎｔｅｘｔ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓ—ｕｎｉｔａｌ ｒｉｎｇ；Ｍｏｒｉｔａ—ｌｉｋｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ；Ｍｏｒｉｔａ ｃｏｎｔｅｘｔ
中图分类号 １６０１３，１６Ｄ９０
文献标识码 Ａ
文章编号 １０００－２５３７（２００８）０３－０００３－０４
右 ｓ—ｕｎｉｔａｌ环 上 的广 义 Ｍｏｒｉｔａ理 论
欧 阳 柏 玉 ，周 立 仁 ２
（１．湖南 师范大学数学与计算机科学学 院 ，中国 长沙 ４１００８要 将经典的 Ｍｏｒｉｔａ等价理论推 广到 ｓ—ｕｎｉｔａｌ环．证 明 ｕｎｉｔａｌ环上的两个 酉模 范畴等价可 由共变 的 Ｈｏｍ 与 ０ 函 子实现 ，而且能够导出同构的 Ｍｏｒｉｔａ ｃｏｎｔｅｘｔ．
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｍｏｒｉｔａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｒｉｇｈｔ ｓ—ｕｎｉｔａｌ ｒｉｎｇｓ．ａｎｄ ｆｏｒ ｒｉｇｈｔ ｓ—ｕｎｉｔａｌ ｒｉｎｇｓ，ｔｗｏ ｕｎｉｔａｒｙ ｍｏｄｕｌｅ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｆｕｎｃｔｏｒｓ Ｈｏｍ ａｎｄ
Ｏ ＵＹＡＮＧ Ｂａｉ—ｙｕ’ ＺＨＯ Ｕ Ｌｉ Ｆｅｎ２ ，
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ Ｎｏｒｍａ ｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙｕｅｙａｎｇ ４１４００６，Ｃｈｉｎａ）
Ｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｘｒ ＝ ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ａ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｒｉｇｈｔ ｓ—ｕｎｉｔａｌ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｍｏｄｕｌｅ Ｒ ｉｓ ｓ—ｕｎｉｔａ１． Ｉｆ ｆ０ｒ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｒｉｎｇ Ｒ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａｎ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｅ ｉｎ Ｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｘｅ ＝ ，ｔｈｅｎ Ｒ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｈａｖｅ ｌｏｃａｌ ｒｉｇｈｔ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ［引
ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｍｏｄ—Ｒ ａｎｄ Ｍｏｄ—Ｔ，ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｔｗｏ ｕｎｉｔａｒ ｙ ｂｉｍｏｄｕｌｅｓ月Ｐｒ ａｎｄ ｒＱ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｆ ａｎｄ Ｇ ａｒｅ ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｏ ｆｕｎｃｔｏｒｓ—ｏ Ｐ ａｎｄ —ｏｒＱ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ＨｏｒｎＲ（ＱＲ，一）Ｔ ａｎｄ Ｈｏｍｒ（Ｐｒ，一） ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ：
ｔｏｒｓｉｏｎｆｒｅｅ ｒｉｇｈｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅｓ （ｉ．ｅ．， Ｇｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋ ｃａｔｅｇｏｒ ｙ）． Ｈｅｒｅ ａ ｒｉｇｈｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ Ｍｎ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ
ｔｏｒｓｉｏｎｆｒｅｅ［ 。】ｉｆ ｆｏｒ ∈ Ｍ ｘＲ ＝ ０ ｉｍｐｌｉｅｓ ＝ ０． ． Ｒｅｃａｌｌ ｆｒｏｍ ［１，Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １］ｔｈａｔ ａ ｆｉｇｈｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ Ｍｎｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓ—ｕｎｉｔａｌ【３ ｉｆ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ∈Ｍ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｒ∈
ｉｆ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ Ｍｏｄ — Ｒ ａｎｄ Ｍ ｏｄ — Ｔ ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．
收稿 日期 ：２００８－０１－０７ 基金项 目：湖南省教育厅基金 资助项 目（０７Ｃ５７５） 作者简 介 ：欧 阳柏玉 （１９５４．），女 ，湖南茶陵县人 ，湖南师 范大学教授 ，研究方 向 ：同调代数 与 Ｋ－理论．
维普资讯
４
湖南师范大学 自然科学学 报
第 ３１卷
Ｆｏｒ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ ｎｏｔ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ［１］，［６］ａｎｄ［７］．
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，Ｗ ｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｗｏ ｒｉｇｈｔ ｓ—ｕｎｉｔａｌｓ Ｒ ａｎｄ Ｓ．ｉｆ Ｆ ａｎｄ Ｇ ａｒｅ ｍｕｔｕａｌ ｉｎｖｅｒｓｅ ｕｎｉｔａｒｙ ｍｏｄｕｌｅ
关键 词 ｓ—ｕｎｉｔＭ 环 ；Ｍｏｒｉｔａ－ｌｉｋｅ等价 ；Ｍｏｒｉｔａ ｃｏｎｔｅｘｔ
１ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
Ｌｅｔ Ｒ ｂｅ ａｎ ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ ｒｉｎｇ．Ａ ｒｉｇｈｔ Ｒ—ｍｏｄｕｌｅ Ｍ Ｒ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｕｎｉｔａｒ ｙ ｍｏｄｕｌｅ ｉｆ ＭＲ ＝ 胍 Ｗ ｅ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｌ ｕｎｉｔａｒｙ ｒｉｇｈｔ Ｒ－ｍｏｄｕｌｅｓ ｂｙ ＣＲ． Ｍｏｄ — Ｒ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｕｂｃａｔｅｇｏｒｙ ｏｆ ａｌｌ ｕｎｉｔａｒｙ